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河南省安陽市林州一中火箭班2025屆高三第三次測評數(shù)學(xué)試卷注意事項(xiàng):1.答題前,考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫清楚,將條形碼準(zhǔn)確粘貼在考生信息條形碼粘貼區(qū)。2.選擇題必須使用2B鉛筆填涂;非選擇題必須使用0.5毫米黑色字跡的簽字筆書寫,字體工整、筆跡清楚。3.請按照題號順序在各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答,超出答題區(qū)域書寫的答案無效;在草稿紙、試題卷上答題無效。4.保持卡面清潔,不要折疊,不要弄破、弄皺,不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.設(shè),是兩條不同的直線,,是兩個(gè)不同的平面,下列命題中正確的是()A.若,,,則B.若,,,則C.若,,,則D.若,,,則2.已知實(shí)數(shù),,函數(shù)在上單調(diào)遞增,則實(shí)數(shù)的取值范圍是()A. B. C. D.3.若函數(shù)有且只有4個(gè)不同的零點(diǎn),則實(shí)數(shù)的取值范圍是()A. B. C. D.4.已知函數(shù),,若對任意,總存在,使得成立,則實(shí)數(shù)的取值范圍為()A. B.C. D.5.已知函數(shù)()的最小值為0,則()A. B. C. D.6.在四面體中,為正三角形,邊長為6,,,,則四面體的體積為()A. B. C.24 D.7.若雙曲線的一條漸近線與直線垂直,則該雙曲線的離心率為()A.2 B. C. D.8.若復(fù)數(shù)滿足(為虛數(shù)單位),則其共軛復(fù)數(shù)的虛部為()A. B. C. D.9.已知三棱錐的四個(gè)頂點(diǎn)都在球的球面上,平面,是邊長為的等邊三角形,若球的表面積為,則直線與平面所成角的正切值為()A. B. C. D.10.設(shè)是兩條不同的直線,是兩個(gè)不同的平面,下列命題中正確的是()A.若,,則 B.若,,則C.若,,則 D.若,,則11.已知是等差數(shù)列的前項(xiàng)和,若,設(shè),則數(shù)列的前項(xiàng)和取最大值時(shí)的值為()A.2020 B.20l9 C.2018 D.201712.在平行六面體中,M為與的交點(diǎn),若,,則與相等的向量是()A. B. C. D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.成都市某次高三統(tǒng)考,成績X經(jīng)統(tǒng)計(jì)分析,近似服從正態(tài)分布,且,若該市有人參考,則估計(jì)成都市該次統(tǒng)考中成績大于分的人數(shù)為_____.14.已知數(shù)列是等比數(shù)列,,則__________.15.在平面直角坐標(biāo)系中,若雙曲線經(jīng)過點(diǎn)(3,4),則該雙曲線的準(zhǔn)線方程為_____.16.點(diǎn)P是△ABC所在平面內(nèi)一點(diǎn)且在△ABC內(nèi)任取一點(diǎn),則此點(diǎn)取自△PBC內(nèi)的概率是____三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)如圖1,已知四邊形BCDE為直角梯形,,,且,A為BE的中點(diǎn)將沿AD折到位置如圖,連結(jié)PC,PB構(gòu)成一個(gè)四棱錐.(Ⅰ)求證;(Ⅱ)若平面.①求二面角的大?。虎谠诶釶C上存在點(diǎn)M,滿足,使得直線AM與平面PBC所成的角為,求的值.18.(12分)若正數(shù)滿足,求的最小值.19.(12分)已知函數(shù).(1)當(dāng)時(shí),求的單調(diào)區(qū)間;(2)若函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn),,且,為的導(dǎo)函數(shù),設(shè),求的取值范圍,并求取到最小值時(shí)所對應(yīng)的的值.20.(12分)已知,函數(shù).(1)若函數(shù)在上為減函數(shù),求實(shí)數(shù)的取值范圍;(2)求證:對上的任意兩個(gè)實(shí)數(shù),,總有成立.21.(12分)已知函數(shù).(1)若在處導(dǎo)數(shù)相等,證明:;(2)若對于任意,直線與曲線都有唯一公共點(diǎn),求實(shí)數(shù)的取值范圍.22.(10分)如圖,四棱錐的底面ABCD是正方形,為等邊三角形,M,N分別是AB,AD的中點(diǎn),且平面平面ABCD.(1)證明:平面PNB;(2)問棱PA上是否存在一點(diǎn)E,使平面DEM,求的值
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、D【解析】試題分析:,,故選D.考點(diǎn):點(diǎn)線面的位置關(guān)系.2、D【解析】
根據(jù)題意,對于函數(shù)分2段分析:當(dāng),由指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)分析可得①,當(dāng),由導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系可得,在上恒成立,變形可得②,再結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性,分析可得③,聯(lián)立三個(gè)式子,分析可得答案.【詳解】解:根據(jù)題意,函數(shù)在上單調(diào)遞增,
當(dāng),若為增函數(shù),則①,
當(dāng),若為增函數(shù),必有在上恒成立,
變形可得:,
又由,可得在上單調(diào)遞減,則,
若在上恒成立,則有②,
若函數(shù)在上單調(diào)遞增,左邊一段函數(shù)的最大值不能大于右邊一段函數(shù)的最小值,則需有,③
聯(lián)立①②③可得:.
