2021年高中高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)

集合概念及其基本理論，是近代數(shù)學(xué)最基本的內(nèi)容之一，集合的語言、思想、觀點(diǎn)滲透算之中，學(xué)習(xí)關(guān)于邏輯的有關(guān)知識，可以使我們對數(shù)學(xué)的有關(guān)概念理解更透徹，表達(dá)更準(zhǔn)性質(zhì)等都有很重要的應(yīng)用.關(guān)注本專題內(nèi)容在其他各專題中的應(yīng)用是學(xué)習(xí)這一專題內(nèi)容時(shí)要注意的.1．集合中的元素具有確定性、互異性、無序性.2．集合常用的兩種表示方法：列舉法和描述法，另外還有大寫字母表示法，圖示法(韋恩圖)，一些數(shù)集也可以用區(qū)間的形式表示.(1)從屬關(guān)系——元素與集合間的關(guān)系；(2)包含關(guān)系——兩個(gè)集合間的關(guān)系(相等是包含關(guān)系的特殊情況).4．集合的三種運(yùn)算：交集、并集、補(bǔ)集.1．對于給定的集合能認(rèn)識它表示什么集合．在中學(xué)常見的集合有兩類：數(shù)集和點(diǎn)集.2．能正確區(qū)分和表示元素與集合，集合與集合兩類不同的關(guān)系.3．掌握集合的交、并、補(bǔ)運(yùn)算．能使用韋恩圖表達(dá)集合的關(guān)系及運(yùn)算.4．把集合作為工具正確地表示函數(shù)的定義域、值域、方程與不等式的解集等.其中正確的關(guān)系是 .2．明確元素與集合的關(guān)系及符號表示：如果a是集合A的元素，記作：a∈A；如如果集合A是集合B的子集，且B中至少有一個(gè)元素不屬于A，那么，集合A叫做集提示：空集是任何非空集合的真子集.于是，韋恩圖中的陰影部分應(yīng)填數(shù)字3，5，7.對于兩個(gè)給定的集合A、B，由既屬于A又屬于B的所有元素構(gòu)成的集合叫做A、B的如果集合A是全集U的一個(gè)子集，由U中不屬于A的所有元素構(gòu)成的集合叫做A在U恩圖可以將這種復(fù)雜的邏輯關(guān)系直觀化，是解決集合運(yùn)算問題的一個(gè)很好的工具，要習(xí)慣使用它解決問題，要有意識的利用它解決問題.｜－,-值．象韋恩圖一樣，數(shù)軸同樣是解決集合運(yùn)算問題的一個(gè)非常好的工具.baa一、選擇題1個(gè)數(shù)是()(A)1(B)2(C)3(D)42．下列各式中，A與B表示同一集(A)MN(B)NM(C)M＝N(D)M∩N=⑦關(guān)系是()二、填空題｜－32＝；三、解答題U①A∩B≠⑦,求實(shí)數(shù)a的取值范圍；③A∩B≠⑦,且A∩B≠A，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.聯(lián)結(jié)詞構(gòu)成的命題叫做復(fù)合命題.可以利用真值表判斷復(fù)合命題的真假.則→p．注意區(qū)別“命題的否定”與“否命題”這兩個(gè)不同的概念．原命題與逆否命題、逆命題與否命題是等價(jià)關(guān)系.如果p→q，則p叫做q的充分條件，q析四種命題的相互關(guān)系．理解必要條件、充分條件與充要條件的意義.3．理解全稱量詞與存在量詞的意義．能正確地對含有一個(gè)量詞的命題進(jìn)行否定.例1分別寫出由下列命題構(gòu)成的“p∨q”“p∧q”“→p”形式的復(fù)合命題，并判斷它們的(2)p：平行四邊形的對角線相等，q：平行四邊形的對角線相互平分.(2)pvq：平行四邊形的對角線相等或相互平分.pΛq：平行四邊形的對角線相等且相互平分.【評析】判斷復(fù)合命題的真假可以借助真值表.例2分別寫出下列命題的逆命題、否命題和逆否命題，并判斷其真假.＋b2逆否命題：若ab≠0，則a2＋b2(2)逆命題：若AB，則A∩B＝A；是真命題.否命題：若A∩B≠A，則A不是B的真子集；是真命題.逆否命題：若A不是B的真子集，則A∩B≠A．是假命題.命題.例3指出下列語句中，p是q的什么條件，q是p的什么條件.【解析】由定義知，若p→q且qp，則p是q的充分不必要條件；若pq且q→p，則p是q的必要不充分條件；若p→q且q→p，p與q互為充要條件.于是可得(1)中p是q的必要不充分條件；q是p的充分不必要條件.(2)中p是q的充分不必要條件；q是p的必要不充分條件.就是判斷p與q之間誰能推出誰了.(A)充分非必要條件(B)必要非充分條件(C)充要條件(D)非充分條件也非必要條件又R{x∈R｜2＜x＜3}，且{x∈R｜2＜x＜3}R，所以p是q的必要非充分條件，選滿足條件p的元素構(gòu)成集合A，滿足條件q的元素構(gòu)成集合B，若AB且BA，則p是q的充分非必要條件；若AB且BA，則p是q的必要非充分條件；若A＝B，則p與q互為充要條件.例5命題“對任意的x∈R，x3－x2＋1≤0”的否定是()(A)不存在x∈R，x3－x2＋1≤0，(B)存在x∈R，x3－x2＋1≤0(C)存在x∈R，x3－x2＋1＞0(D)對任意的x∈R，x3－x2＋1＞0【分析】這是一個(gè)全稱命題，它的否定是一個(gè)特稱命題．其【評析】注意全(特)稱命題的否定是將全稱量詞改為存在量詞(或?qū)⒋嬖诹吭~改為全稱量詞)，并把結(jié)論否定.一、選擇題(A)3x∈Z，1＜4x＜3(A)q一定是真命題(C)p不一定是假命題)(B)q不一定是真命題(D)p與q的真假相同 )(A)充分不必要條件(C)充要條件(B)必要不充分條件(D)既不充分也不必要條件么“A不是B的子集”可用數(shù)學(xué)語言表達(dá)為()二、填空題6．命題“若x1，則｜x1”的逆否命題為.③AB今AB④AB今存在x∈A，使得x∈B其中真命題的序號是．(把符合要求的命題序號都填上)三、解答題9．判斷下列命題是全稱命題還是特稱命題并判斷其真假：(2)至少有一個(gè)整數(shù)，它既能被2整除又能被5整除；42并判斷四個(gè)命題的真假，說明判斷的理由.一、選擇題＝｜＝｜2．若集合M、N、P是全集U的子集，則圖中陰影部分表示的集合是()(A)(M∩N)∪P(A)充分不必要條件(C)充要條件)(B)必要不充分條件(D)既不充分也不必要條件(A)加法(B)減法(C)乘法(D)除法...二、填空題U－3x＋2＜0}，B＝{x｜x＜a}，若A生B，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是 .其中能推出“a，b中至少有一個(gè)大于1”的條件是三、解答題1x＋b2(1(2)證明：A中不可能只有一個(gè)元素.1一、選擇題4．集合A表示非負(fù)偶數(shù)集，集合B表示能被4整除的自然數(shù)集，所以{正奇數(shù)}(UB)，從二、填空題｜－3).