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文檔簡(jiǎn)介
2025屆浙江省樂(lè)清市白象中學(xué)高考數(shù)學(xué)四模試卷注意事項(xiàng):1.答卷前,考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)、考場(chǎng)號(hào)和座位號(hào)填寫(xiě)在試題卷和答題卡上。用2B鉛筆將試卷類(lèi)型(B)填涂在答題卡相應(yīng)位置上。將條形碼粘貼在答題卡右上角"條形碼粘貼處"。2.作答選擇題時(shí),選出每小題答案后,用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目選項(xiàng)的答案信息點(diǎn)涂黑;如需改動(dòng),用橡皮擦干凈后,再選涂其他答案。答案不能答在試題卷上。3.非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答,答案必須寫(xiě)在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)位置上;如需改動(dòng),先劃掉原來(lái)的答案,然后再寫(xiě)上新答案;不準(zhǔn)使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答無(wú)效。4.考生必須保證答題卡的整潔??荚嚱Y(jié)束后,請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.關(guān)于函數(shù),有下列三個(gè)結(jié)論:①是的一個(gè)周期;②在上單調(diào)遞增;③的值域?yàn)?則上述結(jié)論中,正確的個(gè)數(shù)為()A. B. C. D.2.若函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度得到函數(shù)的圖象,若函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增,則的最大值為().A. B. C. D.3.復(fù)數(shù)().A. B. C. D.4.在的展開(kāi)式中,含的項(xiàng)的系數(shù)是()A.74 B.121 C. D.5.某設(shè)備使用年限x(年)與所支出的維修費(fèi)用y(萬(wàn)元)的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)分別為,,,,由最小二乘法得到回歸直線方程為,若計(jì)劃維修費(fèi)用超過(guò)15萬(wàn)元將該設(shè)備報(bào)廢,則該設(shè)備的使用年限為()A.8年 B.9年 C.10年 D.11年6.根據(jù)黨中央關(guān)于“精準(zhǔn)”脫貧的要求,我市某農(nóng)業(yè)經(jīng)濟(jì)部門(mén)派四位專(zhuān)家對(duì)三個(gè)縣區(qū)進(jìn)行調(diào)研,每個(gè)縣區(qū)至少派一位專(zhuān)家,則甲,乙兩位專(zhuān)家派遣至同一縣區(qū)的概率為()A. B. C. D.7.已知數(shù)列的前項(xiàng)和為,且,,則()A. B. C. D.8.若不等式對(duì)恒成立,則實(shí)數(shù)的取值范圍是()A. B. C. D.9.如圖,在正四棱柱中,,分別為的中點(diǎn),異面直線與所成角的余弦值為,則()A.直線與直線異面,且 B.直線與直線共面,且C.直線與直線異面,且 D.直線與直線共面,且10.中國(guó)鐵路總公司相關(guān)負(fù)責(zé)人表示,到2018年底,全國(guó)鐵路營(yíng)業(yè)里程達(dá)到13.1萬(wàn)公里,其中高鐵營(yíng)業(yè)里程2.9萬(wàn)公里,超過(guò)世界高鐵總里程的三分之二,下圖是2014年到2018年鐵路和高鐵運(yùn)營(yíng)里程(單位:萬(wàn)公里)的折線圖,以下結(jié)論不正確的是()A.每相鄰兩年相比較,2014年到2015年鐵路運(yùn)營(yíng)里程增加最顯著B(niǎo).從2014年到2018年這5年,高鐵運(yùn)營(yíng)里程與年價(jià)正相關(guān)C.2018年高鐵運(yùn)營(yíng)里程比2014年高鐵運(yùn)營(yíng)里程增長(zhǎng)80%以上D.從2014年到2018年這5年,高鐵運(yùn)營(yíng)里程數(shù)依次成等差數(shù)列11.由實(shí)數(shù)組成的等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,則“a1>0”是“S9>S8”的()A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件12.