2024-2025學(xué)年年七年級(jí)數(shù)學(xué)人教版下冊(cè)專題整合復(fù)習(xí)卷14.3.1 等腰三角形的性質(zhì)(含答案)-

2024-2025學(xué)年年七年級(jí)數(shù)學(xué)人教版下冊(cè)專題整合復(fù)習(xí)卷14.3.1等腰三角形的性質(zhì)(含答案)-14.3.1等腰三角形的性質(zhì)【知能點(diǎn)分類訓(xùn)練】知能點(diǎn)1等腰三角形1．等腰三角形的兩邊長(zhǎng)分別為5cm和6cm，則它的周長(zhǎng)是______cm．2．等腰三角形一邊長(zhǎng)是2cm，周長(zhǎng)是8cm，則腰長(zhǎng)是________．3．已知等腰三角形的底邊長(zhǎng)15cm，一腰上的中線把其周長(zhǎng)分成兩部分的差為8cm，則腰長(zhǎng)為（）．A．7cmB．23cmC．7cm或23cmD．以上都不對(duì)知能點(diǎn)2等腰三角形的性質(zhì)4．等腰三角形的一個(gè)內(nèi)角是100°，它的另外兩個(gè)角的度數(shù)是____，_____．5．等腰三角形頂角的外角與一個(gè)底角的外角和為265°，則它的頂角大小為_(kāi)______．6．如圖，D，E在BC上，AE=BE，AD=CD，∠ADE=100°，∠AED=60°，則∠B=____，∠C=___．(1)(2)7．等腰三角形一腰上的高與底邊夾角為α，則它的頂角度數(shù)為_(kāi)_____．8．下列命題中，錯(cuò)誤的說(shuō)法是（）．A．等腰三角形被底邊上的中線分成的兩個(gè)三角形能完全重合;B．等腰直角三角形被底邊上的高分成的兩個(gè)三角形是能完全重合的等腰直角三角形;C．一個(gè)三角形中，兩條邊不等，則它們所對(duì)的角也不等;D．等腰三角形腰上的中線，高和其所對(duì)角的平分線互相重合9．如圖2所示，在△ABC中，AB=AC，DE垂直平分腰AB，若AC=CD，則∠A的度數(shù)為（）．A．36°B．72°C．108°D．44°10．在△ABC中，AB=AC，∠A-∠B=15°，則∠C的度數(shù)為（）．A．50°B．55°C．60°D．70°11．在等腰三角形的三個(gè)外角中，最多有（）．

A．0個(gè)鈍角B．1個(gè)鈍角C．2個(gè)鈍角D．3個(gè)鈍角12．如圖，AD∥BC，點(diǎn)E在的延長(zhǎng)線上，CB=CE，試說(shuō)明∠A=∠E．【綜合應(yīng)用提高】13．如圖，在△ABC中，AB=AC，∠BPC=115°，且∠ABP=∠BCP，求∠A的度數(shù)．14．如圖，在△ABC中，AB=AC，D為BA延長(zhǎng)線上的一點(diǎn)，AE平分∠DAC，那么AE∥BC嗎？說(shuō)說(shuō)你的理由．15．如圖，在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC于D，且AB+AC+BC=50cm，AB+BD+AD=40cm，求AD的長(zhǎng)．【開(kāi)拓探索創(chuàng)新】16．如圖所示，若BE平分∠ABC，DE=BD，則DE和BC的位置關(guān)系怎樣？說(shuō)明理由．17．已知如圖，點(diǎn)C，D在△ABE的邊BE上，BC=ED，AB=AE，求證：AC=AD．答案:1．16cm或17cm2．3cm3．B4．40°40°5．10°點(diǎn)撥：由題意可知，另一底角的外角為95°，故底角為85°．6．30°50°7．2a8．D點(diǎn)撥：三線合一的“三線”是指頂角平分線，底邊中線和底邊上的高．9．