《指數(shù)函數(shù)的概念、圖象和性質(zhì)》教學(xué)設(shè)計一

2/2《指數(shù)函數(shù)的概念、圖象和性質(zhì)》教學(xué)設(shè)計一教學(xué)設(shè)計一、創(chuàng)設(shè)情境，引入新課情境：勤學(xué)如春起之苗，不見其增，日有所長；輟學(xué)如磨刀之石，不見其損，日有所虧.這句話告訴我們什么道理？你能聯(lián)系我們現(xiàn)在的學(xué)習(xí)解釋這一道理嗎？假定現(xiàn)在獲取的知識量是1，學(xué)習(xí)的知識按照每天1%的速度增長，那么，若干天后會怎樣？兩年后、三年后會怎樣？如何計算？（實際上，一天后是1.01，兩天后是，三天后是，一年后是.）如果我們用x表示天數(shù)，那么你獲取的知識量y與天數(shù)x之間的關(guān)系可以用一個什么樣的式子來表示呢？（結(jié)論：）假設(shè)知識的減少量也按照每天1%的速度計算，將“輟學(xué)如磨刀之石，不見其損，日有所虧”翻譯成數(shù)學(xué)的式子，如何表示？（結(jié)論：）問題1：上述兩個函數(shù)有何共同特征？問題2：根據(jù)上面的特征，你能抽象、概括出這類函數(shù)的表達式嗎？設(shè)計意圖：以“勤學(xué)如春起之苗，不見其增，日有所長；輟學(xué)如磨刀之石，不見其損，日有所虧”這句話蘊含的道理，抽象出數(shù)學(xué)表達式，根據(jù)表達式提出問題，讓學(xué)生抽象概括指數(shù)函數(shù)的概念，目的是激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣和熱情，培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)抽象的核心素養(yǎng).二、探究新知師生活動：教師提出上面的兩個問題，讓學(xué)生思考、討論、交流，引導(dǎo)學(xué)生如何把這兩個具體的函數(shù)一般化.從底數(shù)上看，一個函數(shù)的底數(shù)是101，一個底數(shù)是0.99，所以我們把底數(shù)一般化，可以用一個字母a來表示.問題3：這里的底數(shù)a是否能取全體實數(shù)？為什么？可以在約定自變量x取一切實數(shù)的前提下，讓學(xué)生用計算器計算一些（任意選?。﹥绲闹?，如，等，學(xué)生會發(fā)現(xiàn)，當?shù)讛?shù)為負數(shù)，指數(shù)為小數(shù)時，計算器都顯示出錯信息若底數(shù)取某個負數(shù)，如底數(shù)，觀察，發(fā)現(xiàn)指數(shù)x取值的范圍不連續(xù)，有的實數(shù)可取，有的不可取歸納起來，有：（1）若，那么當時，（“”表示“恒等”）；當，無意義；（2）若，那么對于x的某些數(shù)值，無意義；（3）若，那么對任意的，對它沒有研究的必要.因此規(guī)定，且.指數(shù)函數(shù)的定義：是一個定義在實數(shù)集上的函數(shù)，稱為指數(shù)函數(shù)其定義域是R.設(shè)計意圖：在指數(shù)函數(shù)的定義的教學(xué)中，不要把“規(guī)定，且”強加給學(xué)生，通過上述探究討論的過程，“規(guī)定，且”就顯得比較自然、合理.問題4：你能結(jié)合指數(shù)函數(shù)的定義，得出指數(shù)函數(shù)的哪些性質(zhì)？師生活動：教師引導(dǎo)：你能得出函數(shù)的值域嗎？生：由于，且，x取全體實數(shù)，所以y的取值范圍為正實數(shù)，也就是函數(shù)的值域為.問題5：指數(shù)函數(shù)的圖象是否過定點？為什么？指數(shù)函數(shù)的圖象過定點，因為當x取0時，不論a取何值，y值總是1.問題6：根據(jù)指數(shù)函數(shù)的定義，你能判斷下列函數(shù)哪些是指數(shù)函數(shù)嗎？①；②；③；④；=5\*GB3⑤.根據(jù)指數(shù)函數(shù)的定義，③⑤是指數(shù)函數(shù)，其他的都不是.