北師版九年級數(shù)學上冊期末復習考點 清單02 一元二次方程（11個考點梳理+題型解讀+提升訓練）

清單02一元二次方程（11個考點梳理+題型解讀+提升訓練）

【清單01】一元二次方程的概念等號兩邊都是整式，只含有一個未知數(shù)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)是2的方程，叫做一元二次方程。注意：一元二次方程成立必須同時滿足三個條件：（1）是\t"/item/%E4%B8%80%E5%85%83%E4%BA%8C%E6%AC%A1%E6%96%B9%E7%A8%8B/_blank"整式方程，即等號兩邊都是\t"/item/%E4%B8%80%E5%85%83%E4%BA%8C%E6%AC%A1%E6%96%B9%E7%A8%8B/_blank"整式。方程中如果有\(zhòng)t"/item/%E4%B8%80%E5%85%83%E4%BA%8C%E6%AC%A1%E6%96%B9%E7%A8%8B/_blank"分母，且未知數(shù)在分母上，那么這個方程就是\t"/item/%E4%B8%80%E5%85%83%E4%BA%8C%E6%AC%A1%E6%96%B9%E7%A8%8B/_blank"分式方程，不是一元二次方程；方程中如果有根號，且未知數(shù)在根號內，那么這個方程也不是一元二次方程（是無理方程）（2）只含有一個未知數(shù)；（3）未知數(shù)項的最高次數(shù)是2?！厩鍐?2】一元二次方程的一般形式一元二次方程經(jīng)過整理都可化成一般形式：ax2+bx+c=0（a≠0），其中ax2叫作二次項，a是二次項系數(shù)；bx叫作一次項，b是一次項系數(shù)；c叫作常數(shù)項。注意：（1）ax2+bx+c=0中的a≠0．因當a=0時，不含有二次項，即不是一元二次方程（2）在求各項系數(shù)時，應把一元二次方程化成一般形式，在指明一元二次方程各項系數(shù)時不要漏掉前面的性質符號?！厩鍐?3】一元二次方程的解能使一元二次方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值稱為一元二次方程的解，解決此類問題，通常是將方程的根或解反代回去再進行求解.【清單04】一元二次方程的重要結論（1）若a+b+c=0,則一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）必有一根為x=1;若x=1是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的一個根，則a+b+c=0。（2）若a-b+c=0,則一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）必有一根為x=-1;若x=11是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的一個根，則a-b+c=0?！厩鍐?5】解一元二次方程1.直接開方

注意：（1）等號左邊是一個數(shù)的平方的形式而等號右邊是一個常數(shù)（2）降次的實質是有一個一元二次方程轉化為兩個一元一次方程（3）方法是根據(jù)平方根的意義開平方2.配方法用配方法解一元二次方程：ax2＋bx+c=0(k≠0）的一般步驟是：①化為一般形式；②移項，將常數(shù)項移到方程的右邊；③化二次項系數(shù)為1，即方程兩邊同除以二次項系數(shù)；④配方，即方程兩邊都加上一次項系數(shù)的一半的平方；化原方程為(x+a）2=b的形式；⑤如果b≥0就可以用兩邊開平方來求出方程的解；如果b≤0，則原方程無解．總結：3.公式法用公式法求一元二次方程的一般步驟：（1）把方程化成一般形式，（2）求出判別式4.因式分解因式分解法解一元二次方程的一般步驟如下：（1）移項，使方程的右邊化為零；（2）將方程的左邊轉化為兩個一元一次多項式的乘積；（3）令每個因式分別為零；（4）兩個因式分別為零的解就都是原方程的解。

【清單06】一元二次方程的判別式根的判別式：①時，方程有兩個不相等的實數(shù)根；②時，方程有兩個相等的實數(shù)根；③時，方程無實數(shù)根，反之亦成立

【清單07】一元二次方程的根與系數(shù)根與系數(shù)的關系：即的兩根為，則，。利用韋達定理可以求一些代數(shù)式的值（式子變形），如解題技巧：當一元二次方程的題目中給出一個根讓你求另外一個根或未知系數(shù)時，可以用韋達定理

【清單08】一元二次方程的實際應用

1.變化率問題設基準數(shù)為a，兩次增長（或下降）后為b；增長率（下降率）為x，第一次增長（或下降）后為；第二次增長（或下降）后為2．可列方程為2=b2.傳染、枝干問題有一人患了流感,經(jīng)過兩輪傳染后共有121人患了流感,每輪傳染中平均一個人傳染了幾個人?設每輪傳染中平均一個人傳染了x個人：3.握手、比賽問題握手問題：n個人見面，任意兩個人都要握一次手，問總共握次手。贈卡問題：n個人相互之間送卡片，總共要送張卡片。4.銷售利潤問題（1）常用公式：利潤=售價-成本；總利潤=每件利潤×銷售量；5.幾何面積問題（1）如圖①，設空白部分的寬為x,則；（2）如圖②，設陰影道路的寬為x,則（3）如圖③，欄桿總長為a，BC的長為b,則6.動點與幾何問題關鍵是將點的運動關系表示出來，找出未知量與已知量的內在聯(lián)系，根據(jù)面積或體積公式列出方程.（2）每每問題中，單價每漲a元，少買b件。若漲價y元，則少買的數(shù)量為【考點題型一】一元二次方程的概念

【典例1】下列方程中，關于x的一元二次方程是（

）A．a(chǎn)x2+bx+c=0C．x2=?1 【變式1-1】下列方程是一元二次方程的是（

）A．x2+32C．x2+3=0 【變式1-2】一元二次方程x2A．1，4，5 B．0，4【變式1-3】若方程m+2xm2?2+2x+1=0是關于xA．?2 B．0 C．?2或2 D．2【考點題型二】一元二次方程的解