故選:D.【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)以及應(yīng)用,注意分段函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì).3、B【解析】
由是偶函數(shù),則只需在上有且只有兩個(gè)零點(diǎn)即可.【詳解】解:顯然是偶函數(shù)所以只需時(shí),有且只有2個(gè)零點(diǎn)即可令,則令,遞減,且遞增,且時(shí),有且只有2個(gè)零點(diǎn),只需故選:B【點(diǎn)睛】考查函數(shù)性質(zhì)的應(yīng)用以及根據(jù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)確定參數(shù)的取值范圍,基礎(chǔ)題.4、C【解析】
將函數(shù)解析式化簡,并求得,根據(jù)當(dāng)時(shí)可得的值域;由函數(shù)在上單調(diào)遞減可得的值域,結(jié)合存在性成立問題滿足的集合關(guān)系,即可求得的取值范圍.【詳解】依題意,則,當(dāng)時(shí),,故函數(shù)在上單調(diào)遞增,當(dāng)時(shí),;而函數(shù)在上單調(diào)遞減,故,則只需,故,解得,故實(shí)數(shù)的取值范圍為.故選:C.【點(diǎn)睛】本題考查了導(dǎo)數(shù)在判斷函數(shù)單調(diào)性中的應(yīng)用,恒成立與存在性成立問題的綜合應(yīng)用,屬于中檔題.5、C【解析】
設(shè),計(jì)算可得,再結(jié)合圖像即可求出答案.【詳解】設(shè),則,則,由于函數(shù)的最小值為0,作出函數(shù)的大致圖像,結(jié)合圖像,,得,所以.故選:C【點(diǎn)睛】本題主要考查了分段函數(shù)的圖像與性質(zhì),考查轉(zhuǎn)化思想,考查數(shù)形結(jié)合思想,屬于中檔題.6、A【解析】
推導(dǎo)出,分別取的中點(diǎn),連結(jié),則,推導(dǎo)出,從而,進(jìn)而四面體的體積為,由此能求出結(jié)果.【詳解】解:在四面體中,為等邊三角形,邊長為6,,,,,,分別取的中點(diǎn),連結(jié),則,且,,,,平面,平面,,四面體的體積為:.故答案為:.【點(diǎn)睛】本題考查四面體體積的求法,考查空間中線線,線面,面面間的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識,考查運(yùn)算求解能力.7、B【解析】
由題中垂直關(guān)系,可得漸近線的方程,結(jié)合,構(gòu)造齊次關(guān)系即得解【詳解】雙曲線的一條漸近線與直線垂直.∴雙曲線的漸近線方程為.,得.則離心率.故選:B【點(diǎn)睛】本題考查了雙曲線的漸近線和離心率,考查了學(xué)生綜合分析,概念理解,數(shù)學(xué)運(yùn)算的能力,屬于中檔題.8、D【解析】
由已知等式求出z,再由共軛復(fù)數(shù)的概念求得,即可得虛部.【詳解】由zi=1﹣i,∴z=,所以共軛復(fù)數(shù)=-1+,虛部為1故選D.【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算和共軛復(fù)數(shù)的基本概念,屬于基礎(chǔ)題.9、C【解析】
設(shè)為中點(diǎn),先證明平面,得出為所求角,利用勾股定理計(jì)算,得出結(jié)論.【詳解】設(shè)分別是的中點(diǎn)平面是等邊三角形又平面為與平面所成的角是邊長為的等邊三角形,且為所在截面圓的圓心球的表面積為球的半徑平面本題正確選項(xiàng):【點(diǎn)睛】本題考查了棱錐與外接球的位置關(guān)系問題,關(guān)鍵是能夠通過垂直關(guān)系得到直線與平面所求角,再利用球心位置來求解出線段長,屬于中檔題.10、C【解析】
在A中,與相交或平行;在B中,或;在C中,由線面垂直的判定定理得;在D中,與平行或.【詳解】設(shè)是兩條不同的直線,是兩個(gè)不同的平面,則:在A中,若,,則與相交或平行,故A錯(cuò)誤;在B中,若,,則或,故B錯(cuò)誤;在C中,若,,則由線面垂直的判定定理得,故C正確;在D中,若,,則與平行或,故D錯(cuò)誤.故選C.【點(diǎn)睛】本題考查命題真假的判斷,考查空間中線線、線面、面面間的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識,是中檔題.11、B【解析】