三、解答題11．答：①a＜4；②a≥-2；③-2≤a＜4提示：畫數(shù)軸分析，注意a可否取到“臨界值”.一、選擇題二、填空題另外，也可以通過文氏圖來判斷.三、解答題(3)特稱命題，真命題；(4)全稱命題，真命題.=0，即原命題是真命題，所以其逆否命題為真命題.一、選擇題二、填空題10、均可用舉反例的方式說明①②④⑤不正確.三、解答題x所以x1-，211＞0，所以x2－x≤0.故不等式的解集為{x｜0≤x≤1}.:21(2)假設(shè)A中只有一個(gè)元素，設(shè)這個(gè)元素為a，由已知?jiǎng)t．即a2-a＋1＝0，此方程無解，這與A中有一個(gè)元素a矛盾，所以A中不可能只有一個(gè)元素.兩條主線：一是對函數(shù)性質(zhì)作一般性的研究，二是研究幾種具體的基本初等函數(shù)——一次函數(shù)、二次函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)．研究函數(shù)的問題主要圍繞以下幾個(gè)方面：函數(shù)的概念，函數(shù)的圖象與性質(zhì)，函數(shù)的有關(guān)應(yīng)用等.要了解映射的概念，映射是學(xué)習(xí)、研究函數(shù)的基礎(chǔ)，對函數(shù)概念、函數(shù)性質(zhì)的深刻理解在很多情況下要借助映射這一概念.1、設(shè)A，B是兩個(gè)非空集合，如果按照某種對應(yīng)法則f，對A中的任意一個(gè)元素x，在B中有一個(gè)且僅有一個(gè)元素y與x對應(yīng)，則稱f是集合A到集合B的映射．記作f：A→B，2、設(shè)集合A是一個(gè)非空的數(shù)集，對A中的任意數(shù)x，按照確定的法則f，都有唯一確定的數(shù)y與它對應(yīng)，則這種映射叫做集合A上的一個(gè)函數(shù)．記作y＝f(x)，x其中x叫做自變量，自變量取值的范圍(數(shù)集A)叫做這個(gè)函數(shù)的定義域．所有函數(shù)值構(gòu)成的集合{y｜y＝f(x)，x∈A}叫做這個(gè)函數(shù)的值域．函數(shù)的值域由定義域與對應(yīng)法則完全確3、函數(shù)是一種特殊的映射．其定義域和值域都是非空的數(shù)集，值域中的每一個(gè)元素都有原象．構(gòu)成函數(shù)的三要素：定義域，值域和對應(yīng)法則．其中定義域和對應(yīng)法則是核心.1．了解映射的意義，對于給出對應(yīng)關(guān)系的映射會求映射中指定元素的象與原象.2．能根據(jù)函數(shù)三要素判斷兩個(gè)函數(shù)是否為同一函數(shù).3．掌握函數(shù)的三種表示法(列表法、圖象法和解析法)，理解函數(shù)符號f(x)(對應(yīng)法則)，能依據(jù)一定的條件求出函數(shù)的對應(yīng)法則.4．理解定義域在三要素的地位，并會求定義域.例1設(shè)集合A和B都是自然數(shù)集合N．映射f：A→B把集合A中的元素x映射到集合B中的元素2x＋x，則在映射f作用下，2的象是；20的原象是.【分析】由已知，在映射f作用下x的象為2x＋x.設(shè)象20的原象為x，則x的象為20，即2x所有可能值為.【分析】從映射的角度看，函數(shù)就是映射，函數(shù)解析式就是映射的法則.所以f(1)＝3.又f(0)＝－1，所以f(a)＝－1，＝－＝－＝－例3下列四組函數(shù)中，表示同一函數(shù)的是()22【分析】(A)(C)(D)中兩個(gè)函數(shù)的定義域均不同，所以不是同一函數(shù)．(B)中兩個(gè)函數(shù)的定義域相同，化簡后為y＝｜x｜及y＝｜t｜，法則也相同，所以選(B).【評析】判斷兩個(gè)函數(shù)是否為同一函數(shù)，就是要看兩個(gè)函數(shù)的定義域與法則是否完全相對解析式進(jìn)行合理變形的情況下，看法則是否一致.例4求下列函數(shù)的定義域｜－所以，所求函數(shù)的定義域?yàn)閧x｜x≥2或x≤0}.(2)由x2＜－所以，所求函數(shù)的定義域?yàn)閧x｜x＞1或x3}.所以，所求函數(shù)的定義域?yàn)閧x|x＜3，且x≠0，x≠1}｜－例5已知函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?0，1)，求函數(shù)f(x＋1)及f(x2)的定義域.【分析】此題的題設(shè)條件中未給出函數(shù)f(x)的解析式，這就要求我們根據(jù)函數(shù)三要素之間的相互制約關(guān)系明確兩件事情：①定義域是指x的取值范圍；②受對應(yīng)法則f制約的量的取值范圍在“已知”和“求”當(dāng)中是一致的．那么由f(x)的定義域是(0，1)可知法則f制約的量的取值范圍是(0，1)，而在函數(shù)f(x＋1)中，受f直接制約的是x＋1，而定義域是指x的范圍，｜－例6如圖，用長為l的鐵絲彎成下部為矩形，上部為半圓形的框架，若矩形的底邊長為2x，求此框架圍成的面積y與x的函數(shù)關(guān)系式，并指出定義域.所以，所求函數(shù)定義域?yàn)椤驹u析】求函數(shù)定義域問題一般有以下三種類型問題.(1)給出函數(shù)解析式求定義域(如例4)，這類問題就是求使解析式有意義的自變量的取值范圍．正確的解不等式或不等式組在解決這類問題中是重要的.中學(xué)數(shù)學(xué)中常見的對變量有限制的運(yùn)算法則有：①分式中分母不為零；②偶次方根下被π2(2)不給出f(x)的解析式而求定義域(如例5)．其解決辦法見例5的分析.(3)在實(shí)際問題中求函數(shù)的定義域(如例6)．在這類問題中除了考慮解析式對自變量的限制，還應(yīng)考慮實(shí)際問題對自變量的限制.究函數(shù)單調(diào)性、奇偶性、最值等問題時(shí)，首先要考慮的就是函數(shù)的定義域.例已知f的解析式；(4)*已知函數(shù)y＝f(x)與函數(shù)y＝g(x)＝2x的圖象關(guān)于直線x＝1對稱，求f(x)的解析式.【分析】(1)求函數(shù)f(x)的解析式，從映射的角度看就是求對應(yīng)法則，于是，我們一般有下面兩種方法解決(1)這樣的問題.1方法一通過這樣“湊型”的方法，我們可以明確看到法則f是“原象對應(yīng)于原象除以原象的平方減1”．所以，f12這樣，通過“換元”的方法也可以明確看到法則是什么.(4)這個(gè)問題相當(dāng)于已知f(x)的圖象滿足一定的條件，進(jìn)而求函數(shù)f(x)的解析式．所以，可以類比解析幾何中求軌跡方程的方法求f(x)的解析式.所以，f(x)＝22－x.