中考數(shù)學(xué)專項復(fù)習(xí)：二次函數(shù)與一元二次方程重難點(diǎn)題型專訓(xùn)（6大題型）（解析版）

專題02二次函數(shù)與一元二次方程重難點(diǎn)題型專訓(xùn)(6大題型)

旨【題型目錄】

題型一求拋物線與X、y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)

題型二由二次函數(shù)解一元二次方程

題型三由二次函數(shù)的圖象求不等式的解集

題型四拋物線交點(diǎn)問題的綜合

題型五根據(jù)二次函數(shù)圖象確定相應(yīng)方程根的情況

題型六求x軸與拋物線的截線長

【知識梳理】

知識點(diǎn)：二次函數(shù)與一元二次方程

1.當(dāng)二次函數(shù)的圖象與x軸有兩個交點(diǎn)時，J.-_4,I,,方程有兩個不相等的實根。

2.當(dāng)二次函數(shù)的圖象與x軸有且只有一個交點(diǎn)時，匕=-—、紀(jì)=口，方程有兩個相等的實根。

3.當(dāng)二次函數(shù)的圖象與x軸沒有交點(diǎn)時，=.“匯v口，方程沒有實根。

二次函數(shù)y=a?+樂+c的圖象與x軸的位置關(guān)系有三種情況:①沒有公共點(diǎn);②有一個公共點(diǎn);③

有兩個公共點(diǎn)，這對應(yīng)著一元二次方程+bx+c=0的根的三種情況：

①有實數(shù)根，此時△<();②有兩個相等的實數(shù)根，此時△=();③有兩個不相等的實數(shù)根，此時△>().

(2)解決函數(shù)圖象過定點(diǎn)問題，一般方法是函數(shù)解析式中所含字母的項的和為0時，則函數(shù)值不受字母

的影響，據(jù)此可求圖象經(jīng)過的定點(diǎn)坐標(biāo).

(3)拋物線中三角形面積的最值問題，一般先設(shè)出動點(diǎn)的坐標(biāo)，然后用其表示相關(guān)線段的長度，再利用

三角形的面積公式構(gòu)造新的函數(shù)關(guān)系式來確定最值.在將點(diǎn)的坐標(biāo)轉(zhuǎn)化為線段的長度時，要注意符號的轉(zhuǎn)換.

知識點(diǎn)：二次函數(shù)與不等式

。〉0

判別式拋物線y=ax2+Zzx+c與不等式ax2+bx+c<0的解

不等式+bx+c〉0的解集

X軸的交點(diǎn)集

△>0X<再或X>%2xr<x<x2

F

有兩個交點(diǎn)

b

△=0X（或XW%2）無解

oxi(x2)r

有一個交點(diǎn)

r/

△

<0一全體實數(shù)無解

*

無交點(diǎn)

41經(jīng)典例題一拋物線與x、y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)】

1.(2023秋?河北邯鄲?九年級邯鄲市第二十三中學(xué)?？茧A段練習(xí))拋物線＞=-(2x-l)(x+3)與x軸的兩個

交點(diǎn)之間的距離是()

7

A.-B.2C.vD.4

22

【答案】A

1117

【分析】由k-(2x-l)(x+3)=-2(x-])(x+3),得兩個交點(diǎn)為(5,0),(-3,0),求得距離為「(-3)=^.

【詳解】解：y=-(2x-l)(x+3)=-2(x-；)(x+3),

???拋物線與x軸的兩個交點(diǎn)為(；,0),(-3,0).

.17

??.兩個交點(diǎn)之間的距離為--(-3)

故選:A

【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)兩點(diǎn)式解析式，二次函數(shù)與方程的聯(lián)系，數(shù)軸上兩點(diǎn)間的距離；理解方程與函

數(shù)的關(guān)系是解題的關(guān)鍵.

2.(2023秋?安徽宣城?九年級校考階段練習(xí))如圖，點(diǎn)48的坐標(biāo)分別為(-4,4)和(-1,4),拋物線

y=a(x-”)2+〃的頂點(diǎn)在線段48上運(yùn)動(拋物線隨頂點(diǎn)一起平移)，與x軸交于C、。兩點(diǎn)(C在。的左側(cè)，

且兩點(diǎn)間距4個單位長度)，點(diǎn)C的橫坐標(biāo)最小值為-6,則點(diǎn)。的橫坐標(biāo)最大值為()

A.-3B.1C.5D.8

【答案】B

【分析】當(dāng)拋物線經(jīng)過A點(diǎn)時，與x軸的交點(diǎn)C的橫坐標(biāo)是最小值，所以把A點(diǎn)坐標(biāo)和C(-6,0)代入可以

a,再把B點(diǎn)坐標(biāo)代入，求出與x軸的交點(diǎn)就是。點(diǎn)的橫坐標(biāo)的最大值.

【詳解】：拋物線y=a(x-機(jī)＞+〃過A(-4,4)點(diǎn)時，與x軸的交點(diǎn)C的橫坐標(biāo)是最小值-6,

，0=。(-6+4＞+4,

..d——1f

???拋物線y=-(x-m)2+〃過8(-1,4)點(diǎn)時，與X軸的交點(diǎn)。的橫坐標(biāo)是最大值，

，0=-(x+iy+4,

..X]—1,X]~—3,

的橫坐標(biāo)是1,

故選B.

【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，關(guān)鍵是通過數(shù)形結(jié)合觀察到圖象過A點(diǎn)時，C的橫坐標(biāo)是最

小值，過點(diǎn)3時，D的橫坐標(biāo)是最大值.

3.(2023秋?河北滄州?九年級校考階段練習(xí))在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線＞=ax(x-4)(aW0)與x軸相交

于A,B兩點(diǎn)，且點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè).