【典例2】若m是方程x2?x?1=0的一個根，則?2mA．3 B．0 C．2 D．?2【變式2-1】關于x的一元二次方程x2?2x+m=0的一個根為1，則A．?3 B．?1 C．1 D．2【變式2-2】已知a是一元二次方程x2?2x?4=0的一個根，則代數(shù)式a2【變式2-3】已知x=m是方程x2?3x?5=0的一個根，則代數(shù)式2m【考點題型三】解一元二次方程【典例3】解方程(1)x2+8x+3=0；(2)【變式1-1】解方程：(1)x2?8x+7=0(2)【變式1-2】解方程：(1)x2+4x?5=0；(2)【變式1-3】解方程：(1)x2?4x?5=0；(2)【考點題型四】根據(jù)判別式判斷一元二次方程根的根的情況【典例4】關于x的一元二次方程x2+3x+2=0的根的情況（A．有兩個相等的實數(shù)根 B．有兩個不相等的實數(shù)根C．沒有實數(shù)根 D．無法確定【變式4-1】一元二次方程x2+5x?6=0的根的情況是（A．有兩個不相等的實數(shù)根 B．有兩個相等的實數(shù)根C．沒有實數(shù)根 D．無法確定【變式4-2】已知關于x的方程mx2?3x+4=0，如果m<0A．有兩個不相等的實數(shù)根 B．有兩個相等的實數(shù)根C．無實數(shù)根 D．不能確定【變式4-3】關于x的一元二次方程x2+kx?1A．無實數(shù)根 B．有一個實數(shù)根C．有兩個相等的實數(shù)根 D．有兩個不相等的實數(shù)根【考點題型五】根據(jù)一元二次方程根的根的情況求參數(shù)【典例5】關于x的一元二次方程kx2+6x+3=0有兩個不相等的實數(shù)根，kA．k>3 B．k<3且k≠0 C．k≥3 D．k≤3且k≠0【變式5-1】如果關于x的一元二次方程ax2+x?1=0有實數(shù)根，則aA．a(chǎn)>?14 C．a(chǎn)≥?14且a≠0 D．a(chǎn)>【變式5-2】若關于x的方程kx2?6x+9=0有實數(shù)根，則kA．k<1且k≠0 B．k≤1且k≠0 C．k<1 D．k≤1【變式5-3】關于x的一元二次方程mx2?3x+5=0有兩個不相等的實數(shù)根，則m【考點題型六】一元二次方程根與系數(shù)的關系【典例6】已知m，n是方程x2?3x+2=0的兩根，則m+1n+1【變式6-1】已知一元二次方程x2?2x?4=0的兩個實數(shù)根分別為x1【變式6-2】已知α，β是一元二次方程x2+x?2=0的兩個實數(shù)根，則A．3 B．1 C．?1 D．?3【變式6-3】已知關于x的一元二次方程x2+2k+1x+k(1)求k的取值范圍；(2)設方程的兩個實數(shù)根分別為x1，x2，當k=1時，求【考點題型七】有關一元二次方程增長率問題【典例7】習近平主席8月27日在北京人民大會堂出席推進“一帶一路”建設工作5周年座談會并發(fā)表重要講話．推動共建“一帶一路”走深走實，造福沿線國家人民，推動構建人類命運共同體．某企業(yè)新能源產(chǎn)業(yè)受“一帶一路”這一利好因素，利潤逐年提高，2015年的利潤為2000萬元，2017年的利潤為2880萬元．(1)求該企業(yè)從2015年到2017年利潤的年平均增長率；(2)若2018年保持前兩年利潤的年平均增長率不變，該企業(yè)2018年的利潤是否能達到3500萬元？【變式7-1】若某電影的首日票房約為2億元，第二、第三天持續(xù)增長，三天的累計票房約為6.62億元，若第二、第三天單日票房的平均增長率相同，設該增長率為x，則下列方程正確的是（

）A．21+x2=6.62C．2+21+x+21+x【變式7-2】某市2022年投入教育經(jīng)費2億元，為了發(fā)展教育事業(yè)，該市每年教育經(jīng)費的年增長率均為x，從2022年到2024年共投入教育經(jīng)費7.28億元，則下列方程正確的是（

）A．21+x=7.28 C．2(1+x)2=7.28【變式7-3】宣威火腿，云南省著名漢族特產(chǎn)之一，因產(chǎn)于宣威而得名，其歷史悠久，最遲始于明代，品質優(yōu)良，足以代表云南火腿；故常稱“云腿”，某平臺銷售的宣威火腿初始價格為150元/千克，經(jīng)“618購物節(jié)”和“中秋節(jié)”連續(xù)兩次降價后價格為121.5元/千克，并且兩次降價的百分率相同．(1)求每次降價的百分率；(2)如果“雙十一”第三次降價，且保持前兩次降價的百分率，那么“雙十一”宣威火腿的價格是多少？【考點題型八】有關一元二次方程傳播問題【典例8】冬春季是傳染病高發(fā)季節(jié)，據(jù)統(tǒng)計，去年冬春之交，有2人患了流感，在沒有采取醫(yī)療手段的情況下，經(jīng)過兩輪傳染后共有128人患流感．(1)求每輪傳染中平均一個人傳染了多少人？(2)若不及時控制，則第三輪感染后，患流感的共有多少人？【變式8-1】初中畢業(yè)時，某班學生都將自己的照片向全班其他同學各送一張表示留念，全班共送2550張照片．設全班有x名同學，可列方程為（

