【衡水押題卷】2018年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試模擬（四）數(shù)學(xué)（理）試題

2018年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試模擬試題理數(shù)(四)第Ⅰ卷（共60分）一、選擇題：本大題共12個(gè)小題,每小題5分,共60分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知是虛數(shù)單位,若,為復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù),則復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D(zhuǎn)．第四象限2.已知集合,若,則實(shí)數(shù)的取值范圍為（）A．(1,5B．C．D．3.設(shè)為實(shí)數(shù)，且,下列不等式正確的是（）A．B．C．D．4.設(shè)隨機(jī)變量,則使得成立的一個(gè)充分不必要條件為（）A．或B．C.D．5.執(zhí)行如圖所示的程序框圖,若輸出的結(jié)果,則判斷框內(nèi)實(shí)數(shù)應(yīng)填入的整數(shù)值為（）A．998B.999C.1000D．10016.已知各項(xiàng)均不為0的等差數(shù)列的前項(xiàng)和為,若,則=（）A．2B．17C.34D．687.設(shè)分別為雙曲線的左、右頂點(diǎn),過左頂點(diǎn)的直線交雙曲線右支于點(diǎn),連接,設(shè)直線與直線的斜率分別為,若互為倒數(shù),則雙曲線的離心率為（）A．B．C.D．8.如圖所示，網(wǎng)格紙上小正方形的邊長(zhǎng)為1,粗實(shí)線畫出的是某幾何體的三視圖，則該幾何體的體積為（）A．B．C.16D．9.已知,則的展開式中含項(xiàng)的系數(shù)為（）A．9B．3C.3D．1010.在平面直角坐標(biāo)系中,為坐標(biāo)原點(diǎn)，,點(diǎn)位于直線的下方，且,設(shè)若,且,則的最大值為()A．8B．5C.5D．311.如圖所示，橢圓有這樣的光學(xué)性質(zhì):從橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)發(fā)出的光線,經(jīng)橢圓反射后,反射光線經(jīng)過橢圓的另一個(gè)焦點(diǎn).根據(jù)橢圓的光學(xué)性質(zhì)解決下題:已知曲線的方程為,其左、右焦點(diǎn)分別是,點(diǎn)是曲線上除長(zhǎng)軸端點(diǎn)外的任意一點(diǎn),的角平分線交長(zhǎng)軸于點(diǎn),則實(shí)數(shù)的取值范圍為（）A．B．C.D．12.將給定的一個(gè)數(shù)列按照一定的規(guī)則依順序用括號(hào)將它分組，則可以得到以組為單位的序列.如在上述數(shù)列中,我們將作為第一組,將作為第二組,將作為第三組,.,依次類推,第組有個(gè)元素,即可得到以組為單位的序列:...我們通常稱此數(shù)列為分群數(shù)列.其中第1個(gè)括號(hào)稱為第1群，第2個(gè)括號(hào)稱為第2群,第3個(gè)括號(hào)稱為第3群，..，第個(gè)括號(hào)稱為第樣,而數(shù)列稱為這個(gè)分群數(shù)列的原數(shù)列,如果某一個(gè)元素在分群數(shù)列的第個(gè)群中,且從第個(gè)括號(hào)的左端起是第個(gè),則稱這個(gè)元素為第群中的第個(gè)元素.已知數(shù)列1,1,3,1,3,9,1.3,9，27,..將數(shù)列分群，其中,第1群為(1)，第2群為(1,3)，第3群為....依次類推.設(shè)該數(shù)列前項(xiàng)和,若使得成立的最小為第個(gè)群中的第個(gè)元素，則=（）A．9B．6C.5D．4第Ⅱ卷（共90分）二、填空題（每題5分，滿分20分，將答案填在答題紙上）13.若函數(shù)為偶函數(shù),則=．14.已知直線的斜率為,則=．15.