(1)點(diǎn)3的坐標(biāo)為;

(2)當(dāng)-24xV4時，拋物線＞=""-4)(0*0)的最小值為_4,則。的值為.

【答案】(4,。)1或-]

【分析】(1)令y=0,且結(jié)合以及點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)即可作答；

(2)分。＞0和a＜0兩種情況進(jìn)行談?wù)摚贸鲎钚≈登医Y(jié)合題意，解方程即可列式作答求解.

【詳解】解：(1)由題意得：令y=o,

貝”0=ox(x-4)(aw0),

解得：玉=0,%=4,

,?,點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)，

.,.點(diǎn)3的坐標(biāo)為(4,0)；

(2)由(1)知點(diǎn)A的坐標(biāo)為(0,0),點(diǎn)8的坐標(biāo)為(4,0)；

???拋物線的對稱軸為直線無=守=2,

當(dāng)。>0時，拋物線開口向上，當(dāng)x=2時，最小值為2ax(2-4)=-40,

?:當(dāng)-24xV4時,拋物線y=ax(x-4)(aW0)的最小值為-4,

???-4a=-4,

，a=1；

當(dāng)”。時，拋物線開口向下，當(dāng)工=2有最大值，

?.-2-(-2)=4,4-2=2,且4>2；

.?.當(dāng)x=-2時，離對稱軸較遠(yuǎn)，

故在x=-2時，拋物線y^ax(x-4)(a^0)取得最小值，

即-2ax(-2-4)=-4,

解得。=-：；

所以。的值為1或-;.

故答案為：(4,。)；1或

【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)，二次函數(shù)的對稱軸和最值問題，二次函數(shù)的圖象性質(zhì)，正

確掌握相關(guān)性質(zhì)內(nèi)容是解題的關(guān)鍵.

4.(2023秋?吉林長春?九年級長春市解放大路學(xué)校?？茧A段練習(xí))在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線

j=*+26x+3(6為常數(shù))經(jīng)過點(diǎn)/(TO)且與y軸交于點(diǎn)8,點(diǎn)C在該拋物線上，橫坐標(biāo)為2加-1,將

該拋物線8,C兩點(diǎn)之間(包括8,C兩點(diǎn))的部分記為圖象G.

n

Aid\x

(1)求此拋物線對應(yīng)的二次函數(shù)表達(dá)式；

(2)當(dāng)-24x43時，二次函數(shù)的最大值是，最小值是;

(3)圖象G的最大值與最小值的差為3時，求加的值；

(4)拋物線>=-X2+26X+3。為常數(shù))與x軸的另一交點(diǎn)為。，若點(diǎn)M在拋物線上，且在x軸下方，點(diǎn)、N

為x軸上一動點(diǎn)，當(dāng)以8,D,M,N為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形時，直接寫出點(diǎn)N的坐標(biāo).

【答案】(1)?=7+2》+3

(2)4,-5

(3)機(jī)=?；蚣?2+"

2

(4)N、(-2-V7.0),3(-2+V7,0)

【分析】(1)利用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式即可；

(2)根據(jù)>=-/+2》+3=-(工-1『+4,可得當(dāng)無=1時，了取最大值，最大值為4,再根據(jù)二次函數(shù)圖象和

性質(zhì)可得，當(dāng)-2?x<3時，］=-2時，y取最小值，即可求解；

(3)設(shè)c(2m-l,-4/+8〃z),分類討論當(dāng)2加-1<0,當(dāng)0<2加-1<1時，當(dāng)1<2加-1<2時，當(dāng)2旭-1>2

時，分別進(jìn)行求解即可；

(4)先求出。(3,0)、8(0,3),設(shè)河(。,-/+2。+3),N(b,0),利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式列方程組，進(jìn)行求解即

可.

【詳解】(1)解：將點(diǎn)，(T,。)代入y=f2+26x+3得，-1-26+3=0,

解得6=1,

???拋物線解析式為y=-x2+2x+3；

(2)解：,.,y=-x2+2x+3=+4,

???對稱軸為x=l,

.?.當(dāng)x=l時，.y取最大值，最大值為4,

當(dāng)x=-2時，J；=-（-2-1）2+4=-5,

當(dāng)-24x43時，二次函數(shù)的最大值是4,最小值是-5,

故答案為：4,-5：

（3）解：設(shè)c（2加-1,一4加2+8加），

當(dāng)2m-1<0,即〃，（,時，

2

.-.3-（-4"/+8機(jī)）=3,

解得叫=0,m2=2（舍），

當(dāng)0<2m-1<1時，則一（加<1,

2

???—4m2+8m—3=3,

A=ft2-4ac=64-4x4x6=-32<0，

方程無解，

3

當(dāng)1<2m一1<2時，貝口<加<5，

-4m2+8加一3=3,

△=/—4QC=64—4X4X6=—32<0,

3

當(dāng)2加一1>2時，則機(jī)〉一，

2

4-（-4m2+8加）=3,

解得/=^^+1,m2--^-+1（舍），

1222

綜上所述，加=0或加=2+百；

2

（4）解：???拋物線對稱軸為x=T,4-1,0）,

,紅3]

2，

???XD=3,

.??。（3,0）,

當(dāng)x=0時，歹=3,

???5（0,3）,

設(shè)Af(q,—/+2Q+3),N(b,O),如圖,

0+Q=6+3

3—/+2a+3=0+0

【點(diǎn)睛】本題考查用待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式、二次函數(shù)與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)、二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)、

平行四邊形的性質(zhì)及中點(diǎn)坐標(biāo)公式，用待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式是解題的關(guān)鍵.