）A．xx?1=2550 C．xx?1=2550×2 【變式8-2】有一人利用手機發(fā)短信，獲得他信息的人也按他的發(fā)送人數(shù)發(fā)送該條短信，經(jīng)歷這兩輪短信的發(fā)送后，共有156人的手機獲得該條短信．設每人給y人發(fā)短信，則可列方程．【變式8-3】某次商品交易會上，所有參加會議的兩個商家之間都簽訂了一份合同，共簽訂合同45份，則共有個商家參加了交易會．【考點題型九】有關一元二次方程面積問題【典例9】如圖，老李想用長為70m的柵欄，再借助房屋的外墻（外墻足夠長）圍成一個矩形羊圈ABCD．并在邊BC上留一個2m寬的門（建在(1)設矩形ABCD的邊AB=xm，則邊BC的長度是多少？（用含有x(2)當羊圈的面積為640m【變式9-1】如圖，在長為32m、寬為20m的矩形地面上修建同樣寬的道路（圖中陰影部分），余下部分進行綠化．若綠化面積為540m2，道路寬度為A．32?xx?20=540 C．32?x20?x=540 【變式9-2】如圖，某農場有兩堵互相垂直的墻，長度分別為27米和15米，該農場打算借這兩堵墻建一個長方形飼養(yǎng)場ABCD，其中AD和AB兩邊借助墻體且不超出墻體，其余部分用總長45米的木欄圍成，中間預留1米寬的通道，在EH和FG邊上各留1米寬的門、設AB長x米，(1)求BC的長度（用含x的代數(shù)式表示）．(2)若飼養(yǎng)場ABCD的面積為180平方米，求x的值．【考點題型十】有關一元二次方程利潤問題【典例10】某超市計劃購進一批單價為20元的洗衣液．經(jīng)市場調查發(fā)現(xiàn)：該洗衣液以30元的價格出售時，平均每月售出500桶，且洗衣液的售價每提高1元，某月銷售量就減少10桶．(1)若售價定為35元，每月可售出多少桶？(2)若洗衣液的月銷售量為200桶，則每桶洗衣液的定價為多少元？(3)當超市每月有8000元的銷售利潤時，為體現(xiàn)“薄利多銷”的銷售原則，你認為銷售價格應定為多少？【變式10-1】某水果商場經(jīng)銷一種高檔水果，原價每千克50元，連續(xù)兩次降價后每千克32元，若每次下降的百分率相同．(1)求每次下降的百分率．(2)若每千克盈利10元，每天可售出500千克經(jīng)市場調查發(fā)現(xiàn)，在進貨價不變的情況下，商場決定采取適當?shù)臐q價措施，但商場規(guī)定每千克漲價不能超過8元，若每千克漲價1元，日銷售量將減少20千克．現(xiàn)該商場要保證每天盈利6000元，且要盡快減少庫存，那么每千克應漲價多少元?【變式10-2】某景區(qū)賓館有50間房供游客居住，原定價每間房每天250元．國慶節(jié)來臨之際，該景區(qū)酒店計劃調整價格以吸引游客．(1)若經(jīng)過兩次漲價后，每間房的費用增至360元，求兩次增長的平均增長率．(2)據(jù)經(jīng)驗，當每間房每天定價為200元時，賓館會住滿；定價每增加10元時，就會空閑一間房（物價部門規(guī)定，此類賓館的入住費用不得超過原定價的1.5倍）．如果有游客居住，賓館需對居住的每間房每天支出20元的成本費用，除此之外無其他成本費用．當房價定為多少元時，賓館當天的利潤為10120元【考點題型十一】有關一元二次方程動點問題【典例11】如圖，在△ABC中，∠B=90°，AB=6cm，BC=8cm．點P從點A開始沿AB邊向點B以1cm/s的速度移動，點Q從點B開始沿BC(1)如果P，Q分別從A，B同時出發(fā)，那么幾秒后，△PBQ的面積等于8cm(2)如果P，Q分別從A，B同時出發(fā)，△PBQ的面積能否等于10cm(3)如果P，Q分別從A，B同時出發(fā)，那么幾秒后，PQ的長度等于6cm【變式11-1】如圖，Rt△ABC中，∠B=90°，AC=10cm，BC=6cm，現(xiàn)有兩個動點P、Q分別從點A和點B同時出發(fā)，其中點P以2cm/s的速度，沿AB向終點B移動；點Q以1cm/s的速度沿BC(1)當x為何值時，△PBQ為等腰三角形；(2)是否存在x的值，使得四邊形APQC的面積等于20cm2？若存在，請求出此時【變式11-2】如圖，在矩形ABCD中，AB=16cm,AD=6cm．動點P，Q分別從A，C同時出發(fā)，點P以2cm/秒的速度向點B移動，點Q以1cm/

(1)兩動點經(jīng)過幾秒時，四邊形PBCQ的面積是矩形ABCD面積的512(2)連接BQ，兩動點經(jīng)過幾秒，△BQP是以BQ為腰的等腰三角形？【變式11-3】如圖在矩形ABCD中，AB=7cm，AD=5cm，點P從點B開始沿BC邊向點C以1cm/s的速度移動，點Q從點C開始沿CD邊向點D以2cm/s的速度移動，兩點同時出發(fā)，當一個點運動到終點時另一個點也停止運動，設運動時間為t?s

(1)填空：CQ=______cm，CP=_____cm，（用含t的代數(shù)式表示）(2)當t為何值時，PQ=5cm(3)當t為何值時，△APQ的面積為16cm2

清單02一元二次方程（11個考點梳理+題型解讀+提升訓練）

【清單01】一元二次方程的概念等號兩邊都是整式，只含有一個未知數(shù)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)是2的方程，叫做一元二次方程。注意：一元二次方程成立必須同時滿足三個條件：（1）是\t"/item/%E4%B8%80%E5%85%83%E4%BA%8C%E6%AC%A1%E6%96%B9%E7%A8%8B/_blank"整式方程，即等號兩邊都是\t"/item/%E4%B8%80%E5%85%83%E4%BA%8C%E6%AC%A1%E6%96%B9%E7%A8%8B/_blank"整式。方程中如果有\(zhòng)t"/item/%E4%B8%80%E5%85%83%E4%BA%8C%E6%AC%A1%E6%96%B9%E7%A8%8B/_blank"分母，且未知數(shù)在分母上，那么這個方程就是\t"/item/%E4%B8%80%E5%85%83%E4%BA%8C%E6%AC%A1%E6%96%B9%E7%A8%8B/_blank"分式方程，不是一元二次方程；方程中如果有根號，且未知數(shù)在根號內，那么這個方程也不是一元二次方程（是無理方程）（2）只含有一個未知數(shù)；（3）未知數(shù)項的最高次數(shù)是2?！厩鍐?2】一元二次方程的一般形式一元二次方程經(jīng)過整理都可化成一般形式：ax2+bx+c=0（a≠0），其中ax2叫作二次項，a是二次項系數(shù)；bx叫作一次項，b是一次項系數(shù)；c叫作常數(shù)項。注意：（1）ax2+bx+c=0中的a≠0．因當a=0時，不含有二次項，即不是一元二次方程（2）在求各項系數(shù)時，應把一元二次方程化成一般形式，在指明一元二次方程各項系數(shù)時不要漏掉前面的性質符號?！厩鍐?3】一元二次方程的解能使一元二次方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值稱為一元二次方程的解，解決此類問題，通常是將方程的根或解反代回去再進行求解.【清單04】一元二次方程的重要結論（1）若a+b+c=0,則一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）必有一根為x=1;若x=1是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的一個根，則a+b+c=0。（2）若a-b+c=0,則一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）必有一根為x=-1;若x=11是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的一個根，則a-b+c=0?！厩鍐?5】解一元二次方程1.直接開方

