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文檔簡介
2025屆浙江省寧波市鄞州區(qū)高考數(shù)學(xué)考前最后一卷預(yù)測卷注意事項(xiàng)1.考試結(jié)束后,請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回.2.答題前,請(qǐng)務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)用0.5毫米黑色墨水的簽字筆填寫在試卷及答題卡的規(guī)定位置.3.請(qǐng)認(rèn)真核對(duì)監(jiān)考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)與本人是否相符.4.作答選擇題,必須用2B鉛筆將答題卡上對(duì)應(yīng)選項(xiàng)的方框涂滿、涂黑;如需改動(dòng),請(qǐng)用橡皮擦干凈后,再選涂其他答案.作答非選擇題,必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答,在其他位置作答一律無效.5.如需作圖,須用2B鉛筆繪、寫清楚,線條、符號(hào)等須加黑、加粗.一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.設(shè),點(diǎn),,,,設(shè)對(duì)一切都有不等式成立,則正整數(shù)的最小值為()A. B. C. D.2.函數(shù)的定義域?yàn)椋ǎ〢. B. C. D.3.中國鐵路總公司相關(guān)負(fù)責(zé)人表示,到2018年底,全國鐵路營業(yè)里程達(dá)到13.1萬公里,其中高鐵營業(yè)里程2.9萬公里,超過世界高鐵總里程的三分之二,下圖是2014年到2018年鐵路和高鐵運(yùn)營里程(單位:萬公里)的折線圖,以下結(jié)論不正確的是()A.每相鄰兩年相比較,2014年到2015年鐵路運(yùn)營里程增加最顯著B.從2014年到2018年這5年,高鐵運(yùn)營里程與年價(jià)正相關(guān)C.2018年高鐵運(yùn)營里程比2014年高鐵運(yùn)營里程增長80%以上D.從2014年到2018年這5年,高鐵運(yùn)營里程數(shù)依次成等差數(shù)列4.已知為定義在上的偶函數(shù),當(dāng)時(shí),,則()A. B. C. D.5.一個(gè)算法的程序框圖如圖所示,若該程序輸出的結(jié)果是,則判斷框中應(yīng)填入的條件是()A. B. C. D.6.已知等比數(shù)列的前項(xiàng)和為,且滿足,則的值是()A. B. C. D.7.在直角梯形中,,,,,點(diǎn)為上一點(diǎn),且,當(dāng)?shù)闹底畲髸r(shí),()A. B.2 C. D.8.已知定義在上的奇函數(shù)和偶函數(shù)滿足(且),若,則函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為()A. B. C. D.9.已知,則的大小關(guān)系為()A. B. C. D.10.如圖,正四面體的體積為,底面積為,是高的中點(diǎn),過的平面與棱、、分別交于、、,設(shè)三棱錐的體積為,截面三角形的面積為,則()A., B.,C., D.,11.已知甲、乙兩人獨(dú)立出行,各租用共享單車一次(假定費(fèi)用只可能為、、元).甲、乙租車費(fèi)用為元的概率分別是、,甲、乙租車費(fèi)用為元的概率分別是、,則甲、乙兩人所扣租車費(fèi)用相同的概率為()A. B. C. D.12.已知雙曲線的一條漸近線方程為,則雙曲線的離心率為()A. B. C. D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.在中,,,,則__________.14.在平面直角坐標(biāo)系中,點(diǎn)P在直線上,過點(diǎn)P作圓C:的一條切線,切點(diǎn)為T.若,則的長是______.15.設(shè)為橢圓在第一象限上的點(diǎn),則的最小值為________.16.已知拋物線的焦點(diǎn)為,其準(zhǔn)線與坐標(biāo)軸交于點(diǎn),過的直線與拋物線交于兩點(diǎn),若,則直線的斜率________.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)已知函數(shù).(1)若在上為單調(diào)函數(shù),求實(shí)數(shù)a的取值范圍:(2)若,記的兩個(gè)極值點(diǎn)為,,記的最大值與最小值分別為M,m,求的值.18.(12分)已知函數(shù).(1)討論的單調(diào)性并指出相應(yīng)單調(diào)區(qū)間;(2)若,設(shè)是函數(shù)的兩個(gè)極值點(diǎn),若,且恒成立,求實(shí)數(shù)k的取值范圍.19.(12分)在邊長為的正方形,分別為的中點(diǎn),分別為的中點(diǎn),現(xiàn)沿折疊,使三點(diǎn)重合,構(gòu)成一個(gè)三棱錐.(1)判別與平面的位置關(guān)系,并給出證明;(2)求多面體的體積.20.(12分)已知函數(shù)(,),.(Ⅰ)討論的單調(diào)性;(Ⅱ)若對(duì)任意的,恒成立,求實(shí)數(shù)的取值范圍.21.(12分)已知函數(shù)(其中是自然對(duì)數(shù)的底數(shù))(1)若在R上單調(diào)遞增,求正數(shù)a的取值范圍;(2)若f(x)在處導(dǎo)數(shù)相等,證明:;(3)當(dāng)時(shí),證明:對(duì)于任意,若,則直線與曲線有唯一公共點(diǎn)(注:當(dāng)時(shí),直線與曲線的交點(diǎn)在y軸兩側(cè)).22.(10分)已知函數(shù).(Ⅰ)若,求曲線在處的切線方程;(Ⅱ)當(dāng)時(shí),要使恒成立,求實(shí)數(shù)的取值范圍.
