2024-2025學(xué)年年七年級(jí)數(shù)學(xué)人教版下冊(cè)專題整合復(fù)習(xí)卷7.2 與三角形有關(guān)的角 同步測(cè)控優(yōu)化訓(xùn)練(含答案)

2024-2025學(xué)年年七年級(jí)數(shù)學(xué)人教版下冊(cè)專題整合復(fù)習(xí)卷7.2與三角形有關(guān)的角同步測(cè)控優(yōu)化訓(xùn)練(含答案)7.2與三角形有關(guān)的角一、課前預(yù)習(xí)(5分鐘訓(xùn)練)1.如圖7-2-1,∠ACB=90°,CD⊥AB,垂足為D，下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（）A.圖中有三個(gè)直角三角形B.∠1=∠2C.∠1和∠B都是∠A的余角D.∠2=∠A圖7-2-1圖7-2-2圖7-2-32.填空：已知△ABC．求證：∠A+∠B+∠C=180°．證明：如圖7-2-2，延長(zhǎng)線段AB到D，過點(diǎn)B畫BE∥AC．因?yàn)锽E∥AC，所以∠A=∠EBD（），∠C=∠CBE（）.又因?yàn)椤螦BC+∠CBE+∠EBD=180°（），所以∠A+∠ABC+∠C=180°．3.在△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，則∠B=_____________.4.如圖7-2-3所示，已知∠A=60°，∠B=45°，可知∠α的度數(shù)嗎？二、課中強(qiáng)化(10分鐘訓(xùn)練)1.下列說法正確的是（）A.在一個(gè)三角形中最多有兩個(gè)銳角B.在一個(gè)三角形中最多有兩個(gè)鈍角C.在一個(gè)三角形中最多有兩個(gè)直角D.在一個(gè)三角形中最少有兩個(gè)銳角2.三角形的一個(gè)外角等于與它相鄰內(nèi)角的4倍，等于與它不相鄰的一個(gè)內(nèi)角的2倍，則該三角形的各角的度數(shù)是（）A.45°，45°，90°B.30°，60°，90°C.36°，72°，72°D.25°，25°，130°3.在△ABC中，∠A-∠C=25°,∠B-∠A=10°,則∠B=___________.4.如圖7-2-4所示，∠1+∠2+∠3+∠4=_______________.圖7-2-45.已知三角形的三個(gè)內(nèi)角的度數(shù)之比為1∶3∶5,求這三個(gè)內(nèi)角的度數(shù).6.如圖7-2-5所示，∠BAF、∠CBD、∠ACE是△ABC的三個(gè)外角,求∠BAF+∠CBD+∠ACE的度數(shù).圖7-2-5三、課后鞏固(30分鐘訓(xùn)練)1.已知在△ABC中，∠B=∠C=2∠A，則∠C等于（）A.45°B.36°C.72°D.144°2.已知在△ABC中，∠A=105°，∠B-∠C=15°，則∠B等于（）A.45°B.36°C.72°D.144°3.如圖7-2-6所示，直線a∥b，點(diǎn)B在直線b上，且AB⊥BC,∠1=55°，則∠2的度數(shù)為（）圖7-2-6圖7-2-7A.35°B.45°C.55°D.125°4.如圖7-2-7所示，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F等于（）A.180°B.360°C.540°D.720°5.如圖7-2-8所示，在△ABC中，∠B的平分線與∠ACB的外角的平分線相交于點(diǎn)E，若∠A=40°，則∠E=_____________.圖7-2-8圖7-2-9圖7-2-106.如圖7-2-9所示，∠1+∠2+∠3+∠4+∠5=_____________.7.如圖7-2-10，已知AB∥CD,∠A=55°,∠C=20°,則∠P=_________.8.如圖7-2-11,已知P是△ABC內(nèi)一點(diǎn)，試說明：∠BPC＞∠BAC.圖7-2-119.如果三角形的三個(gè)外角的比為3∶4∶5，那么這個(gè)三角形是什么形狀的三角形？試說明理由.10.如圖7-2-12，BC⊥ED，垂足為O，∠A=27°，∠D=20°，求∠ACB與∠B的度數(shù).圖7-2-12參考答案一、課前預(yù)習(xí)(5分鐘訓(xùn)練)1.如圖7-2-1,∠ACB=90°,CD⊥AB,垂足為D，下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（）圖7-2-1A.圖中有三個(gè)直角三角形B.∠1=∠2C.∠1和∠B都是∠A的余角D.∠2=∠A解析：∵∠ACB=90°,CD⊥AB,∴圖中有三個(gè)直角三角形.∴∠1+∠2=90°，∠1+∠A=90°,∠2+∠B=90°,∠A+∠B=90°.∴∠2=∠A,∠1=∠B.但是∠1不一定等于∠2.答案：B2.填空：已知△ABC．求證：∠A+∠B+∠C=180°．證明：如圖7-2-2，延長(zhǎng)線段AB到D，過點(diǎn)B畫BE∥AC．圖7-2-2因?yàn)锽E∥AC，所以∠A=∠EBD（），∠C=∠CBE（）.又因?yàn)椤螦BC+∠CBE+∠EBD=180°（），所以∠A+∠ABC+∠C=180°．解析：根據(jù)平行線的性質(zhì)以及平角的定義可得.答案：兩條直線平行，同位角相等兩條直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等平角的定義3.