C點(diǎn)撥：設(shè)∠B=x，由AB=AC=7，∠B=∠C，AC=CD→∠ADC=∠DAC=2∠B，∴x+x+3x=180°，x=36°，∠A=108°．10．B11．D12．證明：∵CB=CE，∴∠E=CBE．又∵AD∥BC，∴∠A=∠CBE，∴∠A=∠E．13．∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB．又∵∠ABP=∠BCP．∴∠ABC-∠ABP=∠ACB-∠BCP，即∠CBP=∠ACP．而∠PBC+∠PCB=180°-∠P=65°．∴∠ABP+∠ACP=65°，∴∠A=180°-2×65°=50°．14．解：AE∥BC．∵AB=AC，∴∠B=∠C．∵AE平分∠DAC，∴∠DAE=∠CAE．又∵∠DAE+∠CAE=∠B+∠C∴2∠DAE=2∠B，即∠DAE=∠B，∴AE∥BC．15．解：∵AB=AC，AD⊥BC，∴BD=DC，∴AB+BD=AC+DC．又∵AB+BC+AC=50cm，∴AB+BD=25cm，∵AB+BD+AD=40．即25+AD=40，∴AD=15cm．16．解：DE∥BC．理由：∵BE平分∠ABC，∴∠DBE=∠EBC．又∵DE=BD，∴∠DBE=∠DEB，∴∠EBC=∠DEB，∴DE∥BC．17．證明：∵AB=AE，∴∠B=∠E．在△ABC和△AED中，∴△ABC≌△AED（SAS），∴AC=AD．14.3.2等邊三角形點(diǎn)擊要點(diǎn)等邊三角形的三條邊_________，三個(gè)內(nèi)角_______，是_______度．等邊三角形所有的角平分線、中線、高線共______條．在直角三角形中，如果有一個(gè)銳等于30°，那么它所對(duì)的直角邊_______．判定一個(gè)三角形為等邊三角形時(shí)，可證明它的三條邊________，或者證明三個(gè)內(nèi)角都______，它若已是等腰三角形，只需證有一內(nèi)角等于_____度．例題如圖所示，已知等邊△ABC中，D在AB上，E在AC上，且DE∥BC，求證△ADE為等邊三角形．[分析]要證△ADE為等邊三角形，根據(jù)∠A=60°，只需證明AD=AE即可，問(wèn)題轉(zhuǎn)化為證明∠ADE=∠AED，由DE∥BC可證∠ADE=∠B，∠AED=∠C，由于∠B=∠C，可證∠ADE=∠AED．證明：因?yàn)椤鰽BC為等邊三角形，所以∠A=∠B=∠C=60°．因?yàn)镈E∥BC，所以∠ADE=∠B，∠AED=∠C，所以∠ADE=∠AED，所以AD=AE，所以△ADE是等邊三角形．[老師點(diǎn)評(píng)]解答本節(jié)習(xí)題應(yīng)把握以下幾個(gè)方面：（1）由于等邊三角形是特殊的等腰三角形，所以等邊三角形具有等腰三角形的一切性質(zhì)．（2）在應(yīng)用30°角的直角三角形中的性質(zhì)時(shí)，應(yīng)牢牢記住30°角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半．（3）要注意將等邊三角形的有關(guān)內(nèi)容與學(xué)過(guò)的知識(shí)綜合運(yùn)用，靈活地解決問(wèn)題．中考展望等邊三角形是特殊的等腰三角形，在今后的中考題中更趨向于中檔題．與對(duì)稱性有關(guān)的題目是中考的重點(diǎn)，以填空題或選擇題的形式出現(xiàn)．隨堂測(cè)評(píng)(時(shí)間：40分鐘滿分：100分)一、訓(xùn)練平臺(tái)（1～5小題每題4分，6～7小題每題10分，共40分）14.3.2等腰三角形的識(shí)別【知能點(diǎn)分類訓(xùn)練】知能點(diǎn)1等腰三角形的識(shí)別方法1．在△ABC中，如果∠B=65°，∠A的外角等于130°，那么△ABC_____等腰三角形．