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、A【解析】
先求得,再求得左邊的范圍,只需,利用單調(diào)性解得t的范圍.【詳解】由題意知sin,∴,∴,隨n的增大而增大,∴,∴,即,又f(t)=在t上單增,f(2)=-1<0,f(3)=2>0,∴正整數(shù)的最小值為3.【點(diǎn)睛】本題考查了數(shù)列的通項(xiàng)及求和問題,考查了數(shù)列的單調(diào)性及不等式的解法,考查了轉(zhuǎn)化思想,屬于中檔題.2、C【解析】
函數(shù)的定義域應(yīng)滿足故選C.3、D【解析】
由折線圖逐項(xiàng)分析即可求解【詳解】選項(xiàng),顯然正確;對(duì)于,,選項(xiàng)正確;1.6,1.9,2.2,2.5,2.9不是等差數(shù)列,故錯(cuò).故選:D【點(diǎn)睛】本題考查統(tǒng)計(jì)的知識(shí),考查數(shù)據(jù)處理能力和應(yīng)用意識(shí),是基礎(chǔ)題4、D【解析】
判斷,利用函數(shù)的奇偶性代入計(jì)算得到答案.【詳解】∵,∴.故選:【點(diǎn)睛】本題考查了利用函數(shù)的奇偶性求值,意在考查學(xué)生對(duì)于函數(shù)性質(zhì)的靈活運(yùn)用.5、D【解析】
首先判斷循環(huán)結(jié)構(gòu)類型,得到判斷框內(nèi)的語句性質(zhì),然后對(duì)循環(huán)體進(jìn)行分析,找出循環(huán)規(guī)律,判斷輸出結(jié)果與循環(huán)次數(shù)以及的關(guān)系,最終得出選項(xiàng).【詳解】經(jīng)判斷此循環(huán)為“直到型”結(jié)構(gòu),判斷框?yàn)樘鲅h(huán)的語句,第一次循環(huán):;第二次循環(huán):;第三次循環(huán):,此時(shí)退出循環(huán),根據(jù)判斷框內(nèi)為跳出循環(huán)的語句,,故選D.【點(diǎn)睛】題主要考查程序框圖的循環(huán)結(jié)構(gòu)流程圖,屬于中檔題.解決程序框圖問題時(shí)一定注意以下幾點(diǎn):(1)不要混淆處理框和輸入框;(2)注意區(qū)分程序框圖是條件分支結(jié)構(gòu)還是循環(huán)結(jié)構(gòu);(3)注意區(qū)分當(dāng)型循環(huán)結(jié)構(gòu)和直到型循環(huán)結(jié)構(gòu);(4)處理循環(huán)結(jié)構(gòu)的問題時(shí)一定要正確控制循環(huán)次數(shù);(5)要注意各個(gè)框的順序,(6)在給出程序框圖求解輸出結(jié)果的試題中只要按照程序框圖規(guī)定的運(yùn)算方法逐次計(jì)算,直到達(dá)到輸出條件即可.6、C【解析】
利用先求出,然后計(jì)算出結(jié)果.【詳解】根據(jù)題意,當(dāng)時(shí),,,故當(dāng)時(shí),,數(shù)列是等比數(shù)列,則,故,解得,故選.【點(diǎn)睛】本題主要考查了等比數(shù)列前項(xiàng)和的表達(dá)形式,只要求出數(shù)列中的項(xiàng)即可得到結(jié)果,較為基礎(chǔ).7、B【解析】
由題,可求出,所以,根據(jù)共線定理,設(shè),利用向量三角形法則求出,結(jié)合題給,得出,進(jìn)而得出,最后利用二次函數(shù)求出的最大值,即可求出.【詳解】由題意,直角梯形中,,,,,可求得,所以·∵點(diǎn)在線段上,設(shè),則,即,又因?yàn)樗?,所以,?dāng)時(shí),等號(hào)成立.所以.故選:B.【點(diǎn)睛】本題考查平面向量線性運(yùn)算中的加法運(yùn)算、向量共線定理,以及運(yùn)用二次函數(shù)求最值,考查轉(zhuǎn)化思想和解題能力.8、D【解析】
根據(jù)函數(shù)的奇偶性用方程法求出的解析式,進(jìn)而求出,再根據(jù)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性,即可求出結(jié)論.【詳解】依題意有,①,②①②得,又因?yàn)?,所以,在上單調(diào)遞增,所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為.故選:D.【點(diǎn)睛】本題考查求函數(shù)的解析式、函數(shù)的性質(zhì),要熟記復(fù)合函數(shù)單調(diào)性判斷方法,屬于中檔題.9、A【解析】