在△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，則∠B=_____________.解析：由三角形的內(nèi)角和等于180°，可得∠B=180°-∠A-∠C=180°-30°-90°=60°.答案：60°4.如圖7-2-3所示，已知∠A=60°，∠B=45°，可知∠α的度數(shù)嗎？圖7-2-3解析：依據(jù)“三角形的一個(gè)外角等于和它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和”可得∠α=∠A+∠B=60°+45°=105°.答案：105°.二、課中強(qiáng)化(10分鐘訓(xùn)練)1.下列說法正確的是（）A.在一個(gè)三角形中最多有兩個(gè)銳角B.在一個(gè)三角形中最多有兩個(gè)鈍角C.在一個(gè)三角形中最多有兩個(gè)直角D.在一個(gè)三角形中最少有兩個(gè)銳角解析：根據(jù)“三角形的內(nèi)角和等于180°”來判斷.當(dāng)一個(gè)三角形中有兩個(gè)鈍角或直角時(shí)，一個(gè)三角形的內(nèi)角和要超過180°,所以在一個(gè)三角形中最多有一個(gè)鈍角或直角，至少有兩個(gè)銳角，也可以三個(gè)角都是銳角.答案：D2.三角形的一個(gè)外角等于與它相鄰內(nèi)角的4倍，等于與它不相鄰的一個(gè)內(nèi)角的2倍，則該三角形的各角的度數(shù)是（）A.45°，45°，90°B.30°，60°，90°C.36°，72°，72°D.25°，25°，130°解析：設(shè)與這個(gè)外角相鄰的內(nèi)角為x，則x+4x=180°，∴x=36°.∴另外兩個(gè)內(nèi)角中有一個(gè)角為=72°.∴第三個(gè)內(nèi)角為180°-36°-72°=72°.答案：C3.在△ABC中，∠A-∠C=25°,∠B-∠A=10°,則∠B=___________.解析：由題意得∠A=∠B-10°,∠C=∠A-25°,∴∠C=∠B-10°-25°.根據(jù)三角形的內(nèi)角和為180°，∴∠A+∠B+∠C=180°.∴∠B-10°+∠B+∠B-10°-25°=180°.∴∠B=75°.答案：75°4.如圖7-2-4所示，∠1+∠2+∠3+∠4=_______________.圖7-2-4解析：利用外角的知識(shí)把這些角轉(zhuǎn)到同一個(gè)三角形中，過程如下：因?yàn)椤?+∠3=∠5，所以∠1+∠2+∠3+∠4=∠1+∠5+∠4=180°.也可以把這些角轉(zhuǎn)到另一個(gè)三角形中，過程如下：因?yàn)椤?+∠4=∠6，所以∠1+∠2+∠3+∠4=∠6+∠2+∠3=180°.答案：180°5.已知三角形的三個(gè)內(nèi)角的度數(shù)之比為1∶3∶5,求這三個(gè)內(nèi)角的度數(shù).解：由題意可設(shè)三角形三個(gè)內(nèi)角分別為x、3x、5x,所以由三角形的內(nèi)角和可得x+3x+5x=180°,解得x=20°,所以這三個(gè)內(nèi)角分別為20°,60°,100°.6.如圖7-2-5所示，∠BAF、∠CBD、∠ACE是△ABC的三個(gè)外角,求∠BAF+∠CBD+∠ACE的度數(shù).圖7-2-5解：因?yàn)槿切蔚囊粋€(gè)外角等于和它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和，所以∠BAF=∠2+∠3，∠CBD=∠1+∠3，∠ACE=∠1+∠2.所以∠BAF+∠CBD+∠ACE=2（∠1+∠2+∠3）=2×180°=360°.三、課后鞏固(30分鐘訓(xùn)練)1.已知在△ABC中，∠B=∠C=2∠A，則∠C等于（）A.45°B.36°C.72°D.144°解析：利用設(shè)未知數(shù)列方程的方法，設(shè)∠A=x°,則∠B=∠C=2x°，由三角形內(nèi)角和定理，得x+2x+2x=180,解得x=36,所以∠C=72°.答案：C2.已知在△ABC中，∠A=105°，∠B-∠C=15°，則∠B等于（）A.45°B.36°C.72°D.144°解析：由三角形內(nèi)角和定理可以得到∠A+∠B+∠C=180°，即∠B+∠C=75°，所以可列方程組為解得∠B=45°,∠C=30°.答案：A3.如圖7-2-6所示，直線a∥b，點(diǎn)B在直線b上，且AB⊥BC,∠1=55°，則∠2的度數(shù)為（）圖7-2-6A.35°B.45°C.55°D.125°解析：∵a∥b，∴∠2=∠CAB（兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等）.∵∠1=∠ACB（對(duì)頂角相等），∴∠ACB=55°.∵∠CAB+∠ABC+∠ACB=180°(三角形的內(nèi)角和等于180°)，∴∠CAB=180°-90°-55°=35°.∴∠2=35°.答案：A4.如圖7-2-7所示，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F等于（）圖7-2-7A.180°B.360°C.540°D.720°解析：∠A,∠E,∠C是△AEC的內(nèi)角，∠D,∠F,∠B是△DFB的內(nèi)角，∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=360°.