（填“是”或“不是”）2．等腰三角形的一邊長(zhǎng)是3cm，周長(zhǎng)是12cm，則腰長(zhǎng)是_______cm．3．如圖1，在△ABC中，AB=AC，BD，CE分別是∠ABC，∠ACB的平分線，且DE∥BC，∠A=36°，則圖中等腰三角形共有_______個(gè)．(1)(2)(3)4．如圖2，在△ABC中，點(diǎn)D在AC上，且AB=AD，∠ABC=∠C+30°，則∠CBD等于（）．A．15°B．18°C．20°D．22.5°5．已知△ABC是等腰三角形，∠A是頂角，分析如下說(shuō)法：①如果∠B與∠C的平分線相交于O，則△OBC是等腰三角形．②如果AB，AC兩邊上的高線相交于O，則△OBC是等腰三角形．③如果AB，AC兩邊上的中線相交于O，則△OBC是等腰三角形．④在上述任何一種情況下，都有AO⊥BC．以上說(shuō)法中，正確的有（）A．4個(gè)B．3個(gè)C．2個(gè)D．1個(gè)6．如圖，AD平分∠BAC，AD∥EG，試證明△AGF是等腰三角形．知能點(diǎn)2等腰三角形的應(yīng)用7．如圖3，在△ABC中，AQ=PQ，PN⊥AB于點(diǎn)N，PM⊥AC于點(diǎn)M，PN=PM，則下列結(jié)論中正確的有（）．①AM=AN②PQ∥AB③∠NAP=∠MAPA．①B．①②C．②③D．①②③8．如圖，欲測(cè)塔高AB，選取一點(diǎn)C，使仰角∠ACB=45°，測(cè)出BC的長(zhǎng)度即為AB的高度，請(qǐng)說(shuō)明理由．9．如圖，BO，CO分別平分∠ABC和∠ACB，DE∥BC，AC=10cm，AB=13cm，求△ADE的周長(zhǎng)．【綜合應(yīng)用提高】10．一個(gè)三角形的兩個(gè)角的度數(shù)是方程組的解，試判斷三角形的形狀．11．如圖，已知CD平分∠ACB，AE∥DC，交BC延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，試說(shuō)明△ACE是什么樣的三角形．【開(kāi)放探索創(chuàng)新】12．如圖，△ABC的內(nèi)角∠ABC的平分線與外角∠ACG的平分線交于點(diǎn)D，過(guò)點(diǎn)D作BC的平行線交AB于E，交AC于F．試判斷EF與BE，CF之間的關(guān)系，并說(shuō)明理由．13．如圖，在△ABC中，D，E分別是AB，AC上的一點(diǎn)，BE與CD交于點(diǎn)O，給出下列四個(gè)條件：①∠DBO=∠ECO；②∠BDO=∠CEO；③BD=CE；④OB=OC．（1）上述四個(gè)條件中，哪兩個(gè)可以判定△ABC是等腰三角形？（2）選擇第（1）題中的一種情形為條件，試說(shuō)明△ABC是等腰三角形．答案:1．是2．4.5點(diǎn)撥：若3為腰長(zhǎng)，則底邊長(zhǎng)為6，則3+3=6，不合題意．3．124．A點(diǎn)撥：∵AB=AD，∴∠ADB=∠ABD，又∵∠ADB=∠CBD+∠C，∴∠ABD=∠CBD+∠C，即2∠CBD=30°，∴∠CBD=15°．5．A6．證明：∵AD平分∠BAC，∴∠BAD=∠ACD．又∵AD∥EG，∴∠G=∠CAD，∠AFG=∠BAD，∴∠G=∠AFG，∴△AGF是等腰三角形．7．D8．根據(jù)題意，得∠ABC=90°．∵∠ACB=45°．∴∠BAC=∠ABC-∠ACB=90°-45°=45°，∴BC=BA．9．解：∵BO，CO分別平分∠ABC和∠ACB，∴∠DBO=∠DBC，∠ECO=∠OCB．又∵DE∥BC，∴∠DOB=∠OBC，∠EOC=∠OCB，∴∠DBO=∠DOB，∠ECO=∠EOC，∴OD=DB，OE=EC，∴△ADE周長(zhǎng)=AD+DO+OE+AE=AD+DB+EC+AE=AB+AC=13+10=23cm．