2024-2025學(xué)年重慶市高二上冊(cè)12月月考數(shù)學(xué)檢測(cè)試題（含解析）

2024-2025學(xué)年重慶市高二上學(xué)期12月月考數(shù)學(xué)檢測(cè)試題一?單選題：1.直線的傾斜角為（）A.30° B.60° C.90° D.不存在2.若橢圓的焦點(diǎn)在y軸上，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是（）A. B. C. D.3.已知，若，則（）A． B．3 C．5 D．64.直線關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱的直線方程為（）A4x＋3y－4＝0 B.4x＋3y－12＝0C.4x－3y－4＝0 D.4x－3y－12＝05.設(shè)拋物線的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線為，過點(diǎn)的直線交拋物線于，兩點(diǎn)，交于點(diǎn)，且，則（） B. C. D.6.已過點(diǎn)C（0，-1）的直線與雙曲線的右支交于AB兩點(diǎn)，則直線AB的斜率的取值范圍為（）B.C.D.7.二面角的棱上有A，B兩點(diǎn)，直線AC，BD分別在這個(gè)二面角的兩個(gè)半平面內(nèi)，且都垂直于AB.已知，，，，則該二面角的大小為（）A.45° B.60° C.90° D.120°8.油紙傘是中國(guó)傳統(tǒng)工藝品，至今已有1000多年的歷史，為宣傳和推廣這一傳統(tǒng)工藝，北京市文化宮開展油紙傘文化藝術(shù)節(jié)活動(dòng)中，某油紙傘撐開后擺放在戶外展覽場(chǎng)地上，如圖所示，該傘傘沿是一個(gè)半徑為2的圓，圓心到傘柄底端距離為2，當(dāng)陽光與地面夾角為時(shí)，在地面形成了一個(gè)橢圓形影子，且傘柄底端正好位于該橢圓的長(zhǎng)軸上，若該橢圓的離心率為e，則（）A. B. C. D.二?多選題：9.已知圓：的半徑為2，則（

）A．B．點(diǎn)在圓的外部C．圓與圓外切D．當(dāng)直線平分圓的周長(zhǎng)時(shí)，10.已知橢圓C的兩個(gè)焦點(diǎn)分別為，，離心率為，且點(diǎn)P是橢圓上任意一點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是（）A.橢圓C的方程為B.的最大值為C.當(dāng)時(shí)，D.橢圓形狀比橢圓C的形狀更接近于圓11.如圖，在棱長(zhǎng)為的正方體中，分別為棱，的中點(diǎn)，為面對(duì)角線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則（）A.三棱錐的體積為定值B.線段上存在點(diǎn)，使平面C.線段上存在點(diǎn)，使平面平面D.設(shè)直線與平面所成角為，則的最大值為三?填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.12.若橢圓（）與雙曲線的焦點(diǎn)相同，則的值為____．13.若圓上恰有三個(gè)點(diǎn)到直線的距離為1，則實(shí)數(shù)的值為．14.已知為雙曲線的右焦點(diǎn)，經(jīng)過作直線與雙曲線的一條漸近線垂直，垂足為，直線與雙曲線的另一條漸近線在第二象限的交點(diǎn)為．若，則雙曲線的離心率為______．四?解答題：共70分.解答應(yīng)寫出必要文字說明?證明過程或演算步驟.15.已知兩點(diǎn)，及圓：，為經(jīng)過點(diǎn)的一條動(dòng)直線.（1）若直線與圓相切，求切線方程；（2）若直線與圓相交于兩點(diǎn)，從下列條件中選擇一個(gè)作為已知條件，求的面積.條件①:直線平分圓；條件②：直線的斜率為-3.16.已知，分別是雙曲線E：的左、右焦點(diǎn)，P是雙曲線上一點(diǎn)，到左頂點(diǎn)的距離等于它到漸近線距離的2倍，求雙曲線的漸近線方程；當(dāng)時(shí)，的面積為，求此雙曲線的方程．17.如圖所示，正方形ABCD所在平面與梯形ABMN所在平面垂直，，，，.（1）證明：平面；（2）在線段CM（不含端點(diǎn)）上是否存在一點(diǎn)E，使得二面角的余弦值為.若存在，求出的值；若不存在，請(qǐng)說明理由.18.已知拋物線C:的焦點(diǎn)為，P是拋物線C上一點(diǎn)，O為原點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，,過的直線交于兩點(diǎn)，過與垂直的直線交于兩點(diǎn)，其中在軸上方，分別為的中點(diǎn)．（1）求拋物線C的標(biāo)準(zhǔn)方程（2）證明：直線過定點(diǎn)；（3）設(shè)為直線與直線的交點(diǎn)，求面積的最小值．19.若橢圓：上的兩個(gè)點(diǎn)，滿足，則稱為該橢圓的一個(gè)“共軛點(diǎn)對(duì)”，點(diǎn)互為共軛點(diǎn).顯然，對(duì)于橢圓上任意一點(diǎn)，總有兩個(gè)共軛點(diǎn)，.已知橢圓，點(diǎn)是橢圓上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)的兩個(gè)共軛點(diǎn)分別記為，.（1）當(dāng)點(diǎn)坐標(biāo)為時(shí)，求；（2）當(dāng)直線，斜率存在時(shí)，記其斜率分別為，，其中，求的最小值；（3）證明：的面積為定值.2024-2025學(xué)年重慶市高二上學(xué)期12月月考數(shù)學(xué)檢測(cè)試題一?單選題：1.直線的傾斜角為（C）A.30° B.60° C.90° D.不存在2.若橢圓的焦點(diǎn)在y軸上，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是（D）A. B. C. D.3.已知，若，則（

