正弦定理、余弦定理（8題型分類）-2025年高考數(shù)學一輪復(fù)習（原卷版）

專題21正弦定理、余弦定理7題型分類

彩題如工總

彩先例寶庫

i.正弦定理、余弦定理

在AABC中，若角A,B,C所對的邊分別是a,b,c,R為△ABC外接圓半徑，則

定理正弦定理余弦定理

=廬+02-22CCOSA;

a_____b_____c___

內(nèi)容sinA_sinB-sinC~2R廬=。2+〃2-2。加05B;

/=層+62-2〃/7cosC

(l)a=2EsinA,

b=2RsinB,

〃+，一/

c=22sinC；cosA—2bc；

a

(2)sinA=2^,c2+tz2—/?2

變形cosB-2ac；

bc

sinB=2R,sinC=層+一—。2

cosC~lab

(3)。：b：c

=sinA:sin3：sinC

2.三角形解的判斷

A為銳角A為鈍角或直角

Cccc

圖形

薩一射

ABAA，B

關(guān)系式〃=bsinAbsinA<a<ba,ba>b

解的個數(shù)一解兩解一解一解

3.三角形中常用的面積公式

(1)5=%兒(總表示邊〃上的高)；

(2)S=T〃bsinC=；〃csinB=^bcsinA；

(3)S=；r(〃+/?+c)(r為三角形的內(nèi)切圓半徑).

4.在△ABC中，常有以下結(jié)論：

(1)ZA+ZB+ZC=K.

(2)任意兩邊之和大于第三邊，任意兩邊之差小于第三邊.

(3)6Z>/?<4A>B<4sinA>sinB,cosA<cosB.

,???.A+BCA+B.C

(4)sin(A+B)=sinC；cos(A+B)=_cosC；tan(A+B)=_tanC；sin--=cosy；cos-,-=sin,

⑸三角形中的射影定理

在AA3c中，a=bcosC+ccosB；b=acosC+ccosA；c=/?cosA+tzcosB.

(6)三角形中的面積Sp(p—a)(p—b)(p—c^p=^a+/?+c)\

5.測量中的幾個有關(guān)術(shù)語

術(shù)語名稱術(shù)語意義圖形表示

在目標視線與水平視線（兩者在同一鉛垂目標

/視線

鉛的角水平

平面內(nèi)）所成的角中，目標視線在水平視線垂

仰角與俯角線道南一視線

上方的叫做仰角，目標視線在水平視線下、目標

方的叫做俯角視線

從某點的指北方向線起按順時針方向到北

35。東

方位角目標方向線之間的夾角叫做方位角.方位

角。的范圍是0°W8<360。

北

正北或正南方向線與目標方向線所成的

方向角例：（1）北偏東a：

銳角，通常表達為北（南）偏東（西）a北|

（2）南偏西a：/al

坡面與水平面所成的銳二面角叫坡角（。

為坡角）;坡面的垂直高度與水平長度之比

坡角與坡比

、,h

叫坡比（坡度），即i=7=tan。XI

彩得題被籍

（一）

利用正弦定理、余弦定理解三角形

解三角形時，如果式子中含有角的余弦或邊的二次式，要考慮用余弦定理；如果式子中含有角的正弦或邊

的一次式，則考慮用正弦定理，以上特征都不明顯時，則要考慮兩個定理都有可能用到.

題型1:利用正弦定理、余弦定理解三角形

1-1.（2024?天津）在ABC中，角A,8,C所對的邊分別是°,瓦c.已知〃=風力=2,44=120.

⑴求sinB的值；

（2）求c的值；

（3）求sin（B-C）的值?

