指對運算（原卷版）-2025年天津高考數學一輪復習

第06講指對運算

（6類核心考點精講精練）

I他.考情探究?

1.5年真題考點分布

5年考情

考題示例考點分析

充分條件的判定及性質必要條件的判定及性質、比較指數塞的大小、判斷

2024年天津卷，第2題,5分

一般事函數的單調性

2024年天津卷，第5題,5分比較指數幕的大小、比較對數式的大小

2023年天津卷，第3題,5分比較指數幕的大小、比較對數式的大小

2022年天津卷，第5題,5分對數的運算、對數的運算性質的應用

2022年天津卷，第6題,5分比較指數幕的大小、比較對數式的大小

2021年天津卷，第5題,5分比較指數幕的大小、比較對數式的大小

2021年天津卷，第7題,5分運用換底公式化簡計算

2020年天津卷，第6題,5分比較指數幕的大小、比較對數式的大小

2.命題規(guī)律及備考策略

【命題規(guī)律】本節(jié)內容是天津高考卷的必考內容，設題穩(wěn)定，難度中檔，分值為5分

【備考策略】1.理解、掌握指對運算法則，能夠靈活運用指對互化

2.能掌握對數的換底公式

3.具備數形結合的思想意識，會借助函數圖進行比較大小的計算

【命題預測】本節(jié)內容是天津高考卷的必考內容，一般給出等式，做指對化簡計算，或者比較大小。

12?考點梳理，

1實.數指數幕運算法則｛考點一、根式與分數指數幕運算

C知識點一.指數運算2.分數指數鬲的意義與運算法則

3.兩個根號的區(qū)別

指對運算考點二、對數運算

1對.數與指數的關系考點三、指對運算綜合

知識點二.對數運算2.對數的基本性質考點四、指數函數中的條件等式

3.對數恒等式：考點五、指對等式比較大小

考點六、指對最值問題

知識講解

知識點一.指數運算

L實數指數事運算法則

(1)aras=ar+s(a>0,r,sGR).

⑵==?！?心。，乙eR)

ass

(3)(ar)s=Q(a>0,r,sGR).

(4)(abY=arbr(a>0,b>0,r￡R).

2.分數指數塞的意義與運算法則

m__m11

(1)。元沆，a~n=-^=—(其中a>0,m,T?￡N*,且刀>1).

anir7a

(2)0的正分數指數累等于0,0的負分數指數累沒有意義.

3.距瓦與(礪)”的區(qū)別

(1)府是實數心的〃次方根，是一個恒有意義的式子，不受〃的奇偶限制，但這個式子的值受〃的奇偶限

制.

其算法是對a先乘方，再開方(都是〃次)，結果不一定等于a,

當〃為奇數時，

__[a,己20,

當刀為偶數時，y/a^=Ia|=\

[—a,水0.

(2)(版)〃是實數a的〃次方根的〃次累，其中實數a的取值范圍由〃的奇偶決定.其算法是對a先開方，后

乘方(都是〃次)，結果恒等于a.

知識點二.對數運算

1.對數與指數的關系

當a>0,且a豐1.時，a*=A-x=Log/

2,對數的基本性質

(1)負數和零沒有對數，即N>0；

(2)logal=0(a>0,aWl)；

(3)logaa=1(a>0,aWl).

3.對數恒等式：

①/。斕=N(a>0且aAl,N>0)；②logaaN=N(a>0且aHl).

4.對數的運算法則

(1)如果a>0,且*1,M>0,N>0,那么：

n

loga(MN)=logaM+logaN；loga-=logaM-logaN；logaM=nlogaM(neR)；

(2)換底公式：九或=鬻5>0,且aWl；c>0,且cWl；b>0).

(3)可用換底公式證明以下結論：

?。成=六；

②log?,死=1；

③log"=loga；

④log"=爭。成；

⑤log：=-Io或.

a

考點一、根式與分數指數募運算

典例目闞

1.(2024?廣東?模擬預測)若孫=3,貝！lx

2.(2024高三?全國?專題練習)化簡下列各式:

11

(3)設％萬+為-5=3,則%+%T的值為

即0型測

1.(23-24高三上?北京豐臺?期末)已知/(久)=4X-4-x,則f(一｝+/(|)=

2.(23-24高三上?上海奉賢?階段練習)已知a>0,將區(qū)化為分數指數幕小形式，貝味=

3.（23-24高三上?上海閔行?期中）已知函數/（久）=百為，若實數m,n滿足27n+兀=3mn,且“?。?

