2024-2025學(xué)年年七年級數(shù)學(xué)人教版下冊專題整合復(fù)習(xí)卷12.3.2 等邊三角形(含答案)-

2024-2025學(xué)年年七年級數(shù)學(xué)人教版下冊專題整合復(fù)習(xí)卷12.3.2等邊三角形(含答案)-12.3.2等邊三角形◆課前預(yù)習(xí)1．等邊三角形是_______都相等的三角形．2．等邊三角形的性質(zhì)：等邊三角形三個角都________且都為________．3．等邊三角形的判定方法：（1）三個角都______的三角形是等邊三角形；（2）有一個角為60°的________是等邊三角形；（3）三邊都________的三角形為等邊三角形．◆互動課堂（一）基礎(chǔ)熱點【例1】如圖，課外興趣小組在一次測量活動中，測得AB=30m，∠A=∠B=60°，他們便得出一個結(jié)論：這圈籬笆的長度不小于90m．他們的結(jié)論對嗎？解：在△ABC中∵∠A=∠B=60°∴BC=AC∴△ABC為等邊三角形∴AB+BC+CA=3AB=3×30=90m∴興趣小組的結(jié)論是正確的．（二）易錯疑難【例2】如圖所示，D、E分別為等邊△ABC的邊BC、AC上的點，且BD=CE，連接BE、AD交于F，求證：∠AFE=60°．證明：∵△ABC為等邊三角形（已知）∴∠ABC=∠BCA=60°AB=BC（等邊三角形的定義）在△ABD和△BCE中，∴△ABD≌△BCE（SAS）∴∠BAD=∠CBE（全等三角形的對應(yīng)角相等）∵∠AFE=∠BAD+∠ABE（三角形的一個外角等于和它不相鄰的兩個內(nèi)角和）∴∠AFE=∠CBE+∠ABE∴∠AFE=∠ABC=60°（三）中考鏈接【例3】如圖，D是等邊△ABC內(nèi)一點，且DB=DA，BP=AB，∠DBP=∠DBC，求∠P的度數(shù)．分析：結(jié)合圖形可以先作一條輔助線即連接CD．再證明△BCD≌△BPD，可得∠P=∠BCD，然后證明△BCD≌△ACD，從而可知∠P=∠BCD=∠ACD=∠ACB=30°．解：略點撥：在分析解決問題的過程中，緊扣已知條件，轉(zhuǎn)移應(yīng)求的“線段”和“角”是極其重要的思路，而三角形全等起著核心的作用．名師點津?qū)τ诘冗吶切?，它屬于特殊的等腰三角形，特殊到三條邊相等，三個內(nèi)角都等于60°，“三線合一”的性質(zhì)就更能不受限制，淋漓盡致地發(fā)揮了．◆跟進課堂1．如圖1，等邊△ABC中，D、E分別在AB、AC上，且AD=CE，BE、CD交于點P，若∠ABE：∠CBE=1：2，則∠BDP=________．2．已知△ABC的三邊長為a、b、c，且（a-b）（a-c）（b-c）=0，那么這個三角形是__________．3．如圖2所示，AD是△ABC的中線，∠ADC=60°，把△ADC沿直線AD折過來，點C落在C′處，如果BC′=5，則BC=________．(1)(2)(3)4．如圖3所示，∠AOB=30°，PC∥OA，PD⊥OA于D，若PC=3，則PD=_______．5．如圖4所示，等邊△ABC的邊長為2，△BDC是頂角∠BDC=120°的等腰三角形，以D為頂點作一個60°的角，角的兩邊分別交AB于M，交AC于N，連接MN，形成一個△AMN，則△AMN的周長為________．(4)(5)6．等邊三角形是軸對稱圖形，它的對稱軸有（）．A．1條B．2條C．3條D．6條7．等邊三角形的兩條角平分線所夾的銳角的度數(shù)為（）度．A．30B．45C．60D．908．在直角△ABC中，∠C=30°，斜邊AC的長為5cm，則AB的長為（）．A．4cmB．3cmC．2.5cmD．2cm9．如圖5，D是等邊△ABC的邊AB上的一點，CD=BE，∠1=∠2，則△ADE是（）．A．等腰三角形B．等腰直角三角形C．等邊三角形D．直角三角形10．已知∠B=30°，AB=6，BC=8，則△ABC的面積為（）．A．12B．16C．24D．48◆漫步課外11．如圖，已知△ABC和△ADE都是等邊三角形，B、C、D在同一條直線上.