注意：（1）等號左邊是一個數(shù)的平方的形式而等號右邊是一個常數(shù)（2）降次的實質是有一個一元二次方程轉化為兩個一元一次方程（3）方法是根據(jù)平方根的意義開平方2.配方法用配方法解一元二次方程：ax2＋bx+c=0(k≠0）的一般步驟是：①化為一般形式；②移項，將常數(shù)項移到方程的右邊；③化二次項系數(shù)為1，即方程兩邊同除以二次項系數(shù)；④配方，即方程兩邊都加上一次項系數(shù)的一半的平方；化原方程為(x+a）2=b的形式；⑤如果b≥0就可以用兩邊開平方來求出方程的解；如果b≤0，則原方程無解．總結：3.公式法用公式法求一元二次方程的一般步驟：（1）把方程化成一般形式，（2）求出判別式4.因式分解因式分解法解一元二次方程的一般步驟如下：（1）移項，使方程的右邊化為零；（2）將方程的左邊轉化為兩個一元一次多項式的乘積；（3）令每個因式分別為零；（4）兩個因式分別為零的解就都是原方程的解。

【清單06】一元二次方程的判別式根的判別式：①時，方程有兩個不相等的實數(shù)根；②時，方程有兩個相等的實數(shù)根；③時，方程無實數(shù)根，反之亦成立

【清單07】一元二次方程的根與系數(shù)根與系數(shù)的關系：即的兩根為，則，。利用韋達定理可以求一些代數(shù)式的值（式子變形），如解題技巧：當一元二次方程的題目中給出一個根讓你求另外一個根或未知系數(shù)時，可以用韋達定理

【清單08】一元二次方程的實際應用

1.變化率問題設基準數(shù)為a，兩次增長（或下降）后為b；增長率（下降率）為x，第一次增長（或下降）后為；第二次增長（或下降）后為2．可列方程為2=b2.傳染、枝干問題有一人患了流感,經(jīng)過兩輪傳染后共有121人患了流感,每輪傳染中平均一個人傳染了幾個人?設每輪傳染中平均一個人傳染了x個人：3.握手、比賽問題握手問題：n個人見面，任意兩個人都要握一次手，問總共握次手。贈卡問題：n個人相互之間送卡片，總共要送張卡片。4.銷售利潤問題（1）常用公式：利潤=售價-成本；總利潤=每件利潤×銷售量；5.幾何面積問題（1）如圖①，設空白部分的寬為x,則；（2）如圖②，設陰影道路的寬為x,則（3）如圖③，欄桿總長為a，BC的長為b,則6.動點與幾何問題關鍵是將點的運動關系表示出來，找出未知量與已知量的內在聯(lián)系，根據(jù)面積或體積公式列出方程.（2）每每問題中，單價每漲a元，少買b件。若漲價y元，則少買的數(shù)量為【考點題型一】一元二次方程的概念

【典例1】下列方程中，關于x的一元二次方程是（

）A．a(chǎn)x2+bx+c=0C．x2=?1 【答案】C【分析】本題考查了一元二次方程的定義及一般表達式ax2根據(jù)一元二次方程的定義及一般表達式ax2【詳解】解：A、當a=0時，axB、原選項化簡為2x+1=0，不是一元二次方程，故原選項不符合題意；C、是一元二次方程，符合題意；D、不是一元二次方程，不符合題意；故選：C．【變式1-1】下列方程是一元二次方程的是（

）A．x2+32C．x2+3=0 【答案】C【分析】本題考查了了一元二次方程的概念，只有一個未知數(shù)且未知數(shù)最高次數(shù)為2的整式方程叫做一元二次方程，據(jù)此判斷每個選項即可．【詳解】解：A、x2+32B、不是整式方程，不符合題意；C、是一元二次方程，符合題意；D、有兩個未知數(shù)，不是一元二次方程，不符合題意，故選：C．【變式1-2】一元二次方程x2A．1，4，5 B．0，4【答案】D【分析】本題考查了一元二次方程的一般形式及其概念，熟練掌握一般形式是解題的關鍵．根據(jù)一元二次方程的基本概念去判斷確定．【詳解】解：∵一元二次方程x2∴二次項系數(shù)、一次項系數(shù)和常數(shù)項分別為1，故選：D．【變式1-3】若方程m+2xm2?2+2x+1=0是關于xA．?2 B．0 C．?2或2 D．2【答案】D【分析】此題考查了一元二次方程的定義，只含有一個未知數(shù)，且含未知數(shù)項的最高次數(shù)為2的整式方程，叫做一元二次方程，熟練掌握一元二次方程的定義是解題的關鍵．根據(jù)一元二次方程的定義得到m2【詳解】解：由題意得，m2解得：m=2，故選：D．【考點題型二】一元二次方程的解

