2024-2025學(xué)年年七年級(jí)數(shù)學(xué)人教版下冊(cè)專題整合復(fù)習(xí)卷12.3.1 等腰三角形(含答案)

2024-2025學(xué)年年七年級(jí)數(shù)學(xué)人教版下冊(cè)專題整合復(fù)習(xí)卷12.3.1等腰三角形(含答案)12.3.1等腰三角形思維啟動(dòng)小明將大小不同的兩個(gè)量角器按如圖所示的方示擺放在一起，小量角器的零度線與大量角器的零度線在一條直線上，小量角器的中心在大量角器的外緣邊上．小明發(fā)現(xiàn)外緣邊上的公共點(diǎn)P在小量角器上對(duì)應(yīng)的度數(shù)為65，那么它在大量角器上對(duì)應(yīng)是多少度呢？綜合探究探究一等腰三角形中三邊關(guān)系計(jì)算問題已知一個(gè)三角形的兩邊長分別為4cm，5cm，第三邊長為整數(shù)．1．由4cm，5cm，cm為邊可以組成多少個(gè)不同的三角形？為什么？_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________．2．如果這個(gè)三角形是等腰三角形，試確定的值．__________________________________________________________________________．答案：1．由三角形關(guān)系知：，即．又∵為整數(shù)，故可取值為2，3，4，5，6，7，8共7個(gè)，因而由4cm，5cm，cm為邊可組成7個(gè)不同的三角形．2．要使4cm，5cm，cm組成一個(gè)等腰三角形，則可取值為4cm或5cm，即當(dāng)4cm或5cm時(shí)，以4cm，5cm，cm為邊可組成一個(gè)等腰三角形．探究二等腰三角形中求角問題如圖，點(diǎn)D在AC上，點(diǎn)E在AB上，且AB＝AC，BC＝BD，AD＝DE＝BE．1．圖中有幾個(gè)等腰三角形？_________________________________________________．2．設(shè)∠A＝，則∠DEA＝__________，∠DBA＝__________，∠CDB＝__________，∠C＝__________，∠CBA＝__________．3．討論：你能求出∠A的度數(shù)嗎？________________________________________________________________________．答案：1．4個(gè)．△ADE，△BDE，△BDC，△ABC．2．，，，，．3．，解得，即∠A＝45．探究三應(yīng)用等腰三角形性質(zhì)證明兩線垂直在△ABC中，AB＝AC，點(diǎn)E是CA延長線上一點(diǎn)，點(diǎn)F在AB上，且∠AEF＝∠AFE．求證：EF⊥BC．1．如圖1，延長EF，交BC邊于點(diǎn)G．∵AB＝AC，∴_____________．∵∠AFE＝∠BFG，∠E＝∠AFE，∴_____________．又∵∠C＋∠E＋∠EGC＝∠B＋∠BFG＋∠FGB＝180，∴_____________．∵∠EGC＋∠FGB＝180，∴EF⊥BC．圖1圖2圖32．如圖2，過A作AD⊥BC于D．∵AB＝AC，AD⊥BC，∴______________．∵∠BAC＝∠E＋∠EFA，∠E＝∠EFA，∴∠BAC＝2∠E＝2∠EFA．∴______________．∴EF∥AD，∴EF⊥BC．3．如圖3，過A點(diǎn)作AM⊥EF，垂足為M．用此法如何證明EF⊥BC呢？________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________．答案：1．∠B＝∠C，∠E＝∠BFG，∠EGC＝∠FGB．2．∠BAD＝∠CAD，∠CAD＝∠E．3．∵∠E＝∠EFA，∴AE＝AF．∵AM⊥EF，∴∠EAM＝∠FAM．∵AB＝AC，∴∠B＝∠C．又∵∠EAF＝∠B＋∠C，∴∠EAF＝2∠B＝2∠C．∴∠EAM＝∠C．∴AM∥BC，∴EF⊥BC．探究四與全等三角形一起構(gòu)成綜合證明如圖，在△ABC中，AB＝AC，D在AB上，E在AC的延長線上，且BD＝CE，連接DE交BC于F，求證：DF＝EF．