2024-2025學(xué)年年七年級(jí)數(shù)學(xué)人教版下冊(cè)專題整合復(fù)習(xí)卷2024-2025學(xué)年年七年級(jí)數(shù)學(xué)人教版下冊(cè)專題整合復(fù)習(xí)卷14.3 因式分解 能力培優(yōu)訓(xùn)練(含答案)

2024-2025學(xué)年年七年級(jí)數(shù)學(xué)人教版下冊(cè)專題整合復(fù)習(xí)卷2024-2025學(xué)年年七年級(jí)數(shù)學(xué)人教版下冊(cè)專題整合復(fù)習(xí)卷14.3因式分解能力培優(yōu)訓(xùn)練(含答案)14.3因式分解專題一因式分解1．下列分解因式正確的是（）A．3x2－6x=x(x－6)B．－a2+b2=(b+a)(b－a)C．4x2－y2=(4x－y)(4x+y)D．4x2－2xy+y2=(2x－y)22．分解因式：3m3－18m2n+27mn2=____________．3．分解因式：(2a+b)2－8ab=____________．專題二在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)分解因式4．在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)因式分解x4－4=____________．5．把下列各式因式分解（在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)）（1）3x2－16；（2）x4－10x2+25．6．在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)分解因式：（1）x3－2x；（2）x4－6x2+9．專題三因式分解的應(yīng)用7．如果m－n=－5，mn=6，則m2n－mn2的值是（） A．30 B．－30 C．11 D．－118．利用因式分解計(jì)算32×20.13+5.4×201.3+0.14×2013=___________．9．在下列三個(gè)不為零的式子：x2－4x，x2+2x，x2－4x+4中，（1）請(qǐng)你選擇其中兩個(gè)進(jìn)行加法運(yùn)算，并把結(jié)果因式分解；（2）請(qǐng)你選擇其中兩個(gè)并用不等號(hào)連接成不等式，并求其解集．狀元筆記【知識(shí)要點(diǎn)】1．因式分解我們把一個(gè)多項(xiàng)式化成幾個(gè)整式的積的形式，像這樣的式子變形叫做這個(gè)多項(xiàng)式因式分解，也叫做把這個(gè)多項(xiàng)式分解因式．2．因式分解的方法(1)提公因式法：如果多項(xiàng)式的各項(xiàng)有公因式，可以把這個(gè)公因式提取出來，將多項(xiàng)式寫出公因式與另一個(gè)因式的乘積的形式，這樣分解因式的方法叫做提公因式法．(2)將乘法公式的等號(hào)兩邊互換位置，得到用于分解因式的公式，用來把某些具有特殊形式的多項(xiàng)式分解因式，這種分解因式的方法叫做公式法．(3)平方差公式：a2－b2=(a+b)(a－b)，兩個(gè)數(shù)的平方差，等于這兩個(gè)數(shù)的和與這兩個(gè)數(shù)的差的積．(4)完全平方公式：a2±2ab+b2=(a±b)2，兩個(gè)數(shù)的平方和，加上(或減去)它們的積的2倍，等于這兩個(gè)數(shù)的和(或差)的平方．【溫馨提示】1．分解因式的對(duì)象必須是多項(xiàng)式，如把分解成就不是分解因式，因?yàn)椴皇嵌囗?xiàng)式．2．分解因式的結(jié)果必須是積的形式，如就不是分解因式，因?yàn)榻Y(jié)果不是積的形式．【方法技巧】1．