則f（n）=.

4.（20-21高三上?天津濱海新?階段練習）計算：

⑴（V2xV3）6+（-2019）°一4xe）2+7（3-W）4

（2）log2.56.25+IgO.OOl+21nVe-21+10^3

考點二、對數運算

典例引領

1.（23-24高三上?天津和平?期末）計算31+1喧2+lg5+log32Xlog49xlg2的值為（）

A.5B.6C.7D.8

2.（2023?全國?模擬預測）求值：lg“27+109+727-10>/2）=.

即時性測

2

1.（全國?高考真題）已知函數/（%）=log2（x+a）,若/⑶=1,則a=.

2.（2024?全國?模擬預測）在等差數列｛a九｝中，已知的與是方程2%2一%+m=0的兩根，則

?log4（a1+a2H—ban）

=（）

A.也B.2C.旦D.U

111142

3.（2024?北京?三模）使Iga+Igb=lg（a+6）成立的一組a,b的值為a=,b=.

4.（22-23高三上?天津靜海?期末）lg4+lg25+晟x遮=

5.（23-24高三上?山東?階段練習）己知1,2,2,2,3,4,5,6的中位數是a,第75百分位數為6,則

lg4+lga+（l^）2"=---------------

考點三、指對運算綜合

典例引領

1.（2023?北京?高考真題）已知函數/（久）=#+log2x,則/@.

2.（2024?全國?三模）若a〉1,貝必叱坨。）—（館外坨。的值是（）

A.零B.正數C.負數D.以上皆有可能

即時檢測

1.（2024?廣東?二模）已知正實數租,71滿足[inm=ln（m—2九）—[irm,則；=（）

A.1B.]C.4D.1或1

2.（2024高三下?河南?專題練習）已知實數zn,九滿足m+Inm=4,nlnn+n=e3,則nm的值為（）

A.e2B.e3C.e4D.e5

3.（2024?江蘇?模擬預測）已知％i+2X1=4,冷+1og2%2=4,則％】+也的值為（）

A.2B.3C.4D.5

4.（2024?江蘇南通?模擬預測）方程XE3+zln4=短池正實數解為____.

5.（23-24高三上?天津南開?階段練習）設a=9g20+lgV^,b=log43,貝Ua+2b的值為（）

A.1+V3B.1+V5C.26D.27

考點四、指數函數中的條件等式

口典例引領

?

1.（23-24高三上?天津?期中）已知4a=5,log89=6,則22a-3b=（）

525

A.-B.5C.—D.25

99

2.（2020?全國?高考真題）設alog34=2,則=（）

A.—B.-C.-D.-

16986

即時性測

1.（2024,全國?模擬預測）已知m,n,p是均不等于1的正實數,TH*=n2y=p3z,z=士二,則=（）

廠x+yp3

31

A.2B.-C.1D.-

22

2.（2024?全國?模擬預測）已知2工=3〃=4z=6,貝壯+三+工=

xyz----

3.（2023?全國?模擬預測）已知b=[■,則心=.

4.（23-24高三上?天津?期中）若log2（2&）=a,8b=2&，則a+匕=.

5.（23-24高三上?天津和平?階段練習）已知3a=5b且2+《=1,則a的值為

考點五、指對等式比較大小

典例引領

1.（2024?河南?二模）"In*>Iny”是“/>川”的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

2.（2024?湖南?二模）已知實數a>b>0,則下列選項可作為a-b<1的充分條件的是（）

A.y/a—yjb=1B.-r~~=~

ba2

C.2a-2b=1D.log2a—log2b=1

即時投測I

1.（2024?天津南開?二模）已知a=log62,b=log2y.c=,貝！J（）.

