山東省青島市萊西市2024屆高三上學期期末教學質量檢測數學試題（解析版）

高級中學名校試卷PAGEPAGE1山東省青島市萊西市2024屆高三上學期期末教學質量檢測數學試題一、單選題:本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.已知復數，則復數虛部為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由題意，所以的虛部為.故選：B.2.對于直線，下列選項正確的為（）A.直線傾斜角為B.直線在軸上的截距為C.直線的一個方向向量為D.直線經過第二象限【答案】C【解析】因為直線的斜率為，所以直線傾斜角為，故A錯誤；在中，令，解得，即直線在軸上的截距為，故B錯誤；在中，令，解得，即直線過兩點，，所以直線的一個方向向量為，故C正確；畫出直線的圖象如圖所示，所以直線不經過第二象限，故D錯誤.故選：C.3.在等比數列中，，則（）A.4 B. C.8 D.5【答案】A【解析】由題意，所以，即等比數列公比為，所以，解得，所以.故選：A.4.“”是“直線與平行”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】C【解析】當時，直線與平行；當直線與平行時，有且，解得，故“”是“直線與平行”的充要條件，故選：C5.圓與圓相交于A、B兩點，則（）A.2 B. C. D.6【答案】D【解析】兩圓方程相減得直線的方程為，圓化為標準方程，所以圓的圓心為，半徑，圓心到直線的距離為，弦長，所以.故選：D6.是等差數列的前項和，若恒成立，則不可能的值為（）A.7 B.6 C.5 D.4【答案】D【解析】由題意得，時，取得最大值，所以有，，，若，則，若，，則，有，.故選：D7.設數列的前項和為，已知，若，則正整數的值為（）A.2024 B.2023 C.2022 D.2021【答案】B【解析】，又，所以是首項為1，公比為的等比數列，所以，故，令由且，則，由，則，則，所以，故，則正整數的值為2023.故選：B8.直線與橢圓交于A、B兩點（點在第一象限），過點作軸的垂線，垂足為E，AE的中點為，設直線與橢圓的另一交點為，若，則橢圓的離心率為（）A. B.C. D.【答案】A【解析】設，則，，，，①，三點共線，，②，在橢圓上，，兩式相減可得，③將①②代入③可得，，，所以橢圓的離心率.故選：A二、多選題:本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.9.歐拉公式（其中為虛數單位，）是由瑞士著名數學家歐拉創(chuàng)立的，它把自然對數的底數、虛數單位、三角函數聯系在一起，充分體現了數學的和諧美.已知實數指數冪的運算性質同樣也適用于復數指數冪，根據歐拉公式，下列結論正確的是（）A.在復平面內對應的點在第三象限B.C.的共軛復數為1D.復數的實部為【答案】BD【解析】對于A，在復平面對應的點為在第二象限（因為），故A錯誤；對于B，，故B正確；對于C，的共軛復數為，故C錯誤；對于D，的實部為，故D正確.故選：BD.10.已知點是直線的上一動點，，，成公差非0的等差數列，，則下列說法正確的有（）A.若，則的最大值為B.直線恒過定點C.存在3個點到直線的距離為.D.已知，，若存在點，使得，則正數的范圍為.【答案】ACD【解析】因為，，成公差非0的等差數列，設公差為，則，，所以直線，由，化簡得，由，解得，則直線過定點，故B不正確；設，則，又，知，故點在直線上，則點為兩直線的交點，而與是互相垂直的直線，所以點在以為直徑的圓上，圓方程為，其圓心為，半徑為，因，則和除外.若，則的最大值為，故A正確；又點到直線的距離為，半徑為，所以存在3個點到直線的距離為，故C正確；已知，，若存在點，使得，即以原點為圓心，半徑為的圓與圓有公共點，故，解得，故D正確.故選：ACD.11.南宋數學家楊輝所著的（詳析九章算法.商功）中出現了如圖所示的形狀，后人稱之為“三角垛”.“三角垛”最上層有1個球，第二層有3個球，第三層有6個球，…..，設第層有個球，從上往下層球的總數為，則（）A. B.C. D.【答案】BC【解析】由題意，對于A，，故A錯誤；對于B，，故B正確；對于C，，即，故C正確；對于D，，故D錯誤.故選：BC.12.