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文檔簡(jiǎn)介
最大角米勒角問(wèn)題
一、知識(shí)導(dǎo)航
【問(wèn)題描述】
1471年,德國(guó)數(shù)學(xué)家米勒向諾德?tīng)柼岢鲞@樣一個(gè)問(wèn)題:
如圖,點(diǎn)A、B直線/的同一側(cè),在直線/上取一點(diǎn)尸,使得/AP2最大,求尸點(diǎn)位置.
【問(wèn)題鋪墊】
圓外角:如圖,像NAPB這樣頂點(diǎn)在圓外,兩邊和圓相交的角叫圓外角.
相關(guān)結(jié)論:圓外角等于這個(gè)角所夾兩條弧的度數(shù)差(大減?。┑囊话?
4口圖,ZP=ZACB-ZPBC=AB~CD.
換句話說(shuō),對(duì)同一個(gè)圓而言,圓周角>圓外角.
【問(wèn)題解決】
結(jié)論:當(dāng)點(diǎn)尸不與A、B共線時(shí),作△出^的外接圓,當(dāng)圓與直線/相切時(shí),NAPB最大.
證明:在直線/上任取一點(diǎn)M(不與點(diǎn)尸重合),連接AM、BM,
/AMB即為圓。的圓外角,
NAPB>/AMB,AAPB最大.
二當(dāng)圓與直線/相切時(shí),/AP8最大.
特別地,若點(diǎn)A、8與P分別在一個(gè)甭的兩邊,如下圖,則有OP2=Q4-O3.(切割線定理)
證明::NPOA=NBOP,NOB4=NO8P(弦切角定理)
.,.△AOPSAPOB,
,OAOP
?麗一礪’
OP2=OAOB.
即可通過(guò)0A、。8線段長(zhǎng)確定。尸長(zhǎng),便知尸點(diǎn)位置.
二、典例精析
如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,A(1,0)、B(5,0)直線/經(jīng)過(guò)點(diǎn)C(-1,2),點(diǎn)P是直線/上的動(dòng)點(diǎn),若
/AP8的最大值為45°,求直線/的解析式.
【分析】
考慮到直線/未知但NAPB的最大值已知為45°,故構(gòu)造圓.
記△A3P外接圓圓心為M點(diǎn),則NAM3=2/AP3=90°,
故可確定Af點(diǎn)位置.
根據(jù)A(1,0)、B(5,0),不難求得M點(diǎn)坐標(biāo)為(3,2),
連接MC、MP,考慮到圓M與直線CP相切,故MP^CP,△CPM是直角三角形.
\MC=4,MP=MA=2yf2,
:.CP=2垃,即△CPM是等腰直角三角形,
易求產(chǎn)點(diǎn)坐標(biāo)為(1,4),
又C點(diǎn)坐標(biāo)為(-1,2),
可求直線I的解析式為j=x+3.
三、中考真題演練
1.如圖,拋物線》=以2+法+3與x軸交于A(-1,0)^B兩點(diǎn),與y軸交于點(diǎn)C,過(guò)點(diǎn)。作CD_Ly軸交拋
物線于另一點(diǎn)。,作。EJ_尤軸,垂足為點(diǎn)E,雙曲線y=9(x>0)經(jīng)過(guò)點(diǎn)。,BD.
(1)求拋物線的表達(dá)式;
(2)動(dòng)點(diǎn)尸從點(diǎn)。出發(fā),以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿0C方向運(yùn)動(dòng),運(yùn)動(dòng)時(shí)間為r秒,當(dāng)r為何值時(shí),
ZBPD的度數(shù)最大?(請(qǐng)直接寫(xiě)出結(jié)果)
備用圖
2.(2023?四川宜賓?中考真題)如圖,拋物線工加+法+c與x軸交于點(diǎn)A(TO)、3(2,0),且經(jīng)過(guò)點(diǎn)C(-2,6).
(1)求拋物線的表達(dá)式;
(2)在尤軸上方的拋物線上任取一點(diǎn)N,射線AN、3N分別與拋物線的對(duì)稱軸交于點(diǎn)尸、Q,點(diǎn)。關(guān)于x軸
的對(duì)稱點(diǎn)為。',求△APQ'的面積;
⑶點(diǎn)〃是y軸上一動(dòng)點(diǎn),當(dāng)—4WC最大時(shí),求M的坐標(biāo).
(4)點(diǎn)。是拋物線對(duì)稱軸上一動(dòng)點(diǎn),當(dāng)NOQA的值最大時(shí),點(diǎn)。的坐標(biāo)為:(直接填空)
4.(2019?山東淄博?一模)如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,二次函數(shù)y=a(x-1)(尤-5)(a>0)的圖象與x
軸交于A、8兩點(diǎn)(點(diǎn)A在點(diǎn)8的左側(cè)),與y軸交于P點(diǎn),過(guò)其頂點(diǎn)C作直線軸于點(diǎn)H.
(1)若NAPB=30。,請(qǐng)直接寫(xiě)出滿足條件的點(diǎn)尸的坐標(biāo);
(2)當(dāng)/APB最大時(shí),請(qǐng)求出a的值;
5.(2018?浙江寧波?一模)已知,如圖1,。是坐標(biāo)原點(diǎn),拋物線y="2+Zzx+c((#0)經(jīng)過(guò)A、B、C三點(diǎn),
軸于點(diǎn)A,AB=2,A0=4,OC=5,點(diǎn)D是線段A。上一動(dòng)點(diǎn),連接C。、BD.
(1)求出拋物線的解析式;
6.(2015?福建泉州?一模)如圖,。是坐標(biāo)原點(diǎn),過(guò)點(diǎn)A(-l,0)的拋物線y=f-a-3與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)
為B,與J軸交于點(diǎn)C,其頂點(diǎn)為。點(diǎn).