欲證DF＝EF，可先把DF和EF放在兩個(gè)三角形中，再證明這兩個(gè)三角形全等，因此必須構(gòu)造全等三角形．由于構(gòu)造方法的不同，本題有兩種不同的解法．1．如圖1，過D作DN∥AE，交BC于N，利用這種方法該怎樣證明DF＝EF呢？請(qǐng)你寫出證明過程．___________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________．2．參考圖2，寫出另一種方法的證明過程．___________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________．答案：1．過D作DN∥AE，交BC于N，則∠DNB＝∠ACB，∠NDE＝∠E．∵AB＝AC，∴∠B＝∠ACB，∴∠B＝∠DNB，∴BD＝DN．∵BD＝CE，∴DN＝CE．又∵∠DFN＝∠CFE，∴△DNF≌△ECF，∴DF＝EF．2．過E作EM∥AB，交BC的延長線于M，則∠EMB＝∠B．∵AB＝AC，∴∠B＝∠ACB，∴∠ACB＝∠EMB．∵∠ACB＝∠ECM，∴∠ECM＝∠EMB，∴CE＝EM．∵BD＝CE，∴BD＝EM．∵∠DFB＝∠EFM，∴△BDF≌△MEF，∴DF＝EF．探究五運(yùn)用面積法證明有關(guān)問題如圖，△ABC中，AB＝AC，D是底邊BC上的一點(diǎn)，DM⊥AB，DN⊥AC，垂足為M，N．求證：DM＋DN為定值（一腰上的高）．1．如圖，連接AD，作CH⊥AB，垂足為H．DM、DN、CH分別為哪些三角形的高？_____________________________________________________．2．由“△ABC的面積＝△ABD的面積＋△ACD的面積”可以得到什么？____________________________________________________．3．由于AB＝AC，2中的等式可以變成什么？____________________________________________________．答案：1．DM為△ABD的高，DN為△ACD的高，CH為△ABC的高．2．AB·CH＝AB·DM＋AC·DN．3．DM＋DN＝CH．探究六實(shí)際應(yīng)用問題1．∵OE＝EF，∠O＝10，∴∠EFO＝__________度，∠FEG＝__________度．2．∵EF＝FG，∴∠EGF＝__________度，∠GFH＝__________度．3．同理，∠GHF＝__________度，∠HGM＝__________度，∠GMH＝__________度．4．討論總結(jié)：最后一根鋼管與∠AOB的一邊具有什么關(guān)系？一共能添加多少根鋼管？_________________________________________________________________________．答案：1．10，20．2．20，30．3．30，40，40．4．當(dāng)最后一根鋼管與∠AOB的一邊垂直時(shí)，一共添加了8根鋼管，即最多能添加8根這樣的鋼管．探究七探究某一條件的變化對(duì)結(jié)論的影響如圖，在△ABC中，AB＝AC，AB的垂直平分線交AB于N，交直線BC于M．圖1圖2圖31．如圖1，當(dāng)∠A＝40時(shí)，∠NMB＝____________度．2．如圖2，當(dāng)∠A＝70時(shí)，∠NMB＝____________度．3．你發(fā)現(xiàn)了什么規(guī)律？寫出猜想，并證明．_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________．4．如圖3，當(dāng)∠A改成鈍角時(shí)，對(duì)于3中規(guī)律是否需要修改？_________________________________________________________________________．答案：1．20．2．35．3．等腰三角形一腰的垂直平分線與底邊或底邊的延長線的夾角（銳角）等于頂角的一半．證明：設(shè)∠A＝．∵AB＝AC，∴∠B＝∠C＝．∵∠BNM＝90，∴∠NMB＝90－∠B＝．4．由3中的證明知，將∠A改成鈍角，這個(gè)規(guī)律仍然成立，不必修改．