周期函數(shù)課件

1.4.2正、余弦函數(shù)的圖像和性質(zhì)2021/6/2711.正弦、余弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)y=sinx(xR)

y=cosx(xR)

定義域值域周期性xRy[-1,1]T=2xyO1-1y=cosxy-1xO1π2π3π4π5π6π-2π-3π-4π-5π-6π-πy=sinx2021/6/2722.周期函數(shù)的定義

一般地，對于函數(shù)f(x)，如果存在一個非零常數(shù)T

，使得當(dāng)x

取定義域內(nèi)的每一個值時，都有f(x+T)=f(x)

,那么函數(shù)f(x)就叫做周期函數(shù)，非零常數(shù)T叫做這個函數(shù)的周期。

對于一個周期函數(shù)f(x),如果在它所有的周期中存在一個最小的正數(shù)，那么這個最小正數(shù)就叫做f(x)的最小正周期。2021/6/273可知：函數(shù)y=sinx和y=cosx都是周期函數(shù)，2kπ(k∈Z且k≠0)都是它的周期，最小正周期是2π。

由sin(x+2kπ)=sinx;cos(x+2kπ)=cosx(k∈Z)2021/6/274注意：（1）周期T為非零常數(shù)。（2）等式f(x+T)=f(x)對于定義域M內(nèi)任意一個x都成立。（3）周期函數(shù)f(x)的定義域必為無界數(shù)集（至少一端是無界的）（4）周期函數(shù)不一定有最小正周期。舉例：f(x)=1(x∈R),任一非零實數(shù)都是函數(shù)f(x)=1的周期，但在正實數(shù)中無最小值，故不存在最小正周期。2021/6/275的最小正周期2021/6/276例1求下列函數(shù)的周期：（1）y=3cosx;x∈R（2）y=sin2x，x∈R；

3.例題講解2021/6/2772021/6/2782021/6/2792021/6/27102021/6/2711例1、已知定義在R上的函數(shù)f(x)滿足f(x＋2)＋f(x)=0，試判斷f(x)是否為周期函數(shù)？4.周期函數(shù)應(yīng)用

結(jié)論：定義在R上的函數(shù)f(x)滿足f(x＋a)＋f(x)=0或f(x＋a)=-f(x)

則f(x)是周期為2a的周期函數(shù).2021/6/2712例2、已知定義在R上的函數(shù)f(x)滿足f(x＋1)=f(x－1)，且當(dāng)x∈[0，2]時，f(x)=x－4，求f(10)的值.結(jié)論：定義在R上的函數(shù)f(x)滿足f(x＋a)-f(x-b)=0或f(x＋a)=f(x-b)

則f(x)是周期為a+b的周期函數(shù).2021/6/2713y-1xO1π2π3π4π5π6π-2π-3π-4π-5π-6π-πy=sinx2021/6/2714xyO1-1y=cosx2021/6/2715奇偶性

一般的，如果對于一個定義域關(guān)于原點對稱的函數(shù)f(x)的定義域內(nèi)的任意一個x，都有f(-x)=-f(x),則稱f(x)為這一定義域內(nèi)的奇函數(shù)。奇函數(shù)的圖像關(guān)于原點對稱。

一般的，如果對于一個定義域關(guān)于原點對稱的函數(shù)f(x)的定義域內(nèi)的任意一個x，都有f(-x)=f(x),則稱f(x)為這一定義域內(nèi)的偶函數(shù)。偶函數(shù)的圖像關(guān)于y軸對稱。2021/6/27161.正弦、余弦函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性

sin(-x)=-sinx(xR)

y=sinx(xR)是奇函數(shù)cos(-x)=cosx(xR)

y=cosx(xR)是偶函數(shù)定義域關(guān)于原點對稱

正弦、余弦函數(shù)的奇偶性2021/6/2717

正弦函數(shù)的單調(diào)性

y=sinx(xR)xyo--1234-2-31

x···0·········sinx-1010-12021/6/2718

余弦函數(shù)的單調(diào)性

y=cosx(xR)x······0······cosx-1010-1yxo--1234-2-31

2021/6/2719單調(diào)性y=cosx在每一個閉區(qū)間[(2k-1)π,2kπ](k∈Z)上都是增函數(shù),其值從-1增大到1；在每一個閉區(qū)間[2kπ，(2k+1)π](k∈Z)上都是減函數(shù)，其值從1減小到-1.y=sinx在每一個閉區(qū)間[+2kπ,+2kπ](k∈Z）上都是增函數(shù)，其值從-1增大到1；在每一個閉區(qū)間[+2kπ，+2kπ](k∈Z)上都是減函數(shù)，其值從1減小到-1.

2021/6/2720例3求下列函數(shù)的最大值和最小值，并寫出取最大值、最小值時自變量x的集合（1）y=cosx＋1，x∈R；（2）y=－3sin2x，x∈R.2021/6/2721例4比較下列各組數(shù)的大小:例5求函數(shù)，x∈[－2π，2π]的單調(diào)遞增區(qū)間.2021/6/27222021/6/2723當(dāng)cosx=1即x=2kπ（k∈Z)時，y取到最大值3.解：由cosx≥0得：-+2kπ≤x≤+2kπ（k∈Z)∴函數(shù)定義域為[-+2kπ，+2kπ]

由0≤cosx≤1∴

1≤2+1≤3∴函數(shù)值域為[1，3]練：求函數(shù)y=2+1的定義域、值域，并求當(dāng)x為何值時，y取到最大值，最大值為多少？2021/6/2724

正弦、余弦函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性

奇函數(shù)偶函數(shù)[

+2k,

+2k],kZ單調(diào)遞增[

+2k,

+2k],kZ單調(diào)遞減[

+2k,

2k],kZ單調(diào)遞增[2k,

2k+

],kZ單調(diào)遞減函數(shù)余弦函數(shù)正弦函數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間：1.直接利用相關(guān)性質(zhì)2.復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性3.利用圖象尋找單調(diào)區(qū)間奇偶性

單調(diào)性（單調(diào)區(qū)間）2021/6/2725

正弦、余弦函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性

例2

求下列函數(shù)的單調(diào)區(qū)間：

(1)y=2sin(-x)解：y=2sin(-x)=-2sinx

函數(shù)在上單調(diào)遞減[

+2k,

+2k],kZ函數(shù)在上單調(diào)遞增[

+2k,

+2k],kZ

(2)y=3sin(2x-)

單調(diào)增區(qū)間為所以：解：單調(diào)減區(qū)間為2021/6/2726

正弦、余弦函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性

解：

(4)解：定義域(3)y=(tan)sin2x

單調(diào)減區(qū)間為單調(diào)增區(qū)間為

當(dāng)即為減區(qū)間。當(dāng)即為增區(qū)間