圓錐曲線?？碱}型（原卷版）-2025屆高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)

圓錐曲線?？碱}型

圓錐曲線的定義：

①阿氏圓

例1.已知A,8為平面內(nèi)的兩點，AB=2,〃是AB的中點，點P在該平面內(nèi)運動，且滿

足PA=6PB,則PM的最大值為.

例2.已知A(O,1),8(1,0),C?,0)，點。在直線AC上，若|4。|,,0|3。|恒成立，則f的

取值范圍是—.

例3.已知a,是平面內(nèi)三個單位向量，若,則|a+2c|+13a+2b-c|的最小值是

鞏固練習(xí)：

1.平面直角坐標系xOy中，已知點A(0,3),圓(7:(尤-。)2+(＞一2。+4)2=1.若圓C上存在

點使M4=2MO,則a的取值范圍是.

2.已知A,3是平面上兩個定點，平面上的動點C,。滿足￡豆=出=相，若對于任意

\CB\\DB\

的根..3,不等式|CO|?Z|AB|恒成立，則實數(shù))的最小值為.

②隱含“圓”

例1.已知a、6是單位向量，。乃=0.若向量c滿足|c-a-b|=l,貝！l|c|的最大值是.

例2.在平面直角坐標系中，A和3是圓C:(x-l)2+;/=l上兩點，且48=應(yīng)，點尸的

坐標為(2,1),則|2尸4-尸8|的取值范圍為.

例3.已知尤,yeR,且滿足尤-66-4“-y+12=0,則x的取值范圍為.

鞏固練習(xí):

1.已知圓C:(x-1)2+(y-必)2=1和兩點A(0,〃?)，2(0,-ni){m>0),若圓C上存在點P,

使得NAPB=90。，則實數(shù)機的取值范圍為.

2

2.已知圓G:d+丁=9,圓C2:Y+y=4,定點Af(l,0),動點A,B分別在圓C2和圓G上，

滿足NAMB=90。，則線段AB的取值范圍是.

3.若實數(shù)a,b,c成等差數(shù)列，點尸(-1,0)在動直線依+勿+c=0上的射影為已知點

N(3,3),則線段跖V長度的最大值是.

③利用定義求軌跡方程

例1.已知動點尸(x,點滿足一2)2+(y-J+*+121,則點尸的軌跡是()

A.雙曲線B.拋物線C.兩條相交直線D.橢圓

例2.已知圓C:(x+3/+y2=4及點A(3,0),Q為圓周上一點，AQ的垂直平分線交直線C。

于點則動點Af的軌跡方程為一.

例3.已知圓(x+4)2+V=25的圓心為根，圓。_4)2+丁=1的圓心為此，動圓與這兩個

圓都外切，則動圓圓心的軌跡方程為一.

鞏固練習(xí)：

1.如圖，在正方體45c中，當動點M在側(cè)面內(nèi)運動時，總有

NMD、D=NBDQ,則動點M在平面BCQ耳內(nèi)的軌跡是()

A.圓的一部分B.橢圓的一部分

C.雙曲線的一部分D.拋物線的一部分

2.已知兩點耳(-/,0)、居(百,0),設(shè)圓。：/+丁=4與x軸交于A、5兩點，且動點尸

滿足：以線段gp為直徑的圓與圓。相內(nèi)切，如圖所示，記動點尸的軌跡為r,則軌跡r的

方程是—.

④利用定義求值

22

例1.如圖，把橢圓匕+L=1的長軸4?分成8等份，過每個分點作無軸的垂線交橢圓的

2516

上半部分于6、P2>〃、舄、乙、乙、6七個點，P是橢圓的一個焦點，則

V尸|+|下尸1+|鳥尸I+IBPI+W產(chǎn)I+M尸1+有尸1=—.

例2.關(guān)于x的實系數(shù)一元二次方程Y-2p尤+4=0的兩個虛根4、z2,若4、z2在復(fù)平面

上對應(yīng)的點是經(jīng)過原點的橢圓的兩個焦點，則該橢圓的長軸長為—,

鞏固練習(xí)：

1.已知拋物線C:y2=2Px(0>0)的焦點為F,P(3,m)是拋物線上一點，過點P向拋物線C的

準線引垂線，垂足為若AFDF為等邊三角形，則°=—.