若首項(xiàng)系數(shù)為負(fù)時(shí)，一般要提出“—”號(hào)，使括號(hào)內(nèi)首項(xiàng)系數(shù)為正，但要注意，此時(shí)括號(hào)內(nèi)的各項(xiàng)都應(yīng)變號(hào)，如．2．有些多項(xiàng)式的特點(diǎn)與公式相比，只是某些項(xiàng)的符號(hào)不符，這時(shí)就需要先對(duì)符號(hào)進(jìn)行變化，使之符合公式的特點(diǎn)．參考答案1．B解析：A中，3x2－6x=3x(x－2)，故A錯(cuò)誤；B中，－a2+b2=－(a－b)(a+b)=(b+a)(b－a)，故B正確；C中，4x2－y2=(2x)2－(2y)2=(2x－y)(2x+y)，故C錯(cuò)誤；D中，4x2－2xy+y2的中間項(xiàng)不是2×2x×y，故不能因式分解，故D錯(cuò)誤．綜上所述，選B．2．3m(m－3n)2解析：3m3－18m2n+27mn2=3m(m2－6mn+9n2)=3m(m－3n)2．3．(2a－b)2解析：(2a+b)2－8ab=4a2+4ab+b2－8ab=4a2－4ab+b2=(2a－b)2．4．(x2+2)(x+)(x－)解析：x4－4=(x2+2)(x2－2)=(x2+2)(x+)(x－)．5．解：(1)3x2－16=(x+4)(x－4)；(2)x4－10x2+25=(x2－5)2=(x+)2(x－)2．6．解：(1)x3－2x=x(x2－2)=x(x+)(x－)；(2)x4－6x2+9=(x2－3)2=(x+)2(x－)2．7．B解析：∵m－n=－5，mn=6，∴m2n－mn2=mn（m－n）=6×（－5）=－30，故選B．8．2013解析：32×20.13+5.4×201.3+0.14×2013=0.32×2013+0.54×2013+0.14×2013=2013×（0.32+0.54+0.14）=2013×1=2013．9．解：(1)答案不唯一，如：（x2－4x）+（x2+2x）=2x2－2x=2x（x－1）．(2)答案不唯一，如：x2－4x＞x2+2x，合并同類項(xiàng)，得－6x＞0，解得x＜0．14.3因式分解1．因式分解(1)定義把一個(gè)多項(xiàng)式化為幾個(gè)整式的積的形式，像這樣的式子變形叫做把這個(gè)多項(xiàng)式因式分解，也叫做把這個(gè)多項(xiàng)式分解因式．(2)因式分解與整式乘法的關(guān)系因式分解與整式乘法是相反方向的變形．如：(a＋b)(a－b)a2－b2.即多項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式或單項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式(整式乘法)是“積化和”，而因式分解則是“和化積”，故可以用整式乘法來檢驗(yàn)因式分解的正確性．談重點(diǎn)因式分解的理解(1)因式分解專指多項(xiàng)式的恒等變形，等式的左邊必須是多項(xiàng)式，右邊每個(gè)因式必須是整式．(2)因式分解的結(jié)果必須要以積的形式表示，否則不是因式分解．(3)因式分解中每個(gè)括號(hào)內(nèi)如有同類項(xiàng)要合并，因式分解的結(jié)果要求必須將每個(gè)因式分解徹底．【例1】下列各式由左邊到右邊的變形中，是因式分解的是()．A．a(chǎn)(x＋y)＝ax＋ayB．y2－4y＋4＝y(tǒng)(y－4)＋4C．10a2－5a＝5a(2a－1)D．y2－16＋y＝(y＋4)(y－4)＋y答案：C點(diǎn)撥：A是整式乘法，B、D等號(hào)右邊不是整式積的形式，而是和的形式，不是因式分解．2．公因式(1)定義多項(xiàng)式的各項(xiàng)中都含有的公共的因式叫做這個(gè)多項(xiàng)式各項(xiàng)的公因式．