江蘇省揚(yáng)州市2025屆高三上學(xué)期11月期中檢測(cè)數(shù)學(xué)試題（解析版）

高級(jí)中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1江蘇省揚(yáng)州市2025屆高三上學(xué)期11月期中檢測(cè)數(shù)學(xué)試題一、單項(xiàng)選擇題（本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)符合要求）1.函數(shù)，的值域?yàn)椋ǎ〢. B. C. D.【答案】B【解析】由復(fù)合，兩個(gè)都是增函數(shù)，則原函數(shù)為增函數(shù).當(dāng)時(shí)，.當(dāng)趨于時(shí)，也趨于.因?yàn)橹笖?shù)函數(shù)（），當(dāng)趨于時(shí)，趨于，所以趨于，所以.故原函數(shù)值域?yàn)?故選：B.2.已知集合，，則（）A. B.C D.【答案】D【解析】解，得，則，而，所以.故選：D.3.若函數(shù)在區(qū)間上的圖象是一條不間斷的曲線，則“”是“函數(shù)在區(qū)間上有零點(diǎn)”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】A【解析】充分性判斷:若，因?yàn)楹瘮?shù)在區(qū)間上的圖象是一條不間斷的曲線，根據(jù)零點(diǎn)存在定理可知，函數(shù)在區(qū)間上有零點(diǎn)，所以“”是“函數(shù)在區(qū)間上有零點(diǎn)”的充分條件.必要性判斷:當(dāng)函數(shù)區(qū)間上有零點(diǎn)時(shí)，比如函數(shù)在區(qū)間[0,2]上有零點(diǎn)，此時(shí)，，，即存在函數(shù)在區(qū)間上有零點(diǎn)時(shí)，情況，所以“”不是“函數(shù)在區(qū)間上有零點(diǎn)”的必要條件.綜上所得，“”是“函數(shù)在區(qū)間上有零點(diǎn)”的充分不必要條件.故選：A.4.已知函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】因?yàn)?，則，因?yàn)楹瘮?shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，則對(duì)任意的，恒成立，則.因此，實(shí)數(shù)的取值范圍是.故選：B.5.已知，，且，則的最小值為（）A. B. C. D.12【答案】C【解析】由已知得，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，故選：C．6.已知圖①對(duì)應(yīng)的函數(shù)為y=fx，則圖②對(duì)應(yīng)的函數(shù)是（A. B.C. D.【答案】B【解析】由圖②可知，將y=fx在的圖象沿著軸對(duì)稱得到，然后再沿著軸翻折，即可得到.故選：B.7.已知函數(shù)是偶函數(shù)，在上單調(diào)遞增，則不等式的解集為（）A. B.C. D.【答案】C【解析】由題意函數(shù)是偶函數(shù)，所以的對(duì)稱軸是，因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，所以在上單調(diào)遞減，由，有，即，解得或，所以不等式的解集為.故選：C.8.若實(shí)數(shù)，，滿足，.用表示，，中最小的數(shù)，則的最大值為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】不妨設(shè)是中的最小值，則由得，由已知，，所以是方程的兩根，所以，又，所以，，從而，故選：D．二、多項(xiàng)選擇題（本大題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分）9.下列命題中，是真命題的有（）A.， B.，C.， D.，【答案】BD【解析】畫出函數(shù)與在同一坐標(biāo)系內(nèi)的圖象，如下圖所示：顯然時(shí)，圖象始終在的上方，即可知A為假命題，當(dāng)x∈0,+∞時(shí)，圖象始終在的下方，即，，所以B為真命題；畫出函數(shù)與在同一坐標(biāo)系內(nèi)的圖象，如下圖所示：當(dāng)x∈0,1時(shí)，函數(shù)的圖象始終在的上方，即恒成立，因此C為假命題；當(dāng)x∈1,+∞時(shí)，函數(shù)的圖象始終在的上方，即恒成立，可知D為真命題.