41經(jīng)典例題二由二次函數(shù)解一元二次方程】

1、（2023秋?山東淄博?九年級校考期末）己知二次函數(shù)y="x+左（a,k,均為常數(shù)）的圖象與x軸

的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為-2和5,則關(guān)于x的一元二次方程。（x+左+2）2+6=0的兩個實數(shù)根分別是（）

A.X]=-4,%=3B.匹=3,X?=7C.=0,x?=7D.=0,%=3

【答案】A

【分析】設(shè)二次函數(shù)必=a（x+左+2『+3根據(jù)二次函數(shù)的平移規(guī)律可得了向左平移2個單位長度得到必，即

可得出必與x軸的交點(diǎn)橫坐標(biāo)，即可進(jìn)行解答.

【詳解】解：設(shè)二次函數(shù)必=。卜+左+2『+力，

y-a^x+ky+h,

■■■y向左平移2個單位長度得到必，

???二次函數(shù)y的圖象與x軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為-2和5,

二二次函數(shù)必的圖象與x軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為-4和3,

???一元二次方程?(X+^+2)2+A=0的兩個實數(shù)根分別是再=-4,%=3,

故選：A.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了二次函數(shù)的平移，以及二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系，解題的關(guān)鍵是掌握二次

函數(shù)的平移規(guī)律'左加右減，上加下減”，以及二次函數(shù)與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)的值等于所對應(yīng)一元二次方程的

根.

2.(2022秋?湖北武漢?九年級湖北省水果湖第一中學(xué)?？计谥?拋物線了=。/+/+。的圖象經(jīng)過點(diǎn)

4(-1,0),5(3,0),則關(guān)于x的一元二次方程a(x-l>+c=6-云的解是()

A.石=0,x2=4B.再=-2,x2=2C.占=0,x2=2D.西=一2,x2=4

【答案】A

【分析】由拋物線歹=爾+及+。經(jīng)過點(diǎn)4(-1,0),8(3,0)兩點(diǎn)可得，方程辦2+隊+C=0的解為一1或3,整

理a(x—iy+c=6—樂可得Q(X—l)2+b(x—l)+c=0,進(jìn)而得至Ijx—1=—1或3,求出x的值即可的解.

【詳解】解：由題意可知，拋物線y=a、2+bx+c與x軸的交點(diǎn)為/、8兩點(diǎn)，

?,?方程ax2++c=0的解為-1或3,

整理關(guān)于x的一元二次方程a(x-+c=b-bx可得，

—I)?+b(x-1)+c=0,

x—1=—1或3,

解得芭=0，%=4,

故選A.

【點(diǎn)睛】本題主要考查二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系，解題的關(guān)鍵是將a(x-l)2+c=b-及變形為

〃(x-1)2+b(x-1)+。=0后得至|Jx—1=—1或3.

3.(2023?吉林長春?統(tǒng)考一模)在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線>=辦2一4"—1經(jīng)過點(diǎn)(2,7).若關(guān)于x的一元

二次方程如2一4辦-1-/=0”為實數(shù))在g<x<4的范圍內(nèi)有實數(shù)根，貝V的取值范圍為.

【答案】-1<?<7

【分析】利用待定系數(shù)法求出拋物線解析式，再根據(jù)將一元二次方程a--4ax-lT=0的實數(shù)根可以看作

了="2-4辦-1與函數(shù)y=，的有交點(diǎn)，結(jié)合圖象，在g<X<4的范圍確定y的取值范圍即可求解.

［詳解】???拋物線y=ax2-4ax-1經(jīng)過點(diǎn)（2,7）,

7—4a—8〃—1,

解得：a=-2,

???拋物線解析式為y=—2x2+8x—1.

一元二次方程一_4QX_1T=0的實數(shù)根可以看作""2_4辦-1與函數(shù)y=，的有交點(diǎn)，如圖，

???方程在;<x<4的范圍內(nèi)有實數(shù)根，即函數(shù)了=，的圖象在g<x<4的范圍內(nèi)與了="2-4"-1的圖象有交

點(diǎn)，

-1<E?7.

故答案為：

【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)；能夠?qū)⒎匠痰膶崝?shù)根問題轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)與直線的交點(diǎn)問題，

從而借助數(shù)形結(jié)合解題是關(guān)鍵.

4.（2023?湖北黃石?統(tǒng)考一模）閱讀材料：

YYlri

材料1.已知實數(shù)機(jī)、〃滿足用2_機(jī)_1=0,1-1=0且機(jī)。，求1的值.

nm

解：由題意知冽、〃是方程/一1_1=0的兩個不相等的實數(shù)根，得加+〃=1,mn=-\

.mn_m12+n2_(m+H)2-2mn_1+2_

nmmnmn-1

材料2.如圖，函數(shù)y=2/+x-2的圖像，是一條連續(xù)不斷的拋物線，因為當(dāng)x=0時，^=-2<0；當(dāng)x=l

時，y=l>0.可知拋物線與x軸的一個交點(diǎn)的橫坐標(biāo)在0與1之間.

所以方程2/+x-2=0的一個根為所在的范圍是0〈再<1.

(1)已知實數(shù)加、〃滿足2/—2加一1=0,2n2—2n—l=09且加。幾，求—I■—的值.

mn

(2)已知實數(shù)小q滿足，p2=3p+2,2q2+3q=l,且pq#1,求絲土女里的值.

P

(3)若關(guān)于x的一元二次方程2/+〃a-4=0的一個根大于2,另一個根小于2,求加的取值范圍.