求證：CE=AB+CD．12．如圖，已知△ABC是等邊三角形，BD是中線，延長BC到E，使CE=CD.試猜想BD與DE的關(guān)系，并證明．13．如圖所示，△ABC是等邊三角形，延長BA至E，使AE=BD，連接CE、DE，求證：EC=DE．◆挑戰(zhàn)極限14．如圖所示，點C是線段AB上的一點，△ACD和△BCE均是等邊三角形，AE交CD于M，BD交CE于N，交AE于O．（1）有下列結(jié)論：①AE=BD；②CM=CN；③△MCN為等邊三角形；④MN∥AB；⑤∠AOB=120°；⑥∠BAE=∠ABD；⑦BD⊥CE，AE⊥CD；⑧∠DAE=30°．其中正確的有_________（填番號）．（2）請你選擇其中一個正確的結(jié)論加以證明．答案:1．100°2．等邊或等腰三角形3．104．1．55．46．C7．C8．C9．C10．A11．證△ABD≌△ACE12．相等，證∠E=∠DBE=30°13．略14．（1）①②③④⑤（2）略12.3.2等邊三角形◆課堂測控測試點等邊三角形的性質(zhì)與判定1．等邊三角形是軸對稱圖形，它有_____條對稱軸．2．△ABC中，AB=BC，∠B=∠C，則∠A=_____度．3．三角形三內(nèi)角度數(shù)之比為1：2：3，最大邊長是8cm，則最小邊的長是______．4．下面給出的幾種三角形：①有兩個角為60°的三角形；②三個外角都相等的三角形；③一邊上的高也是這邊上中線的三角形；④有一個角為60°的等腰三角形．其中是等邊三角形的個數(shù)是（）A．4個B．3個C．2個D．1個5．已知：如圖，△ABC是等邊三角形，BD是AC邊上的高，延長BC到E，使CE=CD，求證：（1）BD=DE．（2）如果把BD改為△ABC的角平分線或高，能否得出同樣的結(jié)論？◆課后測控6．等腰三角形的頂角為60°，底邊為8cm，則腰長為_____．7．等腰三角形頂角為30°，腰長是4cm，則三角形的面積是______．8．等腰三角形的底角為15°，腰長是2cm，則腰上的高為_______．9．（1）按下列要求畫圖：畫等邊三角形ABC和它的兩條中線BD，CE，BD，CE相交于點O，連結(jié)DE．（2）說出圖中有哪幾個三角形是等邊三角形？哪幾個三角形是等腰三角形？10．如圖，AB=AC，∠BAC=120°，AD⊥AB，AE⊥AC．（1）圖中，等于30°的角有：_______；等于60°的角有：_______；（2）△ADE是等邊三角形嗎？為什么？（3）在Rt△ABD中，∠B=_______°，AD=______BD；在Rt△ACE中，有類似的結(jié)論嗎？11．如圖，C是線段AB上的一點，△ACD和△BCE是等邊三角形，連結(jié)AE，BD．求證：AE=BD．12．如圖，△ABC為等邊三角形，AE=CD，AD，BE相交于點P，BQ⊥AD于Q，PQ=3，PE=1．（1）求證：AD=BE．（2）求AD的長．13．如圖，△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，EF是AB的垂直平分線，EF交BC于F，交AB于E，求證：BF=FC．◆拓展測控14．已知等邊△ABC和點P，設(shè)點P到△ABC三邊AB，AC，BC的距離分別為h1，h2，h3，△ABC的高為h．（1）如圖①，點P在△ABC內(nèi)，h1，h2，h3之間有什么等量關(guān)系？（2）如圖②，點P在△ABC外，h1，h2，h3之間有怎樣的關(guān)系，請寫出你的猜想并證明．[提示：從面積角度思考]參考答案1．3（點撥：每邊的中垂線是它的對稱軸）2．60（點撥：由已知條件知△ABC是等邊三角形）3．4cm（點撥：三角形三內(nèi)角分別為30°，60°，90°，最小邊為最大邊長的一半）4．B（點撥：③不是等邊三角形）5．（1）∵△ABC為等邊三角形，∴∠ACB=∠ABC=60°，∵CE=CD，BD⊥AC，∴∠E=30°，∠DBC=30°，∴∠E=∠DBC，∴DB=DE．（2）能得出同樣的結(jié)論，因為等邊三角形的三線合一．