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山東省臨沂市蘭陵縣第一中學(xué)2025屆高三最后一模數(shù)學(xué)試題注意事項1.考生要認(rèn)真填寫考場號和座位序號。2.試題所有答案必須填涂或書寫在答題卡上,在試卷上作答無效。第一部分必須用2B鉛筆作答;第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3.考試結(jié)束后,考生須將試卷和答題卡放在桌面上,待監(jiān)考員收回。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1.已知函數(shù)的圖像的一條對稱軸為直線,且,則的最小值為()A. B.0 C. D.2.已知函數(shù)在上可導(dǎo)且恒成立,則下列不等式中一定成立的是()A.、B.、C.、D.、3.設(shè)為定義在上的奇函數(shù),當(dāng)時,(為常數(shù)),則不等式的解集為()A. B. C. D.4.某幾何體的三視圖如圖所示,則該幾何體的體積是()A. B. C. D.5.已知中內(nèi)角所對應(yīng)的邊依次為,若,則的面積為()A. B. C. D.6.如圖,矩形ABCD中,,,E是AD的中點,將沿BE折起至,記二面角的平面角為,直線與平面BCDE所成的角為,與BC所成的角為,有如下兩個命題:①對滿足題意的任意的的位置,;②對滿足題意的任意的的位置,,則()A.命題①和命題②都成立 B.命題①和命題②都不成立C.命題①成立,命題②不成立 D.命題①不成立,命題②成立7.設(shè)是虛數(shù)單位,,,則()A. B. C.1 D.28.已知集合A={y|y=|x|﹣1,x∈R},B={x|x≥2},則下列結(jié)論正確的是()A.﹣3∈AB.3BC.A∩B=BD.A∪B=B9.已知函數(shù),若函數(shù)的所有零點依次記為,且,則()A. B. C. D.10.設(shè)是虛數(shù)單位,則()A. B. C. D.11.集合,則集合的真子集的個數(shù)是A.1個 B.3個 C.4個 D.7個12.在中,,,,點,分別在線段,上,且,,則().A. B. C.4 D.9二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.正四面體的各個點在平面同側(cè),各點到平面的距離分別為1,2,3,4,則正四面體的棱長為__________.14.已知雙曲線()的左右焦點分別為,為坐標(biāo)原點,點為雙曲線右支上一點,若,,則雙曲線的離心率的取值范圍為_____.15.已知是拋物線上一點,是圓關(guān)于直線對稱的曲線上任意一點,則的最小值為________.16.已知x,y滿足約束條件x-y-1≥0x+y-3≤02y+1≥0,則三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)設(shè)(1)證明:當(dāng)時,;(2)當(dāng)時,求整數(shù)的最大值.(參考數(shù)據(jù):,)18.(12分)在直角坐標(biāo)系中,曲線的參數(shù)方程為(為參數(shù)),以坐標(biāo)原點為極點,以軸正半軸為極軸,建立極坐標(biāo)系,曲線的極坐標(biāo)方程為.(1)寫出的普通方程和的直角坐標(biāo)方程;(2)設(shè)點在上,點在上,求的最小值以及此時的直角坐標(biāo).19.(12分)已知橢圓的短軸的兩個端點分別為、,焦距為.(1)求橢圓的方程;(2)已知直線與橢圓有兩個不同的交點、,設(shè)為直線上一點,且直線、的斜率的積為.證明:點在軸上.20.(12分)手工藝是一種生活態(tài)度和對傳統(tǒng)的堅持,在我國有很多手工藝品制作村落,村民的手工技藝世代相傳,有些村落制造出的手工藝品不僅全國聞名,還大量遠(yuǎn)銷海外.近年來某手工藝品村制作的手工藝品在國外備受歡迎,該村村民成立了手工藝品外銷合作社,為嚴(yán)把質(zhì)量關(guān),合作社對村民制作的每件手工藝品都請3位行家進(jìn)行質(zhì)量把關(guān),質(zhì)量把關(guān)程序如下:(i)若一件手工藝品3位行家都認(rèn)為質(zhì)量過關(guān),則該手工藝品質(zhì)量為A級;(ii)若僅有1位行家認(rèn)為質(zhì)量不過關(guān),再由另外2位行家進(jìn)行第二次質(zhì)量把關(guān),若第二次質(zhì)量把關(guān)這2位行家都認(rèn)為質(zhì)量過關(guān),則該手工藝品質(zhì)量為B級,若第二次質(zhì)量把關(guān)這2位行家中有1位或2位認(rèn)為質(zhì)量不過關(guān),則該手工藝品質(zhì)量為C級;(iii)若有2位或3位行家認(rèn)為質(zhì)量不過關(guān),則該手工藝品質(zhì)量為D級.已知每一次質(zhì)量把關(guān)中一件手工藝品被1位行家認(rèn)為質(zhì)量不過關(guān)的概率為,且各手工藝品質(zhì)量是否過關(guān)相互獨立.(1)求一件手工藝品質(zhì)量為B級的概率;(2)若一件手工藝品質(zhì)量為A,B,C級均可外銷,且利潤分別為900元,600元,300元,質(zhì)量為D級不能外銷,利潤記為100元.①求10件手工藝品中不能外銷的手工藝品最有可能是多少件;②記1件手工藝品的利潤為X元,求X的分布列與期望.21.(12分)已知,,動點滿足直線與直線的斜率之積為,設(shè)點的軌跡為曲線.(1)求曲線的方程;(2)若過點的直線與曲線交于,兩點,過點且與直線垂直的直線與相交于點,求的最小值及此時直線的方程.22.(10分)已知函數(shù),函數(shù)().(1)討論的單調(diào)性;(2)證明:當(dāng)時,.(3)證明:當(dāng)時,.