答案：B5.如圖7-2-8所示，在△ABC中，∠B的平分線與∠ACB的外角的平分線相交于點(diǎn)E，若∠A=40°，則∠E=_____________.圖7-2-8圖7-2-9解析：由三角形的內(nèi)外角的關(guān)系可得∠ACD=∠A+∠ABC，∠ECD=∠E+∠EBC，由角平分線的定義可得∠ECD=∠ACD，∠EBC=∠ABC，所以∠E=∠ECD-∠EBC=∠ACD-∠ABC=∠A=20°.答案：20°6.如圖7-2-9所示，∠1+∠2+∠3+∠4+∠5=_____________.解析：通過作輔助線完全可以把它轉(zhuǎn)化為三角形的問題.方法一：如圖，延長(zhǎng)CB到D，則由三角形內(nèi)外角的關(guān)系可得∠DCE=∠4+∠5，∠CDE=∠1+∠2，所以由三角形內(nèi)角和可得∠1+∠2+∠3+∠4+∠5=∠DCE+∠CDE+∠3=180°.方法二：如圖，延長(zhǎng)CB到D，則由三角形內(nèi)外角的關(guān)系可得∠ACD=∠CDE+∠3，∠CDE=∠1+∠2，所以∠1+∠2+∠3+∠4+∠5=∠CDE+∠3+∠4+∠5=∠ACD+∠4+∠5=180°.其中方法一是把五個(gè)角轉(zhuǎn)到了△CDE中，方法二是把五個(gè)角轉(zhuǎn)到了△ABC中.答案：180°7.如圖7-2-10，已知AB∥CD,∠A=55°,∠C=20°,則∠P=_________.圖7-2-10解析：∵AB∥CD，∴∠A=∠DOP=55°.∵∠DOP=∠P+∠C（三角形的外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和），∴∠P=55°-20°=35°.答案：35°8.如圖7-2-11,已知P是△ABC內(nèi)一點(diǎn)，試說明：∠BPC＞∠BAC.圖7-2-11解：如圖，連結(jié)AP并延長(zhǎng)交BC于點(diǎn)D.因?yàn)椤螧PD＞∠BAD,∠DPC＞∠DAC,所以∠BPD+∠DPC＞∠BAD+∠DAC.故∠BPC＞∠BAC.9.如果三角形的三個(gè)外角的比為3∶4∶5，那么這個(gè)三角形是什么形狀的三角形？試說明理由.解：三角形是直角三角形.理由：因?yàn)槿切稳齻€(gè)外角之比為3∶4∶5，所以可設(shè)三個(gè)外角分別為3x°、4x°、5x°，根據(jù)三角形的外角和等于360°可得3x+4x+5x=360,解得x=30,所以三個(gè)外角分別為90°、120°、150°.所以與之對(duì)應(yīng)的三個(gè)內(nèi)角分別為90°、60°、30°.故原三角形為直角三角形.10.如圖7-2-12，BC⊥ED，垂足為O，∠A=27°，∠D=20°，求∠ACB與∠B的度數(shù).圖7-2-12分析：已知∠D=20°，∠COD=90°，∴利用三角形的內(nèi)角與外角的關(guān)系可以求出∠ACB，再利用三角形的內(nèi)角和定理可求得∠B.解：∵BC⊥ED，∴∠COD=90°.又∵∠D=20°，∴∠ACB=∠COD+∠D=110°（三角形的外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和）.∵∠A+∠B+∠ACB=180°（三角形的內(nèi)角和是180°），∴∠B=180°-27°-110°=43°.7.2與三角形有關(guān)的角A1.若一個(gè)三角形的三個(gè)內(nèi)角不相等，則它的最小角不能大于（）A.450B.600C.900D.12002．己知△ABC中，∠A＝2∠B＝2∠C，則∠A的度數(shù)是（）．A．90°B．30°C．（）°D．45°3.已知三角形兩個(gè)內(nèi)角的差等于第三個(gè)內(nèi)角,則它是()A.銳角三角形B.鈍角三角形C.直角三角形D.等邊三角形4．如圖1，∠BAC＝90°，AD⊥BC，則圖中互余的角有（）．A．2對(duì)B．3對(duì)C．4對(duì)D．5對(duì)7.2與三角形有關(guān)的角（一）◆回顧歸納圖11．如圖1所示，△ABC中，∠A+∠B+∠C=______，即三角形的內(nèi)角和為_____．圖12．三角形內(nèi)角和定理證明的基本思路是運(yùn)用______思想，把三個(gè)角轉(zhuǎn)移到一起，形成一個(gè)______角．◆課堂測(cè)控知識(shí)點(diǎn)三角形的內(nèi)角和1．（動(dòng)手操作題）親愛的同學(xué)們，在我們的生活中處處有數(shù)學(xué)的身影，請(qǐng)看圖2，折疊一張三角形紙片，把三角形的三個(gè)角拼在一起，就得到一個(gè)著名的幾何定理，請(qǐng)你寫出這一定理的結(jié)論：“三角形的三個(gè)內(nèi)角和等于_______．”圖2圖3圖42．在△ABC中，若∠A=78°36′，∠B=57°24′，則∠C=______．3．在△ABC中，∠A：∠B：∠C=2：3：4，則∠A=____，∠B=_____，∠C=____．4．已知△ABC的三個(gè)內(nèi)角∠A，∠B，∠C滿足關(guān)系式∠B+∠C=5∠A，則此三角形一定有一個(gè)內(nèi)角為_______度．