河南省許昌市2023-2024學(xué)年高二上學(xué)期期末教學(xué)質(zhì)量檢測(cè)數(shù)學(xué)試題（解析版）

高級(jí)中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1河南省許昌市2023-2024學(xué)年高二上學(xué)期期末教學(xué)質(zhì)量檢測(cè)數(shù)學(xué)試題注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)等填寫(xiě)在答題卡和試卷指定位置上.2．回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑.如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào).回答非選擇題時(shí)，將答案寫(xiě)在答題卡上.寫(xiě)在本試卷上無(wú)效.3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)的直線的方向向量，則（）A. B.0 C.1 D.2【答案】C【解析】由題意與直線的方向向量共線，所以，解得.故選：C.2.若方程表示雙曲線，則的取值范圍是（）A.或 B.C.或 D.【答案】D【解析】若方程表示的曲線是焦點(diǎn)在軸上的雙曲線，則，解得；若方程表示的曲線是焦點(diǎn)在軸上的雙曲線，則，無(wú)解.綜上所述，.故選：D.3.直線l過(guò)點(diǎn)，且與圓相切，則直線l的方程為（）A. B.C. D.或【答案】D【解析】設(shè)斜率為，圓心到直線的距離為，當(dāng)不存在時(shí)，直線方程為，此時(shí)與圓不相切，故排除，即直線斜率一定存在，設(shè)直線方程為，化簡(jiǎn)得，由題意得，可得，解得或，即切線方程為或，顯然D正確.故選：D4.在棱長(zhǎng)為1的正方體中，點(diǎn)B到的距離為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】以為坐標(biāo)原點(diǎn)建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系：由題意，所以，在上的投影長(zhǎng)度為，所以點(diǎn)B到的距離為.故選：C.5.下列說(shuō)法正確的是（）A.若直線的傾斜角為，則它的斜率為B.直線過(guò)定點(diǎn)C.圓上有且僅有個(gè)點(diǎn)到直線的距離等于D.與圓相切，且在軸軸上的截距相等的直線只有一條【答案】C【解析】對(duì)于A選項(xiàng)，當(dāng)為直角時(shí)，直線的斜率不存在，A錯(cuò)；對(duì)于B選項(xiàng)，對(duì)于直線的方程，由可得，故直線過(guò)定點(diǎn)，B錯(cuò)；對(duì)于C選項(xiàng)，設(shè)與直線平行且到直線的距離為的直線的方程為，則，解得或，所以，與直線平行且到直線的距離為的直線的方程為或，所以，圓上到直線的距離等于的點(diǎn)在直線和上，圓的圓心為原點(diǎn)，半徑為，顯然直線過(guò)圓心，圓心到直線的距離為，即直線與圓相切，所以，圓上有且僅有個(gè)點(diǎn)到直線的距離等于，C對(duì)；對(duì)于D選項(xiàng)，圓的圓心為，半徑為，當(dāng)所求直線過(guò)原點(diǎn)時(shí)，設(shè)直線的方程為，可得，則，此時(shí)，所求直線的方程為，當(dāng)所求直線不過(guò)原點(diǎn)時(shí)，設(shè)所求直線的方程為，則，解得或，此時(shí)，所求直線的方程為或，綜上所述，與圓相切，且在軸軸上的截距相等的直線有三條，D錯(cuò).故選：C.6.已知數(shù)列的前n項(xiàng)和，則的值是（）A.8094 B.8095 C.8096 D.8097【答案】A【解析】易知，，故，當(dāng)時(shí)符合題意，故成立,顯然.故選：A7.數(shù)學(xué)美的表現(xiàn)形式多種多樣，我們稱(chēng)離心率（其中）的橢圓為黃金橢圓，現(xiàn)有一個(gè)黃金橢圓方程為，若以原點(diǎn)為圓心，短軸長(zhǎng)為直徑作為黃金橢圓上除頂點(diǎn)外任意一點(diǎn),過(guò)作的兩條切線，切點(diǎn)分別為，直線與軸分別交于兩點(diǎn)，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】依題意有OAPB四點(diǎn)共圓，設(shè)點(diǎn)P坐標(biāo)為，則該圓的方程為：，將兩圓方程：與相減，得切點(diǎn)所在直線方程，解得，因，所以故選：A8已知函數(shù)，若，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】因?yàn)?，則，則，所以，，所以，，故.故選：C.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.設(shè)等差數(shù)列的公差為d，前n項(xiàng)和．若，則下列結(jié)論正確的是（）A.數(shù)列是遞增數(shù)列B.C.D.中最大的是【答案】CD【解析】由題意得，，化簡(jiǎn)得，，即，，故，由得，，代入得，，解得，故C正確，則，故數(shù)列是遞減數(shù)列，故A錯(cuò)誤，而，故B錯(cuò)誤，易知數(shù)列前6項(xiàng)為正，從開(kāi)始，數(shù)列所有項(xiàng)為負(fù)，故中最大的值是，故D正確.故選：CD10.已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，上頂點(diǎn)為，離心率為，若M，N為C上關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)的兩點(diǎn)，則（）A.C的標(biāo)準(zhǔn)方程為B.C.D.