北京海淀中關(guān)村中學(xué)2025屆高考數(shù)學(xué)一模試卷含解析

北京海淀中關(guān)村中學(xué)2025屆高考數(shù)學(xué)一模試卷注意事項(xiàng)：1．答題前，考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫清楚，將條形碼準(zhǔn)確粘貼在考生信息條形碼粘貼區(qū)。2．選擇題必須使用2B鉛筆填涂；非選擇題必須使用0．5毫米黑色字跡的簽字筆書寫，字體工整、筆跡清楚。3．請(qǐng)按照題號(hào)順序在各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試題卷上答題無效。4．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．已知向量，，且與的夾角為，則x=（）A．-2 B．2 C．1 D．-12．古希臘數(shù)學(xué)家畢達(dá)哥拉斯在公元前六世紀(jì)發(fā)現(xiàn)了第一、二個(gè)“完全數(shù)”6和28，進(jìn)一步研究發(fā)現(xiàn)后續(xù)三個(gè)“完全數(shù)”分別為496，8128，33550336，現(xiàn)將這五個(gè)“完全數(shù)”隨機(jī)分為兩組，一組2個(gè)，另一組3個(gè)，則6和28恰好在同一組的概率為A． B． C． D．3．在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)，，若動(dòng)點(diǎn)滿足，則的取值范圍是（）A． B．C． D．4．已知定義在上的函數(shù)，，，，則，，的大小關(guān)系為（）A． B． C． D．5．已知f（x）=ax2+bx是定義在[a–1，2a]上的偶函數(shù)，那么a+b的值是A． B．C． D．6．高斯是德國著名的數(shù)學(xué)家，近代數(shù)學(xué)奠基者之一，享有“數(shù)學(xué)王子”的稱號(hào)，用其名字命名的“高斯函數(shù)”為：設(shè)，用表示不超過的最大整數(shù)，則稱為高斯函數(shù)，例如：，，已知函數(shù)（），則函數(shù)的值域?yàn)椋ǎ〢． B． C． D．7．若集合，則（）A． B．C． D．8．我國古代數(shù)學(xué)家秦九韶在《數(shù)書九章》中記述了“三斜求積術(shù)”，用現(xiàn)代式子表示即為：在中，角所對(duì)的邊分別為，則的面積.根據(jù)此公式，若，且，則的面積為（）A． B． C． D．9．某校8位學(xué)生的本次月考成績恰好都比上一次的月考成績高出50分，則以該8位學(xué)生這兩次的月考成績各自組成樣本，則這兩個(gè)樣本不變的數(shù)字特征是（）A．方差 B．中位數(shù) C．眾數(shù) D．平均數(shù)10．已知函數(shù)，，若，對(duì)任意恒有，在區(qū)間上有且只有一個(gè)使，則的最大值為（）A． B． C． D．11．若復(fù)數(shù)滿足，則的虛部為（）A．5 B． C． D．-512．如圖，設(shè)為內(nèi)一點(diǎn)，且，則與的面積之比為A． B．C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知點(diǎn)M是曲線y＝2lnx＋x2﹣3x上一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)曲線在M處的切線斜率取得最小值時(shí)，該切線的方程為_______．14．由于受到網(wǎng)絡(luò)電商的沖擊，某品牌的洗衣機(jī)在線下的銷售受到影響，承受了一定的經(jīng)濟(jì)損失，現(xiàn)將地區(qū)200家實(shí)體店該品牌洗衣機(jī)的月經(jīng)濟(jì)損失統(tǒng)計(jì)如圖所示，估算月經(jīng)濟(jì)損失的平均數(shù)為，中位數(shù)為n，則_________.15．已知半徑為4的球面上有兩點(diǎn)A，B，AB=42，球心為O，若球面上的動(dòng)點(diǎn)C滿足二面角C-AB-O的大小為60°16．已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，向量（4，﹣n），（Sn，n+3）.若⊥，則數(shù)列{}前2020項(xiàng)和為_____三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）某貧困地區(qū)幾個(gè)丘陵的外圍有兩條相互垂直的直線型公路，以及鐵路線上的一條應(yīng)開鑿的直線穿山隧道，為進(jìn)一步改善山區(qū)的交通現(xiàn)狀，計(jì)劃修建一條連接兩條公路和山區(qū)邊界的直線型公路，以所在的直線分別為軸，軸，建立平面直角坐標(biāo)系，如圖所示，山區(qū)邊界曲線為，設(shè)公路與曲線相切于點(diǎn)，的橫坐標(biāo)為.（1）當(dāng)為何值時(shí)，公路的長度最短?求出最短長度；（2）當(dāng)公路的長度最短時(shí)，設(shè)公路交軸，軸分別為，兩點(diǎn)，并測得四邊形中，，，千米，千米，求應(yīng)開鑿的隧道的長度.18．（12分）選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程：在平面直角坐標(biāo)系中，曲線：（為參數(shù)），在以平面直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)為極點(diǎn)、軸的正半軸為極軸，且與平面直角坐標(biāo)系取相同單位長度的極坐標(biāo)系中，曲線：.（1）求曲線的普通方程以及曲線的平面直角坐標(biāo)方程；（2）若曲線上恰好存在三個(gè)不同的點(diǎn)到曲線的距離相等，求這三個(gè)點(diǎn)的極坐標(biāo).19．（12分）已知，，為正數(shù)，且，證明：（1）；（2）.20．（12分）已知函數(shù)，．（1）當(dāng)時(shí)，求不等式的解集；（2）若函數(shù)的圖象與軸恰好圍成一個(gè)直角三角形，求的值．21．（12分）已知的三個(gè)內(nèi)角所對(duì)的邊分別為，向量，，且.（1）求角的大小；（2）若，求的值22．（10分）已知函數(shù)（為實(shí)常數(shù)）.（1）討論函數(shù)在上的單調(diào)性；（2）若存在，使得成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、B【解析】