探究八“角平分線＋垂線”構(gòu)成等腰三角形如圖，在△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90，D是AC上的任一點(diǎn)，且AE垂直BD，交BD延長線于點(diǎn)E，又AE＝BD．求證：BD平分∠ABC．1．“結(jié)論BD平分∠ABC”與“已知AE垂直BD”相結(jié)合，考慮到延長AE、BC相交于點(diǎn)F，只要證明出什么？即可證得結(jié)論．_______________________________________________．2．你能證明△ACF≌△BCD嗎？_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________．3．由2中全等，能得到什么？根據(jù)AE＝BD，還可以得到什么？________________________________________________________________________．4．你能證明△ABF是等腰三角形嗎？能說明BD平分∠ABC嗎？________________________________________________________________________．答案：1．AB＝BF．2．∵∠FAC＋∠ADE＝90，∠DBC＋∠BDC＝90，∠ADE＝∠BDC，∴∠FAC＝∠DBC．∵∠ACF＝∠BCD＝90，AC＝BC，∴△ACF≌△BCD．3．AF＝BD，AE＝EF．4．∵AE＝EF，BE⊥AF，∴AB＝BF，∴BD平分∠ABC．探究九“角平分線＋平行線”構(gòu)造等腰三角形如圖，∠ABC與∠ACB的平分線交于F，過F作DE∥BC，交AB于D，交AC于E，若△ABC的兩邊AB，AC的長分別為12cm，10cm，求△ADE的周長．1．由“BF平分∠ABC”和“DE∥BC”能得到哪個(gè)三角形是等腰三角形？為什么？________________________________________________．2．由“CF平分∠ABC”和“DE∥BC”能得到哪個(gè)三角形是等腰三角形？__________________________________________________________________________．3．根據(jù)1，2，請(qǐng)你求出△ADE的周長．_________________________________________________________________________．答案：1．∵BF平分∠ABC，∴∠DBF＝∠CBF．∵DE∥BC，∴∠DFB＝∠CBF，∴∠DFB＝∠DBF．∴DF＝DB．2．同理，EF＝FC．3．△ADE的周長＝AD＋DF＋FE＋AE＝AD＋DB＋AE＋EF＝AB＋AC＝22（cm）．探究十等腰三角形的設(shè)計(jì)問題如圖，△ABC中，AB＝AC，∠A＝36，請(qǐng)你仿照?qǐng)D1，在圖2、圖3中設(shè)計(jì)兩種不同的方法，將△ABC分割成3個(gè)等腰三角形．圖1圖2圖3答案：本題有多種可能結(jié)果，現(xiàn)提供3種，以供同學(xué)們參考．隨堂反饋1．如果一個(gè)等腰三角形的周長為19，其中一邊長為5，那么這個(gè)三角形底邊的長為（）A．9 B．5 C．5或9 D．以上都不對(duì)2．如圖，在△ABC中，∠BAC＝90，AB＝AC，∠BAD＝30，AD＝AE，則∠EDC的度數(shù)為（）A．10 B．12 C．15 D．20第2題第3題3．如圖，在△ABC中，D為AC上一點(diǎn)，∠A＝36，∠DBC＝36，∠C＝72，則圖中等腰三角形的個(gè)數(shù)為（）A．3個(gè) B．2個(gè) C．1個(gè) D．0個(gè)4．等腰三角形一腰上的高與另一腰的夾角是50，則這個(gè)等腰三角形的底角是（）A．70 B．20 C．70或20 D．40或1405．如圖，等腰△ABC的周長為21，底邊BC＝5，AB的垂直平分線DE交AB于點(diǎn)D，交AC于點(diǎn)E，則△BEC的周長為______________．第5題6．若等腰△ABC的周長為10，若設(shè)腰長為，則的取值范圍是______________．7．