已知橢圓，直線與相交于兩點，，若橢圓恒過定點，則下列說法正確的是（）A. B.C.|AB|的長可能為3 D.|AB|的長可能為4【答案】AC【解析】由消去得：，點在橢圓內，必有，設，則，而，，由，得，即，整理得，因此，整理得，于是橢圓恒過定點，且，顯然，，A正確，B錯誤；，而，則，，因此，C正確，D錯誤.故選：AC三、填空題:本題共4小題，每小題5分，共20分.13.記雙曲線的離心率為，寫出滿足條件“直線與無公共點”的的一個值____________.【答案】2（答案不唯一，滿足皆可）【解析】由題意雙曲線的一條漸近線為，其斜率為，若直線與無公共點，則，所以，滿足題意的雙曲線的離心率為.故答案為：2（答案不唯一）.14.已知復數()的模為，則的最大值為_______.【答案】【解析】因為，所以，故在以為圓心，為半徑的圓上，表示圓上的點與原點所在直線的斜率，如圖，由平面幾何知識，易知當直線與圓相切時取得最值，在中，，所以,此時.故答案：.15.數列的前項和，數列定義如下:對于正整數是使得不等式成立的所有中的最小值，則數列的前項和為____________.【答案】【解析】數列的前項和，當時，，而滿足上式，因此，由，得，則當為正奇數時，，當為正偶數時，，于是數列的前項和為.故答案為：16.過拋物線的焦點的直線交于兩點，中點的軌跡經過點，則的最小值為____________.【答案】【解析】拋物線的焦點，因為過拋物線的焦點的直線交于兩點，若直線的斜率不存在時，的中點定在軸上，中點不可能為；則設直線的方程為：，設，聯立方程組：，得：，得，所以中點的軌跡滿足：，當恰好為時，即，解得，得此時拋物線，一般地，直線的方程為：，且，則故，令，，其中，則，，由，得，當時，；當時，，故在上為減函數，在上為增函數，故當時，函數取得最小值，所以的最小值為，故答案為：.四、解答題:本題共6小題，共70分.解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟.17.已知等差數列的前項和為，且，.（1）求數列的通項公式；（2）從條件①、條件②、條件③這三個條件中選擇一個作為已知，求數列的前項和.條件①:；條件②:；條件③:.注:如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答計分.解：（1）由題意知:，即:，化簡得.所以數列的通項公式.（2）若選①:，，若選②:，.，若選③:，18.已知拋物線上第一象限一點到其焦點的距離為2.（1）求拋物線的方程及點的坐標;（2）過點的直線交拋物線于A，B兩點，的角平分線過拋物線焦點，求直線的方程.解：（1）由題意得:由可得:，故拋物線方程為:，當時，，又因為，所以，所以點坐標為;（2）由題意可設直線方程為，由，消去得，所以，因為的角平分線過焦點，軸，所以，所以，即，即，所以，直線的方程為.19.已知為等差數列，公差中的部分項恰為等比數列，且公比為，若;（1）求；（2）求數列的通項公式及其前項之和.解：（1）由成等比數列，則，即，整理得，且，則，可得，故等比數列的公比.（2）在等差數列中，可得，在等比數列中，可得，則，即，所以.20.已知是公差不為0的等差數列，，且成等比數列，數列，數列bn的前項和.（1）求（2）求解：（1）因為成等比數列，所以，設等差數列的公差為，，所以，解得，，，對上式兩邊同時除以得:，即，數列是以為首項，以為公比的等比數列，故，即；（2）當為偶數時，,當為奇數時，,故.21.中心在原點，焦點在坐標軸上的雙曲線經過點一條漸近線方程為.（1）求的方程:（2）若過的上焦點的直線與交于A，B兩點.求證:以AB為直徑的圓過定點.并求該定點.解：（1）由題可設雙曲線方程為，雙曲線經過點雙曲線方程為（2）設AB方程為，顯然，由韋達定理得：，，以AB為直徑的圓的方程為，即:，由對稱性知以AB為直徑的圓必過軸上的定點，令，得，，即.對恒成立，，經過定點檢驗，當時，，此時圓的方程為，也經過點以AB為直徑的圓過定點.22.已知橢圓的離心率為，左、右焦點分別為，且直線是雙曲線的一條漸近線.直線與橢圓交于C，D兩點，且的周長最大值為8.橢圓的左、右頂點分別為A，B，點P，Q為橢圓上異于A，B的兩動點，直線與軸相交于點，記直線的斜率為，直線的斜率為.（1）求值.（2）若，設和的面積分別為，求的最大值.解