C

）A． B．3 C．5 D．64.直線關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱的直線方程為（B）A4x＋3y－4＝0 B.4x＋3y－12＝0C.4x－3y－4＝0 D.4x－3y－12＝05.設(shè)拋物線的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線為，過點(diǎn)的直線交拋物線于，兩點(diǎn)，交于點(diǎn)，且，則（A） B. C. D.6.已過點(diǎn)C（0，-1）的直線與雙曲線的右支交于AB兩點(diǎn)，則直線AB的斜率的取值范圍為（A）B.C.D.7.二面角的棱上有A，B兩點(diǎn)，直線AC，BD分別在這個(gè)二面角的兩個(gè)半平面內(nèi)，且都垂直于AB.已知，，，，則該二面角的大小為（B）A.45° B.60° C.90° D.120°8.油紙傘是中國(guó)傳統(tǒng)工藝品，至今已有1000多年的歷史，為宣傳和推廣這一傳統(tǒng)工藝，北京市文化宮開展油紙傘文化藝術(shù)節(jié)活動(dòng)中，某油紙傘撐開后擺放在戶外展覽場(chǎng)地上，如圖所示，該傘傘沿是一個(gè)半徑為2的圓，圓心到傘柄底端距離為2，當(dāng)陽光與地面夾角為時(shí)，在地面形成了一個(gè)橢圓形影子，且傘柄底端正好位于該橢圓的長(zhǎng)軸上，若該橢圓的離心率為e，則（D）A. B. C. D.【詳解】因傘柄底端正好位于該橢圓的長(zhǎng)軸上，由圖可知，橢圓的短半軸長(zhǎng)，在中，，由正弦定理得：，所以，故選：D.二?多選題：9.已知圓：的半徑為2，則（