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1、D【解析】
運用輔助角公式,化簡函數(shù)的解析式,由對稱軸的方程,求得的值,得出函數(shù)的解析式,集合正弦函數(shù)的最值,即可求解,得到答案.【詳解】由題意,函數(shù)為輔助角,由于函數(shù)的對稱軸的方程為,且,即,解得,所以,又由,所以函數(shù)必須取得最大值和最小值,所以可設(shè),,所以,當(dāng)時,的最小值,故選D.【點睛】本題主要考查了正弦函數(shù)的圖象與性質(zhì),其中解答中利用三角恒等變換的公式,化簡函數(shù)的解析式,合理利用正弦函數(shù)的對稱性與最值是解答的關(guān)鍵,著重考查了分析問題和解答問題的能力,屬于中檔試題.2、A【解析】
設(shè),利用導(dǎo)數(shù)和題設(shè)條件,得到,得出函數(shù)在R上單調(diào)遞增,得到,進(jìn)而變形即可求解.【詳解】由題意,設(shè),則,又由,所以,即函數(shù)在R上單調(diào)遞增,則,即,變形可得.故選:A.【點睛】本題主要考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性及其應(yīng)用,以及利用單調(diào)性比較大小,其中解答中根據(jù)題意合理構(gòu)造新函數(shù),利用新函數(shù)的單調(diào)性求解是解答的關(guān)鍵,著重考查了構(gòu)造思想,以及推理與計算能力,屬于中檔試題.3、D【解析】
由可得,所以,由為定義在上的奇函數(shù)結(jié)合增函數(shù)+增函數(shù)=增函數(shù),可知在上單調(diào)遞增,注意到,再利用函數(shù)單調(diào)性即可解決.【詳解】因為在上是奇函數(shù).所以,解得,所以當(dāng)時,,且時,單調(diào)遞增,所以在上單調(diào)遞增,因為,故有,解得.故選:D.【點睛】本題考查利用函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性解不等式,考查學(xué)生對函數(shù)性質(zhì)的靈活運用能力,是一道中檔題.4、A【解析】
觀察可知,這個幾何體由兩部分構(gòu)成,:一個半圓柱體,底面圓的半徑為1,高為2;一個半球體,半徑為1,按公式計算可得體積?!驹斀狻吭O(shè)半圓柱體體積為,半球體體積為,由題得幾何體體積為,故選A。【點睛】本題通過三視圖考察空間識圖的能力,屬于基礎(chǔ)題。5、A【解析】
由余弦定理可得,結(jié)合可得a,b,再利用面積公式計算即可.【詳解】由余弦定理,得,由,解得,所以,.故選:A.【點睛】本題考查利用余弦定理解三角形,考查學(xué)生的基本計算能力,是一道容易題.6、A【解析】
作出二面角的補角、線面角、線線角的補角,由此判斷出兩個命題的正確性.【詳解】①如圖所示,過作平面,垂足為,連接,作,連接.由圖可知,,所以,所以①正確.②由于,所以與所成角,所以,所以②正確.綜上所述,①②都正確.故選:A【點睛】本題考查了折疊問題、空間角、數(shù)形結(jié)合方法,考查了推理能力與計算能力,屬于中檔題.7、C【解析】
由,可得,通過等號左右實部和虛部分別相等即可求出的值.【詳解】解:,,解得:.故選:C.【點睛】本題考查了復(fù)數(shù)的運算,考查了復(fù)數(shù)相等的涵義.對于復(fù)數(shù)的運算類問題,易錯點是把當(dāng)成進(jìn)行運算.8、C【解析】試題分析:集合考點:集合間的關(guān)系9、C【解析】
令,求出在的對稱軸,由三角函數(shù)的對稱性可得,將式子相加并整理即可求得的值.【詳解】令,得,即對稱軸為.函數(shù)周期,令,可得.則函數(shù)在上有8條對稱軸.根據(jù)正弦函數(shù)的性質(zhì)可知,將以上各式相加得:故選:C.【點睛】本題考查了三角函數(shù)的對稱性,考查了三角函數(shù)的周期性,考查了等差數(shù)列求和.本題的難點是將所求的式子拆分為的形式.10、A【解析】
利用復(fù)數(shù)的乘法運算可求得結(jié)果.【詳解】由復(fù)數(shù)的乘法法則得.故選:A.【點睛】本題考查復(fù)數(shù)的乘法運算,考查計算能力,屬于基礎(chǔ)題.11、B【解析】
