向量中的最值（范圍）問題-2025高考數(shù)學一輪復習

向量中的最值（范圍）問題

題型分析平面向量中的范圍、最值問題是熱點問題，也是難點問題，此類問題

綜合性強，體現(xiàn)了知識的交匯組合，其基本題型是根據(jù)已知條件求某個變量的范

圍、最值，比如向量的模、數(shù)量積、向量夾角、系數(shù)的范圍等，解決思路是建立

目標函數(shù)的函數(shù)解析式，轉化為求函數(shù)的最值，同時向量兼顧“數(shù)”與“形”的

雙重身份，所以解決平面向量的范圍、最值問題的另外一種思路是數(shù)形結合.

題型一與系數(shù)有關的最值（范圍）問題

例1（2023?廣州模擬）如圖，在平行四邊形ABCD中，點E是CD的中點，點R為

2一3%

線段3。上的一動點，若汁=振+丁虎（x>0,y>0）,則了干的最大值為（）

C.lD.2

答案A

解析設3D,AE交于點。，因為

DEC

AB

所以

A。ABc

所以瓦―瓦—2，

所以AO=2OE,則放=妙，

所以4=法方+>虎=亍庶+用，

因為。，F(xiàn),5三點共線，

3

所以尹+尸1,即2—3%=2y,

訴I、/2—3x2y2

所以4/+「"+「』，

7y

因為x>0,y>0,

所以4y+；N2yJ4y〈=4,

當且僅當4y=，即y=T時等號成立,

1

時

此-

X-3

221

所以-w--

14

+-

y

2-

感悟提升此類問題的一般解題步驟是

第一步：利用向量的運算將問題轉化為相應的等式關系；

第二步：運用基本不等式或函數(shù)的性質(zhì)求其最值.

訓練1已知應，油是兩個夾角為120。的單位向量，如圖所示，點。在以。為

圓心的◎上運動.若反=了以+丁/，其中x,y￡R,則x+y的最大值是（）

A

A.^2B.2

C.小D.3

答案B

解析由題意，以。為原點，OA為x軸的正向，建立如圖所示的坐標系，設C（cos

e,sin。)，0°W8W120°,

可得A(l,0),dV，2

由沆=龍(1,0)+J-1,

=(cos0,sin0),

得％—?=cos6,之>=sin仇

.,.?=，§sin0,

.*.x+y=[x—^+1y=cos0+yf3sme=2sin（6+30°）,

V0°^^<120°,.?.30°We+30°W150。，

I.當。=60。時，x+y的最大值為2,此時C為弧AB的中點.

所以x+j的最大值是2.

題型二與數(shù)量積有關的最值（范圍）問題

例2（2020.新高考I卷）已知P是邊長為2的正六邊形ABCDEF內(nèi)的一點，則屈.屈

的取值范圍是（）

A.(—2,6)B.(—6,2)

C.(-2,4)D.(—4,6)

答案A

解析法一如圖，取A為坐標原點，A3所在直線為x軸建立平面直角坐標系,

則A(0,0),BQ,0),C(3,小)，F(xiàn)(-l,?

設P(x,y),則成=(x,y),AB=(2,0),且一l<x<3.

所以祚?檢=(x,y)-(2,0)=2xG(—2,6).

法二設能與油的夾角為仇則由3在協(xié)上的投影向量的模為由^cos。,

由圖可知|由WosOGl—1,3),

B

則成?協(xié)=|成||Z>|cos6G(—2,6),

即APAB的取值范圍是（一2,6）.

感悟提升數(shù)量積最值（范圍）的解法：

（1）坐標法，通過建立直角坐標系，運用向量的坐標運算轉化為代數(shù)問題處理.

（2）向量法，運用向量數(shù)量積的定義、不等式、極化恒等式等有關向量知識解決.

訓I練2（2023?漳州質(zhì)檢）已知△ABC是邊長為2的正三角形,P為線段A3上一點（包

含端點），則麗?無的取值范圍為（）

A.一2B.一4

C.[0,2]D.[0,4]

答案A

解析取線段A3的中點。，連接。C,則。CLA3,以。為坐標原點，OB,OC

所在直線分別為x,y軸建立如圖所示的平面直角坐標系.