5．如圖3所示，將一副三角板疊在一起，使直角頂點(diǎn)重合于點(diǎn)O，則∠AOB+∠DOC=_______．6．如圖4所示，△ABC中，∠C是直角，則∠A與∠B的關(guān)系為_____，上述結(jié)論用語(yǔ)言敘述為_______．◆課后測(cè)控1．（經(jīng)典題）具備下列條件的三角形ABC中，不為直角三角形的是（）A．∠A+∠B=∠CB．∠A=∠B=∠CC．∠A=90°-∠BD．∠A-∠B=90°2．如圖5所示，，的度數(shù)分別為（）A．30°，50°B．40°，80°C．40°，40°D．60°，40°圖5圖6圖73．如圖6所示，已知AB∥CD，AD，BC相交于點(diǎn)O，∠A=35°，∠BOD=76°，則∠C的度數(shù)是（）A．31°B．35°C．41°D．76°4．如圖7所示，AB∥CD，BE平分∠ABD，DE平分∠BDC，則∠E是（）A．銳角B．直角C．鈍角D．無法確定5．（教材變式題）如圖所示，在直角△ABC中，∠C=90°，∠ABC=2∠A，BD是角平分線，求∠A，∠CDB的度數(shù)．6．如圖所示，有一艘漁船上午9點(diǎn)在A處沿正東方向航行，在A處測(cè)得燈塔C在北偏東60°方向上，行駛2h到達(dá)B處，在B處測(cè)得燈塔C，在北偏東15°方向上，試求△ABC內(nèi)角的度數(shù)．7．（閱讀理解題）說明△ABC內(nèi)角和等于180°，教材上的證明過三角形頂點(diǎn)作對(duì)邊的平行直線，下面還有兩種方法：[解答]方法一：如圖所示，已知△ABC，延長(zhǎng)BC至D，過C作射線CE，使CE∥AB．∵AB∥CE（已作）∴∠1=______（）∠2=______（）∵∠BCD=180°（）∴∠ACB+____+_____=180°（平角定義）∴∠ACB+____+_____=180°（等量過程）方法二：過邊BC上一點(diǎn)P，作PM∥AC，PN∥AB，如圖7．2-11所示，完成以上證明．8．（經(jīng)典題）張大伯有一塊大型模板如圖所示，設(shè)計(jì)要求BA與CD相交成30°角，DA與CB相交成20°角，怎樣通過測(cè)量∠A，∠B，∠C，∠D的度數(shù)來檢驗(yàn)?zāi)０迨欠窈细?？◆拓展?chuàng)新9．（探索題）如圖△ABC中，∠ABC，∠ACB的平分線相交于點(diǎn)O．（1）若∠ABC=40°，∠ACB=80°，求∠BOC．（2）你能找出∠A與∠BOC之間的數(shù)量關(guān)系嗎？答案:回顧歸納1．180°；180°2．化規(guī)；平課堂測(cè)控1．180°2．44°3．40°60°80°4．30°5．180°6．∠A+∠B=90°；直角三角形兩銳角互余課后測(cè)控1．D2．C3．C4．B5．∠A=30°，∠CDB=60°6．∠CAB=30°，∠ABC=105°，∠C=45°解題規(guī)律：利用三角形內(nèi)角和，方位角綜合求解．7．方法一：∠A；兩直線平行內(nèi)錯(cuò)角相等；∠B；兩直線平行同位角相等；平角的定義；∠1；∠2；∠A；∠B方法二：∵PM∥AC（已作）∠1=∠A又∵PN∥AB（已作）∴∠1=∠2∴∠A=∠2又∵PN∥AB∴∠4=∠B又∵∠BPC=180°∴∠2+∠3+∠4=180°∴∠C+∠B+∠A=180°解題規(guī)律：這是兩種證明三角形內(nèi)角和定理的方法，從中得到分式，構(gòu)建平角是關(guān)鍵．8．分別測(cè)量∠A，∠B，∠C，∠D的度數(shù)，只有∠B+∠C=150°，∠D+∠C=160°模板才合格．思想點(diǎn)撥：分別測(cè)量四個(gè)角的度數(shù)，當(dāng)BA，CD相交成30°時(shí)，∠B+∠C=180°-30°=150°，同理推出∠D+∠C=160°9．（1）∠BOC=180°-∠OBC-∠OCB=180°-（∠OBC+∠OCB）=180°-（40°+80°）=180°-×120°=120°（2）∠BOC=180°-（∠OBC+∠OCB）=180°-（180°-∠A）=90°+∠A解題技巧：運(yùn)用三角形內(nèi)角和定理及角平分線性質(zhì)．圖1圖2圖35.已知，如圖2，△ABC中，∠A＝54°，∠ABC＝48°，BD⊥AC，則∠DBC的度數(shù)（）．A．48°B．54°C．36°D．12°6．如圖3，已知∠DBA和∠ACE是△ABC的外角，則∠DBA＋∠ACE等于（）．A．180°B．180°－∠AC．180°＋∠AD．以上答案都不對(duì)7.如圖4，在△ABC中，D在BC的延長(zhǎng)線上，E在CA的延長(zhǎng)線上，F(xiàn)在AB上，∠1與∠2的大?。ǎ?A.∠1＞∠2B.∠1=∠2C.∠1＜∠2D.不確定EACEACDBF12圖4圖5圖68.已知三角形的三個(gè)外角的度數(shù)比為2:3:4,則它的最大內(nèi)角的度數(shù)為()A.90°B.110°C.100°D.120°9.已知：如圖5，∠A＝25°，∠CED＝95°，∠D＝40°，求∠B的度數(shù)（）．A.20°B.160°C.120°D.65°10.如圖6所示,在△ABC中(∠C>∠B),AD⊥BC于D,AE平分∠BAC,∠EAD、∠C、∠B的關(guān)系是（）A.