由題意,結(jié)合集合,求得集合,得到集合中元素的個數(shù),即可求解,得到答案.【詳解】由題意,集合,則,所以集合的真子集的個數(shù)為個,故選B.【點睛】本題主要考查了集合的運算和集合中真子集的個數(shù)個數(shù)的求解,其中作出集合的運算,得到集合,再由真子集個數(shù)的公式作出計算是解答的關(guān)鍵,著重考查了推理與運算能力.12、B【解析】
根據(jù)題意,分析可得,由余弦定理求得的值,由可得結(jié)果.【詳解】根據(jù)題意,,則在中,又,則則則則故選:B【點睛】此題考查余弦定理和向量的數(shù)量積運算,掌握基本概念和公式即可解決,屬于簡單題目.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、【解析】
不妨設(shè)點A,D,C,B到面的距離分別為1,2,3,4,平面向下平移兩個單位,與正四面體相交,過點D,與AB,AC分別相交于點E,F(xiàn),根據(jù)題意F為中點,E為AB的三等分點(靠近點A),設(shè)棱長為a,求得,再用余弦定理求得:,從而求得,再根據(jù)頂點A到面EDF的距離為,得到,然后利用等體積法求解,【詳解】不妨設(shè)點A,D,C,B到面的距離分別為1,2,3,4,平面向下平移兩個單位,與正四面體相交,過點D,與AB,AC分別相交于點E,F(xiàn),如圖所示:由題意得:F為中點,E為AB的三等分點(靠近點A),設(shè)棱長為a,,頂點D到面ABC的距離為所以,由余弦定理得:,所以,所以,又頂點A到面EDF的距離為,所以,因為,所以,解得,故答案為:【點睛】本題主要考查幾何體的切割問題以及等體積法的應(yīng)用,還考查了轉(zhuǎn)化化歸的思想和空間想象,運算求解的能力,屬于難題,14、【解析】
法一:根據(jù)直角三角形的性質(zhì)和勾股定理得,,,又由雙曲線的定義得,將離心率表示成關(guān)于的式子,再令,則,令對函數(shù)求導(dǎo)研究函數(shù)在上單調(diào)性,可求得離心率的范圍.法二:令,,,,,根據(jù)直角三角形的性質(zhì)和勾股定理得,將離心率表示成關(guān)于角的三角函數(shù),根據(jù)三角函數(shù)的恒等變化轉(zhuǎn)化為關(guān)于的函數(shù),可求得離心率的范圍.【詳解】法一:,,,,,,設(shè),則,令,所以時,,在上單調(diào)遞增,,,.法二:,,令,,,,,,,,,.故答案為:.【點睛】本題考查求雙曲線的離心率的范圍的問題,關(guān)鍵在于將已知條件轉(zhuǎn)化為與雙曲線的有關(guān),從而將離心率表示關(guān)于某個量的函數(shù),屬于中檔題.15、【解析】
由題意求出圓的對稱圓的圓心坐標(biāo),求出對稱圓的圓坐標(biāo)到拋物線上的點的距離的最小值,減去半徑即可得到的最小值.【詳解】假設(shè)圓心關(guān)于直線對稱的點為,則有,解方程組可得,所以曲線的方程為,圓心為,設(shè),則,又,所以,,即,所以,故答案為:.【點睛】該題考查的是有關(guān)動點距離的最小值問題,涉及到的知識點有點關(guān)于直線的對稱點,點與圓上點的距離的最小值為到圓心的距離減半徑,屬于中檔題目.16、3【解析】
先根據(jù)約束條件畫出可行域,再由y=2x-z表示直線在y軸上的截距最大即可得解.【詳解】x,y滿足約束條件x-y-1≥0x+y-3≤02y+1≥0,畫出可行域如圖所示.目標(biāo)函數(shù)z=2x-y,即平移直線y=2x-z,截距最大時即為所求.2y+1=0x-y-1=0點A(12,z在點A處有最小值:z=2×1故答案為:32【點睛】本題主要考查線性規(guī)劃的基本應(yīng)用,利用數(shù)形結(jié)合,結(jié)合目標(biāo)函數(shù)的幾何意義是解決此類問題的基本方法.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1)證明見解析;(2).【解析】