[總結(jié)反思]等邊三角形的每一個角都等于60°，有一個角為60°的等腰三角形是等邊三角形．6．8cm（點撥：該等腰三角形為等邊三角形）7．4cm2（點撥：腰上的高為2cm）8．1cm（點撥：高在形外，由30°角性質(zhì)可求）9．（1）圖略（2）圖中△ABC和△ADE是等邊三角形，△BOC，△DOE，△BDE，△CDE是等腰三角形．10．（1）∠B，∠BAE，∠C，∠DAC∠AED，∠ADE，∠EAD（2）△ADE是等邊三角形，因為△ADE的三個角都等于60°．（3）30，；在Rt△ACE中，∠C=30°，AE=CE．11．證明：∵△ACD和△BCE是等邊三角形．∴AC=CD，BC=CE，∠ACD=∠BCE=60°，∵∠ACE=∠ACD+∠DCE，∠BCD=∠BCE+∠DCE，∴∠ACE=∠BCD，在△ACE和△DCB中∴△ACE≌△DCB（SAS），∴AE=BD．[解題規(guī)律]充分利用等邊三角形的邊角性質(zhì)解題12．（1）∵△ABC為等邊三角形，∴∠BAC=∠C=60°，AB=AC．又AE=CD，∴△ABE≌△CAD（SAS），∴∠ABE=∠CAD，BE=AD．（2）∠BPQ=∠BAP+∠ABE=∠BAP+∠PAE=∠BAC=60°，∴∠PBQ=30°，又BQ⊥PQ，∴PB=2PQ=6，∴BE=PB+PE=7，∴AD=BE=7．[解題規(guī)律]由已知條件PQ=3及BQ⊥PQ聯(lián)想直角三角形30°角的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．13．證明：連結(jié)AF．∵AB=AC，∠BAC=120°，∴∠B=∠C=30°，∵EF垂直平分AB，∴FA=FB．∴∠BAF=∠B=30°，∴∠FAC=90°．在△ACF中，AF=CF，∴BF=CF．[方法技巧]分析結(jié)論可知需利用30°角的性質(zhì)，同時結(jié)合垂直平分線的性質(zhì)過渡搭橋．14．解：（1）連結(jié)PA，PB，PC．∵S△ABC=S△PAB+S△PBC+S△PCA=AB·PD+BC·PF+CA·PE=BC·h1+BC·h2+BC·h3=BC·（h1+h2+h3）又S△ABC=BC·h，∴BC（h1+h2+h3）=BC·h．∴h1+h2+h3=h．（2）S△ABC=S△PAB+S△PAC-S△PBC=BC·h1+BC·h2-BC·h3=BC（h1+h2-h3）．∴BC·（h1+h2-h3）=BC·h，∴h1+h2-h3=h．[方法技巧]由于等邊三角形的三邊相等，已知條件中又有各邊上的垂線，故聯(lián)想用面積法來證明結(jié)論更簡捷．12.3.2等邊三角形一、選擇題1．△ABC是等邊三角形，D、E、F為各邊中點，則圖中共有正三角形()A．2個B．3個C．4個D．5個2．△ABC中，∠A：∠B：∠C=1：2：3，則BC：AB等于()A．2：1B．1：2C．1：3D．2：3二、填空題3．等邊三角形的周長為6㎝，則它的邊長為________．4．等邊三角形的兩條高線相交所成鈍角的度數(shù)是__________．5．在△ABC中，∠A=∠B=∠C，則△ABC是_____三角形．6．△ABC中，∠ACB=90°∠B=60°，BC=3㎝，則AB=_______．三、解答題7．△ABC是等邊三角形，點D在邊BC上，DE∥AC，△BDE是等邊三角形嗎？試說明理由．8．已知：如圖，P，Q是△ABC邊上BC上的兩點，且BP=PQ=QC=AP=AQ，求∠BAC的度數(shù)．9．已知：△ABC中，∠ACB=90°，AD=BD，∠A=30°，求證：△BDC是等邊三角形．參考答案一、選擇題1．D2．B二、填空題3．2㎝4．120°5．等邊6．6㎝三、解答題7．△ABC是等邊三角形．理由是∵△ABC是等邊三角形∴∠A=∠B=∠C=60°∵DE∥AC，∴∠BED=∠A=60°，∠BDE=∠C=60°∴∠B=∠BED=∠BDE∴△ABC是等邊三角形8．∠BAC=120°9．證明：∵△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°（