【評析】由于已知條件的不同，求函數(shù)的解析式的常見方法有象(1)(2)所用到的“湊形”及“換元”的方法；有象(3)所用到的待定系數(shù)法；也有象(4)所用到的解析法.值得注意的是(4)中所用的解析法．在求函數(shù)解析式或者求軌跡方程時(shí)都可以用這種方法，是一種通法．同時(shí)也表明函數(shù)和它的圖象與曲線和它的方程之間有必然的聯(lián)系.例8已知二次函數(shù)f(x)的對稱軸為x＝1，且圖象在y軸上的截距為－3，被x軸截得的線段長為4，求f(x)的解析式.解：解法一設(shè)f(x)＝ax2＋bx＋c，由f(x)的對稱軸為x＝1，可得b＝－2a；由圖象在y軸上的截距為－3，可得c＝－3；由圖象被x軸截得的線段長為4，可得x＝－f(x)＝x2－2x－3.＝－所以，設(shè)f(x)＝a(x＋1)(x－3)，又f(x)圖象在y軸上的截距為－3，即函數(shù)圖象過(0，－3)點(diǎn).＝－【評析】二次函數(shù)是非常常見的一種函數(shù)模型，在高中數(shù)學(xué)中地位很重.雙根式y(tǒng)＝a(x－x1)(x－x2)，其中x1，x2為函數(shù)圖象與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，即二次函數(shù)所對應(yīng)的一元二次方程的兩個(gè)根.0.55元／kW·h至0.75元／kW·h之間，而用戶期望電價(jià)為0.40元／kW·h.經(jīng)測算，下調(diào)電價(jià)后新增的用電量與實(shí)際電價(jià)和用戶期望電價(jià)的差成反比(比例系數(shù)為(1)寫出本年度電價(jià)下調(diào)后，電力部門的收益y與實(shí)際電價(jià)x的函數(shù)關(guān)系式；(2)設(shè)k＝0.2a，當(dāng)電價(jià)最低定為多少時(shí)，仍可保證電力部門的收益比上年至少增長20％?解：(1)依題意，當(dāng)實(shí)際電價(jià)為x元／kW·h時(shí)，用電量將增加至故電力部門的收益為(2)易知，上年度的收益為(0.8－0.3)a，依題意，解得0.60≤x≤0.75.所以，當(dāng)電價(jià)最低定為0.60元／kW·h時(shí)，仍可保證電力部門的收益比上年至少增長20%.一、選擇題｜－2．圖中的圖象所表示的函數(shù)的解析式為()3．已知f＝x2＋2x，則f－｜)x2x1x22二、填空題 .6．函數(shù)f的定義域是.7．已知函數(shù)f(x)，g(x)分別由下表給出x則f[g(1)]的值為；滿足f[g(x)]＞g[f(x)]的x的值是.三、解答題角形與矩形CDEF重合部分面積y(cm2)與時(shí)間t的函數(shù)關(guān)系(設(shè)0≤t≤3)，并求出y的最【知識要點(diǎn)】函數(shù)的性質(zhì)包括函數(shù)的定義域、值域及值的某些特征、單調(diào)性、奇偶性、周期性與對稱性等等．本章著重研究后四個(gè)方面的性質(zhì).本節(jié)的重點(diǎn)在于理解與函數(shù)性質(zhì)有關(guān)的概念，掌握有關(guān)判斷、證明的基本方法以及簡單的應(yīng)用．?dāng)?shù)形結(jié)合是本節(jié)常用的思想方法.1．設(shè)函數(shù)y＝f(x)的定義域?yàn)镈，如果對于D內(nèi)的任意一個(gè)x，都有－x∈D，且f(－x)=-f(x)，則這個(gè)函數(shù)叫做奇函數(shù).則這個(gè)函數(shù)叫做偶函數(shù).奇函數(shù)的圖象是以坐標(biāo)原點(diǎn)為對稱中心的中心對稱圖形；通過同樣的分析可以得到，偶函數(shù)的圖象是以y軸為對稱軸的軸對稱圖形.2．一般地，設(shè)函數(shù)y＝f(x)的定義域?yàn)锳，區(qū)間MA．如果取區(qū)間M中的任意兩個(gè)值x12，改變量Δx＝x2－x1＞0，則當(dāng)Δy＝f(x2)－f(x1)＞0時(shí)，就稱函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間M上是增函數(shù)；當(dāng)Δy＝f(x2)－f(x1)＜0時(shí)，就稱函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間M上是減函數(shù).如果一個(gè)函數(shù)在某個(gè)區(qū)間M上是增函數(shù)或是減函數(shù)，就說這個(gè)函數(shù)在這個(gè)區(qū)間M上具有單調(diào)性，區(qū)間M稱為單調(diào)區(qū)間.在單調(diào)區(qū)間上，增函數(shù)的圖象是上升的，減函數(shù)的圖象是下降的.3．一般的，對于函數(shù)f(x)，如果存在一個(gè)不為零的常數(shù)T，使得當(dāng)x取定義域中的每一個(gè)值時(shí)，f(x＋T)＝f(x)都成立，那么就把函數(shù)y＝f(x)叫做周期函數(shù)，不為零的常數(shù)T叫做這個(gè)函數(shù)的周期.4．一般的，對于函數(shù)f(x)，如果存在一個(gè)不為零的常數(shù)a，使得當(dāng)x取定義域中的每一個(gè)值時(shí)，f(a＋x)＝f(a－x)都成立，則函數(shù)y＝f(x)的圖象關(guān)于直線x＝a對稱.【復(fù)習(xí)要求】1．理解函數(shù)的單調(diào)性、最大值、最小值及其幾何意義；會用定義證明函數(shù)的單調(diào)性，會利用函數(shù)的單調(diào)性處理有關(guān)的不等式問題；2．了解函數(shù)奇偶性的含義．能判斷簡單函數(shù)的奇偶性.3．了解函數(shù)周期性的含義.4．了解函數(shù)單調(diào)性、奇偶性和周期性之間的聯(lián)系，并能解決相關(guān)的簡單問題.【例題分析】例1判斷下列函數(shù)的奇偶性.解解得到函數(shù)的定義域?yàn)閧x｜x＞1或x≤0}，定義域區(qū)間關(guān)于原點(diǎn)不對稱，所以此函數(shù)為非奇非偶函數(shù).(2)函數(shù)的定義域?yàn)閧x｜x≠0}，但是，由于f(1)＝2，f(－1)＝0，即f(1)≠f(－1)，且f(1)≠-f(－1)，所以此函數(shù)為非奇非偶函數(shù).(3)函數(shù)的定義域?yàn)镽，又f(－x)＝(－x)3－3(－x)x3＋3xf(x)，所以此函數(shù)為奇函數(shù).所以此函數(shù)為奇函數(shù).(5)函數(shù)的定義域?yàn)镽，又f所以此函數(shù)為奇函數(shù).