JrSir

1-2.（2024高三上,江西贛州,期中）在ABC中，角A,8,C所對的邊分別為a也c,若。=4,A=；,C=?,

412

貝回（）

A.2A/3B.2石C.2A/6D.6

1-3.（2024?河南?三模）在ABC中，角A,B,C的對邊分別為a,6,c,若sinA=sinBcosC且c=2有，A=~,

6

則,；+“.』（）

smC+smA

A.8A/3B.4A/3C.8D.4

彩健題海籍

（二）

正弦定理、余弦定理的簡單應(yīng)用

1.判斷三角形形狀的兩種思路

（1）化邊：通過因式分解、配方等得出邊的相應(yīng)關(guān)系，從而判斷三角形的形狀.

（2）化角：通過三角恒等變換，得出內(nèi)角的關(guān)系，從而判斷三角形的形狀.此時要注意應(yīng)用A+8+C=TC這

個結(jié)論.

2.三角形面積公式的應(yīng)用原則

（1）對于面積公式S=；a6sinC=^flcsinB=^csinA,一般是已知哪一個角就使用哪一個公式.

（2）與面積有關(guān)的問題，一般要用到正弦定理或余弦定理進行邊和角的轉(zhuǎn)化.

3.在平面幾何圖形中研究或求與角有關(guān)的長度、角度、面積的最值、優(yōu)化設(shè)計等問題時，通常是轉(zhuǎn)化到三角

形中，利用正、余弦定理通過運算的方法加以解決.在解決某些具體問題時，常先引入變量，如邊長、角

度等，然后把要解三角形的邊或角用所設(shè)變量表示出來，再利用正、余弦定理列出方程，再解方程即可.若

研究最值，常使用函數(shù)思想.

題型2:三角形的形狀判斷

2-1.（2024高三?全國?專題練習）在.ABC中，設(shè)命題p：=命題g：鉆。是等邊三角

sinCsinAsmB

形，那么命題p是命題4的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

2-2.（2024?甘肅酒泉?三模）在tABC中內(nèi)角A,B,C的對邊分別為"c,若J=smAcos8,貝汁45c的形

bsinBcosA

狀為（）

A.等腰三角形B.直角三角形

C.等腰直角三角形D.等腰三角形或直角三角形

2-3.（2024?四川綿陽?三模）在ASC中，角A,B,C的對邊分別為。，b,c,且c-bcosA<0,則ABC

形狀為（）

A.銳角三角形B.直角三角形

C.鈍角三角形D.等腰直角三角形

2-4.（2024高一下,江蘇蘇州?期中）在ASC中，若處2里==0s貝|至。的形狀為（）

c-cosB1-coszC

A.等腰三角形B.直角三角形

C.等腰直角三角形D.等腰三角形或直角三角形

2-5.（2024高一下?陜西西安?期中）設(shè)ABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,若〃=°2十〃一8,

且sinA=2sinC,貝UABC的形狀為（）

A.銳角三角形B.直角三角形

C.鈍角三角形D.等腰三角形

題型3：三角形的面積、周長

3-1.（2024高三上?廣東?期末）在ABC中，內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,且

2若acsin3=（a+6+c）（a+b-c）.

⑴求角C的大??；

（2）若a+b=7,TlfiC的面積為2vL求的周長.

3-2.（2024?全國）記ABC的內(nèi)角A氏C的對邊分別為a也c,已知'匯"一二二2.

cosA

⑴求be；

,iacosB-bcosAb,…工，

⑵若——二一r-―=1，求一ABC面積?

QCOSI?+bcosAc

3-3.（2024?浙江）在，ABC中，角A,B,C所對的邊分別為a,b,c.已知4a=&c,cosC=《.

⑴求sinA的值；

⑵若5=11,求ABC的面積.

IT

3-4.（2024高三下?重慶沙坪壩?階段練習）在ASC中，。為3C上的中點，滿足/54￡>+/4?3=萬.

⑴證明：ABC為等腰三角形或直角三角形；

⑵若角A為銳角，E為邊AC上一點，AE=2EC,BE=2,BCf,求ABC的面積.

3-5.（2024?北京）在，ABC中，a+b^ll,再從條件①、條件②這兩個條件中選擇一個作為己知，求:

（0）a的值：

（回）sinC和ABC的面積.

