近世代數(shù)課件從“群”談起

近世代數(shù)課件從“群”談起本課件將從最基本的代數(shù)結(jié)構(gòu)“群”開始，帶你逐步探索近世代數(shù)的奇妙世界。引言：為什么從"群"談起基礎(chǔ)性"群"是近世代數(shù)最基本的概念之一，是研究其他代數(shù)結(jié)構(gòu)的基礎(chǔ).抽象性"群"的抽象概念可以推廣到其他數(shù)學(xué)領(lǐng)域，例如拓撲學(xué)和幾何學(xué).應(yīng)用廣泛"群"的理論在物理學(xué)、化學(xué)、計算機科學(xué)等領(lǐng)域都有廣泛的應(yīng)用."群"的概念及定義群的定義在數(shù)學(xué)中，群是代數(shù)結(jié)構(gòu)的一種，它由一個集合和一個二元運算構(gòu)成，滿足以下性質(zhì)：封閉性結(jié)合律單位元逆元群的例子常見的群例子包括：整數(shù)集關(guān)于加法運算構(gòu)成一個群非零實數(shù)集關(guān)于乘法運算構(gòu)成一個群所有n次置換關(guān)于置換的復(fù)合運算構(gòu)成一個群"群"的基本性質(zhì)封閉性群中的任何兩個元素的運算結(jié)果仍然在該群中。結(jié)合律群中的運算滿足結(jié)合律，即(a*b)*c=a*(b*c)。單位元群中存在一個元素e，使得對任何元素a，都有a*e=e*a=a。逆元對于群中的任何元素a，存在一個元素a-1，使得a*a-1=a-1*a=e。"群"的運算1封閉性群中任何兩個元素的運算結(jié)果仍然是群中的元素。2結(jié)合律群中運算滿足結(jié)合律，即(a*b)*c=a*(b*c)。3單位元群中存在一個單位元e，使得任何元素a運算e的結(jié)果都等于a本身。4逆元群中每個元素a都存在唯一的逆元a^-1，使得a*a^-1=e。群的同態(tài)與同構(gòu)同態(tài)同態(tài)是指兩個群之間的一種結(jié)構(gòu)保持映射，它保持群運算。同構(gòu)同構(gòu)是同態(tài)的一種特殊情況，它是一個雙射同態(tài)。重要性同態(tài)和同構(gòu)允許我們比較不同群的結(jié)構(gòu)，并研究它們之間的關(guān)系。子群子群的定義一個群G的子集H稱為G的子群，如果H在G的運算下構(gòu)成一個群。子群的判定如果H是G的非空子集，并且滿足封閉性、結(jié)合律、單位元存在性和逆元存在性，則H是G的子群。子群的例子例如，整數(shù)集在加法運算下構(gòu)成一個群，而偶數(shù)集是整數(shù)集的一個子群。陪集與拉格朗日定理1左陪集對于群G的子群H，左陪集aH由所有形式為ah的元素組成，其中a屬于G，h屬于H。2右陪集右陪集Ha由所有形式為ha的元素組成，其中a屬于G，h屬于H。3拉格朗日定理對于有限群G的子群H，H的階是G的階的因子。正規(guī)子群定義如果一個子群H在群G中滿足gHg-1=H對于所有g(shù)∈G成立，那么稱H是G的正規(guī)子群。性質(zhì)正規(guī)子群是群論中重要的概念，它允許我們定義商群，并研究群的結(jié)構(gòu)。例子例如，在整數(shù)加法群Z中，偶數(shù)集合2Z是一個正規(guī)子群。商群1正規(guī)子群商群的定義建立在正規(guī)子群的基礎(chǔ)上，它將群中的元素按照正規(guī)子群的陪集進行劃分。2商群結(jié)構(gòu)商群的運算定義在陪集上，它繼承了原群的運算性質(zhì)，形成了一個新的群。3重要概念商群的概念在抽象代數(shù)中扮演著重要角色，它將群結(jié)構(gòu)簡化，并提供了更深入的理解。群的循環(huán)結(jié)構(gòu)定義群的循環(huán)結(jié)構(gòu)是指群中元素的排列方式，它由一個元素生成的所有元素構(gòu)成。循環(huán)群由一個元素生成的群稱為循環(huán)群。循環(huán)群是群論中最簡單的一類群，但它在群論中有著重要的地位。生成元生成一個循環(huán)群的元素稱為該循環(huán)群的生成元。一個循環(huán)群可能有多個生成元。置換群定義置換群是將集合元素進行重新排列的群。性質(zhì)置換群的性質(zhì)與一般群類似，但其元素是置換。應(yīng)用置換群在密碼學(xué)、編碼理論等領(lǐng)域有廣泛應(yīng)用。群的Cayley表示Cayley表示將群中的每個元素映射到一個置換，從而將群表示為置換群。Cayley表示揭示了群的本質(zhì)，它將群的抽象結(jié)構(gòu)與置換群的具體結(jié)構(gòu)聯(lián)系起來。