復(fù)數(shù)的虛部為()A. B. C.2 D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.已知定義在的函數(shù)滿足,且當(dāng)時(shí),,則的解集為_(kāi)_________________.14.春天即將來(lái)臨,某學(xué)校開(kāi)展以“擁抱春天,播種綠色”為主題的植物種植實(shí)踐體驗(yàn)活動(dòng).已知某種盆栽植物每株成活的概率為,各株是否成活相互獨(dú)立.該學(xué)校的某班隨機(jī)領(lǐng)養(yǎng)了此種盆栽植物10株,設(shè)為其中成活的株數(shù),若的方差,,則________.15.在平面直角坐標(biāo)系中,曲線在點(diǎn)處的切線與x軸相交于點(diǎn)A,其中e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù).若點(diǎn),的面積為3,則的值是______.16.中,角的對(duì)邊分別為,且成等差數(shù)列,若,,則的面積為_(kāi)_________.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17.(12分)已知圓M:及定點(diǎn),點(diǎn)A是圓M上的動(dòng)點(diǎn),點(diǎn)B在上,點(diǎn)G在上,且滿足,,點(diǎn)G的軌跡為曲線C.(1)求曲線C的方程;(2)設(shè)斜率為k的動(dòng)直線l與曲線C有且只有一個(gè)公共點(diǎn),與直線和分別交于P、Q兩點(diǎn).當(dāng)時(shí),求(O為坐標(biāo)原點(diǎn))面積的取值范圍.18.(12分)如圖,在四棱柱中,平面,底面ABCD滿足∥BC,且(Ⅰ)求證:平面;(Ⅱ)求直線與平面所成角的正弦值.19.(12分)第7屆世界軍人運(yùn)動(dòng)會(huì)于2019年10月18日至27日在湖北武漢舉行,賽期10天,共設(shè)置射擊、游泳、田徑、籃球等27個(gè)大項(xiàng),329個(gè)小項(xiàng).共有來(lái)自100多個(gè)國(guó)家的近萬(wàn)名現(xiàn)役軍人同臺(tái)競(jìng)技.前期為迎接軍運(yùn)會(huì)順利召開(kāi),武漢市很多單位和部門(mén)都開(kāi)展了豐富多彩的宣傳和教育活動(dòng),努力讓大家更多的了解軍運(yùn)會(huì)的相關(guān)知識(shí),并倡議大家做文明公民.武漢市體育局為了解廣大民眾對(duì)軍運(yùn)會(huì)知識(shí)的知曉情況,在全市開(kāi)展了網(wǎng)上問(wèn)卷調(diào)查,民眾參與度極高,現(xiàn)從大批參與者中隨機(jī)抽取200名幸運(yùn)參與者,他們得分(滿分100分)數(shù)據(jù),統(tǒng)計(jì)結(jié)果如下:組別頻數(shù)5304050452010(1)若此次問(wèn)卷調(diào)查得分整體服從正態(tài)分布,用樣本來(lái)估計(jì)總體,設(shè),分別為這200人得分的平均值和標(biāo)準(zhǔn)差(同一組數(shù)據(jù)用該區(qū)間中點(diǎn)值作為代表),求,的值(,的值四舍五入取整數(shù)),并計(jì)算;(2)在(1)的條件下,為感謝大家參與這次活動(dòng),市體育局還對(duì)參加問(wèn)卷調(diào)查的幸運(yùn)市民制定如下獎(jiǎng)勵(lì)方案:得分低于的可以獲得1次抽獎(jiǎng)機(jī)會(huì),得分不低于的可獲得2次抽獎(jiǎng)機(jī)會(huì),在一次抽獎(jiǎng)中,抽中價(jià)值為15元的紀(jì)念品A的概率為,抽中價(jià)值為30元的紀(jì)念品B的概率為.現(xiàn)有市民張先生參加了此次問(wèn)卷調(diào)查并成為幸運(yùn)參與者,記Y為他參加活動(dòng)獲得紀(jì)念品的總價(jià)值,求Y的分布列和數(shù)學(xué)期望,并估算此次紀(jì)念品所需要的總金額.(參考數(shù)據(jù):;;.)20.(12分)設(shè)函數(shù).(1)求不等式的解集;(2)若的最小值為,且,求的最小值.21.(12分)在極坐標(biāo)系中,已知曲線C的方程為(),直線l的方程為.設(shè)直線l與曲線C相交于A,B兩點(diǎn),且,求r的值.22.(10分)在如圖所示的幾何體中,四邊形ABCD為矩形,平面ABEF⊥平面ABCD,EF∥AB,∠BAF=90°,AD=2,AB=AF=2EF=2,點(diǎn)P在棱DF上.(1)若P是DF的中點(diǎn),求異面直線BE與CP所成角的余弦值;(2)若二面角D﹣AP﹣C的正弦值為,求PF的長(zhǎng)度.