中華民族具有五千多年連綿不斷的文明歷史，創(chuàng)造了博大精深的中華文化,為人類文明進(jìn)步作出了不可磨滅的貢獻(xiàn).為弘揚(yáng)傳統(tǒng)文化,某校組織了國(guó)學(xué)知識(shí)大賽,該校最終有四名選手參加了總決賽，總決賽設(shè)置了一、二、三等獎(jiǎng)各一個(gè),無并列.比賽結(jié)束后,對(duì)說:“你沒有獲得一等獎(jiǎng)”;對(duì)說:“你獲得了二等獎(jiǎng)”;對(duì)大家說:“我未獲得三等獎(jiǎng)”,對(duì)說:“你們?nèi)酥杏幸蝗宋传@獎(jiǎng)”，四位選手中僅有一人撒謊，則選手獲獎(jiǎng)情形共計(jì)種.(用數(shù)字作答)．16.已知為的重心，點(diǎn)分別在邊上,滿足,其中.若,則和的面積之比的取值范圍為_________.三、解答題（本大題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.）17.如圖所示，圓為的外接圓，的內(nèi)角的對(duì)邊分別為,且滿足,若點(diǎn)為上一點(diǎn),其中位于直線的兩側(cè).(1)求;(2)若,求四邊形的周長(zhǎng)的最大值.．18.市場(chǎng)份額又稱市場(chǎng)占有率,它在很大程度上反映了企業(yè)的競(jìng)爭(zhēng)地位和盈利能力,是企業(yè)非常重視的一個(gè)指標(biāo).近年來，服務(wù)機(jī)器人與工業(yè)機(jī)器人以迅猛的增速占據(jù)了中國(guó)機(jī)器人領(lǐng)域龐大的市場(chǎng)份額,隨著“一帶一路”的積極推動(dòng)，包括機(jī)器人產(chǎn)業(yè)在內(nèi)的眾多行業(yè)得到了更廣闊的的發(fā)展空間,某市場(chǎng)研究人員為了了解某機(jī)器人制造企業(yè)的經(jīng)營(yíng)狀況,對(duì)該機(jī)器人制造企業(yè)2017年1月至6月的市場(chǎng)份額進(jìn)行了調(diào)查，得到如下資料:月份123456市場(chǎng)份額111316152021(1)請(qǐng)根據(jù)上表提供的數(shù)據(jù),用最小二乘法求出關(guān)于的線性回歸方程,并預(yù)測(cè)該企業(yè)2017年7月份的市場(chǎng)份額;(2)如圖是該機(jī)器人制造企業(yè)記錄的2017年6月1日至6月30日之間的產(chǎn)品銷售頻數(shù)(單位:天)統(tǒng)計(jì)圖.設(shè)銷售產(chǎn)品數(shù)量為,經(jīng)統(tǒng)計(jì),當(dāng)時(shí),企業(yè)每天虧損約為200萬元;當(dāng)時(shí),企業(yè)平均每天收人約為400萬元;當(dāng)時(shí),企業(yè)平均每天收入約為700萬元.①設(shè)該企業(yè)在六月份每天收人為求的數(shù)學(xué)期望;②如果將頻率視為概率,求該企業(yè)在未來連續(xù)三天總收人不低于1200萬元的概率，附:回歸直線的方程是，其中19.如圖所示，在下圖幾何體中，四邊形為矩形,平面⊥平面,四邊形為直角梯形,且,點(diǎn)為棱的中點(diǎn).(1)求證:;(2)巖直線與直線所成角為45°,求直線與平面所成角的正弦值.20.已知焦點(diǎn)為的拋物線與圓心在坐標(biāo)原點(diǎn),半徑為的交于兩點(diǎn),且,其中均為正實(shí)數(shù).(1)求拋物線及的方程:(2)設(shè)點(diǎn)為劣弧上任意一點(diǎn)，過作的切線交拋物線于兩點(diǎn),過的直線均與拋物線相切,且兩直線交于點(diǎn),求點(diǎn)的軌跡方程.21.已知函數(shù),其中為常數(shù),...是自然對(duì)數(shù)的底數(shù).(1)設(shè),若函數(shù)在區(qū)間上有極值點(diǎn),求實(shí)數(shù)的取值范圍;(2)若,且證明:恒成立.請(qǐng)考生在22、23兩題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一題記分.22.