在△ABC中，AB＝AC＝12cm，BC＝6cm，D為BC的中點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P從B點(diǎn)出發(fā)，以每秒1cm的速度沿B→A→C的方向運(yùn)動(dòng)．設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為，那么當(dāng)＝_____________秒時(shí)，過D、P兩點(diǎn)的直線將△ABC的周長分成兩個(gè)部分，使其中一部分是另一部分的2倍．8．如圖，在△ABC中，∠BAC＝90，AD⊥BC于D，BE平分∠ABC交AD于F．求證：△AEF是等腰三角形．9．如圖，在△ABC中，點(diǎn)D是∠BAC的角平分線上一點(diǎn)，BD⊥AD于點(diǎn)D，過點(diǎn)D作DE∥AC交AB于點(diǎn)E．求證：AE＝DE＝BE．10．已知△ABC的三個(gè)內(nèi)角如圖所示，試畫一條直線MN，將這個(gè)三角形分成兩個(gè)等腰三角形．參考答案1．C2．C3．A4．D5．136．7或178．∵∠BAC＝90，AD⊥BC于D，∴∠ABC＋∠C＝90，∠ABC＋∠BAD＝90．∴∠BAD＝∠C．∵BE平分∠ABC，∴∠ABE＝∠CBE．∴∠AFE＝∠AEF．∴AE＝AF．9．∵DE∥AC，∴∠ADE＝∠CAD．∵D是∠BAC的角平分線上一點(diǎn)，∴∠EAD＝∠CAD，∴∠ADE＝∠EAD．∴AE＝DE．∵BD⊥AD，∴∠EAD＋∠ABD＝∠EDA＋∠BDE＝90，∴∠ABD＝∠EDB．∴BE＝DE．即AE＝DE＝BE．10．如圖所示：12.3.1等腰三角形一、選擇題1．等腰三角形的周長為26㎝，一邊長為6㎝，那么腰長為（）Ａ．6㎝ Ｂ．10㎝ Ｃ．6㎝或10㎝Ｄ．14㎝ 2．已知△ABC，AB=AC，∠B=65°，∠C度數(shù)是()A．50°B．65°C．70°D．75°3．等腰三角形是軸對(duì)稱圖形，它的對(duì)稱軸是（）A．過頂點(diǎn)的直線 B．底邊的垂線C．頂角的平分線所在的直線 D．腰上的高所在的直線二、填空題4．等腰三角形的兩個(gè)_______相等（簡寫成“____________”）．5．已知△ABC，AB=AC，∠A=80°，∠B度數(shù)是_________．6．等腰三角形的兩個(gè)內(nèi)角的比是1：2，則這個(gè)等腰三角形的頂角的度數(shù)是_______________．7．等腰三角形的腰長是6，則底邊長5，周長為__________．三、解答題8．如圖AB=AD，AD∥BC，求證：BD平分∠ABC．（寫出每步證明的重要依據(jù)）9．如圖，在△ABC中，AB=AC，D、E分別在AC、AB邊上，且BC=BD，AD=DE=EB，求∠A的度數(shù)參考答案一、選擇題1．B2．B3．C二、填空題4．底角，等邊對(duì)等角5．50°6．36°或90°7．16或17三、解答題8．如圖AB=AD，AD∥BC，求證：BD平分∠ABC．證明：∵AB=AD（已知）∴∠ABD=∠ADB（等邊對(duì)等角）∵AD∥BC（已知）∴∠ADB=∠CBD（兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等）∴∠ABD=∠CBD（等量代換）∴BD平分∠ABC．（角平分線定義）9．4512.3.2等邊三角形(1)班級(jí)姓名座號(hào)月日主要內(nèi)容:等邊三角形的性質(zhì)和判定方法一、課堂練習(xí):1.(課本54頁)如圖,等邊三角形中,是上的高,,圖中有哪些與相等的線段?2.如圖,是等邊三角形內(nèi)一點(diǎn),,求的度數(shù).3.(課本65頁)如圖,在等邊三角形的三邊上,分別取點(diǎn),,,使.求證是等邊三角形.二、課后作業(yè):1.下列說法正確的是()A.角是軸對(duì)稱圖形,它的平分線是對(duì)稱軸B.等腰三角形的角平分線,中線,高三線合一C.直角三角形是軸對(duì)稱圖形D.等邊三角形有三條對(duì)稱軸2.三角形任意一個(gè)內(nèi)角的平分線都垂直于這個(gè)角所對(duì)的邊,則這個(gè)三角形是()A.直角三角形B.等腰三角形C.等邊三角形D.等腰直角三角形3.等邊三角形的兩條角平分線和相交于點(diǎn),則等于()A.B.C.D.