【評析】由函數(shù)奇偶性的定義，可以得到下面幾個(gè)結(jié)論：①一個(gè)函數(shù)是奇(或偶)函數(shù)的必要不充分條件是定義域關(guān)于原點(diǎn)對稱；②f(x)是奇函數(shù)，并且f(x)在x＝0時(shí)有定義，則必有f(0)＝0；③既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)的函數(shù)，其解析式一定為f(x)＝0.判定函數(shù)奇偶性按照其定義可以分為兩個(gè)步驟：①判斷函數(shù)的定義域是否關(guān)于原點(diǎn)對稱；②考察f(－x)與f(x)的關(guān)系.由此，若以奇偶性為標(biāo)準(zhǔn)可以把函數(shù)分為奇函數(shù)，偶函數(shù)，既奇又偶函數(shù)和非奇非偶函數(shù)四類.例2設(shè)函數(shù)f(x)在R上有定義，給出下列函數(shù)：f(x)|;②y＝xf(x2)；③yf(－x)；④y＝f(x)－f(－x).其中必為奇函數(shù)的有．(填寫所有正確答案的序號)【分析】①令F(x)ff(－x)由于f(x)與f(－x)關(guān)系不明確，所以此函數(shù)的奇偶性無法確定.②令F(x)＝xf(x2)，則F(－x)＝－xf[(－x)2]＝－xf(x2)＝－F(x)，所以F(x)為奇函數(shù).③令F(x)f(－x)，則F(－x)f[－(－x)]f(x)，由于f(x)與f(－x)關(guān)系不明確，所以此函數(shù)的奇偶性無法確定.④令F(x)＝f(x)－f(－x)，則F(－x)＝f(－x)－f[－(－x)＝－為奇函數(shù).所以，②④為奇函數(shù).例3設(shè)函數(shù)f(x)在R上有定義，f(x)的值不恒為零，對于任意的x，y∈R，恒有f(x＋y)=f(x)＋f(y)，則函數(shù)f(x)的奇偶性為.解：令x＝y(tǒng)＝0，則f(0)＝f(0)＋f(0)，所以f(0)＝0，再令yx，則f(0)＝f(x)＋f(－x)，所以f(－x)f(x)，又f(x)的值不恒為零，故f(x)是奇函數(shù)而非偶函數(shù).【評析】關(guān)于函數(shù)方程“f(x＋y)＝f(x)＋f(y)”的使用一般有以下兩個(gè)思路：令x，y為某些特殊的值，如本題解法中，令x＝y(tǒng)＝0得到了f(0)＝0．當(dāng)然，如果令x＝y(tǒng)＝1則可以得到f(2)＝2f(1)，等等.令x，y具有某種特殊的關(guān)系，如本題解法中，令y＝－x．得到f(2x)＝2f(x)，在某些情1況下也可令yy＝x，等等.x總之，函數(shù)方程的使用比較靈活，要根據(jù)具體情況作適當(dāng)處理．在不是很熟悉的時(shí)候，要有試一試的勇氣.例4已知二次函數(shù)f(x)＝x2＋bx＋c滿足f(1＋x)＝f(1－x)，求b的值，并比較f(－1)與f(4)的大小.解：因?yàn)閒(1＋x)＝f(1－x)，所以x＝1為二次函數(shù)圖象的對稱軸，b＝－2根據(jù)對稱性，f(－1)＝f(3)，又函數(shù)在[1，+∞)上單調(diào)遞增，所以f(3)＜f(4)，即f(－1)＜f(4).例5已知f(x)為奇函數(shù)，當(dāng)x≥0時(shí)，f(x)＝x2－2x，(1)求f(－1)的值；(2)當(dāng)x＜0時(shí)，求f(x)的解析式.解：(1)因?yàn)閒(x)為奇函數(shù)，所以f(－1)＝－f(1)＝－(12－2×1)＝1.(2)方法一：當(dāng)x＜0時(shí)x＞0．所以，方法二：設(shè)(x，y)是f(x)在x＜0時(shí)圖象上一點(diǎn)，則(－xy)一定在f(x)在x＞0時(shí)的圖，－＝－bb數(shù).bx2b=a(x2＋x1)(x2－x1)＋b(x2－bbf(xbb例7已知函數(shù)f(x)是定義域?yàn)镽的單調(diào)增函數(shù).(1)比較f(a2＋2)與f(2a)的大??；(2)若f(a2)＞f(a＋6)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.由已知，f(x)是單調(diào)增函數(shù)，所以f(a2＋2)＞f(2a).(2)因?yàn)閒(x)是單調(diào)增函數(shù)，且f(a2)＞f(a＋6)，所以a2＞a＋6，解得a＞3或a2.【評析】回顧單調(diào)增函數(shù)的定義，在x1，x2為區(qū)間任意兩個(gè)值的前提下，有三個(gè)重要的問題：Δx＝x2－x1的符號；Δy＝f(x2)－f(x1)的符號；函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間上是增還是減.由定義可知：對于任取的x1，x2，若x2＞x1，且f(x2)＞f(x1)，則函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間上是不僅如此，若x2＞x1，且函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間上是增函數(shù)，則f(x2)＞f(x1)；若f(x2)＞f(x1)，且函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間上是增函數(shù)，則x2＞x1；于是，我們可以清晰地看到，函數(shù)的單調(diào)性與不等式有著天然的聯(lián)系．請結(jié)合例5例6體會這一點(diǎn).函數(shù)的單調(diào)性是極為重要的函數(shù)性質(zhì)，其與其他問題的聯(lián)系、自身的應(yīng)用都很廣泛，在復(fù)習(xí)中要予以充分注意.例8設(shè)f(x)是定義域?yàn)?-∞,0)∪(0，+∞)的奇函數(shù)，且它在區(qū)間(-∞,0)上是減函數(shù).(1)試比較f(－2)與－f(3)的大小；解：(1)因?yàn)閒(x)是奇函數(shù)，所以－f(3)＝f(－3)，又f(x)在區(qū)間(-∞,0)上是減函數(shù)，所以f(－3)＞f(－2)，即－f(3)＞f(－2).因?yàn)閚m∈(-∞,0)，nm，f(x)在區(qū)間(-∞,0)上是減函數(shù)，所以f(n)＞f(－m)，因?yàn)閒(x)是奇函數(shù)，所以f(－m)f(m)，所以f(n)f(m)，即f(m)＋f(n)＞0.例9函數(shù)f(x)是周期為2的周期函數(shù)，且f(x)＝x2，x∈[－1，1].(1)求f(7.5)的值；(2)求f(x)在區(qū)間[2n－1，2n＋1]上的解析式.解：(1)因?yàn)楹瘮?shù)f(x)是周期為2的周期函數(shù)，所以f(x＋2k)＝f(x)，k∈Z.1所以f(7.5)＝f(－0.5＋8)＝f(－0.5)=.41．