山西省長治二中等五校2025屆高考壓軸卷數(shù)學(xué)試卷含解析_第1頁
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文檔簡介

山西省長治二中等五校2025屆高考壓軸卷數(shù)學(xué)試卷注意事項:1.答卷前,考生務(wù)必將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上。2.回答選擇題時,選出每小題答案后,用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標號涂黑,如需改動,用橡皮擦干凈后,再選涂其它答案標號?;卮鸱沁x擇題時,將答案寫在答題卡上,寫在本試卷上無效。3.考試結(jié)束后,將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1.復(fù)數(shù)的()A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限2.已知為坐標原點,角的終邊經(jīng)過點且,則()A. B. C. D.3.我國古代數(shù)學(xué)名著《數(shù)書九章》中有“天池盆測雨”題:在下雨時,用一個圓臺形的天池盆接雨水.天池盆盆口直徑為二尺八寸,盆底直徑為一尺二寸,盆深一尺八寸.若盆中積水深九寸,則平地降雨量是(注:①平地降雨量等于盆中積水體積除以盆口面積;②一尺等于十寸;③臺體的體積公式).A.2寸 B.3寸 C.4寸 D.5寸4.已知曲線,動點在直線上,過點作曲線的兩條切線,切點分別為,則直線截圓所得弦長為()A. B.2 C.4 D.5.函數(shù)的圖象大致為A. B. C. D.6.若,則()A. B. C. D.7.已知(為虛數(shù)單位,為的共軛復(fù)數(shù)),則復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點在().A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限8.執(zhí)行如圖所示的程序框圖,則輸出的的值為()A. B.C. D.9.要得到函數(shù)的圖象,只需將函數(shù)的圖象()A.向右平移個單位 B.向右平移個單位C.向左平移個單位 D.向左平移個單位10.記等差數(shù)列的公差為,前項和為.若,,則()A. B. C. D.11.是平面上的一定點,是平面上不共線的三點,動點滿足,,則動點的軌跡一定經(jīng)過的()A.重心 B.垂心 C.外心 D.內(nèi)心12.已知為正項等比數(shù)列,是它的前項和,若,且與的等差中項為,則的值是()A.29 B.30 C.31 D.32二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.已知是等比數(shù)列,若,,且∥,則______.14.已知數(shù)列滿足,則________.15.的展開式中的系數(shù)為__________.16.如圖,在矩形中,為邊的中點,,,分別以、為圓心,為半徑作圓弧、(在線段上).由兩圓弧、及邊所圍成的平面圖形繞直線旋轉(zhuǎn)一周,則所形成的幾何體的體積為.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)在四棱錐中,底面是邊長為2的菱形,是的中點.(1)證明:平面;(2)設(shè)是直線上的動點,當(dāng)點到平面距離最大時,求面與面所成二面角的正弦值.18.(12分)在中,角所對的邊分別為,若,,,且.(1)求角的值;(2)求的最大值.19.(12分)已知向量,函數(shù).(1)求函數(shù)的最小正周期及單調(diào)遞增區(qū)間;(2)在中,三內(nèi)角的對邊分別為,已知函數(shù)的圖像經(jīng)過點,成等差數(shù)列,且,求a的值.20.(12分)等比數(shù)列中,.(Ⅰ)求的通項公式;(Ⅱ)記為的前項和.若,求.21.(12分)本小題滿分14分)已知曲線的極坐標方程為,以極點為原點,極軸為軸的非負半軸建立平面直角坐標系,直線的參數(shù)方程為(為參數(shù)),求直線被曲線截得的線段的長度22.(10分)已知函數(shù)(,)滿足下列3個條件中的2個條件:①函數(shù)的周期為;②是函數(shù)的對稱軸;③且在區(qū)間上單調(diào).(Ⅰ)請指出這二個條件,并求出函數(shù)的解析式;(Ⅱ)若,求函數(shù)的值域.

