2024-2025學(xué)年四川省成都市教育科學(xué)研究院附中高二（上）期中數(shù)學(xué)試卷（含答案）

第=page11頁，共=sectionpages11頁2024-2025學(xué)年四川省成都市教育科學(xué)研究院附中高二（上）期中數(shù)學(xué)試卷一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的。1.為了了解高一、高二、高三學(xué)生的身體狀況，現(xiàn)用比例分配分層隨機抽樣的方法抽出一個容量為1500的樣本，三個年級學(xué)生數(shù)之比依次為k：3：5，已知高一年級共抽取了300人，則高三年級抽取的人數(shù)為(

)A.750 B.300 C.450 D.1502.某校在運動會期間組織了20名啦啦隊隊員，她們的身高(單位：cm)數(shù)據(jù)按從小到大排序如下：

162?162?163?165?165?165?165?167?167?167

168?168?170?170?171?173?175?175?178?178

則這20名隊員身高的第75百分位數(shù)為(

)A.171 B.172 C.173 D.1743.從2名男生和2名女生中任意選出兩人參加冬奧知識競賽，則選出的兩人恰好是一名男生和一名女生的概率是(

)A.23 B.12 C.134.到直線l：x+2y?1=0的距離為5的點的坐標(biāo)是(

)A.(?1,0) B.(?1,3) C.(4,1) D.(6,?2)5.在平行六面體ABCD?A1B1C1D1中，M為A1C1與B1A.12a+12b+c

B.6.設(shè)A，B為兩個隨機事件，以下命題正確的為(

)A.若A，B是對立事件，則P(AB)=1

B.若A，B是互斥事件，P(A)=13,P(B)=12，則P(A+B)=16

C.若D.若P(A?)=13,P(B7.若向量a=(1,λ,1)，b=(2,?1,?2),且a與b的夾角余弦為26，則λA.?2 B.2 C.?28.如圖，某電子元件由A，B，C三種部件組成，現(xiàn)將該電子元件應(yīng)用到某研發(fā)設(shè)備中，經(jīng)過反復(fù)測試，A，B，C三種部件不能正常工作的概率分別為15，14，13，各個部件是否正常工作相互獨立，則該電子元件能正常工作的概率是A.1825 B.725 C.6475二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。9.在空間直角坐標(biāo)系O?xyz中，已知A(1,2,?1)，B(0,1,1)，下列結(jié)論正確的有(

)A.|AB|=4

B.OA?OB=1

C.若n=(4,2,t)，且n⊥AB，則t=310.已知直線l1：ax+y?3a=0，直線l2：2x+(a?1)y?6=0，則(

)A.當(dāng)a=3時，l1與l2的交點為(3,0) B.直線l1恒過點(3,0)

C.若l1⊥l2，則11.疫情當(dāng)下，通過直播帶貨來助農(nóng)，不僅為更多年輕人帶來了就業(yè)崗位，同時也為當(dāng)?shù)剞r(nóng)民銷售出了農(nóng)產(chǎn)品，促進了當(dāng)?shù)氐慕?jīng)濟發(fā)展.某直播平臺的主播現(xiàn)要對6種不同的臍橙進行選品，其方法為首先對這6種不同的臍橙(數(shù)量均為1)，進行標(biāo)號為1～6，然后將其放入一個箱子中，從中有放回的隨機取兩次，每次取一個臍橙，記第一次取出的臍橙的標(biāo)號為a1，第二次為a2，設(shè)A=[a1a2]，其中A.P(a1+a2=5)=14 B.事件a1=6與A=0互斥三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12.在一次射擊訓(xùn)練中，某運動員5次射擊的環(huán)數(shù)依次是9，10，9，8，9，則該組數(shù)據(jù)的方差______．13.已知空間向量a=(2,2,2)，b=(2,?1,2)，則向量a在向量b上的投影向量的坐標(biāo)是______．14.空間直角坐標(biāo)系xOy中，過點P(x0,y0,z0)且一個法向量為n=(a,b,c)的平面α的方程為a(x?x0)+b(y?y0)+c(z?z0)=0，過點P(x0,y0,四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。15.(本小題13分)

同時擲兩個骰子一次，計算向上的點數(shù)，求：

(1)點數(shù)之和是7的概率；

(2)點數(shù)中恰有一個奇數(shù)和一個偶數(shù)的概率．16.(本小題15分)

△ABC的三個頂點分別是A(4,0)，B(0,2)，C(3,1)．

(1)求邊AB上的中線所在直線的方程；

(2)求△ABC的外接圓G(G為圓心)的標(biāo)準(zhǔn)方程．17.(本小題15分)

2024年10月27日，成都市舉辦馬拉松比賽，其中志愿者的服務(wù)工作是馬拉松成功舉辦的重要保障.當(dāng)時成都市文體廣電旅游局承辦了志愿者選拔的面試工作.隨機抽取了100名候選者的面試成績，并分成五組：第一組[45,55)，第二組[55,65)，第三組[65,75)，第四組[75,85)，第五組[85,95]，繪制成如圖所示的頻率分布直方圖．

(1)求a的值，并估計這100名候選者面試成績的平均數(shù)；

(2)若從以上各組中用分層隨機抽樣的方法選取20人，擔(dān)任了本市的宣傳者.若本市宣傳者中第二組面試者的面試成績的平均數(shù)和方差分別為62和40，第四組面試者的面試成績的平均數(shù)和方差分別為80和50，請據(jù)此估計這次第二組和第四組所有面試者的面試成績的方差．