10．解方程組得∴第三個(gè)角為180°-65°-50°=65°．∴這個(gè)三角形為等腰三角形．11．△ACE是等腰三角形．理由：∵AE∥DC，∴∠ACD=∠CAE，∠BCD=∠E．又∵CD平分∠ACB，∴∠ACD=∠BCD，∴∠CAE=∠E，∴AC=CE，∴△ACE是等腰三角形．12．解：EF=BE-CF．∵BD平分∠ABC，∴∠ABD=∠DBC．又∵ED∥BC，∴∠EDB=∠DBC，∴∠ABD=∠EDB，∴BE=ED．同理可證：CF=FD．∵EF=ED-FD，∴EF=BE-CF．13．（1）①③，①④，②③和②④．（2）以①④為條件，理由：∵OB=OC，∴∠OBC=∠OCB．又∵∠DBO=∠ECO，∴∠DBO+∠OBC=∠ECO+∠OCB，即∠ABC=∠ACB，∴AB=AC，∴△ABC是等腰三角形．1．如圖所示，在△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，AD是∠BAC的平分線，已知AB=4，那么AD等于（）A．2B．4C．8D．22．不能判定兩個(gè)等邊三角形全等的是（）A．一條邊對(duì)應(yīng)相等B．一個(gè)內(nèi)角對(duì)應(yīng)相等C．一邊上的高對(duì)應(yīng)相等D．有一內(nèi)角的角平分線對(duì)應(yīng)相等3．下面給出的幾種三角形：①三個(gè)內(nèi)角都相等；②有兩個(gè)外角為120°；③一邊上的高也是這邊所對(duì)的角的角平分線；④三條邊上的高相等的三角形．其中是等邊三角形的有（）A．4個(gè)B．3個(gè)C．2個(gè)D．1個(gè)4．已知等邊三角形ABC的高AD，BE交于點(diǎn)O，則∠AOB=________．5．在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，DE⊥BC于E，若∠A=30°，BE=1，則AB=________．6．如圖所示，△ABC是等邊三角形，分別延長(zhǎng)AB，BC，CA到D，E，F(xiàn)，使BD=CE=AF，連接DE，EF，F(xiàn)D，求證△DEF是等邊三角形．7．如圖所示，在等邊△ABC中，在邊BC，AC上取BD=CE，連接AD，BE交于F，求證∠AFE=60°．二、提高訓(xùn)練（1～3小題每題4分，4～5小題每題10分，共32分）1．下面的圖形是軸對(duì)稱圖形，而且對(duì)稱軸最多的是（）A．等腰三角形B．等腰直角三角形C．等邊三角形D．直角三角形2．O是等邊△ABC兩條高的交點(diǎn)，若△AOB的面積為1，則△ABC的面積為_(kāi)____．3．如圖所示，在等邊△ABC中，AD⊥BC，DE⊥AC，垂足為D，E，則=______．4．如圖所示，△ABC中，AB=AC，∠A=120°，AD的垂直平分線交BC于D，交AB于E，求證BD=DC．5．如圖所示，等邊△ABC和等邊△DCE在直線BCE的同一側(cè)，AE交CD于P，BD交AC于Q，求證△PQC為等邊三角形．三、探索發(fā)現(xiàn)（共14分）已知等邊三角形ABC和點(diǎn)P，設(shè)點(diǎn)P到△ABC的三邊AB，AC，BC的距離為h1，h2，h3，△ABC的高為h，若點(diǎn)P在△ABC的一邊BC上，如圖（1）所示，此時(shí)h3=0，可得結(jié)論h1+h2+h3=h．請(qǐng)直接利用上述信息解決下列問(wèn)題：①當(dāng)點(diǎn)P在△ABC內(nèi)時(shí)，如圖（2）所示；②當(dāng)P在△ABC外時(shí)，如圖（3）所示，這兩種情況上述結(jié)論是否成立？