由題意，代入解方程即可得解.【詳解】由題意，所以，且，解得.故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查了利用向量的數(shù)量積求向量的夾角，屬于基礎(chǔ)題.2、B【解析】

推導(dǎo)出基本事件總數(shù)，6和28恰好在同一組包含的基本事件個(gè)數(shù)，由此能求出6和28恰好在同一組的概率．【詳解】解：將五個(gè)“完全數(shù)”6，28，496，8128，33550336，隨機(jī)分為兩組，一組2個(gè)，另一組3個(gè)，基本事件總數(shù)，6和28恰好在同一組包含的基本事件個(gè)數(shù)，∴6和28恰好在同一組的概率．故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查概率的求法，考查古典概型、排列組合等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，是基礎(chǔ)題．3、D【解析】

設(shè)出的坐標(biāo)為，依據(jù)題目條件，求出點(diǎn)的軌跡方程，寫出點(diǎn)的參數(shù)方程，則，根據(jù)余弦函數(shù)自身的范圍，可求得結(jié)果.【詳解】設(shè)，則∵，∴∴∴為點(diǎn)的軌跡方程∴點(diǎn)的參數(shù)方程為（為參數(shù)）則由向量的坐標(biāo)表達(dá)式有：又∵∴故選：D【點(diǎn)睛】考查學(xué)生依據(jù)條件求解各種軌跡方程的能力，熟練掌握代數(shù)式轉(zhuǎn)換，能夠利用三角換元的思想處理軌跡中的向量乘積，屬于中檔題.求解軌跡方程的方法有：①直接法；②定義法；③相關(guān)點(diǎn)法；④參數(shù)法；⑤待定系數(shù)法4、D【解析】

先判斷函數(shù)在時(shí)的單調(diào)性，可以判斷出函數(shù)是奇函數(shù)，利用奇函數(shù)的性質(zhì)可以得到，比較三個(gè)數(shù)的大小，然后根據(jù)函數(shù)在時(shí)的單調(diào)性，比較出三個(gè)數(shù)的大小.【詳解】當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在時(shí)，是增函數(shù).因?yàn)?，所以函?shù)是奇函數(shù)，所以有，因?yàn)?，函?shù)在時(shí)，是增函數(shù)，所以，故本題選D.【點(diǎn)睛】本題考查了利用函數(shù)的單調(diào)性判斷函數(shù)值大小問題，判斷出函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性是解題的關(guān)鍵.5、B【解析】

依照偶函數(shù)的定義，對(duì)定義域內(nèi)的任意實(shí)數(shù)，f（﹣x）=f（x），且定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，a﹣1=﹣2a，即可得解.【詳解】根據(jù)偶函數(shù)的定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，且f（x）是定義在[a–1，2a]上的偶函數(shù)，得a–1=–2a，解得a=，又f（–x）=f（x），∴b=0，∴a+b=．故選B．【點(diǎn)睛】本題考查偶函數(shù)的定義，對(duì)定義域內(nèi)的任意實(shí)數(shù)，f（﹣x）=f（x）；奇函數(shù)和偶函數(shù)的定義域必然關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，定義域區(qū)間兩個(gè)端點(diǎn)互為相反數(shù)．6、B【解析】