∠EAD=(∠C+∠B)B.∠EAD=(∠C-∠B)C.∠EAD=∠C-∠BD.∠EAD=∠C+∠B11.已知：如圖，AD是△ABC的角平分線，AE是△ABC的外角平分線，若∠DAC＝20°，則∠EAC等于（）A.70°B.60°C.50°D.40°12.如圖所示,在△ABC中,∠A=70°,BO,CO分別平分∠ABC和∠ACB,則∠BOC的度數(shù)（）.A.115°B.135°C.125°D.110°7.2與三角形有關(guān)的角B1．一個(gè)三角形的三個(gè)內(nèi)角中，至少有（）．A．一個(gè)銳角B．兩個(gè)銳角C．一個(gè)鈍角D．一個(gè)直角2．△ABC中，∠A∶∠B∶∠C＝4∶2∶3，則∠A的度數(shù)是（）．A．90°B．80°C．20°D．60°3.在△ABC中,∠A=∠B=∠C,則此三角形是()A.銳角三角形B.直角三角形C.鈍角三角形D.等腰三角形4．已知，如圖1，DB、EC交于點(diǎn)A，∠B＝∠E＝90°，∠C＝42°，則求∠D的度數(shù)（）．A．48°B．42°C．84°D．58°OO圖1圖2圖35．如圖2，在△ABC中，已知AD是△ABC角平分線，DE是△ADC的高線，∠B＝600，∠C＝450，則∠ADE的度數(shù)（）．A．37.5°B．52.5°C．62.5°D．75°6.如圖3所示,在△ABC中,E,F分別在AB,AC上,則下列各式不能成立的是()A.∠BOC=∠2+∠6+∠A;B.∠2=∠5-∠A;C.∠5=∠1+∠4;D.∠1=∠ABC+∠47．如圖4，P是△ABC內(nèi)一點(diǎn)，判斷∠BPC和∠A的大小關(guān)系是（）．A.∠BPC＞∠AB.∠BPC=∠AC.∠BPC＜∠AD.不確定ABABDCE12圖4圖5圖68．如圖5,三角形一個(gè)外角等于和它相鄰的內(nèi)角的4倍，等于和它不相鄰的一個(gè)內(nèi)角的2倍，則這個(gè)三角形各角的度數(shù)是（）．A．45°、45°、90°B．30°、60°、90°C．36°、72°、72°D．25°、25°、130°9.一個(gè)零件的形狀如圖6所示，按規(guī)定，∠BAC=900,∠B=210,∠C=200,檢驗(yàn)工人量得∠BDC=1300,就斷定這個(gè)零件不合格，請(qǐng)你運(yùn)用所學(xué)知識(shí)說明是否合格.A．合格B.不合格10．如圖，在△ABC中，BE是∠ABC的內(nèi)角平分線，CE是∠ACB的外角平分線，BE、CE交于E點(diǎn)，試探究∠E與∠A的大小關(guān)系．（）A.∠E=180°-∠AB.∠E==90°-∠AC.∠E=90°-∠AD.∠E＝∠A11.如圖所示,將△ABC沿EF折疊,使點(diǎn)C落到點(diǎn)C′處,試探求∠1,∠2與∠C的關(guān)系（）A.∠1-∠2=∠CB.∠1+∠2=∠CC.∠1-∠2=2∠CD.∠1+∠2=2∠C12．如圖，已知△ABC的∠B和∠C的外角平分線相交于D，∠A＝40°．則∠BDC的度數(shù)（）．A.70°B.80°C.90°D.100°參考答案7.2與三角形有關(guān)的角A1.若一個(gè)三角形的三個(gè)內(nèi)角不相等，則它的最小角不能大于（）A.450B.600C.900D.1200知識(shí)點(diǎn)：三角形內(nèi)角和定理知識(shí)點(diǎn)的描述：三角形三個(gè)內(nèi)角的和為1800答案：B詳細(xì)解答：一個(gè)三角形的三個(gè)內(nèi)角不相等，則它的最小角不能大于600，否則每個(gè)角都大于600，那么內(nèi)角和就大于1800，這是不可能的。2．己知△ABC中，∠A＝2∠B＝2∠C，則∠A的度數(shù)是（）．A．90°B．30°C．（）°D．45°知識(shí)點(diǎn)：三角形內(nèi)角和定理知識(shí)點(diǎn)的描述：三角形三個(gè)內(nèi)角的和為1800答案：A詳細(xì)解答：因?yàn)椤螦＝2∠B＝2∠C，所以設(shè)∠B＝∠C＝x°，∠A＝2x°，因?yàn)槿切稳齻€(gè)內(nèi)角的和為1800，所以2x°+x°+x°=1800，解得x=45，所以∠A＝90°3.已知三角形兩個(gè)內(nèi)角的差等于第三個(gè)內(nèi)角,則它是()A.銳角三角形B.鈍角三角形C.直角三角形D.等邊三角形知識(shí)點(diǎn)：三角形按角分類知識(shí)點(diǎn)的描述：三角形按角分類可分為銳角三角形、鈍角三角形、直角三角形三類。三個(gè)角都是銳角的三角形是銳角三角形，有一個(gè)角為鈍角的三角形是鈍角三角形，有一個(gè)角為直角的三角形是直角三角形，答案：C詳細(xì)解答：假設(shè)∠A-∠B=∠C，那么∠A=∠B+∠C ，又因?yàn)椤螦+∠B+∠C=180°，所以2∠A=180°，從而得∠A=90°，所以這個(gè)三角形是直角三角形。4．如圖，∠BAC＝90°，AD⊥BC，則圖中互余的角有（）．A．2對(duì)B．3對(duì)C．4對(duì)D．5對(duì)知識(shí)點(diǎn)：認(rèn)識(shí)“雙垂圖”知識(shí)點(diǎn)的描述：“雙垂圖”是一個(gè)重要的圖形，從圖形中找到互余的角要抓住圖形中的直角，一般有：組成直角的兩個(gè)銳角互余，直角三角形的兩個(gè)銳角互余。