(2)連結(jié)皮)、CD,動(dòng)點(diǎn)。的坐標(biāo)為(也1).
②連結(jié)。2、CO,當(dāng)NCQ。最大時(shí),求出點(diǎn)2的坐標(biāo).
7.(2023?廣東深圳?一模)船在航行過(guò)程中,船長(zhǎng)常常通過(guò)測(cè)定角度來(lái)確定是否會(huì)遇到暗礁.如圖1,A,B
表示燈塔,暗礁分布在經(jīng)過(guò)A,8兩點(diǎn)的一個(gè)圓形區(qū)域內(nèi),優(yōu)弧A3上任一點(diǎn)C都是有觸礁危險(xiǎn)的臨界點(diǎn),
—4CB就是“危險(xiǎn)角”.當(dāng)船尸位于安全區(qū)域時(shí),它與兩個(gè)燈塔的夾角與“危險(xiǎn)角”/ACS有怎樣的大小
(1)數(shù)學(xué)小組用已學(xué)知識(shí)判斷/。與“危險(xiǎn)角”/ACS的大小關(guān)系,步驟如下:如圖2,AP與。。相交于點(diǎn)
連接8。,由同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等,可知?ACB1ADB,
NADS是△&)尸的外角,
:.ZAPBZADB(填“>”,"=”或“<”),
.-.Z6Z/ACB(填“>”,"=”或“<”);
(2)如圖3,已知線段A3與直線/,在直線/上取一點(diǎn)尸,過(guò)A、8兩點(diǎn),作。。使其與直線/相切,切點(diǎn)為尸,
不妨在直線上另外任取一點(diǎn)。,連接A。、BQ,請(qǐng)你判斷/"B與NAQ8的數(shù)量關(guān)系,并說(shuō)明理由;
(3)一位足球左前鋒球員在某場(chǎng)賽事中有一精彩進(jìn)球,如圖4,他在點(diǎn)P處接到球后,沿PQ方向帶球跑動(dòng),
球門(mén)A3=8米,。尸=8米,比>=16米,ZADC=90°,tanNQPC=l.該球員在射門(mén)角度(NWB)最大
時(shí)射門(mén),球員在PQ上的何處射門(mén)?(求出此時(shí)PM的長(zhǎng)度.)
8.(2023?廣東深圳?一模)【問(wèn)題發(fā)現(xiàn)】
船在航行過(guò)程中,船長(zhǎng)常常通過(guò)測(cè)定角度來(lái)確定是否會(huì)遇到暗礁.如圖1,A,B表示燈塔,暗礁分布在經(jīng)
過(guò)48兩點(diǎn)的一個(gè)圓形區(qū)域內(nèi),優(yōu)弧A3上任一點(diǎn)C都是有觸礁危險(xiǎn)的臨界點(diǎn),/ACB就是“危險(xiǎn)角”.當(dāng)
船P位于安全區(qū)域時(shí),它與兩個(gè)燈塔的夾角/口與“危險(xiǎn)角”NACB有怎樣的大小關(guān)系?
【解決問(wèn)題】
(1)數(shù)學(xué)小組用已學(xué)知識(shí)判斷與“危險(xiǎn)角”NACB的大小關(guān)系,步驟如下:
如圖2,AP與。。相交于點(diǎn)。,連接30,由同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等,可知?ACB?ADB,
,/XADB是ABDP的外角,
:.NAPBNADB(填“>”,"=”或“<”),
Za/ACB(填“>”,"=”或“<”);
【問(wèn)題探究】
(2)如圖3,已知線段AB與直線/,在直線/上取一點(diǎn)P,過(guò)A、8兩點(diǎn),作。。使其與直線/相切,切點(diǎn)
為P,不妨在直線上另外任取一點(diǎn)。,連接AQ、BQ,請(qǐng)你判斷/A/喏與NAQ3的數(shù)量關(guān)系,并說(shuō)明理由;
【問(wèn)題拓展】
(3)一位足球左前鋒球員在某場(chǎng)賽事中有一精彩進(jìn)球,如圖4,他在點(diǎn)尸處接到球后,沿PQ方向帶球跑動(dòng),
3
球門(mén)AB=7米,DP=7.5米,應(yīng)>=15.5米,NADC=90。,tanZQPC=~.該球員在射門(mén)角度最大
時(shí)射門(mén),球員在PQ上的何處射門(mén)?(求出此時(shí)的長(zhǎng)度.)
9.(22-23九年級(jí)上?江蘇泰州?期末)【生活問(wèn)題】2022年卡塔爾世界杯比賽中,某球員P帶球沿直線接
近球門(mén)AB,他在哪里射門(mén)時(shí)射門(mén)角度最大?
【操作感知】小米和小勒在研究球員P對(duì)球門(mén)A2的張角時(shí),在上取一點(diǎn)。,過(guò)A、B、。三點(diǎn)
作圓,發(fā)現(xiàn)直線"N與該圓相交或相切.如果直線與該圓相交,如圖1,那么球員P由M向N的運(yùn)動(dòng)
過(guò)程中,NAP3的大小:(填序號(hào))
①逐漸變大;②逐漸變??;③先變大后變??;④先變小后變大
【猜想驗(yàn)證】小米和小勒進(jìn)一步探究發(fā)現(xiàn),如果直線與該圓相切于點(diǎn)。,那么球員尸運(yùn)動(dòng)到切點(diǎn)。時(shí)
NAPB最大,如圖2,試證明他們的發(fā)現(xiàn).
'要證乙4PB最大,就是要證MN上異于P點(diǎn)的其它所有點(diǎn)對(duì)4B的張角都小>>
MW
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