利用換元法化簡解析式為二次函數(shù)的形式，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求得的取值范圍，由此求得的值域.【詳解】因?yàn)椋ǎ?，所以，令（），則（），函數(shù)的對(duì)稱軸方程為，所以，，所以，所以的值域?yàn)?故選：B【點(diǎn)睛】本小題考查函數(shù)的定義域與值域等基礎(chǔ)知識(shí)，考查學(xué)生分析問題，解決問題的能力，運(yùn)算求解能力，轉(zhuǎn)化與化歸思想，換元思想，分類討論和應(yīng)用意識(shí).7、A【解析】

先確定集合中的元素，然后由交集定義求解．【詳解】，.故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查求集合的交集運(yùn)算，掌握交集定義是解題關(guān)鍵．8、A【解析】

根據(jù)，利用正弦定理邊化為角得，整理為，根據(jù)，得，再由余弦定理得，又，代入公式求解.【詳解】由得，即，即，因?yàn)?，所以，由余弦定理，所以，由的面積公式得故選：A【點(diǎn)睛】本題主要考查正弦定理和余弦定理以及類比推理，還考查了運(yùn)算求解的能力，屬于中檔題.9、A【解析】

通過方差公式分析可知方差沒有改變，中位數(shù)、眾數(shù)和平均數(shù)都發(fā)生了改變.【詳解】由題可知，中位數(shù)和眾數(shù)、平均數(shù)都有變化.本次和上次的月考成績相比，成績和平均數(shù)都增加了50，所以沒有改變，根據(jù)方差公式可知方差不變.故選：A【點(diǎn)睛】本題主要考查樣本的數(shù)字特征，意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的理解掌握水平.10、C【解析】

根據(jù)的零點(diǎn)和最值點(diǎn)列方程組，求得的表達(dá)式（用表示），根據(jù)在上有且只有一個(gè)最大值，求得的取值范圍，求得對(duì)應(yīng)的取值范圍，由為整數(shù)對(duì)的取值進(jìn)行驗(yàn)證，由此求得的最大值.【詳解】由題意知，則其中，．又在上有且只有一個(gè)最大值，所以，得，即，所以，又，因此．①當(dāng)時(shí)，，此時(shí)取可使成立，當(dāng)時(shí)，，所以當(dāng)或時(shí)，都成立，舍去；②當(dāng)時(shí)，，此時(shí)取可使成立，當(dāng)時(shí)，，所以當(dāng)或時(shí)，都成立，舍去；③當(dāng)時(shí)，，此時(shí)取可使成立，當(dāng)時(shí)，，所以當(dāng)時(shí)，成立；綜上所得的最大值為．故選:C【點(diǎn)睛】本小題主要考查三角函數(shù)的零點(diǎn)和最值，考查三角函數(shù)的性質(zhì)，考查化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法，考查分類討論的數(shù)學(xué)思想方法，屬于中檔題.11、C【解析】

把已知等式變形，再由復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算化簡得答案．【詳解】由（1+i）z＝|3+4i|，得z，∴z的虛部為．故選C．【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算，考查復(fù)數(shù)的基本概念，是基礎(chǔ)題．12、A【解析】

作交于點(diǎn)，根據(jù)向量比例，利用三角形面積公式，得出與的比例，再由與的比例，可得到結(jié)果.【詳解】如圖，作交于點(diǎn)，則，由題意，，，且，所以又，所以，，即，所以本題答案為A.【點(diǎn)睛】本題考查三角函數(shù)與向量的結(jié)合，三角形面積公式，屬基礎(chǔ)題，作出合適的輔助線是本題的關(guān)鍵.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】

先求導(dǎo)數(shù)可得切線斜率，利用基本不等式可得切點(diǎn)橫坐標(biāo)，從而可得切線方程.【詳解】，，＝1時(shí)有最小值1，此時(shí)M(1，﹣2)，故切線方程為：，即．故答案為：.【點(diǎn)睛】本題主要考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，切點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)值等于切線的斜率是求解的關(guān)鍵，側(cè)重考查數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng).14、360【解析】

先計(jì)算第一塊小矩形的面積，第二塊小矩形的面積，，面積和超過0.5，所以中位數(shù)在第二塊求解，然后再求得平均數(shù)作差即可.【詳解】第一塊小矩形的面積，第二塊小矩形的面積，故；而，故.故答案為：360.【點(diǎn)睛】本題考查頻率分布直方圖、樣本的數(shù)字特征，考查運(yùn)算求解能力以及數(shù)形結(jié)合思想，屬于基礎(chǔ)題.15、4【解析】