(1)將代入函數(shù)解析式可得,構(gòu)造函數(shù),求得并令,由導(dǎo)函數(shù)符號判斷函數(shù)單調(diào)性并求得最大值,由即可證明恒成立,即不等式得證.(2)對函數(shù)求導(dǎo),變形后討論當(dāng)時的函數(shù)單調(diào)情況:當(dāng)時,可知滿足題意;將不等式化簡后構(gòu)造函數(shù),利用導(dǎo)函數(shù)求得極值點與函數(shù)的單調(diào)性,從而求得最小值為,分別依次代入檢驗的符號,即可確定整數(shù)的最大值;當(dāng)時不滿足題意,因為求整數(shù)的最大值,所以時無需再討論.【詳解】(1)證明:當(dāng)時代入可得,令,,則,令解得,當(dāng)時,所以在單調(diào)遞增,當(dāng)時,所以在單調(diào)遞減,所以,則,即成立.(2)函數(shù)則,若時,當(dāng)時,,則在時單調(diào)遞減,所以,即當(dāng)時成立;所以此時需滿足的整數(shù)解即可,將不等式化簡可得,令則令解得,當(dāng)時,即在內(nèi)單調(diào)遞減,當(dāng)時,即在內(nèi)單調(diào)遞增,所以當(dāng)時取得最小值,則,,,所以此時滿足的整數(shù)的最大值為;當(dāng)時,在時,此時,與題意矛盾,所以不成立.因為求整數(shù)的最大值,所以時無需再討論,綜上所述,當(dāng)時,整數(shù)的最大值為.【點睛】本題考查了導(dǎo)數(shù)在證明不等式中的應(yīng)用,導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性、極值、最值的關(guān)系和應(yīng)用,構(gòu)造函數(shù)法求最值,并判斷函數(shù)值法符號,綜合性強,屬于難題.18、(1):,:;(2),此時.【解析】試題分析:(1)的普通方程為,的直角坐標(biāo)方程為;(2)由題意,可設(shè)點的直角坐標(biāo)為到的距離當(dāng)且僅當(dāng)時,取得最小值,最小值為,此時的直角坐標(biāo)為.試題解析:(1)的普通方程為,的直角坐標(biāo)方程為.(2)由題意,可設(shè)點的直角坐標(biāo)為,因為是直線,所以的最小值即為到的距離的最小值,.當(dāng)且僅當(dāng)時,取得最小值,最小值為,此時的直角坐標(biāo)為.考點:坐標(biāo)系與參數(shù)方程.【方法點睛】參數(shù)方程與普通方程的互化:把參數(shù)方程化為普通方程,需要根據(jù)其結(jié)構(gòu)特征,選取適當(dāng)?shù)南麉⒎椒?,常見的消參方法有:代入消參法;加減消參法;平方和(差)消參法;乘法消參法;混合消參法等.把曲線的普通方程化為參數(shù)方程的關(guān)鍵:一是適當(dāng)選取參數(shù);二是確?;セ昂蠓匠痰牡葍r性.注意方程中的參數(shù)的變化范圍.19、(1);(2)見解析.【解析】
(1)由已知條件得出、的值,進(jìn)而可得出的值,由此可求得橢圓的方程;(2)設(shè)點,可得,且,,求出直線的斜率,進(jìn)而可求得直線與的方程,將直線直線與的方程聯(lián)立,求出點的坐標(biāo),即可證得結(jié)論.【詳解】(1)由題設(shè),得,所以,即.故橢圓的方程為;(2)設(shè),則,,.所以直線的斜率為,因為直線、的斜率的積為,所以直線的斜率為.直線的方程為,直線的方程為.聯(lián)立,解得點的縱坐標(biāo)為.因為點在橢圓上,所以,則,所以點在軸上.【點睛】本題考查橢圓方程的求解,同時也考查了點在定直線的證明,考查計算能力與推理能力,屬于中等題.20、(1)(2)①2②期望值為X900600300100P【解析】
(1)一件手工藝品質(zhì)量為B級的概率為.(2)①由題意可得一件手工藝品質(zhì)量為D級的概率為,設(shè)10件手工藝品中不能外銷的手工藝品可能是件,則,則,.由得,所以當(dāng)時,,即,由得,所以當(dāng)時,,所以當(dāng)時,最大,即10件手工藝品中不能外銷的手工藝品最有可能是2件.②由上可得一件手工藝品質(zhì)量為A級的概率為,一件手工藝品質(zhì)量為B級的概率為,一件手工藝品質(zhì)量為C級的概率為,一件手工藝品質(zhì)量為D級的概率為,所以X的分布列為X900600300100P則期望為.21、(1)(2)的最小值為1,此時直線:【解析】
(1)用直接法求軌跡方程,即設(shè)動點為,把已知用坐標(biāo)表示并整理即得.注意取值范圍;(2)設(shè)
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