根據(jù)指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性,可得,再利用對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性,將與對(duì)比,即可求出結(jié)論.【詳解】由題知,,則.故選:A.【點(diǎn)睛】本題考查利用函數(shù)性質(zhì)比較大小,注意與特殊數(shù)的對(duì)比,屬于基礎(chǔ)題..10、A【解析】
設(shè),取與重合時(shí)的情況,計(jì)算出以及的值,利用排除法可得出正確選項(xiàng).【詳解】如圖所示,利用排除法,取與重合時(shí)的情況.不妨設(shè),延長到,使得.,,,,則,由余弦定理得,,,又,,當(dāng)平面平面時(shí),,,排除B、D選項(xiàng);因?yàn)?,,此時(shí),,當(dāng)平面平面時(shí),,,排除C選項(xiàng).故選:A.【點(diǎn)睛】本題考查平行線分線段成比例定理、余弦定理、勾股定理、三棱錐的體積計(jì)算公式、排除法,考查了空間想象能力、推理能力與計(jì)算能力,屬于難題.11、B【解析】
甲、乙兩人所扣租車費(fèi)用相同即同為1元,或同為2元,或同為3元,由獨(dú)立事件的概率公式計(jì)算即得.【詳解】由題意甲、乙租車費(fèi)用為3元的概率分別是,∴甲、乙兩人所扣租車費(fèi)用相同的概率為.故選:B.【點(diǎn)睛】本題考查獨(dú)立性事件的概率.掌握獨(dú)立事件的概率乘法公式是解題基礎(chǔ).12、B【解析】
由題意得出的值,進(jìn)而利用離心率公式可求得該雙曲線的離心率.【詳解】雙曲線的漸近線方程為,由題意可得,因此,該雙曲線的離心率為.故選:B.【點(diǎn)睛】本題考查利用雙曲線的漸近線方程求雙曲線的離心率,利用公式計(jì)算較為方便,考查計(jì)算能力,屬于基礎(chǔ)題.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、1【解析】
由已知利用余弦定理可得,即可解得的值.【詳解】解:,,,由余弦定理,可得,整理可得:,解得或(舍去).故答案為:1.【點(diǎn)睛】本題主要考查余弦定理在解三角形中的應(yīng)用,屬于基礎(chǔ)題.14、【解析】
作出圖像,設(shè)點(diǎn),根據(jù)已知可得,,且,可解出,計(jì)算即得.【詳解】如圖,設(shè),圓心坐標(biāo)為,可得,,,,,解得,,即的長是.故答案為:【點(diǎn)睛】本題考查直線與圓的位置關(guān)系,以及求平面兩點(diǎn)間的距離,運(yùn)用了數(shù)形結(jié)合的思想.15、【解析】
利用橢圓的參數(shù)方程,將所求代數(shù)式的最值問題轉(zhuǎn)化為求三角函數(shù)最值問題,利用兩角和的正弦公式和三角函數(shù)的性質(zhì),以及求導(dǎo)數(shù)、單調(diào)性和極值,即可得到所求最小值.【詳解】解:設(shè)點(diǎn),,其中,,由,,,可設(shè),導(dǎo)數(shù)為,由,可得,可得或,由,,可得,即,可得,由可得函數(shù)遞減;由,可得函數(shù)遞增,可得時(shí),函數(shù)取得最小值,且為,則的最小值為1.故答案為:1.【點(diǎn)睛】本題考查橢圓參數(shù)方程的應(yīng)用,利用三角函數(shù)的恒等變換和導(dǎo)數(shù)法求函數(shù)最值的方法,考查化簡變形能力和運(yùn)算能力,屬于難題.16、【解析】
求出拋物線焦點(diǎn)坐標(biāo),由,結(jié)合向量的坐標(biāo)運(yùn)算得,直線方程為,代入拋物線方程后應(yīng)用韋達(dá)定理得,,從而可求得,得斜率.【詳解】由得,即聯(lián)立得解得或,∴.故答案為:.【點(diǎn)睛】本題考查直線與拋物線相交,考查向量的線性運(yùn)算的坐標(biāo)表示.直線方程與拋物線方程聯(lián)立后消元,應(yīng)用韋達(dá)定理是解決直線與拋物線相交問題的常用方法.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1);(2)【解析】
(1)求導(dǎo).根據(jù)單調(diào),轉(zhuǎn)化為對(duì)恒成立求解(2)由(1)知,是的兩個(gè)根,不妨設(shè),令.根據(jù),確定,將轉(zhuǎn)化為.令,用導(dǎo)數(shù)法研究其單調(diào)性求最值.【詳解】(1)的定義域?yàn)椋?因?yàn)閱握{(diào),所以對(duì)恒成立,所以,恒成立,因?yàn)?,?dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào),所以;(2)由(1)知,是的兩個(gè)根.從而,,不妨設(shè),則.因?yàn)?,所以t為關(guān)于a的減函數(shù),所以..令,則.因?yàn)楫?dāng)時(shí),在上為減函數(shù).所以當(dāng)時(shí),.從而,所以在上為減函數(shù).所以當(dāng)時(shí),.【點(diǎn)睛】本題主要考查導(dǎo)數(shù)在函數(shù)中的綜合應(yīng)用,還考查了轉(zhuǎn)化化歸的思想和運(yùn)算求解的能力,屬于難題.18、(1)答案見解析(2)【解析】