下列函數(shù)中，在(1，+∞)上為增函數(shù)的是()2．下列判斷正確的是(＝｜)1x(A)定義在R上的函數(shù)f(x)，若f(－1)＝f(1)，且f(－2)＝f(2)，則f(x)是偶函數(shù)(B)定義在R上的函數(shù)f(x)滿足f(2)＞f(1)，則f(x)在R上不是減函數(shù)(C)定義在R上的函數(shù)f(x)在區(qū)間(-∞,0]上是減函數(shù)，在區(qū)間(0，+∞)上也是減函數(shù)，則f(x)在R上是減函數(shù)(D)不存在既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)的函數(shù)(A)－2(B)2(C)1(D)－14．設(shè)f(x)是R上的任意函數(shù)，則下列敘述正確的是()f(C)f(x)－f(－x)是偶函數(shù)(D)f(x)＋f(－x)是偶函數(shù)二、填空題5．若函數(shù)f(x)＝4x2－mx＋5在區(qū)間[－2，+∞)是增函數(shù)，則m的取值范圍是；f(1)的取值范圍是.6．已知函數(shù)f(x)是定義在(-∞,+∞)上的偶函數(shù)．當(dāng)x∈(-∞,0)時(shí)，f(x)＝x－x4，則當(dāng)x∈(0，+∞)時(shí)，f(x)=.7．設(shè)函數(shù)為奇函數(shù)，則實(shí)數(shù)a=.ππππEQ\*jc3\*hps20\o\al(\s\up3(2),1)EQ\*jc3\*hps20\o\al(\s\up3(2),2)其中能使f(x1)＞f(x2)恒成立的條件序號是三、解答題9．已知函數(shù)f(x)是單調(diào)減函數(shù).a(2)若f(｜a－1｜)＞f(3)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.x(1)判斷函數(shù)f(x)的奇偶性；(2)當(dāng)a＝1時(shí)，證明函數(shù)f(x)在區(qū)間[2，+∞)上是增函數(shù).11．定義在(0，+∞)上的函數(shù)f(x)滿足①f(2)＝1；②f(xy)＝f(x)＋f(y)，其中x，y為任意正實(shí)數(shù)，③任意正實(shí)數(shù)x，y滿足x≠y時(shí)，(x－y)[f(x)－f(y)]＞0恒成立.(1)求f(1)，f(4)的值；(2)試判斷函數(shù)f(x)的單調(diào)性；(3)如果f(x)＋f(x－3)≤2，試求x的取值范圍.本節(jié)復(fù)習(xí)的基本初等函數(shù)包括：一次函數(shù)、二次函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)和冪函數(shù)，三角函數(shù)在三角部分復(fù)習(xí).函數(shù)的圖象上直觀地反映著函數(shù)的性質(zhì)，學(xué)習(xí)函數(shù)的“捷徑”是熟知函數(shù)的圖象．熟知函數(shù)圖象包括三個(gè)方面：作圖，讀圖，用圖.數(shù)的性質(zhì)一般包括定義域，值域，圖象特征，單調(diào)性，奇偶性，周期性，零點(diǎn)、最值以及值的變化特點(diǎn)等，研究和記憶函數(shù)性質(zhì)的時(shí)候應(yīng)全面考慮.函數(shù)的定義(通常情況下是解析式)決定著函數(shù)的性質(zhì)，我們可以通過解析式研究函數(shù)的性質(zhì)，也可以通過解析式畫出函數(shù)的圖象，進(jìn)而直觀的發(fā)現(xiàn)函數(shù)的性質(zhì).【知識要點(diǎn)】(1)定義域?yàn)镽，值域?yàn)镽；(2)圖象如圖所示，為一條直線；(4)當(dāng)且僅當(dāng)b＝0時(shí)一次函數(shù)是奇函數(shù)．一次函數(shù)不可能是偶函數(shù).bk通過配方，函數(shù)的解析式可以變形為(1)定義域?yàn)镽：(2)圖象為拋物線，拋物線的對稱軸為頂點(diǎn)坐標(biāo)為當(dāng)a＞0時(shí)，拋物線開口向上；當(dāng)a＜0時(shí)，拋物線開口向下.(4)當(dāng)且僅當(dāng)b＝0時(shí)，二次函數(shù)是偶函數(shù)；二次函數(shù)不可能是奇函數(shù).(5)當(dāng)判別式Δ=b2－4ac＞0時(shí)，函數(shù)有兩個(gè)變號零點(diǎn)b當(dāng)判別式Δ=b2－4ac＝0時(shí)，函數(shù)有一個(gè)不變號零點(diǎn)?;當(dāng)判別式Δ=b2－4ac＜0時(shí)，函數(shù)沒有零點(diǎn).(1)定義域?yàn)镽；值域?yàn)?0，+∞).(2)a＞1時(shí)，指數(shù)函數(shù)為增函數(shù)；0＜a＜1時(shí)，指數(shù)函(3)函數(shù)圖象如圖所示．不具有奇偶性、周期性，也沒有零點(diǎn).對數(shù)函數(shù)y＝logax與指數(shù)函數(shù)y＝ax互為反函數(shù).(1)定義域?yàn)?0，+∞)；值域?yàn)镽.(2)a＞1時(shí)，對數(shù)函數(shù)為增函數(shù)；0＜a＜1時(shí)，對數(shù)函(3)函數(shù)圖象如圖所示．不具有奇偶性、周期性，冪函數(shù)隨著α的取值不同，它們的定義域、性質(zhì)和圖象也(1)所有的冪函數(shù)在(0，+∞)都有定義，并且圖象都通過點(diǎn)(1，1)；(2)如果α>0，則冪函數(shù)的圖象通過原點(diǎn)，并且在區(qū)間[0，+∞)上是增函數(shù)；(3)如果α＜0，則冪函數(shù)在區(qū)間(0，+∞)上是減函數(shù)，在第一象限內(nèi)，當(dāng)x從右邊趨向于原點(diǎn)時(shí)，圖象在y軸右方無限地接近y軸，當(dāng)x趨于+∞時(shí)，圖象在x軸上方無限地接近x軸.因?yàn)樗械膬绾瘮?shù)在(0，+∞)都有定義，并且當(dāng)x∈(0，+∞)時(shí)，xα>0，所以所有的冪函數(shù)y＝xα(α∈R)在第一象限都有圖象.根據(jù)冪函數(shù)的共同性質(zhì)，可以比較容易的畫出一個(gè)冪函數(shù)在第一象限的圖象，再根據(jù)冪函數(shù)的定義域和奇偶性，我們可以得到這個(gè)冪函數(shù)在其他象限的圖象，這樣就能夠得到這個(gè)冪函數(shù)的大致圖象.負(fù)數(shù)沒有偶次方根.EQ\*jc3\*hps36\o\al(\s\up15(奇),為)EQ\*jc3\*hps36\o\al(\s\up15(數(shù)),偶)EQ\*jc3\*hps36\o\al(\s\up15(時(shí)),數(shù))時(shí)1an*，且m為既約分?jǐn)?shù)).n*，且為既約分?jǐn)?shù)).an(3)冪的運(yùn)算性質(zhì)(5)對數(shù)恒等式：alogaN＝N.