4.如圖,是等邊三角形,為中線,,求的度數(shù).5.如圖,在等邊中,是的中點(diǎn),且,.求證.E6.(課本58頁)如圖,、都是等邊三角形,求證.E圖2圖2圖1三、新課預(yù)習(xí):1.如圖1,在等邊中,于,則度,.2.如圖2,在中,若于,,則,延長到使,連接,則是三角形,BDAB.總結(jié):以上兩題可得結(jié)論:在直角三角形中,如果一個(gè)銳角等于,那么它所對(duì)應(yīng)的直角邊等于斜邊的.

參考答案一、課堂練習(xí):1.(課本54頁)如圖,等邊三角形中,是上的高,,圖中有哪些與相等的線段?答:與相等的線段有:,,,,,,.2.如圖,是等邊三角形內(nèi)一點(diǎn),,求的度數(shù).解:∵是等邊三角形∴即∵∴∴即3.(課本65頁)如圖,在等邊三角形的三邊上,分別取點(diǎn),,,使.求證是等邊三角形.證明:∵是等邊三角形∴又∵∴∴在與中∴≌∴同理∴∴是等邊三角形二、課后作業(yè):1.下列說法正確的是(D)A.角是軸對(duì)稱圖形,它的平分線是對(duì)稱軸B.等腰三角形的角平分線,中線,高三線合一C.直角三角形是軸對(duì)稱圖形D.等邊三角形有三條對(duì)稱軸2.三角形任意一個(gè)內(nèi)角的平分線都垂直于這個(gè)角所對(duì)的邊,則這個(gè)三角形是(C)A.直角三角形B.等腰三角形C.等邊三角形D.等腰直角三角形3.等邊三角形的兩條角平分線和相交于點(diǎn),則等于(B)A.B.C.D.

4.如圖,是等邊三角形,為中線,,求的度數(shù).解:∵為等邊三角形,為中線∴,∵∴∵∴5.如圖,在等邊中,是的中點(diǎn),且,.求證.證明:∵為等邊三角形∴,∵是的中點(diǎn)∴∵∴∴∴∴又∵∴6.(課本58頁)如圖,、都是等邊三角形,求證.證明:∵,都是等邊三角形∴,,∴即在和中∴≌()∴圖2圖1圖2圖1三、新課預(yù)習(xí):1.如圖1,在等邊中,于,則度,.2.如圖2,在中,若于,,則,延長到使,連接,則是等邊三角形,BDAB.總結(jié):以上兩題可得結(jié)論:在直角三角形中,如果一個(gè)銳角等于,那么它所對(duì)應(yīng)的直角邊等于斜邊的一半.12.3.2等邊三角形思維啟動(dòng)等邊三角形給人以“穩(wěn)如泰山”的美觀，它具有獨(dú)特的對(duì)稱性．你能用三種不同的分割方法，將以下三個(gè)等邊三角形分割成四個(gè)等腰三角形嗎？綜合探究探究一用火柴棒拼等邊三角形如圖，用長度相等的火柴棒拼成下面由三角形組成的圖形．1．根據(jù)圖形規(guī)律填寫下列表格：圖形123456所需火柴棒的根數(shù)3572．按此規(guī)律，第個(gè)圖形所需火柴棒的根數(shù)是_________________．答案：1．9，11，13．2．．探究二等邊三角形的性質(zhì)應(yīng)用如圖，P、Q是△ABC邊BC上的兩點(diǎn)，且BP＝PQ＝QC＝AP＝AQ．1．△APQ是什么三角形？各內(nèi)角分別是多少度？______________________________________________________________________________________．2．由1得，你能求出∠B、∠C的度數(shù)嗎？____________________________________________________________________________________________________________________．3．求∠BAC的度數(shù)．______________________________________________________________________．答案：1．∵AP＝PQ＝AQ，∴△APQ是等邊三角形，∴∠PAQ＝∠AQP＝∠QPA＝60．2．∵AP＝BP，∴∠BAP＝∠B＝30．同理∠C＝30．3．∠BAC＝180―∠B―∠C＝120．探究三子母三角形如圖，C是線段AB上的一點(diǎn)，△ACD和△BCE都是等邊三角形，AE交CD于M，BD交CE于N，交AE于O．