條件①：c=7,cosA=-y；

條件②：cosA=:，cos3=2.

816

注：如果選擇條件①和條件②分別解答，按第一個解答計分.

3-6.(2024?全國)在.ABC中，已知/BAC=120。，AB=2,AC=1.

⑴求sin/ABC；

(2)若D為BC上一點，且/54D=90。，求△ADC的面積.

3-7.(2024?吉林長春?模擬預(yù)測)已知；ABC中角AB,C的對邊分別為"c,acosC+^asinC-b-c=0.

⑴求A；

(2)若°=加，且，ASC的面積為3相，求；ASC周長.

題型4:正弦定理、余弦定理的綜合應(yīng)用

4-1.(2024?全國)記ABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,已知sinCsin(A-3)=sin3sin(C-A).

⑴若A=23,求C；

(2)證明:2/=/+。2

4-2.(2024?重慶?三模)已知ASC的內(nèi)角A、B、C的對邊分別為。、b、c,sin(A-B)tanC=sinAsinB.

22

⑴求k

2

(2)若cos5=1,求sinA.

4-3.(2024?全國?三模)已知a,b,c分別為ABC的內(nèi)角A,B,C的對邊，a2+c2=ac^cos2y-sin2.

(1)求證：a,b,c成等比數(shù)列；

(2)若/in",=3,求cosB的值.

sinA+sinC4

題型5:與平面幾何有關(guān)的問題

5-1.(2024高三上?北京豐臺?期末)在團ABC中，a=&,A=y.

⑴求C的大小；

(2)在下列三個條件中選擇一個作為已知，使ABC存在且唯一確定，并求出AC邊上的中線的長度.

條件①：a=2b-,條件②：團ABC的周長為4+2g；條件③：回ABC的面積為百.

注：如果選擇的條件不符合要求，第（2）問得0分；如果選擇多個符合要求的條件分別解答，按第一個解

答計分.

52（2024?全國?模擬預(yù)測）在，ABC中，內(nèi)角所對的邊分別為凡瓦c,已知

A

cos28cos2c+1-2cos72一=sin2Bsin2C.

2

⑴求A的值；

（2）若ASC的面積為3百,a=2而,。為邊BC的中點，求AD的長.

5-3.（2024?湖南株洲?一模）在1fAec中，BC=245,點。在邊上，且N3CD為銳角，CD=2,△BCD

的面積為4.

⑴求cosNBCD的值；

（2）若A=30。，求邊AC的長.

5-4.（2024?全國）在一ABC中，ABAC=60°,AB=2,BC=>/6,/B4c的角平分線交BC于，則AD=.

5-5.（2024?全國）如圖，在三棱錐P-ABC的平面展開圖中，AC=1,AB=AD=出,AB^\AC,AB^AD,13cAE=30。，

貝（Jcos0FCB=.

彩偏甄秘籍,=）

解三角形的應(yīng)用舉例

解三角形的應(yīng)用問題的要點

（1）從實際問題抽象出已知的角度、距離、高度等條件，作為某個三角形的元素.

（2）利用正弦、余弦定理解三角形，得實際問題的解.

題型6:測量距離問題

6-1.（2024?山東濟南?三模）山東省科技館新館目前成為濟南科教新地標（如圖1）,其主體建筑采用與地形

吻合的矩形設(shè)計，將數(shù)學符號"切"完美嵌入其中，寓意無限未知、無限發(fā)展、無限可能和無限的科技創(chuàng)新.如

圖2,為了測量科技館最高點A與其附近一建筑物樓頂B之間的距離，無人機在點C測得點A和點B的俯

角分別為75。，30。，隨后無人機沿水平方向飛行600米到點D,此時測得點A和點B的俯角分別為45。和60。

（A,B,C,。在同一鉛垂面內(nèi)），貝UA,8兩點之間的距離為米.