(6)對數(shù)的性質(zhì)：零和負(fù)數(shù)沒有對數(shù)(對數(shù)的真數(shù)必須大于零!)；(7)對數(shù)的運(yùn)算法則及換底公式：Mlog(MN)=logM+logN;logMaaaaNlogaMα=αlogaM；aM?logaN；a【復(fù)習(xí)要求】1．掌握基本初等函數(shù)的概念，圖象和性質(zhì)，能運(yùn)用這些知識解決有關(guān)的問題；其中冪函數(shù)主要掌握y＝x，y＝x2，y＝x3，y3．整體把握函數(shù)的圖象和性質(zhì)，解決與函數(shù)有關(guān)的綜合問題.【例題分析】(1)325；(4)log2[log3(log464)]；【評析】指數(shù)、對數(shù)運(yùn)算是兩種重要的運(yùn)算，在運(yùn)算過程中公式、法則的準(zhǔn)確、靈活使用是關(guān)鍵.例2已知二次函數(shù)f(x)滿足f(2)1，f(－1)1，且f(x)的最大值為8，試確定f(x)的解析式.解：解法一＝－解法二為f(2)1，f(－1)1，所以拋物線的對稱軸為，4x2例3(1)如果二次函數(shù)f(x)＝x2＋(a＋2)x＋5在區(qū)間(2，+∞)上是增函數(shù)，則a的取值范圍是.(2)二次函數(shù)y＝ax2－4x＋a－3的最大值恒為負(fù)，則a的取值范圍是.(3)函數(shù)f(x)＝x2＋bx＋c對于任意t∈R均有f(2＋t)＝f(2－t)，則f(1)，f(2)，f(4)的大小關(guān)解：(1)由于此拋物線開口向上，且在(2，+∞)上是增函數(shù)，(2)分析二次函數(shù)圖象可知，二次函數(shù)最大值恒為負(fù)的充要條件是“二次項(xiàng)系數(shù)a＜0，且判別式Δ＜0”(3)因?yàn)閷τ谌我鈚∈R均有f(2＋t)＝f(2－t)，所以拋物線對稱軸為x＝2，又拋物線開口向上，做出函數(shù)圖象簡圖可得f(2)＜f(1)＜f(4).＝－3當(dāng)m＜0時(shí)，注意到f(0)＝1，又拋物線開口向下，所以拋物線與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)必在原當(dāng)m＞0時(shí)，注意到f(0)＝1，又拋物線開口向上，所以拋物線與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)必在原綜上，m∈(-∞,1].【評析】在高中階段，凡“二次”皆重點(diǎn)，二次函數(shù)，一元二次方程，一元二次不等式，二次曲線都應(yīng)著重去理解、掌握.例2、3、4三個(gè)題目充分體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合思想及運(yùn)動變化思想的運(yùn)用．這兩種數(shù)學(xué)思想在函數(shù)問題的解決中被普遍使用.所以y＝bax＝(ba)x應(yīng)為減函數(shù).【評析】在本題的解決過程中，對函數(shù)圖象的深入分析起到了至關(guān)重要的作用.這里，對基本初等函數(shù)圖象的熟悉是前提，對圖象的形態(tài)的進(jìn)一步研究與關(guān)注是解決深層問題要重點(diǎn)學(xué)習(xí)的，例4中“注意到f(0)＝1”，例5中“作直線y＝1”就是具體的表現(xiàn)，沒有“熟悉”和“深入的研究”是不可能“注意到”的，也作不出“直線y＝1”.EQ\*jc3\*hps21\o\al(\s\up13(3),2)EQ\*jc3\*hps21\o\al(\s\up13(1),2)(1)若f(x)為偶函數(shù)，且在(0，+∞)上是增函數(shù)，求f(x)的解析式；(2)若f(x)在(0，+∞)上是減函數(shù)，求k的取值范圍.解：(1)因?yàn)閒(x)在(0，+∞)上是增函數(shù)，所以+k?k2>0，解得－1＜k＜3，又因?yàn)閒(x)為偶函數(shù)，所以k＝1，f(x)＝x2.(2)因?yàn)閒(x)在(0，+∞)上是減函數(shù)，所以+k?k2<0，解得k1，或k＞3(k∈Z).例7比較下列各小題中各數(shù)的大小3【分析】(1)函數(shù)y＝log2x在區(qū)間(0，+∞)上是增函數(shù)，所以log20.6＜log21＝0，函數(shù)y＝log0.6x在區(qū)間(0，+∞)上是減函數(shù)，所以log0.6>log0.61=02(3)利用冪函數(shù)和指數(shù)函數(shù)單調(diào)性．0.50.2＞0.20.2＞0.20.5.222【分析】方法一(作商比較法)方法二(作差比較法)方法三(構(gòu)造函數(shù))因?yàn)?－b＜0，所以此函數(shù)為減函數(shù)，又a∈(2，+∞)，【評析】兩個(gè)數(shù)比較大小的基本思路：如果直接比較，可以考慮用比較法(包括“作差比較法”與“作商比較法”，如例8的方法一與方法二)，或者利用函數(shù)的單調(diào)性來比較(如例7(1)(2)(3)，例8的方法三).如果用間接的方法可以嘗試對要比較的兩數(shù)進(jìn)行適當(dāng)?shù)淖冃?，轉(zhuǎn)化也可以考慮借助中間量來比較(如例7(4)(5)(6)).解：log2(x－1)＜2，即log2(x－1)＜log24，根據(jù)函數(shù)y＝log2x的單調(diào)性，可得x－1＜4，所以x＜5，例10已知A，B為函數(shù)y＝log8x的圖象上兩點(diǎn)，分別過A，B作y軸的平行線與函數(shù)(1)如果A，B兩點(diǎn)的連線經(jīng)過原點(diǎn)O，請問C，D，O三點(diǎn)也共線么?證明你的結(jié)論.(2)當(dāng)A，B，O三點(diǎn)共線并且BC與x軸平行時(shí)，求A點(diǎn)的坐標(biāo).同樣可得kOD=EQ\*jc3\*hps20\o\al(\s\up2(3),1)EQ\*jc3\*hps20\o\al(\s\up2(3),1)代入①式中可得x=3，于是A(3,log3).1．已知集合，則M∩N=(A){－1，1}(B){－1}(C){0}(D){－1，0}2(A)f(x1)＞f(x2)(C)f(x1)＝f(x2)(D)f(x1)與f(x2)的大小不能確定二、填空題6．若函數(shù)y＝f(x)是函數(shù)y＝ax(a＞0，且a≠1)的反函數(shù)，其圖象經(jīng)過點(diǎn)(a,a)，則f(x)=.______7．設(shè)g=.8．