故選：BD.10.已知角滿足，，則下列結(jié)論正確的有（）A. B.C. D.【答案】ABD【解析】因?yàn)椋?，故A正確；因?yàn)?，所以，故B正確；由，，兩式相除可得，故C錯(cuò)誤；，故D正確.故選：ABD.11.定義在上的函數(shù)同時(shí)滿足以下條件：①；②；③當(dāng)時(shí)，.則下列結(jié)論正確的有（）A.在上單調(diào)遞增 B.C.（） D.【答案】BCD【解析】因?yàn)?，所以，因?yàn)?，所以，所以，所以；因?yàn)?，所以，所以，因?yàn)?，所以，所以，所以，由上可知，A錯(cuò)誤，B正確；因?yàn)?，所以，故C正確；因?yàn)?，且，所以，因?yàn)楫?dāng)時(shí)，，且，所以，故D正確；故選：BCD.三、填空題（本大題共3小題，每小題5分，共15分）12.已知函數(shù)，則曲線在點(diǎn)處的切線方程為______.【答案】【解析】因?yàn)楹瘮?shù)，所以，所以當(dāng)時(shí)，，即切線方程的斜率為，又因?yàn)榍悬c(diǎn)為，所以由直線的點(diǎn)斜式方程為：，即.13.已知的內(nèi)角，，所對(duì)的邊分別為，，，，，則使得有兩組解的的值為______.（寫出滿足條件的一個(gè)整數(shù)值即可）【答案】6（答案不唯一，6,7,8,9任意一個(gè)均可）【解析】由正弦定理，已知，，可得.因?yàn)椋?，要使有兩組解，則有兩個(gè)值.因?yàn)椋?dāng)時(shí)，，此時(shí).要使有兩個(gè)值，則且，即.所以滿足條件的一個(gè)整數(shù)值（答案不唯一，只要滿足的整數(shù)均可）.故答案為：6?（答案不唯一，6,7,8,9任意一個(gè)均可）14.已知非空集合，.若，則的值______.【答案】【解析】由為非空集合可知，故，由于，故即，是的兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，故且，解得或（舍去），故.四、解答題（本大題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟）15.中國(guó)是茶的故鄉(xiāng)，茶文化源遠(yuǎn)流長(zhǎng)，博大精深.某興趣小組，為了了解當(dāng)?shù)鼐用駥?duì)喝茶的態(tài)度，隨機(jī)調(diào)查了100人，并將結(jié)果整理如下：不喜歡喝茶喜歡喝茶合計(jì)35歲以上（含35歲）30306035歲以下251540合計(jì)5545100（1）是否有90%的把握認(rèn)為該地居民喜歡喝茶與年齡有關(guān)？（2）以樣本估計(jì)總體，用頻率代替概率.該興趣小組在當(dāng)?shù)叵矚g喝茶的人群中，隨機(jī)選出2人參加茶文化藝術(shù)節(jié).抽取的2人中，35歲以下的人數(shù)記為，求的分布列與期望.參考公式：，其中.參考數(shù)據(jù)：0.100.050.0250.0100.0050.0012.7063.8415.0246.6357.87910.828解：（1）零假設(shè)為：該地居民喜歡喝茶與年齡沒有關(guān)系.根據(jù)列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)，可以求得.根據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，沒有充分證據(jù)推斷不成立，因此可以認(rèn)為成立，即沒有90%的把握認(rèn)為該地居民喜歡喝茶與年齡有關(guān).（2）的取值可能為0，1，2.則；；.所以的分布列為：012所以期望為.16已知函數(shù)，且.（1）求的值及的單調(diào)遞增區(qū)間；（2）將的圖象向右平移個(gè)單位，再將所得圖象上每個(gè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?倍（縱坐標(biāo)不變），得到函數(shù)的圖象.當(dāng)時(shí)，求不等式的解集.解：（1），因?yàn)?，所以，，可得，，又，所以，所以，由，，可得，，所以的單調(diào)遞增區(qū)間為（）.