答案：C詳細(xì)解答：Rt△ABC中，∠B和∠C互余；Rt△ABD中，∠B和∠BAD互余；Rt△ADC中，∠C和∠DAC互余；因?yàn)椤螧AC＝90°，所以∠BAD和∠CAD互余。共四對(duì)。5.已知，如圖，△ABC中，∠A＝54°，∠ABC＝48°，BD⊥AC，則∠DBC的度數(shù)（）．A．48°B．54°C．36°D．12°知識(shí)點(diǎn)：三角形內(nèi)角和定理的應(yīng)用知識(shí)點(diǎn)的描述：三角形內(nèi)角和定理的一個(gè)重要應(yīng)用就是求一個(gè)角的度數(shù)，一般把這個(gè)角放在一個(gè)三角形中，作為三角形的內(nèi)角或外角，利用三角形的內(nèi)角和定理。答案：D詳細(xì)解答：在△ABD中，因?yàn)椤螦DB＝90°，∠A＝54°，又因?yàn)椤螦＋∠ABD＋∠ADB＝180°，所以∠ABD＝180°－∠ADB－∠A＝36°，又因?yàn)椤螦BC＝48°，所以∠DBC＝48°－36°＝12°．另一種解法：△ABC中，已知兩個(gè)內(nèi)角的大小，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理可求出∠C，這樣在△BCD中，又知道了∠C和∠CDB的大小，就可以求出∠DBC的度數(shù)．注：運(yùn)用三角形內(nèi)角定理求一個(gè)角必須先搞清楚這個(gè)角在哪個(gè)三角形中，這個(gè)三角形的三個(gè)內(nèi)角中，已知哪些角．6．如圖，已知∠DBA和∠ACE是△ABC的外角，則∠DBA＋∠ACE等于（）．A．180°B．180°－∠AC．180°＋∠AD．以上答案都不對(duì)知識(shí)點(diǎn)：三角形的外角性質(zhì)知識(shí)點(diǎn)的描述：三角形的外角等于和他不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和答案：C詳細(xì)解答：∠DBA是△ABC的外角，則∠DBA=∠A+∠ACB;∠ACE是△ABC的外角，則∠ACE=∠A+∠ABC;則∠DBA＋∠ACE=∠A+∠ACB+∠A+∠ABC=180°＋∠AEACDBF12EACDBF12A.∠1＞∠2B.∠1=∠2C.∠1＜∠2D.不確定知識(shí)點(diǎn)：三角形的外角的性質(zhì)知識(shí)點(diǎn)的描述：三角形的外角大于任何一個(gè)和他不相鄰的內(nèi)角答案：C詳細(xì)解答：因?yàn)椤?是△ABC的外角，所以∠2＞∠BAC;因?yàn)椤螧AC是△AFE的外角，所以∠BAC＞∠1所以∠1＜∠28.已知三角形的三個(gè)外角的度數(shù)比為2:3:4,則它的最大內(nèi)角的度數(shù)為()A.90°B.110°C.100°D.120°知識(shí)點(diǎn)：三角形的外角與相鄰內(nèi)角的關(guān)系知識(shí)點(diǎn)的描述：三角形的外角和與他相鄰的內(nèi)角互補(bǔ)答案：C詳細(xì)解答：三角形的三個(gè)外角的度數(shù)比為2:3:4,所以可以假設(shè)三角形的三個(gè)外角度數(shù)分別為2k、3k、4k，因?yàn)槿切蔚耐饨呛蜑?600，所以2k+3k+4k=3600，解得k=40°，因此三角形的最小外角為80°，則它的最大內(nèi)角的度數(shù)為100°。9.已知：如圖，∠A＝25°，∠CED＝95°，∠D＝40°，求∠B的度數(shù)（）．A.20°B.160°C.120°D.65°知識(shí)點(diǎn)：求角度的問題、三角形的外角性質(zhì)與內(nèi)角和定理的綜合知識(shí)點(diǎn)的描述：求一個(gè)角的度數(shù)往往是把這個(gè)角作為一個(gè)三角形的內(nèi)角或作為一個(gè)三角形的外角，利用三角形的內(nèi)角和定理和三角形的內(nèi)外角的關(guān)系來求；三角形的外角等于和他不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和，三角形的內(nèi)角和為180°。答案：A分析：∠ACB既是△ABC的內(nèi)角，又是△CDE的外角，根據(jù)“三角形的一個(gè)外角等于和它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角之和，可求出∠ACB，再根據(jù)三角形內(nèi)角和定理可求出∠B．詳細(xì)解答：在△CED中，因?yàn)椤螦CB＝∠CED＋∠D，又因?yàn)椤螩ED＝95°，∠D＝40°，所以∠ACB＝95°＋40°＝135°，在△ABC中，因?yàn)椤螦＋∠B＋∠ACB＝180°，又因?yàn)椤螦＝25°，∠ACB＝135°，所以∠B＝180－（25°＋135°）＝20°點(diǎn)評(píng)：∠ACB既是△ABC的內(nèi)角，又是△CDE的外角，通過它，我們能把這兩個(gè)三角形中的一些角聯(lián)系起來，同樣，∠DCE既是△CDE的內(nèi)角，又是△ABC的外角，也能聯(lián)系兩個(gè)三角形中的一些角．我們?cè)诜治鼋堑臄?shù)量關(guān)系，應(yīng)從不同的角度分析圖中各角所處的位置，然后選擇適當(dāng)?shù)年P(guān)系式加以運(yùn)用．