【答案】(1)-2

⑵-1

(3)m<-2

【分析】(1)仿照材料1的方法，利用一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系進(jìn)行即可；

23

(2)由/=3p+2變形得不+—-1=0,仿照材料1的方法，利用一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系進(jìn)行即可

PP

(3)考慮二次函數(shù)歹=2一+加］一4,由題意知當(dāng)％=2時，y<0,即可求得冽的取值范圍.

【詳解】⑴解：由題意知冽、〃是方程2/_2x-1=0的兩實數(shù)解，

??冽+〃=1,mn=,

2

11m+n1小

—+—=----=—=-2

mnmn_J_;

~2

23

(2)解：由p2=32+2,得不+——1=0,

PP

由2q2+32=1,得2q?+3q—1=0,且pq。1

則,與9為方程2/+3x-1=0的兩實數(shù)解，

P

13

???一+烏=一彳，

P2

pq+2p+l1―c3“1

pp22

(3)解：???一元二次方程2/+加％—4=0的一個根大于2,另一個根小于2,

???令y-2x2+mx-4,

??.當(dāng)％=2時，y=2x22+2m-4<0,

解得，m<-2.

【點(diǎn)睛】本題是材料問題，考查了一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系，解不

等式，求代數(shù)式的值等知識，理解題中材料解決問題的方法是問題的關(guān)鍵.

41經(jīng)典例題三由二次函數(shù)的圖象求不等式的解集】

1、(2022?內(nèi)蒙古呼和浩特??？家荒?已知關(guān)于x的一元二次方程G2+bx+c=0的一個根為-1,二次函數(shù)

?="2+云+。的圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)為(1,4),則關(guān)于x的不等式加+c>(2-b)x-l的解為()

A.x<-l或x>3B.尤<-2或x>2C.-l<x<3D.-2<x<2

【答案】D

2

【分析】首先設(shè)拋物線的表達(dá)式為：y=a(X-hy+k=a(x-\)+4,把x=-l代入，即可求得拋物線的表達(dá)式,

再由不等式得分+bx+c>2x-l,聯(lián)立y=-『+2x+3和y=2x-l并解得》=±2,根據(jù)函數(shù)圖象即可求得.

22

【詳解】解:設(shè)拋物線的表達(dá)式為：y=a(X-h)+k=a(X-l)+4,

由題意知，當(dāng)x=-l時，0解得：a=-l,

故拋物線的表達(dá)式為：y=-(^-l)2+4=-x2+2x+3,

將不等式ax2+c>(2-b)x-1整理為：ax1+bx+c>2x-\,

聯(lián)立V=--+2x+3和J=2x-l并解得：x=±2,

故-2<x<2時，函數(shù)了在之上，即分2+bx+c>2x-l,

故選：D.

【點(diǎn)睛】本題考查的是二次函數(shù)與不等式（（組））和待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，解題的關(guān)鍵是確定函數(shù)圖

象的交點(diǎn)，根據(jù)交點(diǎn)處圖象之間的位置關(guān)系，確定不等式的解.

2.（2023?山東東營?統(tǒng)考一模）如圖，拋物線y=a/+6x+c和直線歹=h+6都經(jīng)過點(diǎn)（-1,0）,拋物線的對稱

軸為x=l,那么下列說法正確的是（）

A.ac>0B.b1-Aac<0

C.k=2a+cD.x=4是不等式辦2+6x+c<丘+6的解

【答案】D

【分析】由圖象可得信息。<0,c>0,A>0,k>0,直接可以判斷A和B是錯誤的；由y=ax2+fcv+c

和直線廣h+b都經(jīng)過點(diǎn)（TO）,得到6=左，"6+c=0,可以判斷C是錯誤的；由對稱軸為x=l,k=-2a,

13

當(dāng)尤=4時，ax2+{b—k^x+c=——k,可以判斷D正確；

【詳解】解：由圖象可知〃<0,c〉0,

/.ac<Q,故A錯誤；

由圖象得知拋物線與x軸有兩個不同的交點(diǎn)，

.?.△>0,故B錯誤；

???y="2+裊+。過點(diǎn)（-1,0）,

???Q—b+c=0,

???尸奴+6過點(diǎn)（一1,0）,

b—k,

：.k=a+c,故C錯誤；

???對稱軸為x=l,

?-2=i

2a'

b=-2a,

**?k——2。，

：.k=b=-2a=a+c,

?*?c——3a,

當(dāng)x=4時,ax2+(6—k)x+c=16a+c=13a—13x1——kI——3k

由圖象可知，k>0,

---k<k,gpax2+(b-k^x+c<b-

故D正確;

故選：D.

【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)的圖象；熟悉二次函數(shù)圖象的特點(diǎn)，能夠通過圖象直接獲取信息，結(jié)合題中給

出條件進(jìn)行推斷.

3.Q023?上海普陀?統(tǒng)考二模）拋物線>=??+云+。開口向上，且過下列結(jié)論中正確的是

（填序號即可）.

①若拋物線過（3,0）,則b+2a=0；

②若b=-4a,貝!|不等式辦+6x+c<c的解為0<x<5；

③若3a<c,M（X],%）、N（%,%）為拋物線上兩點(diǎn)，則一2<X2<X]時外>%；

④若拋物線過（見0）,且加>3,則拋物線的頂點(diǎn)一定在^=-4。的下方.

