湖北省武漢市鋼城第四中學2021-2022學年高一下學期期中考試數(shù)學試卷

高中數(shù)學精編資源2/2鋼城四中2021—2022(下)期中考試卷一、單項選擇題(本大題共8小題,每小題5分,共40分,在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的.)1.下列各式運算結果為純虛數(shù)的是A.(1+i)2 B.i2(1-i) C.i(1+i)2 D.i(1+i)【答案】A【解析】【分析】利用復數(shù)的四則運算,再由純虛數(shù)的定義,即可求解.【詳解】由題意,對于A中,復數(shù)純虛數(shù),所以正確;對于B中,復數(shù)不是純虛數(shù),所以不正確;對于C中,復數(shù)不是純虛數(shù),所以不正確;對于D中,復數(shù)不是純虛數(shù),所以不正確,故選A.【點睛】本題重點考查復數(shù)的基本運算和復數(shù)的概念,屬于基本題.首先對于復數(shù)的四則運算,要切實掌握其四則運算技巧和常規(guī)思路.其次要熟悉復數(shù)相關基本概念是解答此類問題的關鍵,著重考查了推理與計算能力,屬于基礎題.2.已知四邊形的三個頂點,,,且,則頂點的坐標為()A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】本小題主要考查平面向量的基本知識,先設出點的坐標,根據(jù)所給的點的坐標,寫出向量的坐標,根據(jù)向量的數(shù)乘關系,得到向量坐標之間的關系,由橫標和縱標分別相等,得到結果.【詳解】解:設頂點D的坐標為(x,y)∵=(4,3),=(x,y-2),且,∴解得故選A3.如圖所示,中,點是線段的中點,是線段的靠近的三等分點,則()A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】依題意根據(jù)平面向量線性運算法則計算可得;【詳解】解:因為是線段的靠近的三等分點,所以,又是線段的中點,所以,所以.故選:A.4.已知向量,,則()A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)題意,結合向量數(shù)量積的坐標運算和余弦的兩角和公式,即可求解.【詳解】解:因為向量,,所以.故選:C.5.將函數(shù)的圖象向右平移個單位后得到函數(shù)的圖象,若的圖象關于直線對稱,則A. B. C. D.【答案】B【解析】【詳解】將函數(shù)的圖像向右平移個單位后可得函數(shù)的解析式為:,的圖像關于直線對稱,則:,即:,令可得:.故選:B6.若,則A. B. C.1 D.【答案】A【解析】【詳解】試題分析:由,得或,所以,故選A.【考點】同角三角函數(shù)間的基本關系,倍角公式.【方法點撥】三角函數(shù)求值:①“給角求值”將非特殊角向特殊角轉化,通過相消或相約消去非特殊角,進而求出三角函數(shù)值;②“給值求值”關鍵是目標明確,建立已知和所求之間的聯(lián)系.7.在中,角、、所對的邊分別為、、,且,若,則的形狀是()A.等腰且非等邊三角形 B.直角三角形C.等邊三角形 D.等腰直角三角形【答案】C【解析】【分析】先根據(jù)余弦定理可知,再利用邊角互化,以及條件證明,從而判斷的形狀.【詳解】根據(jù)余弦定理可知,因為,所以,根據(jù)正弦定理可知,所以,所以,則的形狀是等邊三角形.故選:C8.如圖,在中,是線段上的一點,且,過點的直線分別交直線,于點,,若,,則的最小值是()A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)平面向量基本定理,以及三點共線,可確定的關系,即,可得,再利用基本不等式求最值即可.【詳解】由條件可得,∵,∴,因為三點共線,∴,∴,∵,∴,則;當且僅當,即時取等號,故的最小值是;故選:C.