ABC

）A．B．點(diǎn)在圓的外部C．圓與圓外切D．當(dāng)直線平分圓的周長(zhǎng)時(shí)，10.已知橢圓C的兩個(gè)焦點(diǎn)分別為，，離心率為，且點(diǎn)P是橢圓上任意一點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是（AC）A.橢圓C的方程為B.的最大值為C.當(dāng)時(shí)，D.橢圓形狀比橢圓C的形狀更接近于圓11.如圖，在棱長(zhǎng)為的正方體中，分別為棱，的中點(diǎn)，為面對(duì)角線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則（ABD）A.三棱錐的體積為定值B.線段上存在點(diǎn)，使平面C.線段上存在點(diǎn)，使平面平面D.設(shè)直線與平面所成角為，則的最大值為【答案】ABD【解析】【分析】對(duì)于A選項(xiàng)，利用等體積法判斷；對(duì)于B、C、D三個(gè)選項(xiàng)可以建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量求解【詳解】易得平面平面，所以到平面的距離為定值，又為定值，所以三棱錐即三棱錐的體積為定值，故A正確．對(duì)于B,如圖所示,以為坐標(biāo)原點(diǎn),為軸,為軸,為軸,建立空間直角坐標(biāo)系,則，,，，，所以，，，設(shè)（），則所以，平面即解之得當(dāng)為線段上靠近的四等分點(diǎn)時(shí)，平面.故B正確對(duì)于C，設(shè)平面的法向量則，取得設(shè)平面的法向量,則取,得,平面平面設(shè),即,解得，，不合題意

