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離散型隨機變量的方差(2)
復(fù)習(xí)引入2.方差的計算公式:例1:在籃球比賽中,罰球命中1次得1分,不中得0分.如果某運動員罰球命中的概率為0.7,那么他罰球1次的得分X的方差是多少?解:∵P(X=1)=0.7,P(X=0)=0.3,X01P0.30.7∴E(X)=0×0.3+1×0.7=0.7.∴X的分布列為一般地,如果隨機變量X服從兩點分布,X01P1-pp例題則練習(xí)探究:離散型隨機變量X加上一個常數(shù),方差會有怎樣的變化?離散型隨機變量X乘以一個常數(shù),方差又有怎樣的變化?它們和期望的性質(zhì)有什么不同?方差的性質(zhì):一般地,可以證明下面的結(jié)論成立:歸納總結(jié)練習(xí)1.設(shè)隨機變量X的分布列為若Y=2X+2,則D(Y)等于(
)解析:由題意知,解:2.已知隨機變量X的分布列為X1234P0.20.30.40.1求D(X)和σ(2X+7).例2:投資A,B兩種股票,每股收益的分布列分別如下表所示.股票A收益的分布列股票B收益的分布列收益X/元-102概率0.10.30.6收益Y/元012概率0.30.40.3投資哪種股票的期望收益大?(2)投資哪種股票的風(fēng)險較高?例題分析:股票投資收益是隨機變量,期望收益就是隨機變量的均值.投資風(fēng)險是指收益的不確定性,在兩種股票期望收益相差不大的情況下,可以用收益的方差來度量它們的投資風(fēng)險高低,方差越大風(fēng)險越高,方差越小風(fēng)險越低.課本69頁股票A收益的分布列股票B收益的分布列收益X/元-102概率0.10.30.6收益Y/元012概率0.30.40.3解:(1)股票A和股票B投資收益的期望分別為∵E(X)>E(Y),∴投資股票A的期望收益較大.∵D(X)>D(Y),∴投資股票A的風(fēng)險較高.(2)股票A和股票B投資收益的方差分別為隨機變量的方差是一個重要的數(shù)字特征,它刻畫了隨機變量的取值與其均值的偏離程度,或者說反映隨機變量取值的離散程度.在不同的實際問題背景中,方差可以有不同的解釋.例如,如果隨機變量是某項技能的測試成績,那么方差的大小反映了技能的穩(wěn)定性;如果隨機變量是加工某種產(chǎn)品的誤差,那么方差的大小反映了加工的精度;如果隨機變量是風(fēng)險投資的收益,那么方差的大小反映了投資風(fēng)險的高低;等等.甲、乙兩個班級同學(xué)分別目測數(shù)學(xué)教科書的長度,其誤差X和Y(單位:cm)的分布列如下:甲班的目測誤差分布列X-2-1012P0.10.20.40.20.1先直觀判斷X和Y的分布哪一個離散程度大,再分別計算X和Y的方差,驗證你的判斷.乙班的目測誤差分布列Y-2-1012P0.050.150.60.150.05解:直觀的觀察可判斷X的離散程度較大,下面用方差驗證.∵D(X)>D(Y),∴X的分布離散程度較大.練習(xí)課本70頁已知隨機變量Y=aX+b(a>0)且E(Y)=10,D(Y)=4,則a與b的值為(
)A.a=10,b=3 B.a=3,b=10C.a=5,b=6 D.a=6,b=51.若隨機變量X的分布列為X01P0.2m隨堂檢測解析:因為0.2+m=1,所以m=0.8,所以E(X)=0×0.2+1×0.8=0.8,D(X)=0.2×0.8=0.16.因為E(Y)=10,D(Y)=4,所以E(Y)=aE(X)+b=0.8a+b=10,
①D(Y)=a2D(X)=0.16a2=4,
②由①②,解得a=5,b=6,故選C.則當(dāng)p在(0,1)內(nèi)增大時,(
)A.D(ξ)減小 B.D(ξ)增大C.D(ξ)先減小后增大 D.D(ξ)先增大后減小2.設(shè)0<p<1,隨機變量ξ的分布列為解析:由分布列可知所以D(ξ)是關(guān)于p的二次函數(shù),其圖象開口向下,3.(多選)袋內(nèi)有大小完全相同的2個黑球和3個白球,從中不放回地每次任取1個小球,直至取到白球后停止取球,則(
)解析:設(shè)取球次數(shù)為ξ,則ξ的可能取值為1,2,3,4.已知X的分布列如表所示:(1)求X2的分布列;所以X2的分布列為(2)計算X的方差;(3)若Y=4X+3,求Y的均值和方差.解:因為Y=4X+3,所以E(Y)=4E(X)+3=2,D(Y)=42D(X)=11.5.有甲乙兩個單位都愿意聘用你,而你能獲得如下信息:甲單位不同職位月工資X1/元1200140016001800獲得相應(yīng)職位的概率P10.40.30.20.1乙單位不同職位月工資X2/元1000140018002200獲得相應(yīng)職位的概率P20.40.30.20.1根據(jù)工資待遇的差異情況,你愿意選擇哪家單位?解:根據(jù)月工資的分布列,利用計算器可算得因為,所以兩家單位的工資均值相等,但甲單位不同職位的工資相對集中,乙單位不同職位的工資相對分散.這樣,如果你希望不同職位的工資差距小一些,就選擇甲單位;如果你希望不同職位的工資差距大一些,就選擇乙單位.1.離散型隨機變量的方差:一般地,若離散型隨機變量X的分布列如下表所示,則稱為隨機變量X的方差,并稱為隨機變量X的標(biāo)準(zhǔn)差,記為σ(X).2.方差的計算公式:課堂小結(jié)4.方差的性質(zhì):5.對于應(yīng)用題,必須對實際問題進行具體分析,先求出隨機變量的概率分布,然后按定義計算出隨機變量的均值、方差和標(biāo)準(zhǔn)差
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