二、多項選擇題(本大題共4小題,每小題5分,共20分,在每小題給出的四個選項中,有多項符合題目要求,全部選對的得5分,部分選對的得2分,有選錯的得0分.)9.復數(shù),i是虛數(shù)單位,則下列結論正確的是()A. B.z的共軛復數(shù)為C.z的實部與虛部之和為2 D.z在復平面內(nèi)的對應點位于第一象限【答案】CD【解析】【分析】根據(jù)復數(shù)的四則運算,整理復數(shù),再逐一分析選項,即得.【詳解】由題得,復數(shù),可得,則A不正確;的共軛復數(shù)為,則B不正確;的實部與虛部之和為,則C正確;在復平面內(nèi)的對應點為,位于第一象限,則D正確.綜上,正確結論是CD.故選:CD【點睛】本題考查復數(shù)的定義,共軛復數(shù)以及復數(shù)的模,考查知識點全面.10.下列命題中:其中正確的是()A.若,則或B.若不平行的兩個非零向量,滿足,則C.若與平行,則D.若,,則【答案】BC【解析】【分析】根據(jù)向量的概念、運算性質(zhì)及平行關系進行判定.【詳解】若,則,故A錯;若,則,故B對;若與平行,則與夾角或,所以,故C對;若,則和任意向量都平行,故D錯.故選:BC11.已知函數(shù)的部分圖象如圖所示,下列說法正確的是()A.函數(shù)的圖象關于點對稱B.函數(shù)的圖象關于直線對稱C.函數(shù)在單調(diào)遞減D.該圖象向右平移個單位可得的圖象【答案】BD【解析】【分析】由圖象求出函數(shù)解析式,然后結合正弦函數(shù)性質(zhì)判斷各選項.【詳解】由函數(shù)的圖象可得,周期,所以,當時,函數(shù)取得最大值,即,所以,則,又,得,故函數(shù).對于A,,故A不正確;對于B,當時,,即直線是函數(shù)的一條對稱軸,故B正確;對于C,當時,,所以,函數(shù)在區(qū)間不單調(diào),故C錯誤;對于D,將的圖象向右平移個單位后,得到的圖象,即D正確.故選:BD.【點睛】思路點睛:本題考查由圖象求三角函數(shù)的解析式,考查正弦型函數(shù)的性質(zhì).解題思路是圖象中最高點或最低點求得,由零點或最值點求出周期從而得,再由點的坐標求得,得函數(shù)解析式,然后利用正弦函數(shù)性質(zhì)求解.12.如下圖所示,B是AC的中點,,P是平行四邊形BCDE內(nèi)含邊界的一點,且,以下結論中正確的是()A.當P是線段CE的中點時,,B.當時,C.若為定值時,則在平面直角坐標系中,點P的軌跡是一條線段D.的最大值為【答案】CD【解析】【分析】結合平面向量的線性運算、三點共線等知識對選項進行分析,從而確定正確選項.【詳解】依題意,,A選項,當是線段的中點時,,A選項錯誤.B選項,若設分別是的中點,連接并延長,交的延長線于,則,且,所以,則點的軌跡是,,所以,B選項錯誤C選項,,,令、的中點為,由于,即,所以三點共線.設分別是的中點,連接,交于,則,是的中點,是的中點,則點的軌跡是,點的軌跡是,所以C選項正確.D選項,,由于平行四邊形在的左上方,三點共線,所以,,故當取得最大值,取得最小值時,取得最大值,D選項正確.故選:CD三、填空題(本大題共4小題,每小題5分,共20分,請將答案填在答題卡對應題號的位置上,填錯位置,書寫不清,模棱兩可均不得分.)13.已知復數(shù),滿足,則__________.【答案】【解析】【詳解】分析:根據(jù)復數(shù)的模都為1,可求得及間的關系,根據(jù)方程,得;表示出,代入即可求值.詳解:設因為所以即化簡得點睛:本題主要考查了復數(shù)模的定義及其相關運算,運算過程中注意熟練運用解題的技巧,屬于基礎題.14.的值__________.【答案】1【解析】【分析】由,結合輔助角公式可知原式為,結合誘導公式以及二倍角公式可求值.【詳解】解:.故答案為:1.【點睛】本題考查了同角三角函數(shù)的基本關系,考查了二倍角公式,考查了輔助角公式,考查了誘導公式.本題的難點是熟練運用公式對所求式子進行變形整理.15.在圓中,為圓心,,為圓上的兩點,且滿足4,則在方向上的投影向量的模是______.【答案】2【解析】【分析】取的中點,連接,則,由投影的定義可得答案.【詳解】取的中點,連接,由垂徑定理可得在方向上的投影向量的模為故答案為:2