A.a>b>cB.c>b>aC.a>c>bD.b>c>a

0S2

2.（2024?天津河北?二模）若a=3,b=log053,c=0.3,貝b,c的大小關系為（

A.b<a<cB.c<b<a

C.c<a<bD.b<c<a

3.（2024高三?天津?專題練習）若a=4.2~°^b=4.203,c=log娉Ob則a,b,c的大小關系為（

A.a>b>cB.b>a>cC.c>a>bD.b>c>a

4.（2021?全國?高考真題）已知a=log52,b=log83,c=|,則下列判斷正確的是（）

A.c<b<aB.b<a<cC.a<c<bD.a<b<c

9c

5.（2024?天津?二模）設a=log23^=1.3°-,0.9=1.3,貝的大小關系為（

A.a<b<cB.b<c<a

C.c<b<aD.c<a<b

6.（2024?北京昌平?二模）若0Va<b<1,c>1,則（

bacc

A.c<cB.logca>logcbC.sin：>sin：D.a<b

考點六、指對最值問題

典例引領

1.（2023?全國?模擬預測）已知m>0,0<九<2,且log2（6+幾）=log4（m+幾）+log4（2-九）,則高+:

的最小值是（）

A.8B.6C.4D.2

2.（2024?全國?模擬預測）若2、-4'=/，x,yGR,則％—y的最小值為（）

1QR

A.-B.-C.-D.4

224

即時檢測

1.（2023?全國?模擬預測）已知點P（a,b）在直線y=2%-2上，則的最小值為（）

A.—B.—C.4D.2

48

2.（2023?全國?模擬預測）已知正數％,y滿足lg（2y-％）=lg（2y）-1g%,貝Uy的最小值為（）

A.-B.1C.2D.4

2

3.（2022?河南-模擬預測）若實數久，y滿足2%+4、=2%+2丫，貝！J%+2y的最小值為（）

A.0B.1C.2D.3

4.（2022?遼寧?模擬預測）已知實數a,b滿足小+log0b=1,（0Va<1）,貝仁log。。一小的最小值為

4

（）

A.0B.-1C.1D.不存在

5.（2023?全國?模擬預測）若3勺+Q3丑23,則當2取得最小值時，q=.

KV好題沖關?

A基礎過關

1.（2024?河南開封?三模）已知aloggd=1,則2一。=（）

111

A.-B.-C.-D.3

983

2.（23-24高三上?山東濰坊?期中）將殺寫成分數指數塞的形式為（）

7a4

4_477

A.07B.a~C.a4D.cTZ

3.（23-24高三上?四川?期末）log3216—310^2=（）

A.--B.--C.--D.--

5455

4.（2024?北京豐臺?二模）已知函數/（x）=2*，9（久）=log?。:+1）,那么/（g（0））=.

a

5.（23-24高三上?浙江寧波?期末）已知a+2=log2b+b=3,求2。+〃=.

6.（2023?四川德陽?一模）已知107n=2,10兀=3,貝I]2m+lg25+l0m-"=.（用數字作答）

7.（2024?上海浦東新?三模）已知a=lg5,貝iJlg20=（用a表示）

能力提升

1.（2024?四川?模擬預測）若實數t滿足56=7n=t且工+-=2,貝亞=（

m,n,mn）

A.2V3B.12C.V5D.V35

b

2.（2024?青海?模擬預測）若a=log35,5=6,則ab-log32=）

A.1B.-1C.2D.12

3.（23-24高三上?云南楚雄?期末）設遮的小數部分為x,則/+6/+12k=（）

32

A.1B.-C.2D.-

23

4.（2022?全國-模擬預測）已知實數％L%2滿足％13%=9,%2（log3汽2-2）=81,則%=（）

A.27B.32C.64D.81

5.（2024?安徽蕪湖?模擬預測）若/一魚二62乙則x-y的最小值為（）

A.-B.V2C.1D.—

24

6.（2024?北京順義?三模）設x,y21,a>l,6>1.若必=*=3,a+b=2<3,貝壯+工最大值為

xy

（）

31

A.2B.-C.1D.-

22

7.（2024?上海?模擬預測）已知正實數a,b滿足log.+log匕a=條aa=bb,則a+b=

1.（2022?浙江?高考真題）已知2a=5,log83=b,貝1J4a-3匕=（）

25

A.25B.5C