（圖1）

6-2.（2024高三上?安徽阜陽?期中）一游客在A處望見在正北方向有一塔8,在北偏西45。方向的C處有一

寺廟，此游客騎車向西行1km后到達。處，這時塔和寺廟分別在北偏東30。和北偏西15°,則塔3與寺廟C的

距離為km.

6-3.（2024高一下?湖北省直轄縣級單位?期末）如圖，為了測量AC兩點間的距離，選取同一平面上的8,

。兩點，測出四邊形ABCD各邊的長度（單位：km）：AB=5,BC=8,CD=3,D4=5,且四

題型7:測量高度問題

7-1.（2024高三上?山東東營?階段練習）如圖，一條巡邏船由南向北行駛，在A處測得燈塔底部C在北偏東

15。方向上，勻速向北航行20分鐘到達8處，此時測得燈塔底部C在北偏東60。方向上，測得塔頂尸的仰角

為60。，已知燈塔高為26km.則巡邏船的航行速度為km/h.

p

7-2.（2024?重慶?模擬預(yù)測）如圖，某中學某班級課外學習興趣小組為了測量某座山峰的高度，先在山腳A處

測得山頂C處的仰角為60。，又利用無人機在離地面高300m的M處（即Affi>=300m）,觀測到山頂C處的

仰角為15。，山腳A處的俯角為45。，則山高3C=m.

C

DAB

7-3.（2024?貴州黔東南?模擬預(yù)測）中國古代數(shù)學名著《海島算經(jīng)》記錄了一個計算山高的問題（如圖1）:

今有望海島，立兩表齊，高三丈，前后相去千步，令后表與前表相直.從前表卻行一百二十三步，人目著地

取望島峰，與表末參合.從后表卻行百二十七步，人目著地取望島峰，亦與表末參合.問島高及去表各幾何？

假設(shè)古代有類似的一個問題，如圖2,要測量海島上一座山峰的高度立兩根高48丈的標桿8c和DE,

兩竿相距81）=800步，D,B,H三點共線且在同一水平面上，從點8退行100步到點「此時A,C,F三

點共線，從點。退行120步到點G,此時A,E,G三點也共線，則山峰的高度A8=步.（古制單位:180

丈=300步）

圖I圖2

74（2024高三?全國?專題練習）為了培養(yǎng)學生的數(shù)學建模和應(yīng)用能力，某校數(shù)學興趣小組對學校雕像“月

亮上的讀書女孩"進行測量，在正北方向一點測得雕塑最高點仰角為30。，在正東方向一點測得雕塑最高點

仰角為45。，兩個測量點之間距離約為4小米，則雕塑高為

7-5.（2024?全國?模擬預(yù)測）山西應(yīng)縣木塔（如圖1）是世界上現(xiàn)存最古老、最高大的木塔，是中國古建筑

中的瑰寶，是世界木結(jié)構(gòu)建筑的典范.如圖2,某校數(shù)學興趣小組為測量木塔的高度，在木塔的附近找到一

建筑物48,高為米，塔頂尸在地面上的射影為。，在地面上再確定一點C（B,C,O三點共線），

測得約為57米，在點AC處測得塔頂尸的仰角分別為30。和60。，則該小組估算的木塔的高度為

米.

圖1圖2

題型8：測量角度問題

8-1.（2024高三下?福建廈門?期中）足球是一項很受歡迎的體育運動.如圖，某標準足球場的B底線寬AB=72

碼，球門寬歷=8碼，球門位于底線的正中位置.在比賽過程中，攻方球員帶球運動時，往往需要找到一

點尸，使得NEPF最大,這時候點尸就是最佳射門位置.當攻方球員甲位于邊線上的點。處

=時，根據(jù)場上形勢判斷，有。4、兩條進攻線路可供選擇.若選擇線路08,則甲帶

球碼時，到達最佳射門位置.

8-2.（2024高一?全國?專題練習）當太陽光線與水平面的傾斜角為60時，一根長為2m的竹竿，要使它的影

子最長，則竹竿與地面所成的角&=.