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、B【解析】
利用三角函數(shù)的性質(zhì),逐個(gè)判斷即可求出.【詳解】①因?yàn)?,所以是的一個(gè)周期,①正確;②因?yàn)?,,所以在上不單調(diào)遞增,②錯(cuò)誤;③因?yàn)?,所以是偶函?shù),又是的一個(gè)周期,所以可以只考慮時(shí),的值域.當(dāng)時(shí),,在上單調(diào)遞增,所以,的值域?yàn)?,③錯(cuò)誤;綜上,正確的個(gè)數(shù)只有一個(gè),故選B.【點(diǎn)睛】本題主要考查三角函數(shù)的性質(zhì)應(yīng)用.2、C【解析】
由題意利用函數(shù)的圖象變換規(guī)律,正弦函數(shù)的單調(diào)性,求出的最大值.【詳解】解:把函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度得到函數(shù)的圖象,若函數(shù)在區(qū)間,上單調(diào)遞增,在區(qū)間,上,,,則當(dāng)最大時(shí),,求得,故選:C.【點(diǎn)睛】本題主要考查函數(shù)的圖象變換規(guī)律,正弦函數(shù)的單調(diào)性,屬于基礎(chǔ)題.3、A【解析】試題分析:,故選A.【考點(diǎn)】復(fù)數(shù)運(yùn)算【名師點(diǎn)睛】復(fù)數(shù)代數(shù)形式的四則運(yùn)算的法則是進(jìn)行復(fù)數(shù)運(yùn)算的理論依據(jù),加減運(yùn)算類(lèi)似于多項(xiàng)式的合并同類(lèi)項(xiàng),乘法法則類(lèi)似于多項(xiàng)式的乘法法則,除法運(yùn)算則先將除式寫(xiě)成分式的形式,再將分母實(shí)數(shù)化.4、D【解析】
根據(jù),利用通項(xiàng)公式得到含的項(xiàng)為:,進(jìn)而得到其系數(shù),【詳解】因?yàn)樵冢院捻?xiàng)為:,所以含的項(xiàng)的系數(shù)是的系數(shù)是,,故選:D【點(diǎn)睛】本題主要考查二項(xiàng)展開(kāi)式及通項(xiàng)公式和項(xiàng)的系數(shù),還考查了運(yùn)算求解的能力,屬于基礎(chǔ)題,5、D【解析】
根據(jù)樣本中心點(diǎn)在回歸直線上,求出,求解,即可求出答案.【詳解】依題意在回歸直線上,,由,估計(jì)第年維修費(fèi)用超過(guò)15萬(wàn)元.故選:D.【點(diǎn)睛】本題考查回歸直線過(guò)樣本中心點(diǎn)、以及回歸方程的應(yīng)用,屬于基礎(chǔ)題.6、A【解析】
每個(gè)縣區(qū)至少派一位專(zhuān)家,基本事件總數(shù),甲,乙兩位專(zhuān)家派遣至同一縣區(qū)包含的基本事件個(gè)數(shù),由此能求出甲,乙兩位專(zhuān)家派遣至同一縣區(qū)的概率.【詳解】派四位專(zhuān)家對(duì)三個(gè)縣區(qū)進(jìn)行調(diào)研,每個(gè)縣區(qū)至少派一位專(zhuān)家基本事件總數(shù):甲,乙兩位專(zhuān)家派遣至同一縣區(qū)包含的基本事件個(gè)數(shù):甲,乙兩位專(zhuān)家派遣至同一縣區(qū)的概率為:本題正確選項(xiàng):【點(diǎn)睛】本題考查概率的求法,考查古典概型等基礎(chǔ)知識(shí),考查運(yùn)算求解能力,是基礎(chǔ)題.7、C【解析】
根據(jù)已知條件判斷出數(shù)列是等比數(shù)列,求得其通項(xiàng)公式,由此求得.【詳解】由于,所以數(shù)列是等比數(shù)列,其首項(xiàng)為,第二項(xiàng)為,所以公比為.所以,所以.故選:C【點(diǎn)睛】本小題主要考查等比數(shù)列的證明,考查等比數(shù)列通項(xiàng)公式,屬于基礎(chǔ)題.8、B【解析】