若成立，給予證明；不成立，寫(xiě)出新的關(guān)系式（不要求證明）．四、拓展創(chuàng)新（共14分）如圖所示，△ACB，△ECD是等邊三角形，且E點(diǎn)在BC上，AE的延長(zhǎng)線交DB于F點(diǎn)，請(qǐng)你在圖中找出一對(duì)全等三角形，并寫(xiě)出它們?nèi)鹊倪^(guò)程．※走近中考（不計(jì)入總分）如圖所示，等邊△ABC的邊長(zhǎng)為a，D為AC邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，延長(zhǎng)AB至E，使BE=CD，連接DE，交BC于點(diǎn)P．求證DP=PE．探究交流小課題:到底能有多少個(gè)等腰三角形?設(shè)O是等邊△ABC所在平面上一點(diǎn)，它使△ABO，△OBC，△OCA都是等腰三角形，滿足條件的O點(diǎn)共有多少個(gè)？探究：要使△ABO，△OBC，△OCA都是等腰三角形，則O點(diǎn)必在AB或BC或CA的垂直平分線上，先考慮在AB的垂直平分線MN上的情況．（1）作AC的垂直平分線與MN交于O，則AO1=BO1=CO1，即O1是滿足條件的一個(gè)點(diǎn)．（2）以C為圓心，CA為半徑畫(huà)弧，與MN交于O2，O3，由CO2=CA=CB，O2A=O2B，則O2也滿足條件，由于CA=CO3=CB，AO3=BO3，則O3也滿足條件．（3）以A為圓心AC為半徑畫(huà)弧，交MN于O4，由于AC=AO4，AB=AO4，BC=BO4，則O4也滿足條件，在BC的垂直平分線和AC的垂直平分線上，同樣也能分別找到滿足條件的四個(gè)點(diǎn)，由于有一點(diǎn)均與O1重合，所以滿足條件的O點(diǎn)共有10個(gè)，如圖所示．答案:本課導(dǎo)學(xué)相等相等603等于斜邊的一半相等相等60隨堂測(cè)評(píng)一、1．B2．B3．B4．120°5．86．證明：因?yàn)椤鰽BC是等邊三角形，所以AB=BC=CA，∠ABC=∠BCA=∠CAB，所以∠DBE=∠ECF=∠FAD，又因?yàn)锽D=CE=AF，所以AB+BD=BC+CE=CA+AF，即AD=BE=CF，在△DAF和△EBD和△FCE中，所以△DAF≌△EBD≌△FCE，所以DF=ED=FE，所以△DEF是等邊三角形．7．證明：在等邊△ABC中，∠ABC=∠C=60°，AB=BC，BD=CE，所以△ABD≌△BCE，所以∠BAD=∠EBC，因?yàn)椤螦BE+∠BAD=∠AFE，所以∠ABE+∠EBC=∠AFE，所以∠AFE=60°．二、1．C2．33．4．證明：連接AD，因?yàn)锳B=AC，∠A=120°，所以∠B=∠C==30°，因?yàn)镈E為AB的垂直平分線，所以AD=BD，所以∠BAD=∠B=30°，所以∠DAC=90°，因?yàn)椤螩=30°，所以AD=DC，因?yàn)锳D=BD，所以BD=DC．5．證明：在等邊△ABC和等邊△DCE中，BC=AC，DC=EC，∠ACB=∠DCE=60°，所以∠ACB+∠ACD=∠DCE+∠ACD，即∠BCD=∠ACE，在△BCD和△ACE中，所以△BCD≌△ACE（SAS），所以∠1=∠2，因?yàn)椤螦CB=∠DCE=60°，所以∠ACD=180°-∠ACB-∠DCE=60°，所以∠BCQ=∠ACP，在△BCQ和△ACP中，所以△BCQ≌△ACP，所以CQ=CP，又因?yàn)椤螿CP=60°，所以△PQC為等邊三角形．三、解：①成立．證明如下：過(guò)P作GH∥BC交AB于G，交AC于H，交AM于N，所以∠AGH=∠B，∠AHG=∠C，因?yàn)椤螦BC為等邊三角形，所以∠A=∠B=∠C=60°，所以∠A=∠AGH=∠AHG=60°，所以△AGH為等邊三角形，由此可得PD+PE=AN，由于MN=PF，所以PD+PE+PF=AM，即h1+h2+h3=h，②不成立，關(guān)系式為h1+h2-h3=h．