設P(a,0),則一lWoWl,5(1,0),C(0,小)，PB=(l-a,0),PC=(~a,小),

nz11

_

a-4--4-.故選

2J,2A.

題型三與模有關的最值（范圍）問題

例3（2023?南通模擬）已知向量a,b滿足⑷=L\b\=2,ab=0,若向量c滿足|a

+b-2c\=l,則|c|的取值范圍是.

答案用,『

解析法一由題意可設

a=(0,1),b=(2,0),c=(x,y),

則—2c=(2—2x,1—2y),

由|a+Z>—2c尸1,

可得(2—2切+(1—2y)2=l,

化簡可得（X—1）2+（丁一］

該方程表示以1,以1為半徑的圓,

則|C|表示圓上的點到原點的距離d,

而d=

所以|c|=、/+y2的取值范圍是［.一廠,d+r］,

法二由|0=1,|。|=2,ab=O,

得|a+b|=4，

又||a+臼一|2c||W|a+b—2c|=l,

即小一lW|2c|W小+1,

即⑷一,交

感悟提升求向量模的最值（范圍）的方法，通常有：

（1）代數(shù)法，把所求的模表示成某個變量的函數(shù)，或通過建立平面直角坐標系，借

助向量的坐標表示；需要構造不等式，利用基本不等式，三角函數(shù)，再用求最值

的方法求解；

（2）幾何法（數(shù)形結合法），弄清所求的模表示的幾何意義，注意題目中所給的垂直、

平行，以及其他數(shù)量關系，合理的轉化，使得過程更加簡單；結合動點表示的圖

形求解.

訓練3已知點A,B,C在圓f+產(chǎn)=1上運動，且協(xié)?病=0,若點尸的坐標為（2,

0）,則|戌+港+7%］的最大值為（）

A.6B.7

C.8D.9

答案B

解析由協(xié)?比=0可知AC為直徑,

，戌+無=2兩=（—4,0）,

設3（cos仇sin0）,則麗=（cos。-2,sin0）,

：.\PA+RB+PC\=\2PO+PB\=yl（-6+cos0）2+sin2/9=^37-12cos6?,

當。=2E+兀，左?Z時，|戌+而+南|的最大值為7.

題型四與夾角有關的最值（范圍）問題

例4平面向量a"滿足|a—回=3,|a|=2|臼，則a—8與a夾角最大值時|目為（）

A.小B.小

C.2^2D.2小

答案D

解析因為平面向量a,1滿足|a—勿=3,|a|=2向,

所以（a—8）2=/—2°仍+廬=4店一2a-Z>+"=9,

59

所以ab=^b2~y

所以（“一瓦）以=/-4.方=4"一多>2+3='|。2+±.

3^+9

由夾角公式，得COS<a~b,a>=一二二麗二=才回+而**

（當且僅當擊回=焉，即步|=小時等號成立；

因為0W〈a~b,a）Wm

JT

所以0W{a~b,a}Wj,

即|例=小時,{a-b,a）值最大為,

此時⑷=2|臼=2小.

感悟提升求夾角的最值（范圍）問題要根據(jù)夾角余弦值的表達式，采用基本不等

式或函數(shù)的性質(zhì)進行.

訓練4已知矩形A3CD中，AB=2,AD=1,點E,F,G,H分別在邊AB,BC,

CD,AD上（包含端點），若由.壽=2,則就與前夾角的余弦值的最大值是

答案5

解析如圖建立直角坐標系，則可設俞=?,1),壽=(2,s),—2W/W2,—lWsWl,

所以病?壽=2/+s=2,

M,壽〉=旦立

COS■\pH、4+s2—、(s/)2+4/+$+4

\EG\-\HF\

222

7(st)2—4st+(2f+s)2+4N(st)、-4s/+8yj(st-2)2+45

當s/WO時，(st—2)224,

當4>0時，由27+s=2,故s>0,t>0,

??2=2?+s；'：2\j2st,

：.st^,當且僅當s=l,時取等號,

:.St最大值為3，

.,.(s/—2)2的最小值為g—2)=*

24

此時qI(st—；2)、2+”4取得最大值為三5，

即E一G與H一F夾角的余弦值的最大值為處4

r■極化恒等式拓展視野

極化恒等式的證明過程與幾何意義

證明過程：如圖,

^AB=a,AD=b,則公=a+Z>,DB=a-b.