【答案】①③④

【分析】①由拋物線過（-1,0）和（3,0）,則對稱軸為直線x=l,故-，=1,6=-2。，①對;②由6=-4a得，

2a

拋物線對稱軸為直線x=2,拋物線過（O,c）和（4,c）,由圖象得不等式++6x+c<c的解為0<x<4,②錯;

③設(shè)拋物線與x軸的另一個交點(diǎn)為（當(dāng)，。），由為<c得（>3,-1-X3>3,得X3<-3,則對稱軸在直線X=-2

（/\2、

加一1—CL（加+1）

左邊，由-2<%<占，可得以>%，③對;④由>=a（x+l）（xT"）得頂點(diǎn)坐標(biāo)為—*—,由加>3

得，P,④對；

4

【詳解】解：???拋物線經(jīng)過（TO）和（3,0）,

二拋物線對稱軸為直線X=三士=1,

2a

b=-2a,即b+2。=0,故①正確；

???b=-4a,

???拋物線對稱軸為直線無=-二b=-=—4嗎(2=2,

2a2a

拋物線經(jīng)過(O,c)和(4,c),

,?,拋物線開口向上，

.?.當(dāng)0<x<4時，拋物線的函數(shù)圖象在直線y=c的函數(shù)圖象下方，即止匕時辦+6X+CVC,故②錯誤;

設(shè)拋物線與x軸的另一個交點(diǎn)為(9，0)，

???拋物線開口向上，

???Q〉0,

3。<。，

.-.->3,

a

x3<-3,

???拋物線對稱軸在直線x=-2左邊，

,,,一2〈<匹，

???%>%，故③正確；

???拋物線經(jīng)過(丸0),(-1,0),

YY)—1

???拋物線對稱軸為直線X=氣」，拋物線解析式為y=a(X+1)(x-加),

(/\2、

p一,m-\-a(m+l)

???頂點(diǎn)坐標(biāo)為”一，---------，

,/m>3,

/.m+1>4,

.-(m+1)2

,,--------<—4，

4

-aim+1),

---------------<—4Q，

4

拋物線的頂點(diǎn)一定在了=-4”的下方，

故④正確；

故答案為：①③④.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了二次函數(shù)圖象的性質(zhì)，二次函數(shù)與不等式，熟知二次函數(shù)的相關(guān)知識是解題的關(guān)

鍵.

4.（2023?廣東深圳?深圳市福田區(qū)北環(huán)中學(xué)校考二模）請閱讀下列解題過程：解一元二次不等式：

x~—2x—3<0.

解：設(shè)犬-2x—3=0,解得：X]=-1,x2=3,

則拋物線產(chǎn)，-2x-3與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為（-1,0）和（3,0）.

畫出二次函數(shù)j=x?-2x-3的大致圖象（如圖所示）.

由圖象可知：當(dāng)-l<x<3時函數(shù)圖象位于x軸下方，

此時"0,HPX2-2X-3<0.

所以一元二次不等式/一2X-3<0的解集為：-l<x<3.

通過對上述解題過程的學(xué)習(xí)，按其解題的思路和方法解答下列問題：

（1）上述解題過程中，滲透了下列數(shù)學(xué)思想中的和（只填序號）

①轉(zhuǎn)化思想；②分類討論思想；③數(shù)形結(jié)合思想.

（2）用類似的方法解一元二次不等式：-無2+2X>0.

（3）某“數(shù)學(xué)興趣小組”根據(jù)以上的經(jīng)驗，對函數(shù)>=-仁-1乂國-3）的圖象和性質(zhì)進(jìn)行了探究，探究過程如下,

請補(bǔ)充完整：

①自變量x的取值范圍是；x與y的幾組對應(yīng)值如表，其中加=.

X4-3-2-101234

y50-3m-3010-3

②如圖，在直角坐標(biāo)系中畫出了函數(shù)的部分圖象，用描點(diǎn)法將這個圖象補(bǔ)畫完整.

③結(jié)合函數(shù)圖象，解決下列問題：

解不等式：-3W-（X-D（|X|-3）W0

V八

-5-4-3-2-1O

-1

-2

【答案】⑴①，③

(2)0cx<2

（3）①全體實數(shù)；一4；②見解析；③-3WxW-2或OWxVl或34x44

【分析】（1）根據(jù)轉(zhuǎn)化思想和數(shù)形結(jié)合思想解答，即可；

（2）依照例題，先求得-Y+2x=0的解，再畫出y=-必+2》的草圖，觀察圖象即可求解；

（3）①當(dāng)x=-l時，代入數(shù)據(jù)求解即可；②描點(diǎn)，連線，即可畫出函數(shù)圖象；③觀察圖象即可求解.

【詳解】（1）解：上述解題過程中，滲透了下列數(shù)學(xué)思想中的轉(zhuǎn)化思想和數(shù)形結(jié)合思想；

故答案為：①，③

（2）解：-x2+2x>0，

^-X2+2X=0,解得：為=0,X,=2,

則拋物線y=-f+2x與X軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為（0,0）和（2,0）.

畫出二次函數(shù)y=-，+2x的大致圖象（如圖所示）.

由圖象可知：當(dāng)0<x<2時函數(shù)圖象位于x軸上方，

止匕時歹>0,即一無2+2X>0.

所以一元二次不等式-X2+2X>0的解集為：0<x<2；

(3)解：①自變量x的取值范圍是全體實數(shù)；

當(dāng)x=_］時，y=-(x-l)(|x|-3)=-(-1-1)(|-1|-3)=-4,即優(yōu)=一4

列表；

X-4-3-2-101234

y50-3-4-3010-3

故答案為：全體實數(shù)；-4；

②描點(diǎn),連線,函數(shù)尸-(X-1乂國-3)圖象如圖:

■>

x

③由圖象可知；由圖象可知：當(dāng)-3WxW-2或0<x<l或3WxW4時函數(shù)y=-(x-D(國-3)的圖象位于-3

與0之間，此時一3”W0,即一3W-(x-l)(W-3)W0.

一元二次不等式-3忘-(》-1乂卜|-3戶0的解集為：-3忘工忘-2或0工無工1或3"44.