線段上不存在點(diǎn),使平面//平面，故C錯(cuò)誤．對(duì)于D，平面的法向量為則因?yàn)樗运缘淖畲笾禐椋蔇正確．故選：ABD三?填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.12.若橢圓（）與雙曲線的焦點(diǎn)相同，則的值為__5___．13.若圓上恰有三個(gè)點(diǎn)到直線的距離為1，則實(shí)數(shù)的值為．14.已知為雙曲線的右焦點(diǎn)，經(jīng)過作直線與雙曲線的一條漸近線垂直，垂足為，直線與雙曲線的另一條漸近線在第二象限的交點(diǎn)為．若，則雙曲線的離心率為______．【分析】設(shè)，與雙曲線兩漸近線聯(lián)立可求得坐標(biāo)，利用可構(gòu)造齊次方程求得離心率.【詳解】由題意可設(shè)：，由得：，即；由得：，即；，，即，，即，，解得：，即雙曲線的離心率為.故答案為：.四?解答題：共70分.解答應(yīng)寫出必要文字說明?證明過程或演算步驟.15.已知兩點(diǎn)，及圓：，為經(jīng)過點(diǎn)的一條動(dòng)直線.（1）若直線與圓相切，求切線方程；（2）若直線與圓相交于兩點(diǎn)，從下列條件中選擇一個(gè)作為已知條件，求的面積.條件①:直線平分圓；條件②：直線的斜率為-3.【答案】（1）或（2）【解析】【分析】（1）設(shè)直線為，利用圓心到直線的距離等于半徑求即可；（2）選擇條件①利用兩點(diǎn)式可得直線的方程，再利用點(diǎn)到直線的距離得到的高，即可得到面積；選擇條件②利用點(diǎn)斜式可得直線的方程，再利用點(diǎn)到直線的距離得到的高，即可得到面積.【小問1詳解】當(dāng)直線斜率不存在時(shí)，即，圓心到直線的距離，此時(shí)直線與圓相交；當(dāng)直線斜率存在時(shí)，設(shè)直線為，即，當(dāng)直線與圓相切時(shí)，圓心到直線的距離等于半徑，即，解得或，所以切線方程為或.【小問2詳解】選擇條件①：直線平分圓則直線過圓心，所以直線為，即，因?yàn)?，點(diǎn)到直線的距離，所以.選擇條件②：由直線的斜率為-3且過可得直線為，即，直線過圓心，所以，點(diǎn)到直線的距離，所以.16.已知，分別是雙曲線E：的左、右焦點(diǎn)，P是雙曲線上一點(diǎn)，到左頂點(diǎn)的距離等于它到漸近線距離的2倍，求雙曲線的漸近線方程；當(dāng)時(shí)，的面積為，求此雙曲線的方程．【答案】（1）（2）【解析】【詳解】試題分析：（1）由到左頂點(diǎn)的距離等于它到漸近線距離的倍，根據(jù)點(diǎn)到直線距離公式可得，從而可得雙曲線的漸近線方程；（2）由余弦定理，結(jié)合雙曲線的定義可得，再根據(jù)的面積為，可得，得，從而可得結(jié)果.試題解析：（1）因?yàn)殡p曲線的漸近線方程為，則點(diǎn)到漸近線距離為（其中c是雙曲線的半焦距），所以由題意知，又因?yàn)椋獾?，故所求雙曲線的漸近線方程是.（2）因?yàn)?，由余弦定理得，即．又由雙曲線的定義得，平方得，相減得．根據(jù)三角形的面積公式得，得．再由上小題結(jié)論得，故所求雙曲線方程是.17.如圖所示，正方形ABCD所在平面與梯形ABMN所在平面垂直，，，，.（1）證明：平面；（2）在線段CM（不含端點(diǎn)）上是否存在一點(diǎn)E，使得二面角的余弦值為.若存在，求出的值；若不存在，請(qǐng)說明理由.【答案】（1）見解析（2）存在，【解析】【分析】（1）由面面垂直的性質(zhì)可得，再得出即可證明；（2）設(shè)，求出平面和平面的法向量，利用向量關(guān)系建立方程求出即可得出.【小問1詳解】證明：正方形中，，平面平面，平面平面，平面，平面，又平面，，且，又，，又，，，又，，又平面，平面；【小問2詳解】解：如圖，以B為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系，則，，設(shè)點(diǎn)，，，，，設(shè)平面的法向量為，，令，顯然，平面的法向量為，，即，即即，解得或（舍），所以存在一點(diǎn)，且.18.已知拋物線C:的焦點(diǎn)為，P是拋物線C上一點(diǎn)，O為原點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，,過的直線交于兩點(diǎn)，過與垂直的直線交于兩點(diǎn)，其中在軸上方，分別為的中點(diǎn)．(1)求拋物線C的標(biāo)準(zhǔn)方程（2）證明：直線過定點(diǎn)；（3）設(shè)為直線與直線的交點(diǎn)，求面積的最小值．【分析】（2）設(shè)出直線與直線的方程，聯(lián)立曲線后得到與縱坐標(biāo)有關(guān)韋達(dá)定理，結(jié)合題意，表示出直線后即可得定點(diǎn)坐標(biāo)；（3）設(shè)出直線與直線的方程，聯(lián)立兩直線后結(jié)合第一問中韋達(dá)定理得出點(diǎn)的橫坐標(biāo)恒為，再結(jié)合面積公式及基本不等式即可得.我們也可以利用面積得到，再結(jié)合基本不等式可求最小值.【小問1詳解】（1）【小問2詳解】【方法一】：由，故，由直線與直線垂直，故兩只直線斜率都存在且不為，設(shè)直線、分別為、，有，、、、，聯(lián)立與直線，即有，消去可得，，故、，則，故，，即，同理可得，當(dāng)時(shí)，則，即，由，即，故時(shí)，有，此時(shí)過定點(diǎn)，且該定點(diǎn)為，當(dāng)時(shí)，即時(shí)，由，即時(shí)，有，亦過定點(diǎn)，故直線過定點(diǎn)，且該定點(diǎn)為；【方法二】：設(shè)，，不妨設(shè)．設(shè)，則．由，得，故，，，．所以．同理可得．若，則直線，MN過點(diǎn)．若，則直線，MN過點(diǎn)．綜上，直線MN過定點(diǎn)．【小問3詳解】法1：由、、、，則，由、，故，同理可得，聯(lián)立兩直線，即，有，即，有，由，同理，故，故，過點(diǎn)作軸，交直線于點(diǎn)，則，由、，故，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，下證：由拋物線的對(duì)稱性，不妨設(shè)，則，當(dāng)時(shí)，有，則點(diǎn)在軸上方，點(diǎn)亦在軸上方，有，由直線過定點(diǎn)，此時(shí)，同理，當(dāng)時(shí)，有點(diǎn)在軸下方，點(diǎn)亦在軸下方，有，故此時(shí)，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，，故恒成立，且時(shí)，等號(hào)成立，故，法2：