四、解：△ACE≌△BCD，因?yàn)椤鰽CB與△ECD都是等邊三角形．所以AC=CB，EC=CD，∠ACB=∠ECD=60°，所以△ACE≌△BCD（SAS）．※證明：過(guò)D作DF∥AB交BC于F，所以∠DFP=∠PBE，∠CDF=∠A，∠CFD=∠CBA，在等邊△CAB中，∠C=∠A=∠CBA=60°，所以∠CDF=∠CFD=60°，所以△CDF是等邊三角形，所以CD=DF，又因?yàn)锽E=CD，所以BE=DF，因?yàn)椤螪PF=∠EPB，所以△DPF≌△EPB．所以DP=PE．14.3.3等邊三角形【知能點(diǎn)分類訓(xùn)練】知能點(diǎn)1等邊三角形的有關(guān)知識(shí)1．邊長(zhǎng)為3cm的等邊三角形的周長(zhǎng)為_(kāi)______cm．2．如圖1，△ABC是等邊三角形，過(guò)AB邊上一點(diǎn)D作BC的平行線交AC于E，則△ADE的三個(gè)內(nèi)角______等于60°．（填“都”、“不都”或“都不”）(1)(2)(3)3．如圖2，等邊三角形ABC的邊長(zhǎng)如圖所示，那么y=______．4．如圖3，△ABC是等邊三角形，BD⊥AC，AE⊥BC，則圖中的等腰三角形有______．（不包括△ABC）．5．關(guān)于等腰三角形和等邊三角形的區(qū)別與聯(lián)系，下列說(shuō)法中不正確的是（）．A．等邊三角形的范圍比等腰三角形大B．等腰三角形包括等邊三角形C．等邊三角形是等腰三角形的特殊情況D．等邊三角形具有等腰三角形的所有性質(zhì)6．若一個(gè)三角形的最小內(nèi)角為60°，則下列判斷中正確的有（）．（1）這個(gè)三角形是銳角三角形；（2）這個(gè)三角形是等腰三角形；（3）這個(gè)三角形是等邊三角形；（4）形狀不能確定；（5）不存在這樣的三角形．A．1個(gè)B．2個(gè)C．3個(gè)D．4個(gè)7．如圖，AD是△ABC的中線，∠ADC=60°，把△ADC沿直線AD折過(guò)來(lái)，點(diǎn)C落在C′位置，如圖BC=4，求BC′．知能點(diǎn)2含30°角的直角三角形的特點(diǎn)8．如圖，Rt△ABC中，CD，CE分別是斜邊AB上的高和中線，如果∠A=30°，BD=1cm，那么∠BCD=______，BC=_______cm，AD=________cm．9．如圖所示，已知等邊三角形ABC的周長(zhǎng)是2a，BM是AC邊上的高，N為BC延長(zhǎng)線上的一點(diǎn)，且CN=CM，求BN的長(zhǎng)．【綜合應(yīng)用提高】10．如圖，在△ABC中，∠ACB=120°，CD平分∠ACB，AE∥DC，交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，試說(shuō)明△ACE是等邊三角形．11．如圖，在等邊三角形ABC中，BO，CO分別平分∠ABC，∠ACB，OE∥AB，OF∥AC，試說(shuō)明BE=EF=FC．【開(kāi)拓探索創(chuàng)新】12．如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，過(guò)B點(diǎn)的一條直線BE交AC于E點(diǎn)，ED⊥AB．寫(xiě)出一個(gè)你認(rèn)為適當(dāng)?shù)臈l件，并利用此條件說(shuō)明D為AB的中點(diǎn)．13．如圖（1）所示，若△ABC為等邊三角形，且∠1=∠2=∠3，求∠BEC的度數(shù)．