Cayley表示在群論研究中具有重要意義，它為群的結(jié)構(gòu)分析和應(yīng)用提供了強大的工具。群的同構(gòu)定理同構(gòu)定理的重要性同構(gòu)定理在群論中扮演著重要角色，它揭示了不同群之間的關(guān)系，允許我們從一個群的結(jié)構(gòu)推斷另一個群的結(jié)構(gòu)。同構(gòu)定理的應(yīng)用通過同構(gòu)定理，我們可以將復(fù)雜的群轉(zhuǎn)化為更簡單的群進行研究，簡化了分析和理解。同構(gòu)定理的意義同構(gòu)定理提供了對群結(jié)構(gòu)的深刻理解，幫助我們更好地理解抽象代數(shù)的概念和應(yīng)用。群的生成元和生成集生成元一個群的生成元是指，可以通過對該生成元進行有限次運算（包括乘法和取逆），得到群中所有元素的元素。生成集一個群的生成集是指，可以通過對生成集中元素進行有限次運算，得到群中所有元素的元素集合。阿貝爾群交換律阿貝爾群中的運算滿足交換律，即a*b=b*a。例子整數(shù)集在加法運算下構(gòu)成一個阿貝爾群，因為加法滿足交換律。重要性阿貝爾群在抽象代數(shù)、數(shù)論、拓撲學(xué)等領(lǐng)域都有重要應(yīng)用。循環(huán)群的性質(zhì)有限循環(huán)群有限循環(huán)群是抽象代數(shù)中重要的例子,它具有簡潔的結(jié)構(gòu)和豐富的性質(zhì).無限循環(huán)群無限循環(huán)群是由一個元素生成的無限群,它與整數(shù)加法群同構(gòu).同構(gòu)所有同構(gòu)的循環(huán)群具有相同的結(jié)構(gòu),它們本質(zhì)上是相同的.群的中心與模中心中心是指群中與所有元素可交換的元素集合，用Z(G)表示。模模是指群G中關(guān)于某個元素a的模，用G/a表示，它是所有與a共軛的元素集合。同構(gòu)定理的應(yīng)用結(jié)構(gòu)分析同構(gòu)定理可以用于分析群的結(jié)構(gòu)，將復(fù)雜的群分解成更簡單的子群和商群，從而更容易理解群的性質(zhì)。證明定理同構(gòu)定理是許多其他代數(shù)定理的基礎(chǔ)，可以用來證明其他定理，例如Sylow定理和Jordan-H?lder定理。抽象代數(shù)同構(gòu)定理在抽象代數(shù)中扮演著重要的角色，幫助我們理解不同代數(shù)結(jié)構(gòu)之間的關(guān)系。群的幺元與逆元幺元群中存在一個特殊的元素，稱為幺元，它與任何元素運算后，結(jié)果仍為該元素本身。逆元每個元素在群中都存在唯一的逆元，與該元素運算后，結(jié)果為幺元。群的對稱性幾何對稱性群可以用來描述幾何圖形的對稱性，例如旋轉(zhuǎn)、反射等。物理對稱性群也存在于物理系統(tǒng)中，例如晶體的對稱性、粒子物理中的對稱性等。代數(shù)對稱性群的結(jié)構(gòu)本身也具有對稱性，例如群的同構(gòu)等。群的分類有限群群的元素個數(shù)有限無限群群的元素個數(shù)無限循環(huán)群由一個元素生成的群阿貝爾群群的運算滿足交換律群的表示理論線性代數(shù)與矩陣群的表示理論將群元素映射到線性變換，通過矩陣來研究群的結(jié)構(gòu)和性質(zhì)。對稱性與分子結(jié)構(gòu)群的表示理論在物理學(xué)和化學(xué)中應(yīng)用廣泛，例如，在研究分子結(jié)構(gòu)和對稱性方面。群與矩陣矩陣表示矩陣可以用來表示群元素，群運算可以用矩陣乘法來表示。線性變換矩陣可以表示線性變換，群可以用來研究線性變換的性質(zhì)。矩陣群由矩陣組成的群稱為矩陣群，它們在數(shù)學(xué)和物理中都有重要的應(yīng)用。群的應(yīng)用密碼學(xué)群論在密碼學(xué)中扮演著關(guān)鍵角色，例如用于設(shè)計和分析加密算法。物理學(xué)對稱性在物理學(xué)中至關(guān)重要，群論用于描述和理解對稱性?；瘜W(xué)群論用于研究分子的對稱性，解釋其結(jié)構(gòu)和性質(zhì)。群論的發(fā)展歷程1現(xiàn)代群論抽象代數(shù)的重要組成部分219世紀(jì)伽羅瓦理論、非交換群318世紀(jì)置換群、對稱群417世紀(jì)數(shù)論、代數(shù)方程群的未解決的問題Burnside問題Burnside問題是一個關(guān)于有限群的未解決問題，它詢問一個有限群，如果其每個元素的階數(shù)都為有限，那么它是否一定有有限個生成元有限簡單群的分類有限簡單群的分類是指對所有有限簡單群進行分類，這是一個巨大的工程，目前已經(jīng)完成大部分