\AC\2=(a+b)2=\a\2+2a-b+\b\2,

\DB\2=(a-b)2=\a\z~2a-b+\b\2,

兩式相減得a-b=^[(a+b)2-(a-b)2],此即極化恒等式.

幾何意義：向量的數(shù)量積可以表示為以這組向量為鄰邊的平行四邊形的“和對角

線長”與“差對角線長”平方差的看

例(1)如圖，在三角形A3C中，。是3C的中點，E,R是AD上的兩個三等分點,

5ACA=4,RFCF=-\,則踮.前值為^_______.

答案

OR

解析設虎=a,DF=b,

蔭@=|曲2一|曲2=9-4,

BF&=\Fb\2-\BD\2=b2-a1=-l,

513

解得62=g,a2=-g~,

7

BECE=|ED|2一|友)|2=4戶一層=-

o

(2)已知點A,B,C均在半徑為明的圓上,若依司=2,則Ad慶:的最大值為.

答案2+26

解析設A,B,C三點所在圓的圓心為。，取A3中點。，

故公法=CACB=CD2-^AB2=cb2-1,

因為A,B,C三點在圓上，

所以CD長度最大為r+d,

其中d為圓心。到弦A3的距離,

故最大值為1+巾,

所以詼2—1的最大值為（1+6）2—1=2+2吸.

訓練（2022?北京卷）在△ABC中，AC=3,BC=4,NC=90。？為△ABC所在平面

內(nèi)的動點，且PC=1,則成?麗的取值范圍是（）

A.[—5,3]B.[-3,5]

C.[—6,4]D.[—4,6]

答案D

解析法一以C為坐標原點，C4,CB所在直線分別為x軸、y軸建立平面直

角坐標系（圖略），

則A（3,0）,3（0,4）.設P（x,y）,

則f+丁2=1,PA=（3—x,—y）,PB=（—x,4—y）,

所以戌?麗=f—3x+y2—4y=j一習+0—2）2—冬

又（x—1『+（廠2）2表示圓x2+j2=l上一點到點（I，2）距離的平方，圓心（0,0）

到點住,2）的距離為|,

所以畫?麗晶—if甫/1+1）2—苧」

即戌?西七[—4,6],故選D.

法二（極化恒等式）設A3的中點為由與次的夾角為仇

195—

由極化恒等式得慶?麗=聞/2—抻2=（屈一殍）2―彳=屈2+殍2—2說.我一

252525

了=1+1—5cosd~~^=1-5cos仇

因為cos1],

所以戌.麗?[—4,6],

分層精練?鞏固提升

【A級基礎鞏固】

1.已知平面向量a,b,|a|=L,步尸隹且。仍=1.若|c|=2,則（a+?-c的最大值

為（）

A.2小B.10

C.2D.5

答案A

解析設。十方，c的夾角為。，

則（a+Z>>c=|a+bHc|cos|a+Z>|-|c|=^/|a|2+|Z>|2+2a-Z>-|c|=2\[5,當a+b,c同向，

即0=Q時取等號.故選A.

2.（2023?泰州模擬）若向量a,8互相垂直，且滿足（a+??（2a—萬）=2,則|a+"的最

小值為（）

A.-2B.1

C.2D.^2

答案B

解析由題設，知a仍=0且（a+b>（2a—瓦）=2/—0方+2a仍一"=2/—方2=2,

a2=1+y,而|a+例2=/+2a。+廬=/+62=1十%三i,當向=0時等號成立,

??\（L~\~b\min=1.