故答案為：-3<x<-2或OVxVl或3VxW4.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了拋物線與x軸的交點(diǎn)，一元二次不等式的解法，數(shù)形結(jié)合的思想方法，本題是閱

讀型題目，理解題干中的解題的思想方法并熟練運(yùn)用是解題的關(guān)鍵.

A【經(jīng)典例題四拋物線交點(diǎn)問題的綜合】

1.(2023秋?湖北武漢?九年級校考階段練習(xí))已知函數(shù)>=(加-2)/+2工+1與x軸有交點(diǎn)，則機(jī)的取值范

圍是()

A.m<3B.m>3C.冽?3且加w2D.m<3

【答案】C

【分析】利用二次函數(shù)的定義和判別式的意義得到加-2w0且A=2?-4(加-2)20,然后求出兩個不等式的

公共部分即可.

【詳解】解：根據(jù)題意得，”-220且A=2?-4(機(jī)一2)20,

解得加W3且加。2.

故選：C.

【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系：對于二次函數(shù)了="2+云+4。?0),拋物線與x軸交點(diǎn)

個數(shù)由△決定A=/-4M>0時，拋物線與x軸有2個交點(diǎn)A="_4ac=0時，拋物線與x軸有1個交點(diǎn)

△=62-4ac<0時，拋物線與x軸沒有交點(diǎn).

2.(2022春?湖南益陽?九年級?？甲灾髡猩?二次函數(shù)y=/+6x+c的圖象與x軸的兩個交點(diǎn)為(-1,0)與

(2,0),函數(shù)產(chǎn)衰+\+c+d的圖象與x軸的兩個交點(diǎn)為Q0)與(A0),若。<-1,則()

A.d>0,夕<2B.d>0,P>1C.d<0,夕<2D.d<0,￡>2

【答案】D

【分析】由交點(diǎn)式二次函數(shù)關(guān)系可求得J=x2+6x+c+d=x2-x-2+4,進(jìn)而可求得a=l-￡,d=a/3-2,

結(jié)合a<T,可求解.

【詳解】解：，??二次函數(shù)了=f+6無+c的圖象與x軸的兩個交點(diǎn)為(T,。)與(2,0),

???歹=0+1)0-2)

=x2-x-2，

y=x2+bx+c+d

=x—%—2+d,

?.?函數(shù)y=ff_2+d的圖象與X軸的兩個交點(diǎn)為(a,0)與(夕,0),

:.y=j^-x-2+d=(x-a)(x-fi)=x2-(a+P)x+a[3,

-1,a/3=d—2,即cc=\—/3,d=cc/3—2

,/a<-l,

">2,

a/3<0,

:.d<0,

故選：D.

【點(diǎn)睛】本題考查了拋物線與x軸的交點(diǎn)，根據(jù)拋物線與x軸的交點(diǎn)求解函數(shù)關(guān)系式是解題的關(guān)鍵.

3.（2023春?廣東深圳?九年級深圳中學(xué)?？甲灾髡猩┤魭佄锞€》=/+（20+1b+2“+：的圖象與x軸僅一

個交點(diǎn)，貝。4一/一0+io。的值為.

【答案】101

【分析】由拋物線>=/+（20+1）》+20+：的圖象與x軸僅一個交點(diǎn)，可得尤2+（2。+1"+2。+：=0,貝

222

A=（2a+l）-4xlx^2a+|^=4（a-a-l）=0,解得：a-a=l,然后根據(jù)

--/—q+100=/—。）_。+IOO=d—+100,‘十算角軍即nJ.

【詳解】解：???拋物線尸/+（2°+1"+20+：的圖象與x軸僅一個交點(diǎn)，

/.%2+（2a+1）x+2a+—=0,

.?.△=（2a+l）2-4xlx^2a+|^|=4（a2-a-l）=0,

解得：a2-a=1>

<74-<7,-u+100=a~（礦-a）-。+100=cr-a+100=1+100=101,

故答案為：101.

【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)與一元二次方程的綜合，一元二次方程根的判別式，代數(shù)式求值.解題的關(guān)

鍵在于對知識的熟練掌握與靈活運(yùn)用.

4.（2023秋?黑龍江哈爾濱?九年級統(tǒng)考階段練習(xí)）已知關(guān)于x的二次函數(shù)夕=/^2-（〃?+2口+2（加W0）.

（1）求證：此拋物線與x軸總有交點(diǎn)；

（2）若此拋物線與x軸有兩個交點(diǎn)，且交點(diǎn)的橫坐標(biāo)都是整數(shù)，加是正整數(shù)，求加的值.

【答案】（1）見解析

(2)1

【分析】（1）令y=o,使得二次函數(shù)變?yōu)橐辉畏匠蹋缓笄蟪龇匠讨信袆e式△的值，即可證明結(jié)論；

（2）令>=o,使得二次函數(shù)變?yōu)橐辉畏匠?，然后對方程分解因式，又因此二次函?shù)的圖象與x軸兩個

交點(diǎn)的橫坐標(biāo)都是整數(shù)，從而可以求得符合要求的正整數(shù)%的值.

【詳解】（1）證明：

A=(機(jī)+2)2-4mx2=機(jī)？+4機(jī)+4—8m=(m—2)2>0.

???此拋物線與x軸總有交點(diǎn)；

(2)解：令》=0,貝|(x-l)(mx—2)=0,

所以工-1=0或加X-2=0,

2

解得石=1,工2=一，

m

因為拋物線與x軸有兩個交點(diǎn)，交點(diǎn)的橫坐標(biāo)都是整數(shù)，加是正整數(shù)

所以m為1.