【典例2】若m是方程x2?x?1=0的一個根，則?2mA．3 B．0 C．2 D．?2【答案】D【分析】本題考查了一元二次方程的解，由題意得出m2?m=1，再將式子變形為【詳解】解：∵m是方程x2∴m2∴m2∴?2m故選：D．【變式2-1】關于x的一元二次方程x2?2x+m=0的一個根為1，則A．?3 B．?1 C．1 D．2【答案】C【分析】此題考查了一元二次方程的根，把一元二次方程的根代入方程，解關于m的一元一次方程即可．【詳解】解：∵一元二次方程x2∴12解得m=1，故選：C．【變式2-2】已知a是一元二次方程x2?2x?4=0的一個根，則代數(shù)式a2【答案】2028【分析】本題考查了一元二次方程的解以及已知式子的值求代數(shù)式的值，先把x=a代入x2?2x?4=0，得a2【詳解】解：∵a是一元二次方程x2∴a2∴a2則a2故答案為：2028．【變式2-3】已知x=m是方程x2?3x?5=0的一個根，則代數(shù)式2m【答案】5【分析】本題考查了一元二次方程的根，代數(shù)式求值．熟練掌握一元二次方程的根，代數(shù)式求值是解題的關鍵．由題意知，m2?3m?5=0，即m2【詳解】解：∵x=m是方程x2∴m2?3m?5=0，即∴2m故答案為：5．【考點題型三】解一元二次方程【典例3】解方程(1)x2(2)x+52【答案】(1)x1=?4+13(2)x1=?5【分析】本題考查了解一元二次方程，選擇適當?shù)姆椒ń夥匠淌墙忸}的關鍵．（1）移項后配方，開方，即可得出兩個一元一次方程，求出方程的解即可；（2）移項后因式分解，即可得到兩個一元一次方程，求出方程的解即可．【小題1】解：x2x2x2x+42x+4=±13x1【小題2】解：x+52x+52x+5x+5?2x+5=0或x+5?2=0，x1【變式1-1】解方程：(1)x(2)1?3x2【答案】(1)x1=7(2)x1=【分析】此題考查了解一元二次方程．（1）利用因式分解法解方程即可；（2）利用因式分解法解方程即可．【詳解】（1）解：x∴x?7則x?7=0或x?1=0，解得x1=7（2）1?3x∴3x?12則3x?1∴3x?1=0或3x?1?2=0，解得x1=【變式1-2】解方程：(1)x2(2)3x【答案】(1)x1=1(2)x1=1【分析】本題考查解一元二次方程：（1）利用十字相乘法進行因式分解，進行求解即可；（2）利用十字相乘法進行因式分解，進行求解即可．【詳解】（1）解：xx+5x?1=0或x+5=0；∴x1=1，（2）33x?4x?1=0或3x?4=0；∴x1=1，【變式1-3】解方程：(1)x2(2)(x?1)2【答案】(1)x1=?1，(2)x1=1，【分析】本題考查的是一元二次方程的解法，掌握因式分解法解一元二次方程的一般步驟是解題的關鍵．（1）利用十字相乘法把方程的左邊變形，進而解出方程；（2）利用提公因式法把方程的左邊變形，進而解出方程．【詳解】（1）解：x2則(x+1)(x?5)=0，∴x+1=0或x?5=0，解得：x1=?1，（2）解：(x?1)2移項，得(x?1)2則(x?1)(x?1?2)=0，∴x?1=0或x?3=0，解得：x1=1，【考點題型四】根據(jù)判別式判斷一元二次方程根的根的情況【典例4】關于x的一元二次方程x2+3x+2=0的根的情況（A．有兩個相等的實數(shù)根 B．有兩個不相等的實數(shù)根C．沒有實數(shù)根 D．無法確定【答案】B【分析】本題考查了根的判別式，先計算出根的判別式的值得到Δ>0【詳解】解：∵Δ=∴有兩個不相等的實數(shù)根．故選：B．【變式4-1】一元二次方程x2+5x?6=0的根的情況是（A．有兩個不相等的實數(shù)根 B．有兩個相等的實數(shù)根C．沒有實數(shù)根 D．無法確定【答案】A【分析】本題主要考查了一元二次方程根與系數(shù)的關系，根據(jù)判別式Δ=b2?4ac來判斷即可，當Δ>0【詳解】解：Δ=故一元二次方程x2故選：A．【變式4-2】已知關于x的方程mx2?3x+4=0，如果m<0A．有兩個不相等的實數(shù)根 B．有兩個相等的實數(shù)根C．無實數(shù)根 D．不能確定【答案】A【分析】此題考查一元二次方程根的情況與判別式Δ的關系：（1）Δ>0?方程有兩個不相等的實數(shù)根；（2）Δ=0?方程有兩個相等的實數(shù)根；（3）Δ<0?方程沒有實數(shù)根．先求一元二次方程的判別式，再根據(jù)m<0，判斷出Δ的情況，【詳解】解：∵關于x的方程mx2?3x+4=0中，a=m，b=?3∴Δ=∵m<0，∴9?16m>0，∴關于x的方程mx故選：A．【變式4-3】關于x的一元二次方程x2+kx?1A．無實數(shù)根 B．有一個實數(shù)根C．有兩個相等的實數(shù)根 D．有兩個不相等的實數(shù)根【答案】D【分析】本題考查了根的判別式，牢記“當Δ＞0【詳解】解：∵x2∴a=1，∴Δ=∴方程x2故選：D．【考點題型五】根據(jù)一元二次方程根的根的情況求參數(shù)【典例5】關于x的一元二次方程kx2+6x+3=0有兩個不相等的實數(shù)根，kA．k>3 B．k<3且k≠0 C．k≥3 D．k≤3且k≠0【答案】B【分析】本題考查了一元二次方程根的判別式，同時要滿足該方程的二次項系數(shù)不為0．熟練運用根的判別式是解題關鍵．根據(jù)一元二次方程的定義和一元二次方程根的判別式求解即可．【詳解】解：∵關于x的一元二次方程kx∴k≠0，且Δ=∴k<3且k≠0．故選：B【變式5-1】如果關于x的一元二次方程ax2+x?1=0有實數(shù)根，則aA．