(2)確定多項(xiàng)式的公因式的方法確定一個(gè)多項(xiàng)式的公因式時(shí)，要對(duì)數(shù)字系數(shù)和字母分別進(jìn)行考慮，確定公因式時(shí)：一看系數(shù)，二看字母，三看指數(shù)．解技巧確定公因式的方法確定公因式的方法：(1)對(duì)于系數(shù)(只考慮正數(shù))，取各項(xiàng)系數(shù)的最大公約數(shù)作為公因式的系數(shù)．(2)對(duì)于字母，需考慮兩條，一是取各項(xiàng)相同的字母；二是各相同字母的指數(shù)取次數(shù)最低次，即取相同字母的最低次冪．最后還要根據(jù)情況確定符號(hào)．【例2】把多項(xiàng)式6a3b2－3a2b2－12a2b3分解因式時(shí)，應(yīng)提取的公因式是()．A．3a2b B．3ab2C．3a3b3 D．3a2b2答案：D點(diǎn)撥：在多項(xiàng)式6a3b2－3a2b2－12a2b3中，這三項(xiàng)系數(shù)的最大公約數(shù)是3，各項(xiàng)都含有字母a，b，字母a的最低次冪是a2，字母b的最低次冪是b2，所以各項(xiàng)的公因式是3a2b2，故選D.3．提公因式法(1)定義一般地，如果多項(xiàng)式的各項(xiàng)有公因式，可以把這個(gè)公因式提取出來，將多項(xiàng)式寫成公因式與另一個(gè)因式的乘積的形式，這種分解因式的方法叫做提公因式法．(2)提公因式的步驟①確定應(yīng)提取的公因式；②用公因式去除這個(gè)多項(xiàng)式，所得的商作為另一個(gè)因式；③把多項(xiàng)式寫成這兩個(gè)因式的積的形式．警誤區(qū)提公因式要徹底(1)所提的公因式必須是“最大公因式”，即提取公因式后，另一個(gè)因式中不能還有公因式；(2)如果多項(xiàng)式的首項(xiàng)系數(shù)是負(fù)數(shù)，應(yīng)先提出“－”號(hào)．可按下列口訣分解因式：各項(xiàng)有“公”先提“公”，首項(xiàng)有“負(fù)”先提“負(fù)”，某項(xiàng)提出莫漏“1”，括號(hào)里面分到“底”．【例3】用提公因式法分解因式：(1)12x2y－18xy2－24x3y3；(2)5x2－15x＋5；(3)－27a2b＋9ab2－18ab；(4)2x(a－2b)－3y(2b－a)－4z(a－2b)．解：(1)12x2y－18xy2－24x3y3＝6xy·2x－6xy·3y－6xy·4x2y2＝6xy(2x－3y－4x2y2)；(2)5x2－15x＋5＝5(x2－3x＋1)；(3)－27a2b＋9ab2－18ab＝－9ab(3a－b＋2)；(4)2x(a－2b)－3y(2b－a)－4z(a－2b)＝2x(a－2b)＋3y(a－2b)－4z(a－2b)＝(a－2b)(2x＋3y－4z)．4．用平方差公式分解因式(1)因式分解的平方差公式兩個(gè)數(shù)的平方差，等于這兩個(gè)數(shù)的和與這兩個(gè)數(shù)的差的積．即a2－b2＝(a＋b)(a－b)．這個(gè)公式就是把整式乘法的平方差公式等號(hào)左右兩邊顛倒過來．(2)平方差公式的特點(diǎn)左邊是二項(xiàng)式，兩項(xiàng)都能寫成平方的形式，且符號(hào)相反；右邊是兩個(gè)數(shù)(或整式)的和與這兩個(gè)數(shù)(或整式)的差的積．凡是符合平方差公式左邊特點(diǎn)的多項(xiàng)式都可以用這個(gè)公式分解因式．【例4】把下列多項(xiàng)式分解因式：(1)4x2－9；(2)16m2－9n2；(3)a3b－ab；(4)(x＋p)2－(x＋q)2.解：(1)4x2－9＝(2x)2－32＝(2x＋3)(2x－3)；(2)16m2－9n2＝(4m)2－(3n)2＝(4m＋3n)·(4m－3n)；(3)a3b－ab＝ab(a2－1)＝ab(a＋1)(a－1)；(4)(x＋p)2－(x＋q)2＝[(x＋p)＋(x＋q)]·[(x＋p)－(x＋q)]＝(2x＋p＋q)(p－q)．