8-3.（2024高三?全國?專題練習）游客從某旅游景區(qū)的景點A處至景點C處有兩條線路.線路1是從A沿直

線步行到C,線路2是先從A沿直線步行到景點8處，然后從2沿直線步行到C.現(xiàn)有甲、乙兩位游客從A

煉習與桎升

一、單選題

1.（2024?全國）在，ABC中，內(nèi)角A,B,C的對邊分別是，若acos3—&cosA=c,且C=￡,貝UNB=（

71713兀2兀

A.—B.一C.—D.—

105105

2.（2024高三上?甘肅白銀?開學考試）a,b,。分別為二ABC內(nèi)角A,B,。的對邊.已知〃=4,

absmAsinC=csinB,貝/ABC外接圓的面積為（）

A.16萬B.647rC.1287rD.256〃

3.（2024高三上?甘肅蘭州?期中）△ABC的三個內(nèi)角A,B,。所對的邊分別為mb,c,若

b

tzsinAsinB+Z?cos2A=yj3a,則一=（）

a

A.正B.73C.20D.2石

4.（2024高三上嚀夏?期中）在ASC中，內(nèi)角A,B,C所對的邊分別是a,b,c.若a=2b,則2s"2：siir4

sinA

的值為（）

5.（2024?湖南?模擬預(yù)測）0A8C的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,已知6cosA=a（道-cosB）,a=2,

則c=（）

C.20D.2出

6.（2024?內(nèi)蒙古?一模）已知一ABC的內(nèi)角A,B,C所對的邊分別為“力,c滿足"+o2一/=/且°=右，則

D.2A/3

sinBsinC

7.（2024高三上?河南?階段練習）在AABC中，角A,氏C的對邊分別為a也c,若tanA=—一

sin2B+sin2C-sin2A

則4=

8.(2024高二上?湖南長沙?開學考試)設(shè)AABC中，角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,若sinA=sin8,

且c2=2q2(l+sinC),則C=()

兀n兀3n

A.—B.—C.—D.—

6434

9.(2024高三?重慶渝中?階段練習)在AABC中，角A,B,C的對邊分別為mb,c,a2+b2=3c2,則

111/、

----------1----------------------()