(附：設(shè)兩組數(shù)據(jù)的樣本量、樣本平均數(shù)和樣本方差分別為：m，x1?，s12；n，x2?，s218.(本小題17分)

在四棱錐P?ABCD中，PA⊥面ABCD，且PA=2，四邊形ABCD是直角梯形，且AB⊥AD，BC//AD，AD=AB=2，BC=4，M為PC中點，E在線段BC上，且BE=1．

(1)求證：DM//平面PAB；

(2)求直線PB與平面PDE所成角的正弦值；

(3)求點C到平面PDE的距離．19.(本小題17分)

球面三角學(xué)是研究球面三角形的邊、角關(guān)系的一門學(xué)科.如圖，球O的半徑為R.A，B，C為球面上三點，劣弧BC的弧長記為a，設(shè)O0表示以O(shè)為圓心，且過B，C的圓，同理，圓O3，O2的劣弧AC，AB的弧長分別記為b，c，曲面ABC(陰影部分)叫做球面三角形.若設(shè)二面角C?OA?B，A?OB?C，B?OC?A分別為α，β，γ，則球面三角形的面積為S球面△ABC=(α+β+γ?π)R2．

(1)若平面OAB，平面OAC，平面OBC兩兩垂直，求球面三角形ABC的面積；

(2)若平面三角形ABC為直角三角形，AC⊥BC，設(shè)∠AOC=θ1，∠BOC=θ2，∠AOB=θ3，

①求證：cosθ1+cosθ2?cosθ3=1；

②延長AO與球O交于點D，若直線DA，DC與平面ABC所成的角分別為π4,π參考答案1.A

2.D

3.A

4.C

5.B

6.D

7.A

8.C

9.BC

10.ABC

11.BCD

12.2513.(414.(1,?1,1)

215.解：(1)列表可得：1234561╳╳╳╳╳√2╳╳╳╳√╳3╳╳╳√╳╳4╳╳√╳╳╳5╳√╳╳╳╳6√╳╳╳╳╳設(shè)樣本空間為Ω，則n(Ω)=36，

記“點數(shù)之和是7”為事件A，可知n(A)=6，

所以P(A)=n(A)n(Ω)=6361234561╳√╳√╳√2√╳√╳√╳3╳√╳√╳√4√╳√╳√╳5╳√╳√╳√6√╳√╳√╳記“點數(shù)中恰有一個奇數(shù)和一個偶數(shù)”為事件B，可知n(B)=18，

所以P(A)=n(A)n(Ω)16.解：(1)設(shè)線段AB的中點為D，又A(4,0)，B(0,2)，

由中點坐標(biāo)公式，可得AB的中點D(2,1)，

又因為C(3,1)，

所以AB邊上的中線所在的直線方程為y=1；

(2)法(i)設(shè)圓G的方程為(x?a)2+(y?b)2=r2，r>0，

因為A(4,0)，B(0,2)，C(3,1)三點都在圓上，

所以(4?a)2+(0?b)2=r2(0?a)2+(2?b)2=r2(3?a)2+(1?b)2=r2，解得a=0，b=?3，r2=25，

所以即x2+(y+3)2=25．17.解：(1)由頻率分布直方圖可知，(0.005+a+0.045+0.02+0.005)×10=1，

解得a=0.025，

所以估計這100名候選者面試成績的平均數(shù)為x?=0.05×50+0.25×60+0.45×70+0.2×80+0.05×90=69.5；

(2)設(shè)第二組、第四組所有面試者的面試成績的平均數(shù)、方差分別為x1?=62,x2?=80，s12=40,s2218.(1)證明：因為PA⊥底面ABCD，AB?平面ABCD，

所以PA⊥AB，同理可證PA⊥AD，

又因為AB⊥AD，所以AB，AD，AP兩兩垂直，

以A為坐標(biāo)原點，分別以AB，AD，AP所在直線為x軸，y軸，z軸，

建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示，

依題意可得，A(0,0,0)，B(2,0,0)，C(2,4,0)，

D(0,2,0)，P(0,0,2)，E(2,1,0)，M(1,2,1)，

則DM=(1,0,1)，

不妨取AD=(0,2,0)是面PAB的一個法向量，

因為DM?AD=1×0+0×2+1×0=0，所以DM⊥AD，

又因為DM?平面PAB，所以DM/?/平面PAB；

(2)解：PB=(2,0,?2)，PD=(0,2,?2)，DE=(2,?1,0)，

設(shè)平面PDE的一個法向量n=(x,y,z)，則由n⊥PD，n⊥DE，

可得n?PD=0n?DE=0，即2y?2z=02x?y=0，取x=1，則y=z=2，

所以平面PDE的一個法向量n=(1,2,2)，

設(shè)直線PB與平面PDE所成角為θ，

則sinθ=|cos?PB,n?|=19.解：(1)若平面OAB，OAC，OBC兩兩垂直，有α=β=γ=π2，

所以球面三角形ABC面積為S球面△ABC=(α+β+γ?π)R2=π2R2．

(2)①證明：由余弦定理有：AC2=R2+R2?2R2cosθ1BC2=R2+R2?2R2cosθ2AB2=R2+R2?2R2cosθ3，且AC2+BC2=AB2，

消掉R2，可得cosθ1+cosθ2?cosθ3=1；

②由AD是球的直徑，則AB⊥BD，AC⊥CD，

且AC⊥BC，CD∩BC=C，CD，BC?平面BCD，

所以