5．用完全平方公式分解因式(1)因式分解的完全平方公式兩個(gè)數(shù)的平方和加上(或減去)這兩個(gè)數(shù)的積的2倍，等于這兩個(gè)數(shù)的和(或差)的平方．即a2＋2ab＋b2＝(a＋b)2，a2－2ab＋b2＝(a－b)2.這個(gè)公式就是把整式乘法的完全平方公式等號(hào)左右兩邊顛倒過來．(2)完全平方公式的特點(diǎn)左邊是一個(gè)三項(xiàng)式，其中兩項(xiàng)同號(hào)且均為一個(gè)整式的平方(平方項(xiàng))，另一項(xiàng)是平方項(xiàng)冪的底數(shù)的2倍(乘積項(xiàng))，符號(hào)可正也可負(fù)，右邊是兩個(gè)整式的和(或差)的平方，中間的符號(hào)同左邊的乘積項(xiàng)的符號(hào)．【例5】把下列多項(xiàng)式分解因式：(1)x2＋14x＋49；(2)(m＋n)2－6(m＋n)＋9；(3)3ax2＋6axy＋3ay2；(4)－x2－4y2＋4xy.解：(1)x2＋14x＋49＝x2＋2×7x＋72＝(x＋7)2；(2)(m＋n)2－6(m＋n)＋9＝(m＋n)2－2(m＋n)×3＋32＝(m＋n－3)2；(3)3ax2＋6axy＋3ay2＝3a(x2＋2xy＋y2)＝3a(x＋y)2；(4)－x2－4y2＋4xy＝－(x2－4xy＋4y2)＝－[x2－2·x·2y＋(2y)2]＝－(x－2y)2.6．因式分解的一般步驟根據(jù)多項(xiàng)式的特點(diǎn)靈活選擇分解因式的方法，其一般步驟可概括為：一提、二套、三查．一提：如果多項(xiàng)式的各項(xiàng)有公因式，首先考慮提取公因式；二套：提公因式后或沒有公因式可提，就要考慮運(yùn)用公式法，即平方差公式或完全平方公式；三查：因式分解一定要分解到不能分解為止，要檢查每個(gè)因式是否還可以繼續(xù)分解．7．運(yùn)用公式法分解因式易出現(xiàn)的錯(cuò)誤在分解因式時(shí)，多項(xiàng)式的項(xiàng)數(shù)若是兩項(xiàng)，且含有平方項(xiàng)，則考慮用平方差公式進(jìn)行分解因式．若多項(xiàng)式是三項(xiàng)式，則考慮用完全平方公式．在應(yīng)用公式法分解因式時(shí)常出現(xiàn)的錯(cuò)誤是：對(duì)公式的結(jié)構(gòu)特征掌握不熟，理解不透徹，易出現(xiàn)符號(hào)、項(xiàng)數(shù)上的錯(cuò)誤，二次項(xiàng)、一次項(xiàng)系數(shù)搞錯(cuò)，把兩個(gè)公式混淆等．【例6】把下列各式分解因式：(1)18x2y－50y3；(2)ax3y＋axy3－2ax2y2.解：(1)18x2y－50y3＝2y(9x2－25y2)＝2y(3x＋5y)(3x－5y)；(2)ax3y＋axy3－2ax2y2＝axy(x2＋y2－2xy)＝axy(x－y)2.【例7】下列各式能用完全平方公式分解因式的是()．①4x2－4xy－y2；②x2＋eq\f(2,5)x＋eq\f(1,25)；③－1－a－eq\f(a2,4)；④m2n2＋4－4mn；⑤a2－2ab＋4b2；⑥x2－8x＋9.A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)解析：①⑤⑥不符合完全平方公式的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，不能用完全平方公式分解因式．②④符合完全平方公式的特點(diǎn)，③提取“－”號(hào)后也符合完全平方公式的特點(diǎn)，所以②③④能用完全平方公式分解．