(1)先對(duì)函數(shù)進(jìn)行求導(dǎo)得,對(duì)分成和兩種情況討論,從而得到相應(yīng)的單調(diào)區(qū)間;(2)對(duì)函數(shù)求導(dǎo)得,從而有,,,三個(gè)方程中利用得到.將不等式的左邊轉(zhuǎn)化成關(guān)于的函數(shù),再構(gòu)造新函數(shù)利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的最小值,從而得到的取值范圍.【詳解】解:(1)由,,則,當(dāng)時(shí),則,故在上單調(diào)遞減;當(dāng)時(shí),令,所以在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增.綜上所述:當(dāng)時(shí),在上單調(diào)遞減;當(dāng)時(shí),在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增.(2)∵,,由得,∴,,∴∵∴解得.∴.設(shè),則,∴在上單調(diào)遞減;當(dāng)時(shí),.∴,即所求的取值范圍為.【點(diǎn)睛】本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、最值,考查分類討論思想和數(shù)形結(jié)合思想,求解雙元問題的常用思路是:通過換元或消元,將雙元問題轉(zhuǎn)化為單元問題,然后利用導(dǎo)數(shù)研究單變量函數(shù)的性質(zhì).19、(1)平行,證明見解析;(2).【解析】
(1)由題意及圖形的翻折規(guī)律可知應(yīng)是的一條中位線,利用線面平行的判定定理即可求證;(2)利用條件及線面垂直的判定定理可知,,則平面,在利用錐體的體積公式即可.【詳解】(1)證明:因翻折后、、重合,∴應(yīng)是的一條中位線,∴,∵平面,平面,∴平面;(2)解:∵,,∴面且,,,又,.【點(diǎn)睛】本題主要考查線面平行的判定定理,線面垂直的判定定理及錐體的體積公式,屬于基礎(chǔ)題.20、(Ⅰ)見解析(Ⅱ)【解析】
(Ⅰ)求導(dǎo)得到,討論和兩種情況,得到答案.(Ⅱ)變換得到,設(shè),求,令,故在單調(diào)遞增,存在使得,,計(jì)算得到答案.【詳解】(Ⅰ)(),當(dāng)時(shí),在單調(diào)遞減,在單調(diào)遞增;當(dāng)時(shí),在單調(diào)遞增,在單調(diào)遞減.(Ⅱ)(),即,().令(),則,令,,故在單調(diào)遞增,注意到,,于是存在使得,可知在單調(diào)遞增,在單調(diào)遞減.∴.綜上知,.【點(diǎn)睛】本題考查了函數(shù)的單調(diào)性,恒成立問題,意在考查學(xué)生對(duì)于導(dǎo)數(shù)知識(shí)的綜合應(yīng)用能力.21、(1);(2)見解析;(3)見解析【解析】
(1)需滿足恒成立,只需即可;(2)根據(jù)的單調(diào)性,構(gòu)造新函數(shù),并令,根據(jù)的單調(diào)性即可得證;(3)將問題轉(zhuǎn)化為證明有唯一實(shí)數(shù)解,對(duì)求導(dǎo),判斷其單調(diào)性,結(jié)合題目條件與不等式的放縮,即可得證.【詳解】;令,則恒成立;,;的取值范圍是;(2)證明:由(1)知,在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增;;令,;則;令,則;;;(3)證明:,,要證明有唯一實(shí)數(shù)解;當(dāng)時(shí),;當(dāng)時(shí),;即對(duì)于任意實(shí)數(shù),一定有解;;當(dāng)時(shí),有兩個(gè)極值點(diǎn);函數(shù)在,,上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減;又;只需,在時(shí)恒成立;只需;令,其中一個(gè)正解是;,;單調(diào)遞增,,(1);;;綜上得證.【點(diǎn)睛】本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函
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