練習(xí)：若函數(shù)是指數(shù)函數(shù)，則實數(shù)___________.（答案：2）設(shè)計意圖：掌握指數(shù)函數(shù)的定義，會用指數(shù)函數(shù)的定義判斷一個函數(shù)是否為指數(shù)函數(shù).判斷一個函數(shù)是不是指數(shù)函數(shù)，只需判斷其解析式是否符合指數(shù)函數(shù)（，且）的形式，并且必須嚴格滿足這一形式.問題7：如何討論一個函數(shù)的性質(zhì)，用什么方法？從哪些角度進行討論？用函數(shù)的圖象研究函數(shù)的性質(zhì)，以數(shù)形結(jié)合的方式討論函數(shù)的性質(zhì).問題8：如何畫出指數(shù)函數(shù)的圖象？指數(shù)函數(shù)的圖象是怎樣的？師生活動：首先讓我們研究底數(shù)大于1的指數(shù)函數(shù)的圖象.探究1：同學(xué)自己按照列表、描點連線的步驟，可以借用所給的部分數(shù)據(jù)，先分別畫出函數(shù)的圖象，再把兩個圖象畫在同一平面直角坐標系中進行比較.設(shè)計意圖：給出部分數(shù)據(jù)，便于學(xué)生進行描點，投影學(xué)生畫的圖象，展示學(xué)生的作品，增強學(xué)生學(xué)習(xí)的信心.探究2：當時，指數(shù)函數(shù)的圖象從左向右有怎樣的趨勢呢？是上升的還是下降的？師生活動：教師用幾何畫板演示當?shù)讛?shù)變化時，圖象的變化過程學(xué)生觀察隨著a的變化圖象的變化趨勢.共同得出結(jié)論：當?shù)讛?shù)時，指數(shù)函數(shù)的圖象從左向右看是上升的，而且底數(shù)越大，圖象在y軸右側(cè)的部分越靠近y軸.一般地，當時，指數(shù)函數(shù)的定義域是R，值域是，過定點，在R上是增函數(shù)，當x值趨近于正無窮大時，函數(shù)值趨近于正無窮大；當x值趨近于負無窮大時，函數(shù)值趨近于0.對于函數(shù)和：（1）當時，；（2）當時，；（3）當時，.問題9：前面研究了指數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)，那么當時，函數(shù)又有怎樣的圖象和性質(zhì)呢？師生活動：教師留時間讓學(xué)生根據(jù)研究的方法研究當時，函數(shù)的圖象與性質(zhì)，學(xué)生自主研究，教師讓學(xué)生展示、分享研究結(jié)果.教師用幾何畫板演示底數(shù)時，當?shù)讛?shù)變化時，圖象的變化過程，學(xué)生觀察隨著a的變化圖象的變化趨勢.共同得出結(jié)論：當?shù)讛?shù)時，指數(shù)函數(shù)的圖象從左向右看是下降的，而且底數(shù)越大，圖象在y軸左側(cè)的部分越遠離y軸.一般地，當時，指數(shù)函數(shù)的定義域是R，值域是，過定點，在R上是減函數(shù)，當x值趨近于正無窮大時，函數(shù)值趨近于0；當x值趨近于負無窮大時，函數(shù)值趨近于正無窮大.對于函數(shù)和：（1）當時，；（2）當時，；（3）當時，.問題10：你能用表格比較和的指數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)嗎？學(xué)生觀察圖象得出指數(shù)函數(shù)的性質(zhì).圖像性質(zhì)（1）定義域：R（2）值域：（3）過定點，即時，（4）當時，；當時，（4）當時，；當時，（5）在R上是增函數(shù)當x值趨近于正無窮大時函數(shù)值趨近于正無窮大；當x值趨近于負無窮大時，函數(shù)值趨近于0（5）在R上是減函數(shù)當x值趨近于正無窮大時，函數(shù)值趨近于0；當x值趨近于負無窮大時，函數(shù)值趨近于正無窮大三、典型例題例1比較下列各題中兩個數(shù)的大?。海?）；（2）；（3）；（4）.分析：利用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性進行比較，當?shù)讛?shù)時，在定義域R上是增函數(shù)，當?shù)讛?shù)時，在定義域R上是減函數(shù).