數(shù)值分析 課件ch3-函數(shù)逼近

函數(shù)逼近與計(jì)算03Chapter3.1引言3.1引言本章繼續(xù)討論用簡(jiǎn)單函數(shù)近似代替較復(fù)雜函數(shù)的問(wèn)題.上章提到的插值就是近似代替的方法之一,插值的近似標(biāo)準(zhǔn)是在插值點(diǎn)處誤差為零.但在實(shí)際應(yīng)用中,有時(shí)不要求具體某些點(diǎn)誤差為零,而要求考慮整體的誤差限制,這就引出了擬合和逼近的概念.對(duì)離散型函數(shù)(即數(shù)表形式的函數(shù))考慮數(shù)據(jù)較多的情況.若將每個(gè)點(diǎn)都當(dāng)作插值節(jié)點(diǎn),則插值函數(shù)是一個(gè)次數(shù)很高的多項(xiàng)式,比較復(fù)雜.而且由于龍格振蕩現(xiàn)象,這個(gè)高次的插值多項(xiàng)式可能并不接近原函數(shù).同時(shí)由于數(shù)表中的點(diǎn)一般是由觀察測(cè)量所得,往往帶有隨機(jī)誤差,要求近似函數(shù)過(guò)所有的點(diǎn)既不現(xiàn)實(shí)也不必要.3.1引言3.1引言目標(biāo)函數(shù)集合簡(jiǎn)單函數(shù)集合

3.1引言何為”逼近”?如何逼近？無(wú)窮范數(shù)：

平方范數(shù)：

一致逼近平方逼近3.1引言存在性▲1834年入波恩大學(xué)學(xué)習(xí)法律和財(cái)政?！?/p>

1842～1856年，中學(xué)教師?！?/p>

1856年柏林科學(xué)院，1864年升為教授?！?/p>

1854年解決了橢圓積分的逆轉(zhuǎn)問(wèn)題，引起數(shù)學(xué)界的重視?！?/p>

1856年解決了橢圓積分的雅可比逆轉(zhuǎn)問(wèn)題，建立了橢圓函數(shù)新結(jié)構(gòu)的定理，一致收斂的解析函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的和函數(shù)的解析性的定理，圓環(huán)上解析函數(shù)的級(jí)數(shù)展開(kāi)定理等。3.1引言存在性

3.1引言存在性

3.1引言存在性

3.2最佳一致逼近多項(xiàng)式3.2最佳一致逼近多項(xiàng)式

即

使得

3.2最佳一致逼近多項(xiàng)式1、Chebyshev給出如下概念

3.2最佳一致逼近多項(xiàng)式2、Chebyshev得到如下結(jié)論

3.2最佳一致逼近多項(xiàng)式以最佳一次逼近多項(xiàng)式為例

3.2最佳一致逼近多項(xiàng)式以最佳一次逼近多項(xiàng)式為例

得

3.2最佳一致逼近多項(xiàng)式求解最佳一次一致逼近多項(xiàng)式步驟

3.2最佳一致逼近多項(xiàng)式

由

得

即

解因此

所求一次最佳逼近多項(xiàng)式為3.2最佳一致逼近多項(xiàng)式Matlab程序x=0:0.1:1;y1=sqrt(1+x.*x);y2=0.414*x+0.955;plot(x,y1);holdonplot(x,y2);3.2最佳一致逼近多項(xiàng)式

由

得

解因此

所求一次最佳逼近多項(xiàng)式為

3.3最佳平方逼近3.3最佳平方逼近定義內(nèi)積

記內(nèi)積則稱內(nèi)積的定義

關(guān)于內(nèi)積、范數(shù)的詳盡內(nèi)容可參見(jiàn)《高等代數(shù)》或《線性代數(shù)》等相關(guān)書(shū)籍。3.3最佳平方逼近

即一般的最佳平方逼近問(wèn)題

3.3最佳平方逼近

多元函數(shù)求極值令

則

即3.3最佳平方逼近

得

即

3.3最佳平方逼近如果取

則希爾伯特矩陣3.3最佳平方逼近顧最佳平方逼近函數(shù)計(jì)算步驟

(1)確定

3.3最佳平方逼近

解：則

由法方程

解得

3.3最佳平方逼近3.3最佳平方逼近如果令

即

則解得

從而3.3最佳平方逼近3.3最佳平方逼近

解得

所以

解得

所以

3.3最佳平方逼近

正交多項(xiàng)式函數(shù)系

3.3最佳平方逼近

解

3.4正交多項(xiàng)式3.4正交多項(xiàng)式

正交函數(shù)族

若內(nèi)積

例如，三角函數(shù)族1,cosx,sinx,cos2x,sin2x,…就是在區(qū)間[-π,π]上的正交函數(shù)族。3.4正交多項(xiàng)式正交多項(xiàng)式定義

3.4正交多項(xiàng)式勒讓德多項(xiàng)式

勒讓德多項(xiàng)式有下述幾個(gè)重要性質(zhì)：

性質(zhì)1.正交性

3.4正交多項(xiàng)式勒讓德多項(xiàng)式性質(zhì)3.遞推關(guān)系

3.5曲線擬合的最小二乘法3.5曲線擬合的最小二乘法引例：考察某種纖維的強(qiáng)度y與其拉伸倍數(shù)x的關(guān)系，下表是實(shí)際測(cè)定的24個(gè)纖維樣品的強(qiáng)度與相應(yīng)的拉伸倍數(shù)的記錄:

3.5曲線擬合的最小二乘法纖維強(qiáng)度隨拉伸倍數(shù)增加而增加并且24個(gè)點(diǎn)大致分布在一條直線附近

必須找到一種度量標(biāo)準(zhǔn)來(lái)衡量什么曲線最接近所有數(shù)據(jù)點(diǎn).3.5曲線擬合的最小二乘法常見(jiàn)做法：

太復(fù)雜

不可導(dǎo)，求解困難

最小二乘法

3.5曲線擬合的最小二乘法

一般的曲線擬合問(wèn)題

注：更一般地，考慮加權(quán)平方和

3.5曲線擬合的最小二乘法

多元函數(shù)求極值令

則

即

3.5曲線擬合的最小二乘法

得

即

離散點(diǎn)標(biāo)號(hào)基函數(shù)標(biāo)號(hào)3.5曲線擬合的最小二乘法

3.5曲線擬合的最小二乘法

ixiyilnyixi2xjlnyi01.005.101.6291.00001.62911.255.791.7561.56252.19521.506.531.8762.25002.81431.747.452.0083.06253.51442.008.462.1354.00004.270

3.5曲線擬合的最小二乘法

3.5曲線擬合的最小二乘法S*1(x)=1.6238+3.365953xS*2(x)=