轉(zhuǎn)化為,構(gòu)造函數(shù),利用導(dǎo)數(shù)研究單調(diào)性,求函數(shù)最值,即得解.【詳解】由,可知.設(shè),則,所以函數(shù)在上單調(diào)遞增,所以.所以.故的取值范圍是.故選:B【點(diǎn)睛】本題考查了導(dǎo)數(shù)在恒成立問(wèn)題中的應(yīng)用,考查了學(xué)生綜合分析,轉(zhuǎn)化劃歸,數(shù)學(xué)運(yùn)算的能力,屬于中檔題.9、B【解析】
連接,,,,由正四棱柱的特征可知,再由平面的基本性質(zhì)可知,直線與直線共面.,同理易得,由異面直線所成的角的定義可知,異面直線與所成角為,然后再利用余弦定理求解.【詳解】如圖所示:連接,,,,由正方體的特征得,所以直線與直線共面.由正四棱柱的特征得,所以異面直線與所成角為.設(shè),則,則,,,由余弦定理,得.故選:B【點(diǎn)睛】本題主要考查異面直線的定義及所成的角和平面的基本性質(zhì),還考查了推理論證和運(yùn)算求解的能力,屬于中檔題.10、D【解析】
由折線圖逐項(xiàng)分析即可求解【詳解】選項(xiàng),顯然正確;對(duì)于,,選項(xiàng)正確;1.6,1.9,2.2,2.5,2.9不是等差數(shù)列,故錯(cuò).故選:D【點(diǎn)睛】本題考查統(tǒng)計(jì)的知識(shí),考查數(shù)據(jù)處理能力和應(yīng)用意識(shí),是基礎(chǔ)題11、C【解析】
根據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì)以及充分條件和必要條件的定義進(jìn)行判斷即可.【詳解】解:若{an}是等比數(shù)列,則,
若,則,即成立,
若成立,則,即,
故“”是“”的充要條件,
故選:C.【點(diǎn)睛】本題主要考查充分條件和必要條件的判斷,利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式是解決本題的關(guān)鍵.12、D【解析】
根據(jù)復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算,化簡(jiǎn)出,即可得出虛部.【詳解】解:=,故虛部為-2.故選:D.【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算和復(fù)數(shù)的概念.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、【解析】
由已知得出函數(shù)是偶函數(shù),再得出函數(shù)的單調(diào)性,得出所解不等式的等價(jià)的不等式,可得解集.【詳解】因?yàn)槎x在的函數(shù)滿足,所以函數(shù)是偶函數(shù),又當(dāng)時(shí),,得時(shí),,所以函數(shù)在上單調(diào)遞減,所以函數(shù)在上單調(diào)遞減,函數(shù)在上單調(diào)遞增,所以不等式等價(jià)于,即或,解得或,所以不等式的解集為:.故答案為:.【點(diǎn)睛】本題考查抽象函數(shù)的不等式的求解,關(guān)鍵得出函數(shù)的奇偶性,單調(diào)性,屬于中檔題.14、【解析】
由題意可知:,且,從而可得值.【詳解】由題意可知:∴,即,∴故答案為:【點(diǎn)睛】本題考查二項(xiàng)分布的實(shí)際應(yīng)用,考查分析問(wèn)題解決問(wèn)題的能力,考查計(jì)算能力,屬于中檔題.15、【解析】
對(duì)求導(dǎo),再根據(jù)點(diǎn)的坐標(biāo)可得切線方程,令,可得點(diǎn)橫坐標(biāo),由的面積為3,求解即得.【詳解】由題,,切線斜率,則切線方程為,令,解得,又的面積為3,,解得.故答案為:【點(diǎn)睛】本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的切線,難度不大.16、.【解析】
由A,B,C成等差數(shù)列得出B=60°,利用正弦定理得進(jìn)而得代入三角形的面積公式即可得出.【詳解】∵A,B,C成等差數(shù)列,∴A+C=2B,又A+B+C=180°,∴3B=180°,B=60°.故由正弦定理,故所以S△ABC,故答案為:【點(diǎn)睛】本題考查了等差數(shù)列的性質(zhì),三角形的面積公式,考查正弦定理的應(yīng)用,屬于基礎(chǔ)題.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、(1);(2).【解析】