①中的y2前面是“－”號(hào)，不能用完全平方公式分解．⑤中中間項(xiàng)有a、b的積的2倍，前后項(xiàng)都是平方式，但中間項(xiàng)不是“首尾積的2倍”，不能用完全平方公式分解．⑥也不符合．答案：C8．運(yùn)用分解因式解決動(dòng)手操作題動(dòng)手操作題是讓學(xué)生在實(shí)際操作的基礎(chǔ)上設(shè)計(jì)有關(guān)的問題．這類題對(duì)同學(xué)們的能力有更高的要求，有利于培養(yǎng)學(xué)生樂于動(dòng)手、勤于思考的意識(shí)和習(xí)慣，有利于培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新能力和實(shí)踐能力．這類題目主要考查動(dòng)手操作能力，它包括裁剪、折疊、拼圖等．不僅考查動(dòng)手能力，還考查想象能力，往往與面積、對(duì)稱性質(zhì)聯(lián)系在一起．此類題目就是通過拼圖，用不同的式子表示圖形面積，以達(dá)到把多項(xiàng)式分解因式的目的．【例8】如某同學(xué)剪出若干個(gè)長(zhǎng)方形和正方形卡片，如圖(1)所示，請(qǐng)運(yùn)用拼圖的方法，選取圖中相應(yīng)的種類和一定數(shù)量的卡片拼成一個(gè)大長(zhǎng)方形，使它的面積等于a2＋4ab＋3b2，并根據(jù)你拼成的圖形的面積，把此多項(xiàng)式分解因式．圖(1)圖(2)解：因?yàn)槠闯梢粋€(gè)面積等于a2＋4ab＋3b2的大長(zhǎng)方形，就要用一個(gè)邊長(zhǎng)為a的正方形、3個(gè)邊長(zhǎng)為b的正方形和4個(gè)邊長(zhǎng)分別為a，b的長(zhǎng)方形，可以拼成如圖(2)所示的圖形，由此知長(zhǎng)方形的邊長(zhǎng)分別為(a＋b)和(a＋3b)．由面積可知a2＋4ab＋3b2＝(a＋b)(a＋3b)．§14.3.1提公因式法一.精心選一選1.下列各式從左到右的變形中，是因式分解的是（）。A.(x+3)(x－3)=x2－9B.x2+1=x(x+eq\f(1,x))C.3x2－3x+1=3x(x－1)+1D.a2－2ab+b2=(a－b)22多項(xiàng)式－6a2b+18a2b3x+24ab2y的公因式是（)A.mx+my和x+yB.3a(x+y)和2y+2xC.3a－3b和6（b－a)D.－2a－2b和a2－ab4.下列各多項(xiàng)式因式分解錯(cuò)誤的是（）A.(a－b)3－(b－a)=（a－b)2(a－b－1)B.x(a－b－c)－y(b+c－a)=(a－b－c)(x+y)C.P(m－n)3－Pq(n－m)3=P(m－n)3(1+q)D.(a－2b)(7a+b)－2(2b－a)2=(a－2b)(5a+5b)5.將多項(xiàng)式（3a－4b)(7a－8b)－(11a－12b)(8b－7a)分解因式正確的結(jié)果是（）A.8(7a－8b)(a－b)B.2(7a－8b)2C.8(7a－8b)(b－a)D.－2(7a－8b)26已知多項(xiàng)式3x2－mx+n分解因是的結(jié)果為(3x+2)(x－1)，則m,n的值分別為（）A.m=1n=－2B.m－1n=－2Cm=2n=－2D.m=－2n=－27.多項(xiàng)式（m+1）(m－1)+（m－1）提取公因式（m－1）后，另一個(gè)因式為（）A.m+1B.2mC.2D.m+28.a是有理數(shù)，則整式a2（a2－2）－2a2+4的值（）A.不是負(fù)數(shù)B.恒為正數(shù)C.恒為負(fù)數(shù)D.不等于0