（2）因?yàn)榈膱D象向右平移個(gè)單位得到的圖象，再將的圖象上各個(gè)點(diǎn)橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?倍得到的圖象，所以；所以不等式為，不等式化為，所以，所以，所以，結(jié)合函數(shù)在上的圖象得，所以原不等式的解集為.17.如圖，在棱長(zhǎng)為2的正方體中，、、分別為棱、、的中點(diǎn).（1）求證：平面；（2）求二面角的正切值.（1）證明：正方體中，，分別為棱，的中點(diǎn)，所以，平面，平面，所以，所以，正方形中，為的中點(diǎn)，為的中點(diǎn)，所以，所以，設(shè)、交點(diǎn)為，則，所以，即；又、平面，，所以平面.（2）解：如圖，以點(diǎn)為原點(diǎn)，分別以、、為，，軸建立空間直角坐標(biāo)系.因?yàn)檎襟w棱長(zhǎng)為2，，，分別為棱，，的中點(diǎn).所以，A2,0,0，，，.所以，.由（1）知平面.所以是平面的一個(gè)法向量，設(shè)是平面的法向量，則取，得，所以，所以二面角的余弦值為，所以二面角的正切值為.18.在中，內(nèi)角，，的對(duì)邊分別為，，，.（1）判斷的形狀；（2）已知，，，點(diǎn)、是邊上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)（、不重合，且點(diǎn)靠近，點(diǎn)靠近）.記，.①當(dāng)時(shí)，求線段長(zhǎng)的最小值；②是否存在常數(shù)和，對(duì)于所有滿足題意的、，都有成立？若存在，求出和的值；若不存在，請(qǐng)說明理由.參考公式：，.解：（1）在中，因?yàn)?，且，所以，即，，所以或?當(dāng)時(shí)，所以，為直角三角形；當(dāng)時(shí)，所以，為等腰三角形.綜上所述，為直角三角形或等腰三角形.（2）①因?yàn)椋?，又，，所以?如圖，設(shè)，，方法一：在中，由正弦定理，得，所以.在中，由正弦定理，得，所以.因?yàn)?，所以，故?dāng)，即時(shí)，.方法二：在中，由正弦定理，得，所以.在中，由正弦定理，得，所以.因?yàn)?，所以，故?dāng)，即時(shí)，.方法三：在中，由正弦定理，得，所以.在中，由正弦定理，得，所以.所以，因?yàn)椋?，故?dāng)，即時(shí)，.②假設(shè)存在常數(shù)，，對(duì)于所有滿足題意的，，都有成立，則存在常數(shù)，，對(duì)于所有滿足題意的，，利用參考公式，有.由題意，是定值，所以，是定值，對(duì)于所有滿足題意的，成立，故有，因?yàn)?，從而，即，，所?故，.19.已知函數(shù)，.（1）當(dāng)時(shí)，求的極值；（2）若實(shí)數(shù)滿足：存在，使得成立.①求的取值范圍；②請(qǐng)比較與的大小，并說明理由.解：（1）當(dāng)時(shí)，，則，所以當(dāng)x∈0,1時(shí)，f'x當(dāng)x∈1,+∞時(shí)，f'所以當(dāng)時(shí)，取極小值0，無(wú)極大值.（2）①方法一：由（1）可知（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取“＝”）.在上式中，用代，則有（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取“＝”）..1°若，則當(dāng)x∈0,+∞時(shí)，f'x又，則，故不存在x0∈0,+2°若，則當(dāng)時(shí)，f'x>0，單調(diào)遞增，又，則，故不存在x0∈0,+3°若，則當(dāng)時(shí)，f'x<0，單調(diào)遞減，又，令，即，此時(shí)，則，所以存在x0∈0,+∞綜上所述，的取值范圍為1,+∞.方法二：因?yàn)榇嬖趚0∈0,+則存在x0∈0,+令，則，令，則.1°若，則，φx單調(diào)遞增，又，所以，即，單調(diào)遞增，又，所以gx>0，故不存在x0∈0,+2°若，令，則，則單調(diào)遞增.若，即時(shí)，，即φ'x>0，φx又，所以，即，單調(diào)遞增，又，所以gx>0，故不存在x0∈若，即時(shí)，因?yàn)椋?，又單調(diào)遞增，的圖象連續(xù)不間斷，所以由零點(diǎn)存在性定理可知，使得，所以當(dāng)時(shí)，，即φ'x<0，φ又，所以當(dāng)時(shí)，，即，單調(diào)遞減，又，所以當(dāng)時(shí)，gx<0，故存在x0∈0