16.已知為銳角三角形,滿足,外接圓的圓心為,半徑為1,則的取值范圍是______.【答案】【解析】【分析】利用正弦定理,將轉化為邊,得到,將所求的轉化成,結合,全部轉化為的函數(shù),再求出的范圍,從而得到答案.【詳解】根據(jù)正弦定理,將轉化為即,又因為銳角,所以.所以因為是銳角三角形,所以,所以,得,所以故的取值范圍是.【點睛】本題考查向量的線性運算、數(shù)量積,正、余弦定理解三角形,余弦型函數(shù)的圖像與性質(zhì),屬于難題.四、解答題(本大題共6小題,共70分,解答應寫出文字說明,證明過程或演算步驟)17.已知、、是同一平面內(nèi)的三個向量,其中,,(1)若,求m的值;(2)若與共線,求k的值.【答案】(1)-1,(2)-2【解析】【分析】(1)先算出的坐標,再用平面向量數(shù)量積的坐標公式即可解得;(2)先算出與的坐標,再用向量共線的坐標公式即可解得.【詳解】(1)因為,所以.(2),,因為與共線,所以.18.(1)已知,,其中,,求;(2)已知,,且,求的值.【答案】(1)-1;(2).【解析】【詳解】試題分析:(1),根據(jù)條件求解即可;(2),只需求和三角函數(shù)即可.試題解析:(1)∵,,,,∴,,∴.(2)∵,,∴,∵,,∴,∴,∴.∴點睛:在三角化簡求值類題目中,常?？肌敖o值求值”的問題,遇見這類題目一般的方法為——配湊角:即將要求的式子通過配湊,得到與已知角的關系,進而用兩角和差的公式展開求值即可.19.已知函數(shù).(1)求的最小正周期和單調(diào)遞增區(qū)間.(2)當時,求的最值.【答案】(1)最小正周期為,單調(diào)遞增區(qū)間為,;(2)最小值1,最大值為2.【解析】【分析】(1)結合三角恒等變換化簡函數(shù)解析式,進而判斷圖象性質(zhì);(2)利用整體代入法求函數(shù)的最值.【詳解】(1)函數(shù);∴的最小正周期為;令,;解得,;∴單調(diào)遞增區(qū)間為,;(2)當時,,∴;∴時,取得最小值為1,時,取得最大值為2.20.在中,三個內(nèi)角,,所對的邊分別為,,,且.(1)求;(2)若,三角形的面積,求.【答案】(1).(2)【解析】【分析】(1)由題意結合正弦定理得,再由余弦定理可得,即可得解;(2)由(1)結合三角形面積公式可得,則利用余弦定理可得,計算即可得解.【詳解】(1)由得,由正弦定理得即,,,由可得.(2)由(1)知,則,解得,又,,解得.【點睛】本題考查了正弦定理和余弦定理的綜合應用,屬于中檔題.21.如圖,洪澤湖濕地為拓展旅游業(yè)務,現(xiàn)準備在濕地內(nèi)建造一個觀景臺,已知射線為濕地兩邊夾角為的公路(長度均超過千米),在兩條公路上分別設立游客接送點,從觀景臺到建造兩條觀光線路,測得千米,千米.(1)求線段的長度;(2)若,求兩條觀光線路與之和的最大值.【答案】(1)千米;(2)千米【解析】【分析】(1)在中利用余弦定理即可求得結果;(2)設,根據(jù)正弦定理可用表示出和,從而可將整理為,根據(jù)的范圍可知時,取得最大值.【詳解】(1)在中,由余弦定理得:千米(2)設,因為,所以在中,由正弦定理得:,當,即時,取到最大值兩條觀光線路距離之和的最大值為千米【點睛】本題考查利用正弦定理、余弦定理求解實際問題,涉及到三角函數(shù)最值求解問題,關鍵是能夠?qū)⑺缶嚯x之和轉化為關于角的函數(shù)問題,得到函數(shù)關系式后根據(jù)三角函數(shù)最值的求解方法求得結果.22.已知向量,函數(shù),