【點(diǎn)睛】本題考查的是拋物線與％軸的交點(diǎn)和解一元一次方程，解決本題的關(guān)鍵是設(shè)出兩交點(diǎn)的坐標(biāo).

41經(jīng)典例題五根據(jù)二次函數(shù)圖象確定相應(yīng)方程根的情況】

1.(2023秋?北京?九年級北京市陳經(jīng)綸中學(xué)校考階段練習(xí))二次函數(shù)+6x+c的圖象如圖所示，下列

說法正確的個數(shù)有()

①a+b+c>0②a6>0

(3)b+2a=0④方程ox?+6x+c=5有兩個不相等的實數(shù)根.

A.1個B.2個C.3個D.4個

【答案】B

【分析】特殊點(diǎn)判斷①；拋物線的開口方向，對稱軸，判斷②和③；圖象法判斷④.

【詳解】解：由圖象可知：拋物線的開口方向向上，

-,-a>0,

圖象與x軸的兩個交點(diǎn)坐標(biāo)為(TO),(3,0),

???對稱軸為直線x=l,

2a

??.b=-2a<0,

.■.ab<0,2a+b=0;故②錯誤，故③正確；

當(dāng)x=l時，y=a+b+c<0,故①錯誤：

如圖，y=+6x+c與直線》=5有兩個交點(diǎn),

二方程辦?+6x+c=5有兩個不相等的實數(shù)根，故④正確；

綜上，正確的是③④，共2個；

故選B.

【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，熟練掌握二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，從圖象中有效的獲取信息，

是解題的關(guān)鍵.

2.（2023秋?浙江臺州?九年級?？茧A段練習(xí)）已知二次函數(shù)>="2+云+4。70）的圖象經(jīng)過（-1.5,0）與

（2.5,0）兩點(diǎn)，關(guān)于x的一元二次方程辦2+瓜+。=。5<0）有兩個不同的實數(shù)根，其中一個根是

x=加（加<-1.5）.如果關(guān)于x的方程ax2+bx+c^q（q>0）有兩個不同的整數(shù)根，則這兩個整數(shù)根可能是

（）

A.無i=-l,%2=0B..?1=0,x,=2C.X]=-l,x,=2D.xl=-2,

x2=3

【答案】c

【分析】根據(jù)題意可得，拋物線開口向下，對稱軸為X=g,則關(guān)于x的方程G2+6x+c=4（q>0）的兩個根

必須在-1.5和2.5之間，兩根且和為1,求解即可.

【詳解】解：二次函數(shù)昨以2+法+°（"0）的圖象經(jīng)過（T.5,0）與（2.5,0）兩點(diǎn),

拋物線的對稱軸為無=;,

關(guān)于的一元二次方程以2+/+。=。（0<0）有兩個不同的實數(shù)根，其中一個根是x=m（加<-1.5）

m<-1.5,2<0

可得，在對稱軸的左側(cè)，y隨工的增大而增大，即拋物線開口向下，

x=0,y=c>0

于X的方程ax2+bx+c=q（q>Q）有兩個不同的整數(shù)根，

可得兩個整數(shù)根在-L5和2.5之間，且和為1,

結(jié)合選項，只有C選項符合，

故選：C

【點(diǎn)睛】此題考查了二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系，解題的關(guān)鍵是熟練掌握二

次函數(shù)的有關(guān)性質(zhì).

3.（2023秋?天津河西?九年級?？茧A段練習(xí)）已知關(guān)于x的方程2x2-3x+加=0的一個根大于_2且小于,

另一個根大于2且小于3,則m的取值范圍是.

【答案】-9<m<-5

【分析】根據(jù)拋物線與x軸交點(diǎn)關(guān)系，結(jié)合不等式的性質(zhì)求解即可得到答案；

【詳解】解：由題意可得，

方程2/-3x+m=0的兩個根滿足：—2<西<-1,2<x2<3,

ry=2x?-3x+/w拋物線開口向上，

33

??.x<W時V隨x增大而減小，x>a時夕隨x增大而增大，

8+6+m>0

2+3+機(jī)<0

8-6+m<0'

18-9+別>0

-9<m<-5,

故答案為：—9<m<—5；

【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)與一元二次方程關(guān)系，解題的關(guān)鍵是將根轉(zhuǎn)換成函數(shù)與x軸交點(diǎn)問題結(jié)合函數(shù)

性質(zhì)列不等式.

4.（2023秋?內(nèi)蒙古呼和浩特?九年級校聯(lián)考階段練習(xí)）某班“數(shù)學(xué)興趣小組”對函數(shù)歹=，-2國-3的圖像和

性質(zhì)進(jìn)行了探究，探究過程如下，請補(bǔ)充完整：

(1)自變量X的取值范圍是全體實數(shù)，X與y的幾組對應(yīng)值如下:

_55

X-3-2-10123

~22

_7_7

y0m-3-30

~4-4-4~4

其中，冽=;

(2)根據(jù)表中數(shù)據(jù)，在如圖所示的平面直角坐標(biāo)系中描點(diǎn)，并畫出了函數(shù)圖象的一部分，請畫出該函數(shù)圖象

的另一部分；

(3)觀察函數(shù)圖象，寫出兩條函數(shù)圖象的性質(zhì)；

(4)進(jìn)一步探究函數(shù)圖象發(fā)現(xiàn)：

①函數(shù)圖象與x軸有個交點(diǎn)，所以對應(yīng)的方程無2一2慟-3=0有個實數(shù)根；

②函數(shù)圖象與直線夕=-3軸有個交點(diǎn)，所以對應(yīng)的方程--2國-3=-3有個實數(shù)根;

③關(guān)于x的方程*-2國-3=a有4個實數(shù)根時，a的取值范圍是；

④不等式X2-2|X|>3的解集是.