參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1、C【解析】所對應(yīng)的點為(-1,-2)位于第三象限.【考點定位】本題只考查了復(fù)平面的概念,屬于簡單題.2、C【解析】

根據(jù)三角函數(shù)的定義,即可求出,得出,得出和,再利用二倍角的正弦公式,即可求出結(jié)果.【詳解】根據(jù)題意,,解得,所以,所以,所以.故選:C.【點睛】本題考查三角函數(shù)定義的應(yīng)用和二倍角的正弦公式,考查計算能力.3、B【解析】試題分析:根據(jù)題意可得平地降雨量,故選B.考點:1.實際應(yīng)用問題;2.圓臺的體積.4、C【解析】

設(shè),根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義,求出切線斜率,進而得到切線方程,將點坐標代入切線方程,抽象出直線方程,且過定點為已知圓的圓心,即可求解.【詳解】圓可化為.設(shè),則的斜率分別為,所以的方程為,即,,即,由于都過點,所以,即都在直線上,所以直線的方程為,恒過定點,即直線過圓心,則直線截圓所得弦長為4.故選:C.【點睛】本題考查直線與圓位置關(guān)系、直線與拋物線位置關(guān)系,拋物線兩切點所在直線求解是解題的關(guān)鍵,屬于中檔題.5、D【解析】

由題可得函數(shù)的定義域為,因為,所以函數(shù)為奇函數(shù),排除選項B;又,,所以排除選項A、C,故選D.6、D【解析】

直接利用二倍角余弦公式與弦化切即可得到結(jié)果.【詳解】∵,∴,故選D【點睛】本題考查的知識要點:三角函數(shù)關(guān)系式的恒等變變換,同角三角函數(shù)關(guān)系式的應(yīng)用,主要考查學(xué)生的運算能力和轉(zhuǎn)化能力,屬于基礎(chǔ)題型.7、D【解析】

設(shè),由,得,利用復(fù)數(shù)相等建立方程組即可.【詳解】設(shè),則,所以,解得,故,復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點為,在第四象限.故選:D.【點睛】本題考查復(fù)數(shù)的幾何意義,涉及到共軛復(fù)數(shù)的定義、復(fù)數(shù)的模等知識,考查學(xué)生的基本計算能力,是一道容易題.8、B【解析】

列出循環(huán)的每一步,進而可求得輸出的值.【詳解】根據(jù)程序框圖,執(zhí)行循環(huán)前:,,,執(zhí)行第一次循環(huán)時:,,所以:不成立.繼續(xù)進行循環(huán),…,當(dāng),時,成立,,由于不成立,執(zhí)行下一次循環(huán),,,成立,,成立,輸出的的值為.故選:B.【點睛】本題考查的知識要點:程序框圖的循環(huán)結(jié)構(gòu)和條件結(jié)構(gòu)的應(yīng)用,主要考查學(xué)生的運算能力和轉(zhuǎn)換能力,屬于基礎(chǔ)題型.9、D【解析】

直接根據(jù)三角函數(shù)的圖象平移規(guī)則得出正確的結(jié)論即可;【詳解】解:函數(shù),要得到函數(shù)的圖象,只需將函數(shù)的圖象向左平移個單位.故選:D.【點睛】本題考查三角函數(shù)圖象平移的應(yīng)用問題,屬于基礎(chǔ)題.10、C【解析】

由,和,可求得,從而求得和,再驗證選項.【詳解】因為,,所以解得,所以,所以,,,故選:C.【點睛】本題考查等差數(shù)列的通項公式、前項和公式,還考查運算求解能力,屬于中檔題.11、B【解析】

解出,計算并化簡可得出結(jié)論.【詳解】λ(),∴,∴,即點P在BC邊的高上,即點P的軌跡經(jīng)過△ABC的垂心.故選B.【點睛】本題考查了平面向量的數(shù)量積運算在幾何中的應(yīng)用,根據(jù)條件中的角計算是關(guān)鍵.12、B【解析】

設(shè)正項等比數(shù)列的公比為q,運用等比數(shù)列的通項公式和等差數(shù)列的性質(zhì),求出公比,再由等比數(shù)列的求和公式,計算即可得到所求.【詳解】設(shè)正項等比數(shù)列的公比為q,則a4=16q3,a7=16q6,a4與a7的等差中項為,即有a4+a7=,即16q3+16q6,=,解得q=(負值舍去),則有S5===1.故選C.【點睛】本題考查等比數(shù)列的通項和求和公式的運用,同時考查等差數(shù)列的性質(zhì),考查運算能力,屬于中檔題.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、【解析】若,,且∥,則,由是等比數(shù)列,可知公比為..故答案為.14、【解析】