a(chǎn)>?14 C．a(chǎn)≥?14且a≠0 D．a(chǎn)>【答案】C【分析】本題考查了一元二次方程根的判別式，一元二次方程的定義，解一元一次不等式組，一元二次方程ax2+bx+c=0（a,b,c為常數(shù)，a≠0）根的判別式為Δ=b根據(jù)一元二次方程的定義和判別式的意義，得到a≠0Δ=1【詳解】解：根據(jù)題意得，a≠01解得：a≥?14且故選：C．【變式5-2】若關于x的方程kx2?6x+9=0有實數(shù)根，則kA．k<1且k≠0 B．k≤1且k≠0 C．k<1 D．k≤1【答案】D【分析】本題考查了解一元一次方程，一元二次方程根的判別式．熟練掌握解一元一次方程，一元二次方程根的判別式是解題的關鍵．分kx【詳解】解：當k=0時，?6x+9=0，解得，x=3當k≠0時，關于x的方程kx∴Δ=解得，k≤1，∴k≤1且k≠0；綜上所述，關于x的方程kx2?6x+9=0有實數(shù)根，則k故選：D．【變式5-3】關于x的一元二次方程mx2?3x+5=0有兩個不相等的實數(shù)根，則m【答案】m<920【分析】此題考查了根的判別式，根據(jù)根的情況和一元二次方程的概念確定參數(shù)m的范圍，解題的關鍵是熟練掌握一元二次方程ax2+bx+c=0a≠0根的判別式Δ=b2【詳解】解：∵關于x的一元二次方程mx∴Δ解得：m<9∵m≠0，∴m的取值范圍是m<920且故答案為：m<920且【考點題型六】一元二次方程根與系數(shù)的關系【典例6】已知m，n是方程x2?3x+2=0的兩根，則m+1n+1【答案】6【分析】本題考查一元二次方程根與系數(shù)關系，解答的關鍵是熟知一元二次方程根與系數(shù)的關系：設一元二次方程ax2+bx+c=0a≠0的兩個根為x1、x【詳解】解：∵m，n是方程x2∴m+n=3，mn=2，∴m+1=mn+=2+3+1=6，故答案為：6．【變式6-1】已知一元二次方程x2?2x?4=0的兩個實數(shù)根分別為x1【答案】?1【分析】此題主要考查了根與系數(shù)的關系，將根與系數(shù)的關系與代數(shù)式變形相結合解題是一種經(jīng)常使用的解題方法．根據(jù)一元二次方程根與系數(shù)的關系可得x1+x【詳解】解：∵一元二次方程x2?2x?4=0的兩個實數(shù)根分別為∴x∴x故答案是：?1．【變式6-2】已知α，β是一元二次方程x2+x?2=0的兩個實數(shù)根，則A．3 B．1 C．?1 D．?3【答案】B【分析】本題主要考查一元二次方程根與系數(shù)的關系，據(jù)根與系數(shù)的關系α+β=?1，αβ=?2，再整體代入α?αβ+β即可得出答案．【詳解】解：∵α，β是一元二次方程∴α+β=?1，αβ=?2，則α?αβ+β=α+β?αβ=?1??2故選：B．【變式6-3】已知關于x的一元二次方程x2+2k+1x+k(1)求k的取值范圍；(2)設方程的兩個實數(shù)根分別為x1，x2，當k=1時，求【答案】(1)k>?(2)7【分析】本題考查了一元二次方程根與系數(shù)的關系及根的判別式．（1）由方程有兩個不相等的實數(shù)根可知Δ>0（2）將k=1代入方程，由根與系數(shù)的關系得出x1+x2=?3【詳解】（1）解：∵方程有兩個不相等的實數(shù)根，∴Δ=解得：k>?1（2）解：當k=1時，方程為x2∵x1+x∴x1【考點題型七】有關一元二次方程增長率問題【典例7】習近平主席8月27日在北京人民大會堂出席推進“一帶一路”建設工作5周年座談會并發(fā)表重要講話．推動共建“一帶一路”走深走實，造福沿線國家人民，推動構建人類命運共同體．某企業(yè)新能源產(chǎn)業(yè)受“一帶一路”這一利好因素，利潤逐年提高，2015年的利潤為2000萬元，2017年的利潤為2880萬元．(1)求該企業(yè)從2015年到2017年利潤的年平均增長率；(2)若2018年保持前兩年利潤的年平均增長率不變，該企業(yè)2018年的利潤是否能達到3500萬元？【答案】(1)該企業(yè)從2015年到2017年利潤的年平均增長率為20(2)2018年的利潤為3456萬元，不能達到3500萬元【分析】本題考查了一元二次方程的應用，解題的關鍵是：（1）找準等量關系，正確列出一元二次方程；（2）根據(jù)該企業(yè)2018年的利潤=該企業(yè)2017年的利潤×（1+增長率），求出該企業(yè)2018年的利潤．（1）設該企業(yè)從2015年到2017年利潤的年平均增長率為x，根據(jù)該企業(yè)2015年及2017年的利潤額，即可得出關于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出結論；（2）根據(jù)該企業(yè)2018年的利潤=該企業(yè)2017年的利潤×（1+增長率），可求出該企業(yè)2018年的利潤，將其與3500萬元進行比較后即可得出結論．【詳解】（1）解：設該企業(yè)從2015年到2017年利潤的年平均增長率為x，根據(jù)題意得：2000(1+x)解得：x1答：該企業(yè)從2015年到2017年利潤的年平均增長率為20%（2）解：2880×1+20∵3456萬元<3500萬元，∴該企業(yè)2018年的利潤不能超過3500萬元．【變式7-1】若某電影的首日票房約為2億元，第二、第三天持續(xù)增長，三天的累計票房約為6.62億元，若第二、第三天單日票房的平均增長率相同，設該增長率為x，則下列方程正確的是（