【答案】⑴-3

(2)見解析

⑶①函數(shù)圖像關(guān)于y軸對稱，②當(dāng)x>l時，y隨x的增大而增大.

(4)(J?)2；2；(2)3,3；(3)—4<tz<—3；3或x>3

【分析】(1)把x=-2代入函數(shù)解釋式即可得加的值；

(2)描點(diǎn)、連線即可得到函數(shù)的圖像；

(3)根據(jù)函數(shù)圖像得到函數(shù)》=-—2國-3的圖像關(guān)于夕軸對稱；當(dāng)x>l時，y隨x的增大而增大;

(4)①根據(jù)函數(shù)圖像與x軸的交點(diǎn)個數(shù)，即可得到結(jié)論；②根據(jù)-2忖-3的圖像與直線尸-3的交

點(diǎn)個數(shù)，即可得到結(jié)論；③根據(jù)函數(shù)的圖像即可得到。的取值范圍.④由圖象可知，當(dāng)x<-3或x>3時,

y>0,即可得到答案.

【詳解】(1)當(dāng)x=-2時，y=(-2)2-2x|-2|-3=-3,

m=—3,

故答案為：-3.

(2)根據(jù)給定的表格中數(shù)據(jù)描點(diǎn)畫出圖形，如圖所示：

(3)觀察函數(shù)圖像，可得出：①函數(shù)圖像關(guān)于夕軸對稱，②當(dāng)尤>1時，了隨x的增大而增大.

(4)①觀察函數(shù)圖像可知：當(dāng)》=-3、3時，y=0,

;該函數(shù)圖像與x軸有2個交點(diǎn),

即對應(yīng)的方程了=/-2國-3有2個實數(shù)根.

故答案為:2；2.

②觀察函數(shù)圖像可知：函數(shù)y=/-2|x|-3的圖像與>=-3只有3個交點(diǎn)，所以對應(yīng)的方程--2國-3=-3

有3個實數(shù)根；

故答案為：3,3.

③觀察圖像可知：關(guān)于x的方程，-2忖-3=。有4個實數(shù)根時，。的取值范圍是-4<。<-3.

故答案為：-4<a<-3.

④由圖象可知,當(dāng)尤<一3或x>3時，y>0,則f-2國一3>0,即一一2國>3,

二不等式一一2同＞3的解集是》＜一3或x＞3.

【點(diǎn)睛】本題為函數(shù)圖像探究題，考查了根據(jù)函數(shù)圖像判斷函數(shù)的對稱性、增減性以及從函數(shù)的角度解決

方程、不等式問題.

j［經(jīng)典例題六求x軸與拋物線的截線長】

1.（2023?廣東梅州?統(tǒng)考一模）已知拋物線y=與一次函數(shù)了=2x+6交于48兩點(diǎn)，則線段的長

度為（）

A.2072B.2073C.4073D.20

【答案】A

【分析】根據(jù)題意，聯(lián)立方程組求解，消元得到9/一2工-6=（）,利用根與系數(shù)的關(guān)系，再運(yùn)用兩點(diǎn)距離公

4

式變形求出長度即可得到答案.

【詳解】解：?.?拋物線y=與一次函數(shù)y=2x+6交于48兩點(diǎn)，

［12

y—__x］

聯(lián)立廠4,消元得二，一2工-6=0,

c「

y=2x+64

x{+x2=8,x1x2=-24,

二.=為一乃『

-"）+［（2再+6）_（2%2+6）］

，（占一%）2+（2玉一2工2）2

=20無

故選：A

【點(diǎn)睛】本題考查平面直角坐標(biāo)系中求線段長問題，涉及函數(shù)圖像交點(diǎn)問題、一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)

系、兩點(diǎn)之間距離公式及完全平方公式等知識，熟練掌握一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系及兩點(diǎn)之間距離公

式是解決問題的關(guān)鍵.

2.（2023秋?全國?九年級專題練習(xí)）已知二次函數(shù)y=a無?+4尤+1（。＞0）的圖像與x軸分別交于/、2兩點(diǎn),

圖像的頂點(diǎn)為C,若NACB=90°,則a的值為（）

A.3B.2&C.2D.V2

【答案】A

【分析】求出拋物線與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)，則可求得的長，且求得頂點(diǎn)C的坐標(biāo)，根據(jù)拋物線的對稱性,

A48c是等腰直角三角形，則頂點(diǎn)C到x軸的距離等于48的一半，即可求得。的值.

(詳解】令y=#+4x+1=0,

hjz/日一2+"V4-ci-2一■y4—a/八

解得：X[=--------------，X=------------------(0<fl<4),

a2a

M.I.-2+14—a—2—J4—a2J4——

KOA.B—Xy—%2----------------------------------------------，

aaa

2“I(2丫4-a

???y=ax+4x+1=ax+—-----，

Ia)a

???頂點(diǎn)c的坐標(biāo)為1-2,-j],

VaaJ

■-A,8兩點(diǎn)關(guān)于拋物線的對稱軸對稱，且//C2=90。,

??.A48c是等腰直角三角形，

二頂點(diǎn)C到無軸的距離等于AB的一半，

解得：a=3或a=4（舍去）,

經(jīng)檢驗是方程的解且符合題意,

即a=3.

故選:A.

【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，二次函數(shù)與一元二次方程，等腰直角三角形的性質(zhì)等知識,

根據(jù)等腰直角三角形斜邊上的高等于斜邊的一半建立方程是解題的關(guān)鍵.

3.（2023秋?全國?九年級專題練習(xí)）如圖，平移拋物線了="2+弧+°,使頂點(diǎn)在線段48