解：（1）因為函數(shù)在R上是增函數(shù)，且，所以.（2）因為函數(shù)在R上是增函數(shù)，且，所以.（3）因為函數(shù)在R上是減函數(shù)，且，所以.（4）因為函數(shù)在R上是減函數(shù)，且，所以.例2（1）求使不等式成立的實數(shù)x的集合；（2）已知方程，求實數(shù)x的值.分析：（1）把寫成寫成，利用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，把指數(shù)不等式轉(zhuǎn)化為普通的代數(shù)不等式求解.（2）把寫成，把243寫成，把指數(shù)方程轉(zhuǎn)化為普通的代數(shù)方程求解.解：（1）因為，所以原不等式可化為.因為函數(shù)在R上是增函數(shù)，所以，即.因此，使不等式成立的實數(shù)x的集合是.（2）因為，所以原方程可化為.因為函數(shù)在R上是增函數(shù)，所以，即.例3求下列函數(shù)的值域：（1）;（2）.分析：（1）把函數(shù)化成，利用函數(shù)的值域進行求解.（2）把函數(shù)，化成，利用函數(shù)在的值域來求函數(shù)的值域.解：（1）因為可化為，而函數(shù)的值域為，所以函數(shù)的值域為.（2）因為函數(shù)可化為，而函數(shù)在R上是減函數(shù)，所以函數(shù)的值域為.設(shè)計意圖：通過利用指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)比較大小和解不等式或方程的過程，可以使學(xué)生深入理解指數(shù)函數(shù)的概念和性質(zhì).四、鞏固練習(xí)教材第87頁練習(xí)第1，2題.五、課堂小結(jié)1.指數(shù)函數(shù)的圖象特征.2.指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)：定義域、值域、單調(diào)性、過定點.3.指數(shù)函數(shù)圖象和性質(zhì)的應(yīng)用.板書設(shè)計第1課時指數(shù)函數(shù)的概念、圖象和性質(zhì)1.指數(shù)函數(shù)的定義：是一個定義在實數(shù)集上的函數(shù)，稱為指數(shù)函數(shù)其定義域為R2.指數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)圖像性質(zhì)（1）定義域：R（2）值域：（3）過定點，即時，（4）當時，；當時，（4）當時，；當時，（5）在R上是增函數(shù)當x值趨近于正無窮大時函數(shù)值趨近于正無窮大；當x值趨近于負無窮大時，函數(shù)值趨近于0（5）在R上是減函數(shù)當x值趨近于正無窮大時，函數(shù)值趨近于0；當x值趨近于負無窮大時，函數(shù)值趨近于正無窮大3.典型例題例1例2例34.課堂小結(jié)教學(xué)研討本案例通過創(chuàng)設(shè)情境“勤學(xué)如春起之苗，不見其增，日有所長；輟學(xué)如磨刀之石，不見其損，日有所虧”這句話引申到知識的學(xué)習(xí)，并從中抽象出函數(shù)模型，利用抽象的函數(shù)模型歸納概括出指數(shù)函數(shù)的定義，極大地激發(fā)了學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣和熱情，為學(xué)好本節(jié)課開了個好頭在抽象出指數(shù)函數(shù)的定義的過程中，對底數(shù)a取值范圍的規(guī)定，并不是強加給學(xué)生的，而是讓學(xué)生用計算器進行求值探究，讓學(xué)生去發(fā)現(xiàn)，去揭示這一規(guī)定的合理性這樣做的目的是不僅讓學(xué)生知其然而且知其所以然，真正讓學(xué)生體會到知識的產(chǎn)生過程對于指數(shù)函數(shù)的圖象與性