）A．21+x2=6.62C．2+21+x+21+x【答案】C【分析】本題考查從實際問題抽象出一元二次方程，找出等量關系是解答本題的關鍵．根據(jù)“三天累計票房6.62億元”列出一元二次方程即可．【詳解】解：設該增長率為x，根據(jù)題意可得出2+21+x故選：C．【變式7-2】某市2022年投入教育經(jīng)費2億元，為了發(fā)展教育事業(yè)，該市每年教育經(jīng)費的年增長率均為x，從2022年到2024年共投入教育經(jīng)費7.28億元，則下列方程正確的是（

）A．21+x=7.28 C．2(1+x)2=7.28【答案】D【分析】本題考查了一元二次方程的應用，設該市每年教育經(jīng)費的年增長率均為x，根據(jù)題意列出方程即可求解，根據(jù)題意找到等量關系是解題的關鍵．【詳解】解：設該市每年教育經(jīng)費的年增長率均為x，由題意得，2+21+x故選：D．【變式7-3】宣威火腿，云南省著名漢族特產(chǎn)之一，因產(chǎn)于宣威而得名，其歷史悠久，最遲始于明代，品質優(yōu)良，足以代表云南火腿；故常稱“云腿”，某平臺銷售的宣威火腿初始價格為150元/千克，經(jīng)“618購物節(jié)”和“中秋節(jié)”連續(xù)兩次降價后價格為121.5元/千克，并且兩次降價的百分率相同．(1)求每次降價的百分率；(2)如果“雙十一”第三次降價，且保持前兩次降價的百分率，那么“雙十一”宣威火腿的價格是多少？【答案】(1)每次降價的百分率為10(2)109.35元/千克．【分析】本題考查一元二次方程的實際應用，理解題意正確列出等式和算式是解題關鍵．（1）設每次降價的百分率為x，根據(jù)題意可列出關于x的一元二次方程，求解，再舍去不合題意的解即可；（2）根據(jù)保持前兩次降價的百分率列出算式求解即可．【詳解】（1）解：設每次降價的百分率為x，根據(jù)題意得：1501?x解得：x1=0.1，答：每次降價的百分率為10%（2）解：∵保持前兩次降價的百分率，∴“雙十一”宣威火腿的價格是121.5×1?10【考點題型八】有關一元二次方程傳播問題【典例8】冬春季是傳染病高發(fā)季節(jié)，據(jù)統(tǒng)計，去年冬春之交，有2人患了流感，在沒有采取醫(yī)療手段的情況下，經(jīng)過兩輪傳染后共有128人患流感．(1)求每輪傳染中平均一個人傳染了多少人？(2)若不及時控制，則第三輪感染后，患流感的共有多少人？【答案】(1)每輪傳染中平均一個人傳染了7人(2)第三輪感染后，患流感的共有1024人【分析】題考查了一元二次方程的應用，先求出每輪傳染中平均每人傳染了多少人數(shù)是解題關鍵．（1）設每輪傳染中平均每人傳染了x人，根據(jù)經(jīng)過兩輪傳染后共有128人患了流感，可求出；（2）用第二輪×(1+每輪傳染中平均每人傳染的人數(shù))，可求出第三輪過后，患流感的人數(shù)．【詳解】（1）解：設每輪傳染中平均一個人傳染了x人，由題意得：1+x+(1+x)x=128解得：x=7，x=?9（不合題意舍去），答：每輪傳染中平均一個人傳染了7人；（2）解：第三輪感染的人數(shù)=128×7=896（人），∴第三輪感染后，患流感的總人數(shù)為：896+128=1024（人），答：第三輪感染后，患流感的共有1024人．【變式8-1】初中畢業(yè)時，某班學生都將自己的照片向全班其他同學各送一張表示留念，全班共送2550張照片．設全班有x名同學，可列方程為（