3.（2023?淄博模擬）已知△ABC中，AB=4,AC=3,cosA=|,若。為邊3c上的

動點，則成?量）的取值范圍是（）

A.[4#12]B.[8g,16]

C.[4,16]D.[2,4]

答案C

解析由題意得：AD=AAB+(1-^)AC,0W2W1,ABAD=AB-[AAB+(1-A)AC]

=AAB2+(1-A)|A5|-|AC|COSA=16A+4-4A=12A+4G[4,16].

4.(2022.杭州模擬)邊長為2的正△ABC內(nèi)一點M(包括邊界)滿足:CM=|G4+ACB

(AER),則鼻.碗的取值范圍是()

r441

C.—y3D.[—2.2]

答案B

解析因為點M在△ABC內(nèi)部（包括邊界），

所以0寸4，由瓦^/=瓦（病+狗=南.（就+9+7司=—2+1+24

2,「22一

一尹2沮-3_.

5.（2023?石家莊調(diào)研）已知平面向量a,b,c,若|旬=立，|例=巾，ab=0,\c-a\

=1,則|c—回的最大值為（）

A.2B.3

C.4D.7

答案C

解析因為|。|=6，|臼=巾，ab=0,

則|a-臼=y]（a—b）2=yja2-2ab+b2=3,

又|c—a|=l,

于是有|c—b|=|（c—a）+（a—b）|W|c—a|+|a—。|=4,當且僅當c—a與a-b同向共

線時取“=”，

所以|c—臼的最大值為4.

7T

6.已知左GR,向量a,8的夾角為『|a|=l,以=2,則|a—劭的最小值是（）

A.；B,1

C.坐D.y/3

答案C

解析法一由題可得|a—劭產(chǎn)二層十^方2—2左a?方=442—2左+1=4（左一十*

13

所以當左=^時，I。一左肝取得最小值不

、分

所以|a—劭|的最小值為?

法二如圖，設為=a,OB=b,數(shù)形結合可知當（a—必），劭時,

B

jr、巧

|“一曲|的值最小，所以|a—H>|min=|absin2=2'

7.（2023?蘇州模擬）已知△ABC為等邊三角形，AB=2,AABC所在平面內(nèi)的點尸

滿足I成一油一危1=1,則由^1的最小值為（）

A.V3-1B.2吸—1

C.2小一1D市一1

答案C

解析H^7|A5+AC|2=AB2+AC2+2AB-AC=|A5|2+|AC|2+2|A5|?|AC|cos1=12,

所以|成十慶|=2#,

由平面向量模的三角不等式可得

\AP\=\(AP-AB-AC)+(AB+AC)|^AP-AB-AC\-\AB+AC\\=2y[3-\.

8.(2022.佛山二模)ZXABC中，AB=^2,ZACB=^,。是△ABC外接圓的圓心,

則沆.檢+游.宓的最大值為()

A.OB.1

C.3D.5

答案C

7T

解析在△ABC中，ZACB=^,。是△ABC外接圓圓心，

如圖所示，

C

AB

jr

則NAOB=2NAC3=1,

又因為AB=-\[2,

所以OA=OB=1,

即外接圓的半徑廠=1,

所以反商+鼻遇=沅（/一為）+（為一沅）（<^?—西=沅2-2近，0C

=1—2cosZAOC,

因為A,C不重合，所以向量為與沅的夾角范圍是（0,7i],

所以一IWCOSNAOCVI,

所以cosZAOC=—1,

即。為AC的中點時，歷.成+N?所取得最大值為1—2X(—1)=3.

9.(2023?青島質(zhì)檢)已知向量”=(加，1),b=(4—n,2),m>0,n>0,若a〃兒則去

+：4的最小值為.

答案|+^2

解析'：a//b,2m=4—n,

.*.^(2m+n)=l,

.「4fl.4^J1、C.n.8mA1r,l8m]3r-

=(~、—n——(

.m+~n\jnnJ*74V2m+n)7=74i\6+—m+n-J^74^6+2\lmnJ=^2+Jv2.