10.如圖所示,在△ABC中(∠C>∠B),AD⊥BC于D,AE平分∠BAC,∠EAD、∠C、∠B的關(guān)系是（）A.∠EAD=(∠C+∠B)B.∠EAD=(∠C-∠B)C.∠EAD=∠C-∠BD.∠EAD=∠C+∠B知識(shí)點(diǎn)：應(yīng)用三角形的內(nèi)外角定理探求幾個(gè)角之間的關(guān)系知識(shí)點(diǎn)的描述：探求幾個(gè)角之間的關(guān)系，可先通過特殊值猜測(cè)幾個(gè)角之間的關(guān)系，再應(yīng)用三角形的內(nèi)外角定理探求并證明這種關(guān)系答案：B詳細(xì)解答：∵AD⊥BC,∴∠BDA=90°,∴∠BAD=90°-∠B,又∵AE平分∠BAC,∴∠BAE=∠BAC=(180°-∠B-∠C),∴∠EAD=∠BAD-∠BAE=90°-∠B-(180°-∠B-∠C)=90°-∠B-90°+∠B+∠C=∠C-∠B=(∠C-∠B).11.已知：如圖，AD是△ABC的角平分線，AE是△ABC的外角平分線，若∠DAC＝20°，則∠EAC等于（）A.70°B.60°C.50°D.40°知識(shí)點(diǎn)：綜合利用角平分線、平角、三角形的內(nèi)外角定理解決有關(guān)的幾何計(jì)算、論證、探求問題知識(shí)點(diǎn)的描述：只要正確理解有關(guān)的概念，正確的用幾何語(yǔ)言描述這些概念，綜合起來就可以得到題目的結(jié)論，如，AD是△ABC的角平分線，則∠DAC＝∠BAC；AE是△ABC的外角平分線，則∠EAC＝∠FAC.答案：A分析：∠FAC是△ABC的外角，∠FAC和∠BAC是鄰補(bǔ)角，AE、AD分別是這兩個(gè)角的角平分線，所以有AD⊥AE，已知∠DAC的度數(shù)，就容易求出∠EAC的度數(shù)了．解：因?yàn)椤螧AF是平角，所以∠BAC＋∠FAC＝180°，因?yàn)锳D是平分∠BAC，AE是平分∠FAC，所以∠DAC＝∠BAC，∠EAC＝∠FAC，所以∠DAC＋∠EAC＝∠BAC+∠FAC=×180°=90°，又因?yàn)椤螪AC＝20°，所以∠EAC＝70°．點(diǎn)評(píng)：三角形的外角和它相鄰的內(nèi)角是鄰補(bǔ)角，這兩個(gè)角的和是180°．12.如圖所示,在△ABC中,∠A=70°,BO,CO分別平分∠ABC和∠ACB,則∠BOC的度數(shù)（）.A.115°B.135°C.125°D.110°知識(shí)點(diǎn)：綜合利用角平分線、平角、三角形的內(nèi)外角定理解決有關(guān)的幾何計(jì)算、論證、探求問題知識(shí)點(diǎn)的描述：只要正確理解有關(guān)的概念，正確的用幾何語(yǔ)言描述這些概念，綜合起來就可以得到題目的結(jié)論.答案：C詳細(xì)解答：在△ABC中,∠A=70°，所以∠ABC+∠ACB=180°-70°=110°已知BO,CO分別平分∠ABC和∠ACB,所以∠OBC+∠OCB=（∠ABC+∠ACB）=×110°=55°在△OBC中,∠BOC=180°-（∠OBC+∠OCB）=180°-55°=125°7.2與三角形有關(guān)的角B1．一個(gè)三角形的三個(gè)內(nèi)角中，至少有（）．A．一個(gè)銳角B．兩個(gè)銳角C．一個(gè)鈍角D．一個(gè)直角答案：B詳細(xì)解答：一個(gè)三角形的三個(gè)內(nèi)角中，至少有兩個(gè)銳角，如果沒有兩個(gè)銳角就必然會(huì)是兩個(gè)直角或兩個(gè)鈍角或是一個(gè)直角和一個(gè)鈍角，那么內(nèi)角和就大于1800，所以沒有兩個(gè)銳角是不可能的，所以一個(gè)三角形的三個(gè)內(nèi)角中，至少有兩個(gè)銳角。2．△ABC中，∠A∶∠B∶∠C＝4∶2∶3，則∠A的度數(shù)是（）．A．90°B．80°C．20°D．60°答案B詳細(xì)解答：因?yàn)椤螦∶∠B∶∠C＝4∶2∶3，所以設(shè)∠A＝4x°，∠B＝2x°∠C＝3x°，因?yàn)槿切稳齻€(gè)內(nèi)角的和為1800，所以4x°+2x°+3x°=1800，解得x=20，所以∠A＝80°3.在△ABC中,∠A=∠B=∠C,則此三角形是()A.銳角三角形B.直角三角形C.鈍角三角形D.等腰三角形答案：B詳細(xì)解答：因?yàn)椤螦=∠B=∠C，所以假設(shè)∠A＝x°，則∠B=2x°，∠C=3x°，又因?yàn)椤螦+∠B+∠C=180°，所以x°+2x°+3x°=1800，解得x=30，所以最大角∠C=90°，所以這個(gè)三角形是直角三角形。4．已知，如圖，DB、EC交于點(diǎn)A，∠B＝∠E＝90°，∠C＝42°，則求∠D的度數(shù)（）．A．48°B．42°C．84°D．58°答案：B詳細(xì)解答：Rt△ADE中，∠D和∠DAE互余;Rt△ABC中，∠C和∠BAC互余；又因?yàn)椤螪AE=∠BAC，所以∠D＝∠C＝42°.5．如圖，在△ABC中，已知AD是△ABC角平分線，DE是△ADC的高線，∠B＝600，∠C＝450，則∠ADE的度數(shù)（）．A．37.5°B．52.5°C．62.5°D．