）A．xx?1=2550 C．xx?1=2550×2 【答案】A【分析】本題考查了一元二次方程的應用，題意得每個人要送出x?1張照片，據(jù)此即可求解．【詳解】解：由題意得：每個人要送出x?1張照片，∵全班有x名同學，∴可列方程為xx?1故選：A．【變式8-2】有一人利用手機發(fā)短信，獲得他信息的人也按他的發(fā)送人數(shù)發(fā)送該條短信，經(jīng)歷這兩輪短信的發(fā)送后，共有156人的手機獲得該條短信．設每人給y人發(fā)短信，則可列方程．【答案】y+【分析】本題考查了一元二次方程的應用；設每人給y人發(fā)短信，則第一輪有y人收到短信，第二輪有y2【詳解】解：設每人給y人發(fā)短信，列方程為y+y故答案為：y+y【變式8-3】某次商品交易會上，所有參加會議的兩個商家之間都簽訂了一份合同，共簽訂合同45份，則共有個商家參加了交易會．【答案】10【分析】本題考查了一元二次方程的應用，設共有x個商家參加了交易會，利用簽訂合同的總數(shù)=參加會議的商家數(shù)×(參加會議的商家數(shù)?1)÷2，即可得出關于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出參加交易會的商家數(shù)．【詳解】解：設共有x個商家參加了交易會，依題意得：12整理得：x2解得：x1=10，故答案為：10．【考點題型九】有關一元二次方程面積問題【典例9】如圖，老李想用長為70m的柵欄，再借助房屋的外墻（外墻足夠長）圍成一個矩形羊圈ABCD．并在邊BC上留一個2m寬的門（建在(1)設矩形ABCD的邊AB=xm，則邊BC的長度是多少？（用含有x(2)當羊圈的面積為640m【答案】(1)72?2x(2)羊圈的長BC為32m，寬AB為20m或羊圈的長BC為40m，寬【分析】本題主要考查了列代數(shù)式，一元二次方程的實際應用：（1）用柵欄長減去AB長的兩倍再加上EF的長即可得到答案；（2）根據(jù)（1）所求結合矩形面積計算公式建立方程求解即可．【詳解】（1）解：由題意得，BC=70?2x+2=72?2x（2）解：由題意得，x72?2x整理得：x2解得x=20或x=16，當x=20時，AB=20m，BC=72?2×20=32當x=16時，AB=16m，BC=72?2×16=40答：羊圈的長BC為32m，寬AB為20m或羊圈的長BC為40m，寬AB為【變式9-1】如圖，在長為32m、寬為20m的矩形地面上修建同樣寬的道路（圖中陰影部分），余下部分進行綠化．若綠化面積為540m2，道路寬度為A．32?xx?20=540 C．32?x20?x=540 【答案】C【分析】本題考查了一元二次方程的運用，要求學生能根據(jù)題意的數(shù)量關系建立等式，同時考查了學生的閱讀能力和理解能力．根據(jù)題意表示出綠化部分的長為32?xm，寬為20?xm，再根據(jù)綠化面積為【詳解】解：設道路寬度為xm，，則綠化部分的長為32?xm，寬為得32?x故選：C．【變式9-2】如圖，某農場有兩堵互相垂直的墻，長度分別為27米和15米，該農場打算借這兩堵墻建一個長方形飼養(yǎng)場ABCD，其中AD和AB兩邊借助墻體且不超出墻體，其余部分用總長45米的木欄圍成，中間預留1米寬的通道，在EH和FG邊上各留1米寬的門、設AB長x米，(1)求BC的長度（用含x的代數(shù)式表示）．(2)若飼養(yǎng)場ABCD的面積為180平方米，求x的值．【答案】(1)48?3x米(2)x=10．【分析】本題主要考查一元二次方程的應用、一元二次方程的求解及一元一次不等組的求解；根據(jù)實際情境確定變量的取值范圍，對方程解作合理取舍是解題的關鍵．（1）由FH?1+FG?1+CD+BH+CG=45得BH+CG=47?3x，再由BC=BH+CG+1即可得出答案；（2）根據(jù)矩形的面積等于長×寬建立方程，求解并檢驗即可．【詳解】（1）解：如圖，F(xiàn)H?1+FG?1+CD+BH+CG=45∴BH+CG=47?3x∴BC=BH+CG+1=48?3x米；（2）解：由題意知，x解得，x1=6又∵0≤48?3x≤27，且0≤x≤15∴7≤x≤15，∴x=10．【考點題型十】有關一元二次方程利潤問題【典例10】某超市計劃購進一批單價為20元的洗衣液．經(jīng)市場調查發(fā)現(xiàn)：該洗衣液以30元的價格出售時，平均每月售出500桶，且洗衣液的售價每提高1元，某月銷售量就減少10桶．(1)若售價定為35元，每月可售出多少桶？(2)若洗衣液的月銷售量為200桶，則每桶洗衣液的定價為多少元？(3)當超市每月有8000元的銷售利潤時，為體現(xiàn)“薄利多銷”的銷售原則，你認為銷售價格應定為多少？【答案】(1)每月可售出450桶(2)每桶洗衣液的定價為60元(3)銷售價格應定為40元【分析】本題考查了一元一次方程的應用，一元二次方程的應用，解題的關鍵是分別表示出銷量和單價，用銷量乘以單價表示出利潤即可．（1）由“洗衣液的售價每提高1元，其銷售量就減少10桶”進行解答；（2）設銷售價格應定為x元，根據(jù)“洗衣液的售價每提高1元，，其銷售量就減少10桶”列出方程并解答；（3）設銷售價格應定為y元，根據(jù)“每月有8000元的銷售利潤”列出方程并解答結合“薄利多銷”取合適的值即可．【詳解】（1）解：當售價為35元時，每月可以售出500?10×35?30（2）解：設銷售價格應定為x元，則500?10x?30解得x=60，答：銷售量為200桶，則每桶洗衣液的定價為60元；（3）解：設銷售價格應定為y元，則y?20500?10整理得：y2解得：y1=40或為體現(xiàn)“薄利多銷”的銷售原則，∴y=40，答：銷售價格應定為40元．【變式10-1】某水果商場經(jīng)銷一種高檔水果，原價每千克50元，連續(xù)兩次降價后每千克32元，若每次下降的百分率相同．(1)求每次下降的百分率．(2)若每千克盈利10元，每天可售出500千克經(jīng)市場調查發(fā)現(xiàn)，在進貨價不變的情況下，商場決定采取適當?shù)臐q價措施，但商場規(guī)定每千克漲價不能超過8元，若每千克漲價1元，日銷售量將減少20千克．現(xiàn)該商場要保證每天盈利6000元，且要盡快減少庫存，那么每千克應漲價多少元?【答案】(1)每次下降的百分率為20(2)每千克應漲價5元【分析】本題考查了一元二次方程的應用．（1）設每次下降的百分率為x，根據(jù)相等關系列出方程，可求每次下降的百分率；（2）設漲價x元0<x≤8，根據(jù)總盈余=每千克盈余×數(shù)量，可列方程，可求解．【詳解】（1）解：設每次下降的百分率為a，根據(jù)題意得：501?a解得：a1=1.8，（不合題意，舍去）或答：每次下降的百分率為20%（2）解：設每千克應漲價x元，則每千克盈利10+x元，每天可售出50?2x千克，由題意得：10+x500?20x整理，得x2解得：x1∵商場規(guī)定每千克漲價不能超過8元，∴x=5，答：每千克應漲價5元．【變式10-2】某景區(qū)賓館有50間房供游客居住，原定價每間房每天250元．國慶節(jié)來臨之際，該景區(qū)酒店計劃調整價格以吸引游客．(1)若經(jīng)過兩次漲價后，每間房的費用增至360元，求兩次增長的平均增長率．(2)據(jù)經(jīng)驗，當每間房每天定價為200元時，賓館會住滿；定價每增加10元時，就會空閑一間房（物價部門規(guī)定，此類賓館的入住費用不得超過原定價的1.5倍）．如果有游客居住，賓館需對居住的每間房每天支出20元的成本費用，除此之外無其他成本費用．當房價定為多少元時，賓館當天的利潤為10120元？【答案】(1)20(2)240【分析】本題考查了一元二次方程的應用，正確理解題意，找到等量關系是解題的關鍵．（1）設兩次增長的平均增長率為x，由題意得，2501+x（2）設每個房間房價增加y元，由題意得，200+y?2050?【詳解】（1）解：設兩次增長的平均增長率為x，由題意得，2501+x解得：x=15或∴增長率為20%答：兩次增長的平均增長率為20%（2）解：設每個房間房價增加y元，由題意得，200+y?2050?解得：y=40或y=280，當y=280時，200+280>200×1.5，故不符合題意，舍，∴每個房間房價增加40元，∴房價定為200+40=240（元），答：當房價定為240元時，賓館當天的利潤為10120元．【考點題型十一】有關一元二次方程動點問題【典例11】如圖，在△ABC中，∠B=90°，AB=6cm，BC=8cm．點P從點A開始沿AB邊向點B以1cm/s的速度移動，點Q從點B開始沿BC(1)如果P，Q分別從A，B同時出發(fā)，那么幾秒后，△PBQ的面積等于8cm(2)如果P，Q分別從A，B同時出發(fā)，△PBQ的面積能否等于10cm(3)如果P，Q分別從A，B同時出發(fā)，那么幾秒后，PQ的長度等于6cm【答案】(1)2秒(2)△PBQ的面積不能等于10cm(3)12【分析】本題主要考查了一元二次方程的應用，找到關鍵描述語，得出等量關系是解決問題的關鍵．（1）設經(jīng)過x秒，△PBQ的面積等于8cm2，根據(jù)點P從A點開始沿AB邊向點B以1cm/s的速度移動，點Q從B點開始沿BC邊向點C以2cm/s的速度移動，表示出BP=AB?AP=(6?x