⑤利用定義求最值和范圍

例1.已知點Q（2夜,0）及拋物線＞=、上一動點P（%,%）,則%+|PQ|的最小值為.

例2.若C（-石,0）、。（6,0）,V是橢圓三+丁=1上的動點，則+的最小值

4-\MC\\MD\

為—,

鞏固練習(xí)：

1.如圖，點F是拋物線C：f=4y的焦點，點A,3分別在拋物線C和圓f+（y-i）2=4的

實線部分上運動，且AB總是平行于y軸，則AAFB周長的取值范圍是—.

圓錐曲線的最值和范圍：

一、方程思想

例1.已知七,x2是關(guān)于x的方程/+如-（2血+1）=0的兩個實數(shù)根，則經(jīng)過兩點A（x1,%；）,

22

8（無2，尤；）的直線與橢圓亮+亍=1公共點的個數(shù)是（）

A.2B.1C.0D.不確定

22

例2.已知橢圓6：、+]=1的左右焦點為耳，F(xiàn)2,直線乙過點K且垂直于橢圓的長軸,

動直線4垂直于直線4于點尸，線段超的垂直平分線與4的交點的軌跡為曲線C2,若

A（l,2）,2（再，y）,C（x2,%）是C?上不同的點，且則為的取值范圍是.

鞏固練習(xí)：

1.過直線/:尤+y=3上任一點尸向圓C:f+y2=i作兩條切線，切點分別為A,3,線段至

的中點為。，則點。到直線/的距離的取值范圍為一.

22

2.過橢圓二+二=1上一點Af作圓/+9=2的兩條切線，切點為A、B,過A、3的直

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線與x軸和y軸分別交于P、Q,則APO。面積的最小值為.

二、函數(shù)思想

例1.若實數(shù)x,y滿足、+9=1,則(x+l)(2y+l)的取值范圍是.

例2.在平面直角坐標系xOy中，設(shè)定點A(a,a)(a>0),尸是函數(shù)y=L(x>0)圖象上一

動點，若點尸，A之間的最短距離為20,則滿足條件的正實數(shù)。的值為一.

例3.已知P點是橢圓三+9=1上的動點，。點是圓f+⑶一2)2=1上的動點，則線段PQ長

度的最大值為一.

鞏固練習(xí)：

22

1.若點。和點尸分別為橢圓工+工=1的中心和左焦點，點P為橢圓上的任一點，則。尸."

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的最小值為.

2.已知圓O以鉆為直徑，半徑為2,點O,M都在線段AB上，AO=2,BM=1,過

點M作互相垂直的弦GE和FD,則GE.FD的取值范圍是.

三、基本不等式

1.已知拋物線丁=16X的焦點為尸(4,0),過F作直線/交拋物線于M,N兩點，則

2.若橢圓三+4=1(。>匕>1)內(nèi)有圓/+/=1,該圓的切線與橢圓交于A,3兩點,

ab~

且滿足。405=0(其中。為坐標原點)，貝19儲+16廿的最小值是

四、數(shù)形結(jié)合思想

①直線和圓

例1.在平面直角坐標系xOy中，已知圓無2+y2=4上有且僅有四個點到直線4x-3y+c=0的

距離為1,則實數(shù)c的取值范圍是—.

例2.已知圓。:犬+;/=1,直線/：x-y-2=0,動點P為/上一點，圓。存在一點Q,使得

ZQPO=30°,則點P橫坐標的取值范圍是.

例3.在平面直角坐標系xOy中，已知圓M:(無-a)?+(y+a-3)2=4(。eR).過原點的動直線

/與圓M交于A,B兩點.若以線段互為直徑的圓，與以M為圓心，為半徑的圓始

終無公共點，則實數(shù)。的取值范圍是—.

鞏固練習(xí)：

1.已知直線/:立一＞+左=0和_M:(x-2)2+(y-2)2=l,若直線/上存在點A,M上存在

B,C兩點，使得ZBAC=工，則％的取值范圍為.

3----

2

2.已知集合A={(x,y)|(無一3-4cosq)2+(y-5-4sin^)=4,0ER],

B={(x,y)|3x+4y-19=0}.記集合P=A「B,則集合P所表示的軌跡的長度為.