四邊形的周長(zhǎng)隨的變化而變化【答案】ABC【解析】由題意得，上頂點(diǎn)為，離心率為，故，，，故C的標(biāo)準(zhǔn)方程為，顯然A正確，連接，由對(duì)稱(chēng)性得，結(jié)合橢圓的定義得，故，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等，故B正確，設(shè)，，而，故，故，，故，故C正確，易知四邊形的周長(zhǎng)為，為定值，故D錯(cuò)誤.故選：ABC11.已知函數(shù)，則（）A.有兩個(gè)極值點(diǎn)B.有兩個(gè)零點(diǎn)C.直線是的切線D.點(diǎn)是的對(duì)稱(chēng)中心【答案】BD【解析】對(duì)于A，令，解得，當(dāng)時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞減，所以有兩個(gè)極值點(diǎn)，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，令，得或，所以有兩個(gè)零點(diǎn)，故B正確；對(duì)于C，因?yàn)?，所以直線不可能是的切線，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，因?yàn)?，所以點(diǎn)是的對(duì)稱(chēng)中心，故D正確.故選：BD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知、、，則向量在上的投影向量的模是___________．【答案】【解析】由已知可得，，所以，向量在上的投影向量的模為.故答案為：.13.已知數(shù)列滿(mǎn)足，，若為數(shù)列前項(xiàng)和，則___________.【答案】【解析】因?yàn)?，令，則，解得，且，可得，當(dāng)為奇數(shù)，則；當(dāng)偶數(shù)，則；所以，即.故答案為：.14.若函數(shù)在其定義域的一個(gè)子區(qū)間上，不是單調(diào)函數(shù)，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是___________．【答案】【解析】由題意單調(diào)遞增，且，所以若函數(shù)在其定義域的一個(gè)子區(qū)間上，不是單調(diào)函數(shù)，則，解得.故答案為：.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.15.數(shù)列為等差數(shù)列，為等比數(shù)列，公比.（1）求的通項(xiàng)公式；（2）求數(shù)列的前項(xiàng)和.解：（1）設(shè)等差數(shù)列得公差為d，聯(lián)立，即，解得，或，又，所以，故，（2）令，則，兩邊乘以得，，錯(cuò)位相減整理得，，所以.16.已知圓的方程為．（1）直線過(guò)點(diǎn)，且與圓交于、兩點(diǎn)，若，求直線的方程；（2）點(diǎn)為圓上任意一點(diǎn)，求的最大值和最小值．解：（1）圓圓心為坐標(biāo)原點(diǎn)，半徑為，設(shè)圓心到直線的距離為，則.①當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，直線的方程為，此時(shí)圓心到直線的距離為，合乎題意；②當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，可設(shè)直線的方程為，即，由題意可得，解得，此時(shí)直線的方程為，即.綜上所述，直線的方程為或.（2）取點(diǎn)，則，如下圖所示，設(shè)直線交圓于點(diǎn)、，由圖可知，當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)，取最小值，且，當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)，取最大值，且.因此，的最大值為，最小值為.17.在棱長(zhǎng)為1的正方體中，分別是，的中點(diǎn).（1）求證：；（2）求；（3）求的長(zhǎng).解：（1）以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線分別為x軸、y軸、z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，，，所以，，，因?yàn)?，所以，?（2）由（1）得，，，，所以.（3）由（1）知，故.18.已知雙曲線的右焦點(diǎn)為，且經(jīng)過(guò)點(diǎn)．（1）求雙曲線C的方程；（2）若以為斜率的直線L與雙曲線C相交于兩個(gè)不同的點(diǎn)M，N，線段的垂直平分線與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積為，求k的取值范圍．解：（1）因?yàn)榈挠医裹c(diǎn)為，且經(jīng)過(guò)點(diǎn)，所以，解得．故雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程為．（2）設(shè)直線l的方程為．點(diǎn)的坐標(biāo)滿(mǎn)足方程組，所以得，整理得．此方程有兩個(gè)不等實(shí)根，于是，且．整理得.①由根與系數(shù)的關(guān)系可知線段MN的中點(diǎn)坐標(biāo)滿(mǎn)足．從而線段MN的垂直平分線方程為．此直線與x軸，y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)分別為．由題設(shè)可得．整理得．將上式代入①式得，整理得．解得或．所以k的取值范圍是．19.已知函數(shù)，（其中為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）、（1）若函數(shù)的圖象與軸相切，求的值；（2）設(shè)，、，都有，求實(shí)數(shù)的取值范圍．解：（1）因?yàn)?，則，若，則函數(shù)，不合乎題意，所以，，設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為