項和轉(zhuǎn)化可得,討論是否滿足,分段表示即得解【詳解】當(dāng)時,由已知,可得,∵,①故,②由①-②得,∴.顯然當(dāng)時不滿足上式,∴故答案為:【點睛】本題考查了利用求,考查了學(xué)生綜合分析,轉(zhuǎn)化劃歸,數(shù)學(xué)運算,分類討論的能力,屬于中檔題.15、3【解析】

分別用1和進行分類討論即可【詳解】當(dāng)?shù)谝粋€因式取1時,第二個因式應(yīng)取含的項,則對應(yīng)系數(shù)為:;當(dāng)?shù)谝粋€因式取時,第二個因式應(yīng)取含的項,則對應(yīng)系數(shù)為:;故的展開式中的系數(shù)為.故答案為:3【點睛】本題考查二項式定理中具體項對應(yīng)系數(shù)的求解,屬于基礎(chǔ)題16、【解析】由題意,可得所得到的幾何體是由一個圓柱挖去兩個半球而成;其中,圓柱的底面半徑為1,母線長為2;體積為;兩個半球的半徑都為1,則兩個半球的體積為;則所求幾何體的體積為.考點:旋轉(zhuǎn)體的組合體.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1)證明見解析(2)【解析】

(1)取中點,連接,根據(jù)菱形的性質(zhì),結(jié)合線面垂直的判定定理和性質(zhì)進行證明即可;(2)根據(jù)面面垂直的判定定理和性質(zhì)定理,可以確定點到直線的距離即為點到平面的距離,結(jié)合垂線段的性質(zhì)可以確定點到平面的距離最大,最大值為1.以為坐標原點,直線分別為軸建立空間直角坐標系.利用空間向量夾角公式,結(jié)合同角的三角函數(shù)關(guān)系式進行求解即可.【詳解】(1)證明:取中點,連接,因為四邊形為菱形且.所以,因為,所以,又,所以平面,因為平面,所以.同理可證,因為,所以平面.(2)解:由(1)得平面,所以平面平面,平面平面.所以點到直線的距離即為點到平面的距離.過作的垂線段,在所有的垂線段中長度最大的為,此時必過的中點,因為為中點,所以此時,點到平面的距離最大,最大值為1.以為坐標原點,直線分別為軸建立空間直角坐標系.則所以平面的一個法向量為,設(shè)平面的法向量為,則即取,則,,所以,所以面與面所成二面角的正弦值為.【點睛】本題考查了線面垂直的判定定理和性質(zhì)的應(yīng)用,考查了二面角的向量求法,考查了推理論證能力和數(shù)學(xué)運算能力.18、(1);(2).【解析】

(1)由正弦定理可得,再用余弦定理即可得到角C;(2),再利用求正弦型函數(shù)值域的方法即可得到答案.【詳解】(1)因為,所以.在中,由正弦定理得,所以,即.在中,由余弦定理得,又因為,所以.(2)由(1)得,在中,,所以.因為,所以,所以當(dāng),即時,有最大值1,所以的最大值為.【點睛】本題考查正余弦定理解三角形,涉及到兩角差的正弦公式、輔助角公式、向量數(shù)量積的坐標運算,是一道容易題.19、(1),(2)【解析】

(1)利用向量的數(shù)量積和二倍角公式化簡得,故可求其周期與單調(diào)性;(2)根據(jù)圖像過得到,故可求得的大小,再根據(jù)數(shù)量積得到的乘積,最后結(jié)合余弦定理和構(gòu)建關(guān)于的方程即可.【詳解】(1),最小正周期:,由得,所以的單調(diào)遞增區(qū)間為;(2)由可得:,所以.又因為成等差數(shù)列,所以而,.20、(Ⅰ)或(Ⅱ)12【解析】

(1)先設(shè)數(shù)列的公比為,根據(jù)題中條件求出公比,即可得出通項公式;(2)根據(jù)(1)的結(jié)果,由等比數(shù)列的求和公式,即可求出結(jié)果.【詳解】(1)設(shè)數(shù)列的公比為,,,或.(2)時,,解得;時,,無正整數(shù)解;綜上所述.【點睛】本題主要考查等比數(shù)列,熟記等比數(shù)列的通項公式與求和公式即可,屬于基礎(chǔ)題型.21、【解析】解:解:將曲線的極坐標方程化為直角坐標方程為,即,它表示以為圓心,2為半徑圓,………4分直線方程的普通方程為,………8分圓C的圓心到直線l的距離,……………10分故直線被曲線截得的線段長度為.…

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