3.在平面直角坐標系中，已知點尸(3,0)在圓C:(元-加了+(y-2)2=40內(nèi)，動直線過點產(chǎn)，

且交圓C于A,5兩點，若AABC面積的最大值為20,則實數(shù)〃?的取值范圍是.

②幾何意義(包含線性規(guī)劃)

例1.已知圓C:(x+2)2+_/=1,尸(x,y)為圓。上任意一點.

(1)求匕匚的最大值和最小值；

x-1

(2)求尤-2y的最大值和最小值；

(3)求(尤-1)?+(y-1)。的最大值和最小值.

flgllr4

例2.設(shè)x、y滿足約束條件匚，貝心=爐+(}；-4)2的取值范圍是.

"[-1骸!k-y0-

例3.在平面直角坐標系xOy中，A,3是圓O：f+y2=2上兩個動點，且Q4_LO8.若A,

3兩點到直線/:3x+4y-10=0的距離分別為4,d2,則4+4的最大值為-

例4.若函數(shù)/(x)=|asinx+Z?cosx-l|+|Z2sinx-acos玳a,Z?eR)的最大值為H,則

a2+b2=.

鞏固練習(xí)：

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1.已知P(x,y)是橢圓￡+5=1上的一個動點，則x+y的最大值是.

2.函數(shù)f(x,y)=y]9x2+4+J9x2-12孫+4y?+1+J4y'-16y+20的最小值為

,達到最小值時，尤,y的值分別為—.

3.函數(shù)=_1+sm夕(0WxW1)的最小值為g(。),則對一切0,J,g(。)的

2+cos62

最大值為.

4.已知x?0,Y+(y—2)2=1,則W=3,+2/2+5廠的最值是_.

,f+V

③是否存在三角形

例1.如圖：平面上兩點P(0,l),Q(3,6),在直線y=x上取兩點M,N,使|MV|=J5

且使|PM|+1睦V|+1NQ|的值取最小，則N的坐標為

22

例2.居是橢圓上+乙=1的右焦點，P是橢圓上的動點，A(L用)為定

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點，貝||24|+|「片|的最小值為.

例3.點P在橢圓?+1-=1上運動，Q、R分別在兩圓(龍+1)?+V=1和(％一1)2+/=1

上運動，則IPQI+IPRI的最大值為,最小值為

例4.點M是拋物線C:x2=2py(p>0)的對稱軸與準線的交點，點F為拋物線C的焦點，點

尸在拋物線。上，在AFPM中，sinZPFM=AsinZPMF,則；I的最大值為.

鞏固練習(xí)：

22

1.橢圓工+匕=1的右焦點為b，點P是橢圓上一動點，點又是圓C：尤2+(y—3)2=1上

43

一動點，求1PMl+|P目的最大值及此時點P的坐標.

2.已知圓M:爐+⑶―=1,圓N:/+(y+l)2=1,直線4、4分別過圓心M、N,且《

X2V2

與圓/相交于A、3兩點，4與圓N相交于C、。兩點，點尸是橢圓一+"=1上任意

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一點，則巳4-23+/>(7-7>。的最小值為一.

④曲線的圖像

例1.由曲線f+y2=|x|+|y|所圍成的圖形面積為.

例2.在約束條件|x+l|+|y-2|,,3下，目標函數(shù)z=x+2y的最大值為.

例3.若曲線G:y=2+JT2-2X與曲線C2：(y-2)(y-辰+左)=0有四個不同的交點,則實數(shù)

%的取值范圍是.

鞏固練習(xí)：

1.已知女wZ,若曲線f+y2=%2與曲線孫=左無交點，則女=.

丫2

2.如果方程j+y|y|=l所對應(yīng)的曲線與函數(shù)y=/(x)的圖象完全重合，那么對于函數(shù)

y=/(兀)有如下結(jié)論：

①函數(shù)/。）在H上單調(diào)遞減；②y=/（x）的圖象上的點到坐標原點距離的最小值為1；

③函數(shù)/（尤）的值域為（-8,2］；④函數(shù)/（x）=/（x）+x有且只有一個零點.

其中正確結(jié)論的序號是—.

3.已知曲線C：學(xué)-