1．△ACE與△DCB全等嗎？為什么？___________________________________________________________________________________________________________________________________________________．2．據(jù)1，你能求出∠AOB的度數(shù)嗎？_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________．3．圖中還有哪些全等三角形？請(qǐng)你一一寫出來．__________________________________________________________________________．4．討論總結(jié)：判斷△MCN的形狀，并說明理由．_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________．答案：1．∵△ACD和△BCE都是等邊三角形，∴AC＝CD，CE＝CB，∠ACD＝∠ECB＝60，∴∠ACE＝∠DCB．∴△ACE≌△DCB．2．∵△ACE≌△DCB，∴∠EAC＝∠BDC．∴∠AOB＝∠ADO＋∠DAO＝∠CDA＋∠DAC＝60＋60＝120．3．△ACM≌△DCN，△BCN≌△ECM．4．∵∠CAM＝∠CDN，AC＝CD，∠ACM＝∠DCN＝60，∴△ACM≌△DCN．∴CM＝CN．∴△CMN為等邊三角形．探究四線段和差問題如圖，在△ABC中，AB＝AC，D是CB延長線上的一點(diǎn)，∠ADB＝60，E是AD上的一點(diǎn)，且DE＝DB．求證：AE＝BE＋BC．圖1圖2圖31．△BDE是什么三角形？為什么？_______________________________________________________________________．2．如圖1，延長DC到F，使CF＝BD，連接AF．△ADF是什么三角形？為什么？_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________．3．如圖1，要證AE＝BE＋BC，只需證明什么？怎么證明？_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________．4．如圖2，延長EB到P，使BP＝BC，連接AP、CP．要證AE＝BE＋BC，只需證明什么？怎樣證明？________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________．5．如圖3，過C作CM∥BE，交AD于M．△CDM是什么三角形？為什么？_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________．6．要證AE＝BE＋BC，還需證明什么？怎么證明？________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________．答案：1．∵∠ADB＝60，DE＝BD，∴△DBE是等邊三角形．2．∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB，∴∠ABD＝∠ACF．∵BD＝CF，∴△ABD≌△ACF．∴∠F＝∠D＝60，∴△ADF是等邊三角形．3．AE＝BF．∵△ADF和△DBE都是等邊三角形，∴AD＝DF，DE＝DB．∴AE＝BF．∴AE＝BC＋CF＝BC＋BE．4．AE＝EP．易知△BPC為等邊三角形，∴BP＝PC．∵AB＝AC，AP＝AP，∴△BAP≌△CAP，∴∠BPA＝∠CPA．∵∠PCB＝∠D＝60，∴PC∥AD，∴∠CPA＝∠EAP，∠EAP＝∠BPA，∴AE＝EP＝BE＋BC．5．∵△DBE為等邊三角形，∴∠DBE＝60．∵CM∥BE，∴∠MCD＝∠DBE＝60．∴△DCM為等邊三角形．6．AM＝BE．∵AB＝AC