設(shè)△ABC所在截面圓的圓心為O1，AB中點(diǎn)為D，連接OD,易知∠ODO1即為二面角C-AB-O的平面角，可求出OD,?O1D及OO1，然后可判斷出四面體OABC外接球的球心E在直線OO1上，在【詳解】設(shè)△ABC所在截面圓的圓心為O1，AB中點(diǎn)為D，連接OD,OA＝OB，所以，OD⊥AB，同理O1D⊥AB，所以，∠ODO1即為二面角∠ODO因?yàn)镺A=OB=4,?AB=42，所以△OAB在Rt△ODO1中，由cos60o＝O1D因?yàn)镺1到A、B、C三的距離相等，所以，四面體OABC外接球的球心E在直線OO設(shè)四面體OABC外接球半徑為R，在Rt△O1由勾股定理可得：O1B2+O【點(diǎn)睛】本題考查了三棱錐的外接球問題，考查了學(xué)生的空間想象能力、邏輯推理能力及計(jì)算求解能力，屬于中檔題．16、【解析】

由已知可得?4Sn﹣n（n+3）＝0，可得Sn，n＝1時(shí)，a1＝S1＝1.當(dāng)n≥2時(shí)，an＝Sn﹣Sn﹣1.可得：2（）.利用裂項(xiàng)求和方法即可得出.【詳解】∵⊥，∴?4Sn﹣n（n+3）＝0，∴Sn，n＝1時(shí)，a1＝S1＝1.當(dāng)n≥2時(shí)，an＝Sn﹣Sn﹣1.，滿足上式，.∴2（）.∴數(shù)列{}前2020項(xiàng)和為2（1）＝2（1）.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查了向量垂直與數(shù)量積的關(guān)系、數(shù)列遞推關(guān)系、裂項(xiàng)求和方法，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）當(dāng)時(shí)，公路的長度最短為千米；（2）（千米）.【解析】

（1）設(shè)切點(diǎn)的坐標(biāo)為，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出切線的方程為，根據(jù)兩點(diǎn)間距離得出，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求出單調(diào)性，從而得出極值和最值，即可得出結(jié)果；（2）在中，由余弦定理得出，利用正弦定理，求出，最后根據(jù)勾股定理即可求出的長度.【詳解】（1）由題可知，設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，又，則直線的方程為，由此得直線與坐標(biāo)軸交點(diǎn)為：，則，故，設(shè)，則.令，解得=10.當(dāng)時(shí)，是減函數(shù)；當(dāng)時(shí)，是增函數(shù).所以當(dāng)時(shí)，函數(shù)有極小值，也是最小值，所以，此時(shí).故當(dāng)時(shí)，公路的長度最短，最短長度為千米.（2）在中，，,所以，所以，根據(jù)正弦定理,，，，又，所以.在中，，，由勾股定理可得，即，解得，（千米）.【點(diǎn)睛】本題考查利用導(dǎo)數(shù)解決實(shí)際的最值問題，涉及構(gòu)造函數(shù)法以及利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性和極值，還考查正余弦定理的實(shí)際應(yīng)用，還考查解題分析能力和計(jì)算能力.18、（1），;（2），，.【解析】

(1)把曲線的參數(shù)方程與曲線的極坐標(biāo)方程分別轉(zhuǎn)化為直角坐標(biāo)方程；(2)利用圖象求出三個(gè)點(diǎn)的極徑與極角.【詳解】解：（1）由消去參數(shù)得，即曲線的普通方程為，又由得即為，即曲線的平面直角坐標(biāo)方程為（2）∵圓心到曲線：的距離，如圖所示，所以直線與圓的切點(diǎn)以及直線與圓的兩個(gè)交點(diǎn)，即為所求．∵，則，直線的傾斜角為，即點(diǎn)的極角為，所以點(diǎn)的極角為，點(diǎn)的極角為，所以三個(gè)點(diǎn)的極坐標(biāo)為，，.【點(diǎn)睛】本題考查圓的參數(shù)方程和普通方程的轉(zhuǎn)化、直線極坐標(biāo)方程和直角坐標(biāo)方程的轉(zhuǎn)化，消去參數(shù)方程中的參數(shù)，就可把參數(shù)方程化為普通方程，消去參數(shù)的常用方法有：①代入消元法；②加減消元法；③乘除消元法；④三角恒等式消元法，極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程，只要將和換成和即可.19、（1）證明見解析；（2）證明見解析.【解析】

（1）利用均值不等式即可求證；（2）利用，結(jié)合，即可證明.【詳解】（1）∵，同理有，，∴.（2）∵，∴.同理有，.∴.【點(diǎn)睛】本題考查利用均值不等式證明不等式，涉及的妙用，屬綜合性中檔題.20、（1）（2）【解析】

（1）當(dāng)時(shí)，，由可得，（所以，解得，所以不等式的解集為．（2）由題可得，因?yàn)楹瘮?shù)的圖象與軸恰好圍成一個(gè)直角三角形，所以，解得，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)的圖象與軸沒有交