選修44：坐標(biāo)系與參數(shù)方程在平面直角坐標(biāo)系中,已知曲線的參數(shù)方程為，(為參數(shù)),直線的參數(shù)方程為（為參數(shù),為實(shí)數(shù)),直線與曲線交于兩點(diǎn).(1)若,求的長(zhǎng)度;(2)當(dāng)面積取得最大值時(shí)(為原點(diǎn)),求的值.23.選修45：不等式選講設(shè)函數(shù).(1)若不等式的解集為非空集合,求實(shí)數(shù)的取值范圍;(2)若,證明:恒成立.2018年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試模擬試題理數(shù)(四)一、選擇題15:BDDCA610:CBACB11、12：CB二、填空題13.1【解析】由偶函數(shù)的定義,得,即，即恒成立,因此.14.【解析】由題意,，故,所以==，則.15.12【解析】設(shè)選手獲得一等獎(jiǎng)、二等獎(jiǎng)、三等獎(jiǎng)分別用表示獲得的獎(jiǎng)次，其中表示未獲獎(jiǎng).若說謊，則;若說謊，則,共計(jì)9種情形;若說謊,則若說謊,則,綜上共計(jì)12種情形.16.【解析】設(shè),連接并延長(zhǎng)交于,此時(shí)為的中點(diǎn)，故,所以,由,其中可知三點(diǎn)共線，則存在實(shí)數(shù)使得,即得消去參數(shù)得,又=,因?yàn)?，故，，?,即面積之比的取值范圍為三、解答題17.解:(1)因,由正弦定理得.即,故，因?yàn)?所以.又,所以.(2)在中,=,解得.在中,=.即,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào).故.所以,所以四邊形的周長(zhǎng)的最大值為.18.解:(1)由題意,故,由得,則.當(dāng)時(shí),,所以預(yù)測(cè)該企業(yè)2017年7月份的市場(chǎng)份額為23%.(2)①設(shè)企業(yè)每天虧損約為200萬元為事件,平均每天收入約達(dá)到400萬元為事件,平均每天收入約達(dá)到700萬元為事件,則.故的分布列為2004007000.10.20.7所以(萬元).②由①知,未來連續(xù)三天該企業(yè)收入不低于1200萬元包含五種情況，則.所以該企業(yè)在未來連續(xù)三天總收入不低于1200萬元的概率為0.876.19.解:(1)因四邊形為矩形,則.又平面⊥平面,平面平面,則⊥平面.又平面,故.又,故.取的中點(diǎn),連接,在直角梯形中，由題意可知,故,所以.又,故⊥平面.又平面,所以.(2)由(1)知兩兩垂直,以為原點(diǎn)，為軸正方向建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè),則,.故因直線與直線所成角為45°,故，解得.設(shè)直線與平面所成的角為,平面的一個(gè)法向量為,則，故則,故故直線與平面所成角的正弦值為.20.解:(1)由題意，,故.所以拋物線的方程為.將代入拋物線方程,解得,因此,故.的方程為.(2)設(shè),,設(shè)則由得,令,解得故,同理.則由解得因直線.則由得,則因此故代入,得,整理得.又,故,所以動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程為,21.解:(1)由題意,,則,由題意,若在上有極值點(diǎn)，則在上有變號(hào)零點(diǎn).令,即,設(shè)故，則又,即.故若函數(shù)在上有極值點(diǎn)，只需則,所以的取值范圍為.(2)由題意,要證恒成立，即證恒成立.當(dāng)時(shí),由,知?jiǎng)t顯然成立;當(dāng)時(shí),,且,則.設(shè),則,當(dāng)時(shí)，,當(dāng)時(shí),,所以當(dāng)時(shí)，取得最大值所以.綜上,對(duì)任意.結(jié)論成立.22.解:(1)由（為參數(shù)）可得曲線的普通方程為.由直線的參數(shù)方程為(為參數(shù)）可知直線普通方程為.由，得故=所以的長(zhǎng)度為(2)由直線的參數(shù)方程為(為參數(shù),為實(shí)數(shù)),可知直線過定點(diǎn),經(jīng)驗(yàn)證該點(diǎn)在橢圓上