tanAtanBtanC

A.0B.1C.2D.g

10.(2024?陜西?一模)在2Ase中，角AB,C的對邊分別為a,b,c,且孚+堊0=2空，則》的值

B.6

11.（2024高一下?山西?階段練習）已知ABC的三個內(nèi)角A,B,C所對的邊分別為a,4c.若

sin2A+csinA=sinAsinB+Z?sinC,則該三角形的形狀一定是（）

A.鈍角三角形B.直角三角形C.等腰三角形D.銳角三角形

12.（2024高一下?甘肅白銀?階段練習）設(shè)ABC的內(nèi)角A,B,C所對的邊分別為。，b,c,若

a2cosAsin5="sinAcos氏則,..ABC的形狀為（）

A.等腰三角形B.等腰三角形或直角三角形

C.直角三角形D.銳角三角形

13.（2024高三上?北京?階段練習）設(shè)，ABC的內(nèi)角A,B,C所對的邊分別為。，b,c,若

a2cosAsin8=片sinAcos3,貝1]ABC的形狀為（）

A.等腰直角三角形B.直角三角形

C.等腰三角形或直角三角形D.等邊三角形

14.（2024?河南南陽?二模）ABC是單位圓的內(nèi)接三角形，角A,B,C的對邊分別為“，6,。，且

a2+b2—c2=4a2cosA—2accosB,則。等于（）

A.2B.272C.V3D.1

15.（2024?北京）在ABC中，（a+c）（sinA-sinC）=6（sinA-sin3）,則NC=（）

7C7L2兀5兀

A.lB.一C.—D.—

6336

16.（2024?青海?模擬預(yù)測）在ABC中，內(nèi)角A,B,C所對應(yīng)的邊分別是a,b,c,若ABC的面積是

,則（）

4

兀27r兀5兀

A.—B.—C.—D.—

3366

17.（2024?貴州?模擬預(yù)測）AfiC中，角A,B,C的對邊分別是a,4c,A=60°,a=g.若這個三角形有兩

解，則b的取值范圍是（）

A.y/3<b<2B.y/3<b<2

C.l<b<2-y/3D.l<b<2

18.（2024高二?全國?課后作業(yè)）在0ABe中，67=18,b=24,EL4=45°,此三角形解的情況為（）

A.一個解B.二個解C.無解D.無法確定

19.（2024高三上?河南南陽?期中）在一..ABC中，C=30。，b=也,。=不若滿足條件的A5C有且只有一

個，則x的可能取值是（）

A.三B.且C.1D.G

22

20.（2024?江蘇南通?模擬預(yù)測）在，ABC中，內(nèi)角A,8,C所對的邊分別為。力,c,則下列條件能確定三角形

有兩解的是（）

A.a=5,b=4,A=—

6

.,_.7C

B.a=4,b=5,A=一

4

C.〃=5,Z?=4,A=—

6

.,_.TC

D.tz=4,Z?=5,A=一

3

2L（2024高三上,北京?開學考試）在下列關(guān)于ABC的四個條件中選擇一個，能夠使角A被唯一確定的是:

①sinA=；

②cosA=_g；

③cosB=-；,/?=3a；

④NC=45,b=2,c=G

A.①②B.②③C.②④D.②③④

22.（2024?江西?二模）設(shè)在,ABC中，角A、B、C所對的邊分別為a,b,c,若滿足。=6,6=加,3=鄉(xiāng)的

不唯一，則相的取值范圍為（）

（0,回

23.（2024高一下?天津?期中）在ABC中，a=2,B=g若該三角形有兩個解，則匕邊范圍是（）

O

A.（2,4）B.（V3,4）C.（V3,2）D.（1,2）

24.（2024高一下?重慶沙坪壩?階段練習）若滿足NA8C=丁,AC=6,BC=左的ABC恰有一個，則實數(shù)k的

4

取值范圍是（）

A.（0,6]B.（0,6]{6直}C.{6,6點}D.（6,6&）

25.（2024高三?全國?對口高考）在ABC中，若AB.BC=-2，且48=60°,貝UABC的面積為（）

A.2后B.73C.立D.76

2

TT

26.（2024,河南?模擬預(yù)測）在ABC中，內(nèi)角A,B,C所對的邊分別為。，b,c,ZBAC=-,D為BC

上一點，BD=2DC,AD=BD=—,貝h.ABC的面積為（）

2

A3GR9指「9/R9>/3

3281632

ccqRh

27.（2024?四川成都?模擬預(yù)測）在ABC中，a,b,c分別為角A,B,C的對邊，已知典￡=

cosC2a-c

S^ABC-~~~，且b=百，則（）

A.sinC=—B.cosB=C.〃+c=2石D.a+c=3y/~2

22

2

28.（2024?全國）在MBC中，cosC=-,AC=4,BC=3,貝！JtanB二（）

A.V5B.2V5C.46D.875

29.（2024高一下?浙江溫州,期中）ABC的內(nèi)角A,5,C的對邊分別為〃，b,c,若ABC的面積為

「，則小

7171

A.-B.一

2

30.（2024,山東）在ABC中，內(nèi)角A,B,3的對邊分別是。，》，。，若片+/=廿+absinC且asin3cosc+

csinBcosA=——b,貝！JtanA等于（）

2

?-1一1-1

A.3B.—C.3或—D.-3或一

333

31.（2024?全國）在ABC中，已知3=120。，AC=V19,AB=2,則BC=（）

A.1B.y/2C.6D.3

32.（2024高三上?內(nèi)蒙古呼和浩特?期末）在ABC中，AD為—A的角平分線，D在線段3C上，若|AB|=2,

|例=|4。=1,則忸4=（）

A.—B.72C.2D.