根據(jù)題意計(jì)算,,,計(jì)算,,,得到答案.【詳解】是等差數(shù)列的前項(xiàng)和,若,故,,,,故,當(dāng)時(shí),,,,,當(dāng)時(shí),,故前項(xiàng)和最大.故選:.【點(diǎn)睛】本題考查了數(shù)列和的最值問題,意在考查學(xué)生對于數(shù)列公式方法的綜合應(yīng)用.12、D【解析】
根據(jù)空間向量的線性運(yùn)算,用作基底表示即可得解.【詳解】根據(jù)空間向量的線性運(yùn)算可知因?yàn)?,則即,故選:D.【點(diǎn)睛】本題考查了空間向量的線性運(yùn)算,用基底表示向量,屬于基礎(chǔ)題.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、.【解析】
根據(jù)正態(tài)分布密度曲線性質(zhì),結(jié)合求得,即可得解.【詳解】根據(jù)正態(tài)分布,且,所以故該市有人參考,則估計(jì)成都市該次統(tǒng)考中成績大于分的人數(shù)為.故答案為:.【點(diǎn)睛】此題考查正態(tài)分布密度曲線性質(zhì)的理解辨析,根據(jù)曲線的對稱性求解概率,根據(jù)總?cè)藬?shù)求解成績大于114的人數(shù).14、【解析】
根據(jù)等比數(shù)列通項(xiàng)公式,首先求得,然后求得.【詳解】設(shè)的公比為,由,得,故.故答案為:【點(diǎn)睛】本小題主要考查等比數(shù)列通項(xiàng)公式的基本量計(jì)算,屬于基礎(chǔ)題.15、【解析】
代入求解得,再求準(zhǔn)線方程即可.【詳解】解:雙曲線經(jīng)過點(diǎn),,解得,即.又,故該雙曲線的準(zhǔn)線方程為:.故答案為:.【點(diǎn)睛】本題主要考查了雙曲線的準(zhǔn)線方程求解,屬于基礎(chǔ)題.16、【解析】
設(shè)是中點(diǎn),根據(jù)已知條件判斷出三點(diǎn)共線且是線段靠近的三等分點(diǎn),由此求得,結(jié)合幾何概型求得點(diǎn)取自三角形的概率.【詳解】設(shè)是中點(diǎn),因?yàn)椋?,所以三點(diǎn)共線且點(diǎn)是線段靠近的三等分點(diǎn),故,所以此點(diǎn)取自內(nèi)的概率是.故答案為:【點(diǎn)睛】本小題主要考查三點(diǎn)共線的向量表示,考查幾何概型概率計(jì)算,屬于基礎(chǔ)題.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、Ⅰ詳見解析;Ⅱ①,②或.【解析】
Ⅰ可以通過已知證明出平面PAB,這樣就可以證明出;Ⅱ以點(diǎn)A為坐標(biāo)原點(diǎn),分別以AB,AD,AP為x,y,z軸,建立空間直角坐標(biāo)系,可以求出相應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo),求出平面PBC的法向量為、平面PCD的法向量,利用空間向量的數(shù)量積,求出二面角的大?。磺蟪銎矫鍼BC的法向量,利用線面角的公式求出的值.【詳解】證明:Ⅰ在圖1中,,,為平行四邊形,,,,當(dāng)沿AD折起時(shí),,,即,,又,平面PAB,又平面PAB,.解:Ⅱ以點(diǎn)A為坐標(biāo)原點(diǎn),分別以AB,AD,AP為x,y,z軸,建立空間直角坐標(biāo)系,由于平面ABCD則0,,0,,1,,0,,1,1,,1,,0,,設(shè)平面PBC的法向量為y,,則,取,得0,,設(shè)平面PCD的法向量b,,則,取,得1,,設(shè)二面角的大小為,可知為鈍角,則,.二面角的大小為.設(shè)AM與面PBC所成角為,0,,1,,,,平面PBC的法向量0,,直線AM與平面PBC所成的角為,,解得或.【點(diǎn)睛】本題考查了利用線面垂直證明線線垂直,考查了利用向量數(shù)量積,求二面角的大小以及通過線面角公式求定比分點(diǎn)問題.18、【解析】試題分析:由柯西不等式得,所以試題解析:因?yàn)榫鶠檎龜?shù),且,所以.于是由均值不等式可知,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí),上式等號成立.從而.故的最小值為.此時(shí).考點(diǎn):柯西不等式19、(1)單調(diào)遞增區(qū)間為,單調(diào)遞減區(qū)間為(2)的取值范圍是;對應(yīng)的的值為.【解析】