二.細(xì)心填一填9.分解因式3x(x－2)－(2－x)=10.利用因式分解計(jì)算：3.68×15.7－31.4+15.7×0.32=11.分解因式：（x+y)2－x－y=12.已知a+b=9ab=7則a2b+ab2=13.觀察下列各式：①abx－adx②2x2y+6xy2③8m3－4m2+1④(p+q)x2y－5x2(p+q)+6(p+q)2⑤(x+y)(x－y)－4b(y+x)－4ab其中可以用提取公因式法分解的因式(）。（填序號(hào)）14.若xm=5xn=6叫xm－xm+2n=15.不解方程組2x+y=6則7y(x－3y)2－2(3y－x)3=x－3y=116.計(jì)算20142－2014×2013+1=17.分解因式－7m(m－n)3+21mn(n－m)2=18.若(2x)n－81=(4x2+9)(2x+3)(2x－3）則n=三、解答題：19.分解因式①－49a2bc－14ab2c+7ab②(2a+b)(2a－3b)－8a(2a+b)試說明817－279－913必能被45整除已知△ABC的三邊長(zhǎng)a，b，c滿足a2－bc－ab+ac=0求證△ABC為等腰三角形22.先化簡(jiǎn).在求值:30x2(y+4)－15x(y+4),其中x=2，y=－223.已知：m2=n+2n2=m+2(m≠n)求m3－2mn+n3的值。

參考答案一．1.D2.B3.D4.D5.B6.A7.D8.A二．9.(x－2)(3x+1)10.31.411.(x+y)(x+y－1)12.6313.①②④14.－17515.316.201517.－7m(m－n)2(m－4n)18.4三．19.①原式=－7ab(7ac+2bc－1)②原式=（2a+b）(2a－3b－8a)=(2a+b)(－6a－3b)=－3(2a+b)220.解：817－279－913=（34）7－（33）9－（32）13=328－327－326=326（32－3－1）=326×5=324×45∴817－279－913能被45整除。21.證明：∵a2－bc－ab+ac=0∴(a－b)(a+c)=0∵a,b為△ABC三邊∴a+c＞0，則a－b=0,即a=b∴△ABC為等腰三角形22.解：原式=15x(y+4)(2x－1)當(dāng)x=2,y=－2時(shí)原式=15×2×(－2+4)(2×2－1)=18023.解：∵m2=n+2n2=m+2∴m3=mn+2mn3=mn+2n∴m3+n3=2mn+2（m+n）∴m3－2mn+n3=2(m+n)而m2－n2=(n+2)－(m+2)=n－m∵m≠n∴m－n≠0∴m+n=－1∴m3－2mn+n3=－1×2=－214.3.2公式法－運(yùn)用平方差分解因式一.精心選一選1.下列多項(xiàng)式能用平方差公式分解的因式有（）（1）a2+b2(2)x2－y2(3)－m2+n2(4)－a2b2(5)－a6+4A.2個(gè)B.3個(gè)C.4個(gè)D.5個(gè)2下列因式分解正確的是（）A.9a2+4b2=(9a+4b)(9a－4b)B.－s2－t2=(－s+t)(－s－t)C.m2+(－n)2=(m+n)(m－n)D.－9+4y2=(3+2y)(2y－3)3.對(duì)于任整數(shù)n.多項(xiàng)式（4n+5）2－9都能（）A.被6整除B.被7整除C.被8整除D、被6或8整除4.將多項(xiàng)式xn+3－xn+1分解因式，結(jié)果是（）A.xn（x3－x）B.xn(x3－1)C.xn+1(x2－1）D.Xn+1(x+1)（x－1）5.在邊長(zhǎng)為a的正方形中挖去一個(gè)邊為b的小正方形（a>b）(如圖甲），把余下的部分拼成一個(gè)長(zhǎng)方形(如圖乙），根據(jù)兩個(gè)圖形中陰影部分的面積相等，可以驗(yàn)證（）A.(a+b)2=a2+2ab+b2B.(a－b)2=a2－2ab+b2C.a2+b2=(a+b)(a－b)D.(a+2b）(a－b)=a2+ab－2b26.下列分解因式中錯(cuò)誤是（）A.a2－1=(a+1)(a－1)B.1－4b2=(1+2b)(1－