10汝口圖，在△043中，。是A3的中點，尸在線段。。上，且沆=2。力.過點P的

直線交線段。4,。3分別于點N,M,且礪=而宓，ON=nOA,其中機，n^[0,

1],則機+〃的最小值為.

答案1

解析由題意得沆=夕以+宿），

則2d>=*麗+上血），OP=-T~兩+4OM,

2\nm）4〃4m

又P,M,N共線，...?+*=1.

又加，〃￡[0,1],

"+〃=(m+”)[，+[)=照+1+1+*12+2{1務1,當且僅當m=n

=g時取等號.

11.(2023?金華模擬)已知平面單位向量ei,e2滿足|2ei—62|忘就.設a=ei+e2,b=

3ei+e2,向量a,〃的夾角為仇則sin。的最大值是.

宏安2^22

口本29

角星析:|2ei——e2\W啦,

3

.*?4—4ei?e2+1W2,/.eieN不

又ei?C2W|ei||c2|=l,

3

則WWeigWl,

又〃=61+。2,8=3ei+c2,

則|a|=q2+2ei?C2,\b\=yj10+6erC2,

。?力=4+4e「e2,

又向量a,b的夾角為仇

ni.ab_2(l+eie)

人cosyl+ei?e2y5+3ei0'

3

設％=ei?C2,則a&Wl,

I2(1+1)2,1+%

則cos人產(chǎn)后r-？

_______、/]一tIQ7

則sin0=^=^l-CO^=^^=yJ3(3/+5)-3,

「313\[29

又丁=財在[不1]為減函數(shù)，則當/=/，期取最大值為小

12.(2023?廣州綜合測試)已知菱形ABCD的邊長為2,NA3C=60。，點P在3C邊

上（包括端點），則量）?存的取值范圍是.

答案L2,2]

解析法一根據(jù)點P在線段上，

可設第=2慶X0W4W1）,

則成一屈=2（AC-AB）,

則成=（1一丸）油+丸公，

又四邊形A3CD是菱形，ZABC=60°,

所以慶=協(xié)+助，

所以崩=（1—7）協(xié)+4（檢+助）=油+7助.

則心量）=（屈+7量））屈=曲量）+疝）2,

因為四邊形ABCD是邊長為2的菱形，且乙鉆C=60。，

所以N3AD=120。，AB=AD=2,

則Akib=|檢Hib卜cos12（）O=2X2X（—0=—2,AD2=4,

所以力Zb=47—2,

因為0W2W1,所以修?助d[—2,2].

法二因為四邊形ABCD是菱形，

所以ACL3。，

記AC,BD的交點、為0,以。為坐標原點，AC,3。所在直線分別為x,y軸建

立平面直角坐標系，如圖所示.

因為菱形A3CD的邊長為2,且NABC=60。,

所以AC=2,BD=2小,

則A(—1,0),3(0,一小)，C(l,0),D(0,小),

y

則直線BC的方程為一小1,

即y=-\l3x—y[3,

因為點P在線段上，

所以設P(xo,y[3xo—^3),且OWxoWl,

則助=（1,小）,AP=（xo+l,小xo一小）,

所以設lX（xo+1）+^3X（仍次一仍）=4xo—2,

又OWxoWl,所以^方G[—2,2].

【B級能力提升】

13.平面直角坐標系中,。為坐標原點.已知點A（—2,0）,點尸（cos。，sine）（8WR）,

則向量屐＞與能的夾角的取值范圍是（）

「兀兀]「八兀

A1一了6jB.[0,g

兀兀八兀

C.[—4,4JD.[o,4

答案B

解析根據(jù)題意，設向量才3與能的夾角為a,點A(—2,0),點P(cosasin6),

則劭=(2,0),AP=(cos0+2,sin》,

則|花|:2,|AP|=AJ4COS0+5,

AOAP=2(cos8+2)=2cos。+4,

reAb-AP2cos8+4cos0+2ifr.7777?_3、

人c°s"一的油-2*q4cos。+5-44cos。+5-/C°S14cos小米

又由4cos4+5三1,

________3

則山3"5+53小，2小，

當且僅當cose=一：時等號成立，

則cos2，

jr

又由故