22

33.（2024高三上?浙江寧波?期末）在四面體A5CD中，AB=g,AD=BC=1,CD=46,且

IT

ZBAD=ZABC=~,則該四面體的外接球表面積為（）

7「

A.一兀B.7兀C.8兀D.10兀

2

34.（2024?全國?模擬預(yù)測）已知二ABC中，AC=1,AB=2,BC=y/3,在線段AB上取一點連接CM,

如圖①所示.將"皿沿直線CM折起，使得點A到達H的位置，此時BCM內(nèi)部存在一點N,使得A'N,

平面8cM,NC=，，如圖②所示，則AM的值可能為（）

圖①圖②

234

A.—B.—C.-D.1

555

35.（2024,四川巴中，~模）在ABC中，2cos2A—cosA=2cos2B+2cos2C—2+cos（i3—,則A=（）

兀7i2兀5兀

A.-B.-C.—D.—

6336

o3

36.（2024?陜西安康?一模）在ABC中，角A,B,。的對邊分別為。，b,c,若cosA=^,cosB=-,且

ABC外接圓的周長為10%則.ABC的周長為（）

360440

A.20B.C.27D.------

1717

37.（2024,內(nèi)蒙古赤峰?二模）在，ABC中，內(nèi)角A,B,C所對的邊分別是。，b,c,已知

ccosB+bcosC=2acosA,a-2,ABC的面積為代，貝！IABC的周長是（）

A.4B.6C.8D.18

二、填空題

38.（2024高三上,江西?期末）在.ABC中，內(nèi)角A,B,C所對的邊分別是a,b,c,cosB=-,且，ABC的

4

周長和面積分別是10和271?,則6=.

39.（2024?廣東肇慶?模擬預(yù)測）在四面體P—ABC中，BPYPC,ZBAC=6Q,若BC=2,則四面體P-ABC

體積的最大值是,它的外接球表面積的最小值為.

40.（2024高三上?山東棗莊?期末）已知圓錐的頂點為尸，底面圓心為。,48為底面直徑，ZAPB=120,點

C為底面圓周上的一個動點，當AR4c的面積取得最大值時，sinZAOC=.

41.（2024高三?全國?專題練習）在ASC中，a,b,。分別為內(nèi)角A,B,C的對邊，ASC的面積是30,

12

cosA=—.若c-6=],貝!|a=.

42.（2024?四川攀枝花?二模）ABC的內(nèi)角A、B、C的對邊分別為a、b、c,且巴出二￡_一^csinB=a,

2a

則3=.

43.（2024高三上?江蘇無錫?階段練習）設(shè)。力,c分別為0ABe內(nèi)角ABC的對邊，若3=CwA,且

a（b2+c2-a2）=b2c,則角A=.

三、解答題

44.（2024高三下?河北唐山?階段練習）在1aAsc中，角A,B,C所對的邊分別為b,c,

absinAabsinB

—；---1----；---=ci2+b2—c2.

2sinB2sinA

TT

⑴求證：0<C<-；

⑵若一--=--—I—--,求cosA.

tanBtanAtanC

45.（2024?山東濱州?二模）已知上ABC的三個角A,B,C的對邊分別為8,。，且

2cos（B-C）cosA+cos2A=1+2cosAcos（B+C）.

⑴若區(qū)=C,求A；

⑵求的值.

a

46.（2024?天津武清?模擬預(yù)測）在ABC中，角A,B,C所對的邊分別為。，b,c,已知csin01C=asinC

⑴求角A的大小；

（2）若6=1,sin3=@,求邊。及cos（2B+A）的值.

7

47.（2024?山西臨汾?一模）記ABC的內(nèi)角4民。的對邊分別為a,0,c,已知acosb=0（l+cosA）.

（1）證明：A=2B；

（2）若c=2"〃=石，求ABC的面積.

48.（2024?河南?模擬預(yù)