(1)根據(jù)題意得到GB是線段的中垂線,從而為定值,根據(jù)橢圓定義可知點(diǎn)G的軌跡是以M,N為焦點(diǎn)的橢圓,即可求出曲線C的方程;(2)聯(lián)立直線方程和橢圓方程,表示處的面積代入韋達(dá)定理化簡(jiǎn)即可求范圍.【詳解】(1)為的中點(diǎn),且是線段的中垂線,,又,∴點(diǎn)G的軌跡是以M,N為焦點(diǎn)的橢圓,設(shè)橢圓方程為(),則,,,所以曲線C的方程為.(2)設(shè)直線l:(),由消去y,可得.因?yàn)橹本€l總與橢圓C有且只有一個(gè)公共點(diǎn),所以,.①又由可得;同理可得.由原點(diǎn)O到直線的距離為和,可得.②將①代入②得,當(dāng)時(shí),,綜上,面積的取值范圍是.【點(diǎn)睛】此題考查了軌跡和直線與曲線相交問(wèn)題,軌跡通過(guò)已知條件找到幾何關(guān)系從而判斷軌跡,直線與曲線相交一般聯(lián)立設(shè)而不求韋達(dá)定理進(jìn)行求解即可,屬于一般性題目.18、(Ⅰ)證明見(jiàn)解析;(Ⅱ)【解析】
(Ⅰ)證明,根據(jù)得到,得到證明.(Ⅱ)如圖所示,分別以為軸建立空間直角坐標(biāo)系,平面的法向量,,計(jì)算向量夾角得到答案.【詳解】(Ⅰ)平面,平面,故.,,故,故.,故平面.(Ⅱ)如圖所示:分別以為軸建立空間直角坐標(biāo)系,則,,,,.設(shè)平面的法向量,則,即,取得到,,設(shè)直線與平面所成角為故.【點(diǎn)睛】本題考查了線面垂直,線面夾角,意在考查學(xué)生的空間想象能力和計(jì)算能力.19、(1),,;(2)詳見(jiàn)解析.【解析】
(1)根據(jù)頻率分布表計(jì)算出平均數(shù),進(jìn)而計(jì)算方差,從而X~N(65,142),計(jì)算P(51<X<93)即可;(2)列出Y所有可能的取值,分布求出每個(gè)取值對(duì)應(yīng)的概率,列出分布列,計(jì)算期望,進(jìn)而可得需要的總金額.【詳解】解:(1)由已知頻數(shù)表得:,,由,則,而,所以,則X服從正態(tài)分布,所以;(2)顯然,,所以所有Y的取值為15,30,45,60,,,,,所以Y的分布列為:Y15304560P所以,需要的總金額為:.【點(diǎn)睛】本題考查了利用頻率分布表計(jì)算平均數(shù),方差,考查了正態(tài)分布,考查了離散型隨機(jī)變量的概率分布列和數(shù)學(xué)期望,主要考查數(shù)據(jù)分析能力和計(jì)算能力,屬于中檔題.20、(1)或(2)最小值為.【解析】
(1)討論,,三種情況,分別計(jì)算得到答案.(2)計(jì)算得到,再利用均值不等式計(jì)算得到答案.【詳解】(1)當(dāng)時(shí),由,解得;當(dāng)時(shí),由,解得;當(dāng)時(shí),由,解得.所以所求不等式的解集為或.(2)根據(jù)函數(shù)圖像知:當(dāng)時(shí),,所以.因?yàn)?,由,可知,所以,?dāng)且僅當(dāng),,時(shí),等號(hào)成立.所以的最小值為.【點(diǎn)睛】本題考查了解絕對(duì)值不等式,函數(shù)最值,均值不等式,意在考查學(xué)生對(duì)于不等式,函數(shù)知識(shí)的綜合應(yīng)用.21、【解析】
先將曲線C和直線l的極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程,可得圓心到直線的距離,再由勾股定理,計(jì)算即得.【詳解】以極點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn),極軸為x軸的正半軸建立平面直角坐標(biāo)系,可得曲線C:()的直角坐標(biāo)方程為,表示以原點(diǎn)為圓心,半徑為r的圓.由直線l的方程,化簡(jiǎn)得,則直線l的直角坐標(biāo)方程方程為.記圓心到直線l的距離為d,則,又,即,所以.【點(diǎn)睛】本題考查曲線和直線的極坐標(biāo)方程化為
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