(1)當(dāng)時(shí),求的導(dǎo)數(shù)可得函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;(2)若函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn),,且,利用導(dǎo)函數(shù),可得的范圍,再表達(dá),構(gòu)造新函數(shù)可求的取值范圍,從而可求取到最小值時(shí)所對應(yīng)的的值.【詳解】(1)函數(shù)由條件得函數(shù)的定義域:,當(dāng)時(shí),,所以:,時(shí),,當(dāng)時(shí),,當(dāng),時(shí),,則函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為:,單調(diào)遞減區(qū)間為:,;(2)由條件得:,,由條件得有兩根:,,滿足,△,可得:或;由,可得:.,函數(shù)的對稱軸為,,所以:,;,可得:,,,則:,所以:;所以:,令,,,則,因?yàn)椋簳r(shí),,所以:在,上是單調(diào)遞減,在,上單調(diào)遞增,因?yàn)椋海?),,(1),所以,;即的取值范圍是:,;,所以有,則,;所以當(dāng)取到最小值時(shí)所對應(yīng)的的值為;【點(diǎn)睛】本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值和單調(diào)區(qū)間問題,考查利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值,體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的思想方法,屬于難題.20、(1)(2)見解析【解析】
(1)求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù),依題意可得在上恒成立,參變分離得在上恒成立.設(shè),求出即可得到參數(shù)的取值范圍;(2)不妨設(shè),,,利用導(dǎo)數(shù)說明函數(shù)在上是減函數(shù),即可得證;【詳解】解:(1)∵∴,且函數(shù)在上為減函數(shù),即在上恒成立,∴在上恒成立.設(shè),∵函數(shù)在上單調(diào)遞增,∴,∴,∴實(shí)數(shù)的取值范圍為.(2)不妨設(shè),,,則,∴.∵,∴,又,令,∴,∴在上為減函數(shù),∴,∴,即,∴在上是減函數(shù),∴,即,∴,∴當(dāng)時(shí),.∵,∴.【點(diǎn)睛】本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、極值與最值,利用導(dǎo)數(shù)證明不等式,考查了推理能力與計(jì)算能力,屬于難題.21、(I)見解析(II)【解析】
(1)由題x>0,,由f(x)在x=x1,x2(x1≠x2)處導(dǎo)數(shù)相等,得到,得,由韋達(dá)定理得,由基本不等式得,得,由題意得,令,則,令,,利用導(dǎo)數(shù)性質(zhì)能證明.(2)由得,令,利用反證法可證明證明恒成立.由對任意,只有一個(gè)解,得為上的遞增函數(shù),得,令,由此可求的取值范圍..【詳解】(I)令,得,由韋達(dá)定理得即,得令,則,令,則,得(II)由得令,則,,下面先證明恒成立.若存在,使得,,,且當(dāng)自變量充分大時(shí),,所以存在,,使得,,取,則與至少有兩個(gè)交點(diǎn),矛盾.由對任意,只有一個(gè)解,得為上的遞增函數(shù),得,令,則,得【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)的單調(diào)性,導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算及其應(yīng)用,同時(shí)考查邏輯思維能力和綜合應(yīng)用能力屬難題.22、(1)證明見解析;(2)存在,.【解析】
(1)根據(jù)題意證出,,再由線面垂直的判定定理即可證出.(2)連接AC交DM于點(diǎn)Q,連接EQ,利用線面平行的性質(zhì)定理可得,從而可得,在正方形ABCD中,由
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