75°答案：B詳細(xì)解答：在△ABC中，∠B＝600，∠C＝450，所以∠BAC=180°－∠B－∠C＝180°－600－450=75°,又AD是△ABC角平分線，所以∠DAE=×75°=37.5°,在△ADE中,∠AED=900，所以∠ADE=180°－900-∠DAE=180°－900-37.5°=52.5°6.如圖所示,在△ABC中,E,F分別在AB,AC上,則下列各式不能成立的是()A.∠BOC=∠2+∠6+∠A;B.∠2=∠5-∠A;C.∠5=∠1+∠4;D.∠1=∠ABC+∠4OO答案：C詳細(xì)解答：A.∠BOC=∠2+∠BEC=∠2+∠6+∠A;B.∠5=∠2+∠A,所以∠2=∠5-∠A;D.∠1是△BEC的外角，當(dāng)然有∠1=∠ABC+∠4；只有C.∠5=∠1+∠4不能成立7．如圖，P是△ABC內(nèi)一點(diǎn)，判斷∠BPC和∠A的大小關(guān)系是（）．A.∠BPC＞∠AB.∠BPC=∠AC.∠BPC＜∠AD.不確定答案：A詳細(xì)解答：延長(zhǎng)BP交AC于D因?yàn)椤螧PC是△PDC的外角，所以∠BPC＞∠PDC;因?yàn)椤螾DC是△ABD的外角，所以∠PDC＞∠A所以∠BPC＞∠A8．三角形一個(gè)外角等于和它相鄰的內(nèi)角的4倍，等于和它不相鄰的一個(gè)內(nèi)角的2倍，則這個(gè)三角形各角的度數(shù)是（）．A．45°、45°、90°B．30°、60°、90°C．36°、72°、72°D．25°、25°、130°答案：C詳細(xì)解答：如圖，不妨設(shè)∠DAB=4∠BAC=2∠B，若∠BAC=x°，則∠DAB=4x°，x°+4x°=180°，解得x°=36°，所以三角形的三個(gè)角為36°、72°、72°。ABDCE129.一個(gè)零件的形狀如圖所示，按規(guī)定，∠BAC=900,∠B=210,∠C=20ABDCE12A．合格B.不合格答案：B點(diǎn)撥：把實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為三角形的知識(shí)來解，關(guān)鍵是通過轉(zhuǎn)化建立起數(shù)學(xué)模型.詳細(xì)解答：依據(jù)三角形內(nèi)角和定理的推論，連結(jié)AD并延長(zhǎng)到點(diǎn)E，則∠CDE=∠C+∠1,∠BDE=∠B+∠2,∴∠CDE+∠BDE=∠C+∠1+∠B+∠2,即∠CDB=∠C+∠B+∠CAB.若零件合格，則有∠BDC=900+200+210=1310,而量得∠CDB=1300,∴零件不合格.10．如圖，在△ABC中，BE是∠ABC的內(nèi)角平分線，CE是∠ACB的外角平分線，BE、CE交于E點(diǎn)，試探究∠E與∠A的大小關(guān)系．（）A.∠E=180°-∠AB.∠E==90°-∠AC.∠E=90°-∠AD.∠E＝∠A答案：D證明：∵∠ACD＝∠A＋∠ABC，CE平分∠ACD∴∠ECD＝∠ACD＝（∠A＋∠ABC）（角平分線的定義），∵BE平分∠ABC，∴∠EBC＝∠ABC（角平分線的定義）∵∠ECD是△BCE的外角，∴∠E＝∠ECD－∠EBC＝（∠A＋∠ABC）-∠ABC=∠A11.如圖所示,將△ABC沿EF折疊,使點(diǎn)C落到點(diǎn)C′處,試探求∠1,∠2與∠C的關(guān)系（）A.∠1-∠2=∠CB.∠1+∠2=∠CC.∠1-∠2=2∠CD.∠1+∠2=2∠C答案：D解:∵∠1=180°-2∠CEF,∠2=180°-2∠CFE,∴∠1+∠2=360°-2(∠CEF+∠CFE)=360°-2(180°-∠C)=360°-360°+2∠C=2∠C.12．如圖，已知△ABC的∠B和∠C的外角平分線相交于D，∠A＝40°．則∠BDC的度數(shù)（）．A.70°B.80°C.90°D.100°答案：A詳細(xì)解答：∵∠ECB=∠A+∠CBA，∠FBC=∠A+∠ACB，∴∠ECB+∠FBC=∠A+∠CBA+∠A+∠ACB=∠A+（∠CBA+∠A+∠ACB）=∠A+180°=40°+180°=220°∵BD、CD分別平分∠FBC和∠ECB,∴∠DBC+∠DCB=（∠ECB+∠FBC）=×220°=110°，在△DBC中,∠BDC=180°-（∠DBC+∠DCB）=180°-110°=70°7.2與三角形有關(guān)的角（二）◆回顧歸納1．如圖1所示，把△ABC的一邊延長(zhǎng)，得到∠ACD，像這樣，三角形的一邊與另一邊的延長(zhǎng)線組成的角，叫做三角形的外角，三角形的一個(gè)外角就是三角形一個(gè)內(nèi)角的________．圖1圖22．三角形的一個(gè)外角等于______的和，如圖2所示，∠BCD=_____________；三角形的一個(gè)外角大于________，如圖2所示，∠BCD>______，∠BCD>_______．◆課堂測(cè)控知識(shí)點(diǎn)一三角形外角的概念1．在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=40°，如圖3所示，則∠ABC=_____，∠ABD=_____．圖3圖42．如圖4所示，∠ADB是△_____，△_____的外角，∠AEC是△ABE，△_____的外角．3．（教材變式題）如圖5所示，已知△ABC中，∠ABC=28°，∠BCA=52°，畫出△ABC所有的外角，并求出各外角的度數(shù)．