如圖（2）所示，在△ABC中，∠BAC=70°，∠ABC=50°，且同樣有∠1=∠2=∠3，∠BEC的度數(shù)改變了嗎？答案:1．92．都3．3點(diǎn)撥：由題意可得4．△BDE，△ADE，△DEC，△ABO，△DEO5．A6．C點(diǎn)撥：（4），（5）是不正確的．7．依題意有：DC′=DC，∠ADC′=∠ADC=60°，又∵BD=DC=BC=2．∴∠BDC′+∠ADC′+∠ADC=180°，∴DC′=BD=2，∠BDC′=60°．∴∠DBC′=∠DC′B=（180°-∠BDC′）=60°，∴△BDC′為等邊三角形．即BC′=BD=DC′=2．8．30°239．BN=a．10．解：∵CD平分∠ACB，∠ACB=120°，∴∠1=∠2==60°．∵AE∥DC，∴∠3=∠2=60°，∠E=∠1=60°，∴∠3=∠4=∠E=60°，∴∠ACE是等邊三角形．11．證明：∵△ABC為等邊三角形，∴∠ABC=∠ACB=60°．∵OE∥AB，OF∥AC，∴∠OEF=∠ABC=60°，∠OFE=∠ACF=60°，∴∠OEF=∠OFE，∴∠EOF=60°，即△OEF為等邊三角形．∴OE=OF=EF．∵BO，CO分別平行∠ABC，∠ACB，∴∠ABO=∠OBE，∠ACO=∠OCF．∵OE∥AB，OF∥AC，∴∠ABO=∠BOE，∠ACO=∠COF，∴∠OBE=∠BOE，∠OCF=∠COF．∴OE=BE，OF=CF，∴BE=EF=FC．12．解：當(dāng)∠A=30°時(shí)，點(diǎn)D恰為AB的中點(diǎn)，理由：∵∠A=30°，∠C=90°，∴∠CBA=60°．由對(duì)稱性知△CBE與△DBE重合．∴∠EDB=∠C=90°，∠EBA=∠EBC=∠CBA=×60°=30°，∴ED⊥AB．又∵∠A=30°，∴∠A=∠EBA，∴EA=EB．∵ED⊥AB，∴ED平分AB，即D是AB的中點(diǎn)．13．解：（1）∵△ABC是等邊三角形．∴∠ABC=∠ACB=∠BAC=60°．∵∠BED是△BEC的外角，∴∠BED=∠2+∠BCE．又∵∠2=∠3，∴∠BED=∠3+∠BCE=∠ACB=60°，∴∠BEC=180°-∠BED=120°．答：∠BEC的度數(shù)為120°．（2）∠BEC的度數(shù)沒(méi)有改變，還是120°．§14．4探究與整理知識(shí)要點(diǎn)1．軸對(duì)稱和軸對(duì)稱圖形性質(zhì)：①關(guān)于某條直線對(duì)稱的圖形是全等形；②若兩個(gè)圖形關(guān)于某條直線對(duì)稱，則對(duì)稱軸是任何一對(duì)對(duì)應(yīng)點(diǎn)所連線段的垂直平分線；③兩個(gè)圖形關(guān)于某直線對(duì)稱，如果對(duì)應(yīng)線段或其延長(zhǎng)線相交，則交點(diǎn)在對(duì)稱軸上．2．經(jīng)過(guò)線段的中點(diǎn)并垂直于這條線段的直線是這條線段的垂直平分線．線段的垂直平分線是和線段兩個(gè)端點(diǎn)距離相等的所有點(diǎn)的集合．3．點(diǎn)P（a，b）關(guān)于x軸對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)是（a，-b）；點(diǎn)P（a，b）關(guān)于y軸對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)是（-a，b）．4．等腰三角形的性質(zhì)和判定．5．直角三角形中30°的銳角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半．典型例題例：如圖，△ABC中AB=AC，點(diǎn)D在AB上，E是AC延