對于函數(shù)f(x)定義域中任意的x1，x2(x1≠x2)，有如下結(jié)論：當(dāng)f(x)＝lgx時(shí)，上述結(jié)論中正確結(jié)論的序號是.三、解答題 15求f(x)的解析式.11．已知函數(shù)f(x)是函數(shù)g(x)＝ax的反函數(shù)，且(－1，2)在y＝g(x)的圖象上.(1)求f(x)的表達(dá)式；ff在函數(shù)圖象上，定義域、值域、對應(yīng)關(guān)系、單調(diào)性、奇偶性和周期性一覽無遺．因此，快速準(zhǔn)確地作出函數(shù)圖象成為學(xué)習(xí)函數(shù)的一項(xiàng)基本功，而讀圖也從“形”的角度成為解決函數(shù)問題及其他相關(guān)問題的一種重要方法.【知識要點(diǎn)】作函數(shù)圖象最基本的方法是列表描點(diǎn)作圖法.y＝f(x＋a)：將y＝f(x)的圖象向左(a＞0)或向右(a＜0)平移｜a｜個(gè)單位可得.y＝f(x)＋a：將y＝f(x)的圖象向上(a＞0)或向下(a＜0)平移｜a｜個(gè)單位可得.yf(x)：作y＝f(x)關(guān)于x軸的對稱圖形可得.y＝f(－x)：作y＝f(x)關(guān)于y軸的對稱圖形可得.yf(x)將y＝f(x)的圖象在x軸下方的部分沿x軸翻折到x軸的上方，其他部分不變即得.y＝f(｜x｜)：此偶函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對稱，且當(dāng)x≥0時(shí)圖象與y＝f(x)的圖象重合.【復(fù)習(xí)要求】1．能夠在對函數(shù)性質(zhì)作一定的討論之后，用描點(diǎn)法作出函數(shù)的圖象.2．能夠?qū)σ阎瘮?shù)y＝f(x)的圖象，經(jīng)過適當(dāng)?shù)膱D象變換得到預(yù)期函數(shù)的圖象.3．通過讀圖能夠分析出圖形語言所表達(dá)的相關(guān)信息(包括函數(shù)性質(zhì)及實(shí)際形結(jié)合的思想解決一些與函數(shù)有關(guān)的問題.【例題分析】答：(1)將y＝logx的圖象左移1個(gè)單位，得到函數(shù)y＝log(x＋1)的圖象；(2)將y＝2x的圖象左移1個(gè)單位，得到函數(shù)y＝2x＋1的圖象，再將y移一個(gè)單位得到函數(shù)y＝2x＋1－1的圖象.例2作函數(shù)的圖象.【分析】方法一(描點(diǎn)法)分析函數(shù)的性質(zhì)，得與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)：(01)；對稱性：偶函數(shù)，關(guān)于y軸對稱；單調(diào)性：當(dāng)x＞1時(shí)，y=是減函數(shù)；用同樣的方法可得[0，1)為函數(shù)的減區(qū)間；(-∞,-1)，(－1，0)為函數(shù)的增區(qū)間．結(jié)合上面的分析，經(jīng)過簡單的描點(diǎn)作圖可得如右圖所示的函數(shù)圖象.方法二(函數(shù)圖象變換法)如在明確本題函數(shù)為偶函數(shù)之后，就只需做出的圖象了.函數(shù)圖象是函數(shù)規(guī)律的直接表現(xiàn)，函數(shù)性質(zhì)對函數(shù)規(guī)律進(jìn)行了理論上的刻畫，兩者之間是具體與抽象的兩方面，它們相互支撐，是學(xué)習(xí)、研究函數(shù)的兩個(gè)入手點(diǎn).對于方法二，有些學(xué)生用這種方法易出現(xiàn)的錯(cuò)誤是：先作函數(shù)的圖象，再作的圖象，再作y=的圖象.在這個(gè)過程中，由y=變到時(shí)，誤以為應(yīng)遵循y＝f(x)變化到y(tǒng)＝f(x－1)的規(guī)律．事實(shí)上直接變換得不到要得的函數(shù)圖象.【分析】將y＝ax(a＞1)圖象向下平移｜b｜個(gè)單位(0b1)，依圖象可知函數(shù)y=＋b的圖象一定不過第四象限．選D.例4已知f(x)＝｜2x－1｜，且a＜b＜c＜0，則f(a)、f(b)、f(c)的大小關(guān)系為.【分析】先畫y＝2x的圖象；然后將圖象下移一個(gè)單位得到y(tǒng)＝2x－1的圖象；最后將x軸下方的圖象對稱翻折到x軸上方，原x軸上方的圖象不變，就得到了f(x)＝｜2x－1｜的圖象．函數(shù)f(x)的圖象如圖所示.所以f(x)在(-∞,0]是減函數(shù)，所以，a＜b＜c＜0，所以f(a)＞f(b)＞f(c).例5函數(shù)y＝－xcosx的部分圖象是()【分析】對于函數(shù)f(x)xcosx，x∈R，所以f(x)為奇函數(shù)，否定(A)(C)選項(xiàng).2所以f(x)在原點(diǎn)右側(cè)附近時(shí)值為負(fù)，否定(B)選項(xiàng)．于是選(D).例6已知函數(shù)f(x)是定義在(－3，3)上的偶函數(shù)，當(dāng)0≤x＜3時(shí)，f(x)的圖象如圖所示，那么不等式解集是.【分析】根據(jù)偶函數(shù)圖象關(guān)于y軸對稱，補(bǔ)全函數(shù)f(x)在(－3，3)上的圖象.解不等式f(x)≤0，就是“找到”使得f(x)≤0的所有的x，就是在函數(shù)y＝f(x)的圖象上找到使得縱坐標(biāo)小于或等于零的所有自變量.根據(jù)補(bǔ)全的f(x)圖象，識圖可得不等式f(x)≤0解集為{x3＜x≤-1或1≤x＜3}.思考：如果問“不等式xf(x)＜0解集是．”該怎樣利用已知函數(shù)的圖象呢?答：{x1＜x＜0或1＜x＜3}.例7在某種金屬材料的耐高溫實(shí)驗(yàn)中，溫度隨著時(shí)間變化的情況由微機(jī)記錄后顯示出①前5分鐘溫度增加的速度越來越快；②前5分鐘溫度增加的速度越來越慢；③5分鐘后溫度保持勻速增加；④5分鐘后溫度保持不變.其中說法正確的是.【分析】5分鐘后溫度保持不變，這一點(diǎn)通過圖象易于判斷.前5分鐘的情況，通過圖象可以看到每分鐘的變化率越來越小，于是變化速度是越來越慢的．所以②④正確.例8已知函數(shù)，求證：函數(shù)y＝f的圖象關(guān)于點(diǎn)(1，2)成中心對稱圖形.y0)關(guān)于(1，2)的對稱點(diǎn)為Q(x1，y1)，根據(jù)中點(diǎn)坐標(biāo)公式得解得以下只需證明Q(x1，y1)也在函數(shù)y＝f(x)的圖象上.1＝f在函數(shù)y＝f(x)的圖象上．所以函數(shù)y＝f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(1，2)成中心對稱圖形.1．將指數(shù)函數(shù)f(x)的圖象向右平移一個(gè)單位，得到如圖的g(x)的圖象，則f(x)＝()(A)2x(B)3x(C)()x(D)()3．已知f(x)＝｜log3x｜，則下列不等式成立的是()(A)f(1)>f(2)(B)f(1)>f(3)(C)f(1)>f(1)二、填空題5．如下圖據(jù)新華社2002年3月12日電，1985年到2000年間，我國農(nóng)村人均居住面積如圖所示，其中，從年到年的五年間增長最快.6．函數(shù)y＝lg(－x)＋1的圖象是由y＝lgx的圖象得到的.EQ\*jc3\*hps22\o\al(\s\up18(1),2.______值范圍是.三、解答題f證明：函數(shù)φ的圖象關(guān)于點(diǎn)對稱.(1)函數(shù)y＝f(x)的圖象關(guān)于直線y＝x成軸對稱圖形；(2)經(jīng)過這個(gè)函數(shù)圖象上任意兩個(gè)不同的點(diǎn)的直線不平行于x軸.最大值與最小值是研究變量問題時(shí)常需要考慮的問題，也是高中數(shù)學(xué)中最重要的問題之一．函數(shù)的最大值、最小值問題常與實(shí)際問題聯(lián)系在一起.函數(shù)的最值與值域在概念上是完全不同的，但對于一些簡單函數(shù)，其求法是相通的.【知識要點(diǎn)】本節(jié)主要討論兩類常見的函數(shù)最值的解決方法及其應(yīng)用.圖象，觀察單調(diào)性，求出最值(或值域).2．一些簡單的復(fù)合函數(shù)的最值問題．解決這類問題的方法通常有：(1)通過作出函數(shù)圖象變成第1類問題；(4)通過對函數(shù)單調(diào)性進(jìn)行討論進(jìn)而求出最值．其中討論單調(diào)性的方法可以用單調(diào)性定義或?qū)?shù)的知識(導(dǎo)數(shù)的方法在后面相應(yīng)章節(jié)復(fù)習(xí))；(5)轉(zhuǎn)化成幾何問題來求解，如線性規(guī)劃問題等.【復(fù)習(xí)要求】從整體上把握求函數(shù)最值的方法，明確求最值的一般思路.【例題分析】例1求下列函數(shù)在給定區(qū)間上的值域.【分析】分別畫出三個(gè)函數(shù)的圖象，看在給定區(qū)間內(nèi)圖象上點(diǎn)的縱坐標(biāo)的范圍.(1)函數(shù)的值域?yàn)閇－5，5)；(2)函數(shù)的值域?yàn)閇－1，8)；2例2求下列函數(shù)的最值. 2略解：(1)利用圖象變換的知識作出函數(shù)y＝2｜x函數(shù)值的取值情況，得函數(shù)的最大值為4，最小值為1.(2)設(shè)t＝sinx，因?yàn)閤∈R，所以t∈[－1，1]，于是，原函數(shù)最大最小值問題轉(zhuǎn)化為求函最小值為－4.(3)解－x2＋x＋2≥0可得－1≤x≤2，即函數(shù)的定義域?yàn)閧x1≤x≤2}.＝－29432(4)解－x2＋x＋2＞0可得－1＜x＜2，即函數(shù)的定義域?yàn)閧x1＜x＜2}.224EQ\*jc3\*hps23\o\al(\s\up2147483643(1),2)x【分析】設(shè)x2＞x1＞0，則Δx＝x2－x1＞0，EQ\*jc3\*hps35\o\al(\s\up12(3),x)EQ\*jc3\*hps35\o\al(\s\up12(3),x)EQ\*jc3\*hps35\o\al(\s\up12(3),x)EQ\*jc3\*hps35\o\al(\s\up12(3),x)所以，只需分析x1x2－3的符號.觀察上式可知，只有當(dāng)x1，x2∈[3，+∞)時(shí)，才能保證當(dāng)x1，x2在區(qū)間[3，+∞)內(nèi)3]內(nèi)任意取值時(shí)x1x2－3＜0.3所以，函數(shù)y=x+在區(qū)間(0，3]上是減函數(shù)，在區(qū)間[3，+∞)上是增函數(shù).x所以，函數(shù)的最小值為f(3)＝23.3綜上，函數(shù)的最大、最小值分別為4,23.4另外，本題更適合用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，進(jìn)而求函數(shù)的最大、最小值.【評析】請認(rèn)真體會在知識要點(diǎn)中提到的求值域的方法在例1例2例3中的具體應(yīng)用.最簡單也重要的是會利用基本函數(shù)的圖象觀察得到函數(shù)在特定區(qū)間的函數(shù)的值域，如例1；利用圖象變換得到圖象進(jìn)而觀察得到函數(shù)在特定區(qū)間的函數(shù)的值域，如例2(1).“換元法”求值域無非是通過換元，將復(fù)合函數(shù)的值域問題變成兩個(gè)基本初等函數(shù)的值域例3通過討論函數(shù)的單調(diào)性，進(jìn)而求函數(shù)的最大最小值，這是解決函數(shù)最值問題的實(shí)質(zhì)性方法．前面用到的其他方法無非是我們知道函數(shù)的圖象，可以觀察要自己討論而已．當(dāng)然，有了導(dǎo)數(shù)的知識之后研究函數(shù)的單調(diào)性將更為便捷.例2(5)利用均值定理求函數(shù)的最值，這種方法可以解決一些解析式為特殊形式的函數(shù)bx例4下列函數(shù)中值域?yàn)?0，+∞)的是()解：根據(jù)冪函數(shù)的圖象，y=x的值域?yàn)閇0，+∞)；根據(jù)均值定理，y=x+的值域?yàn)閇2，+∞)；y＝lnx，x∈[e，+∞)的值域?yàn)閇1，+∞)；=所以值域?yàn)?0，+∞)．選D.12例6建一個(gè)容積為8立方米、深為2米的長方體無蓋水池，如果池底造價(jià)是120元/平方米，池壁的造價(jià)是80元／平方米，求當(dāng)池底寬為多少米的時(shí)候水池的總造價(jià)最低，并求出最低造價(jià)是多少.解：設(shè)BC＝x，則AB=，其中x＞0，所以，當(dāng)池底寬為2米的時(shí)候水池的總造價(jià)最低.【評析】例4、5、6是函數(shù)最值問題的直接應(yīng)用，注意體會求最值方法的簡單應(yīng)用.例7已知f(x)＝loga(1＋x)(其中a＞1)，且在區(qū)間[1，+∞)上f(x)＞2恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.解：因?yàn)閘oga(1＋x)＞2在[1，+∞)上恒成立．所以loga(1＋x)＞logaa2在[1，+∞)上恒成因?yàn)閍＞1，所以a2＜1＋x在[1，+∞)上恒成立．所以a2＜2(注：因?yàn)閍2應(yīng)小于1＋x在例8定義：如果對于函數(shù)f(x)定義域內(nèi)的任意x，都有f(x)≥M(M為常數(shù))，那么稱M為f(x)的下界，下界M中的最大值叫做f(x)的下確界．現(xiàn)給出下列函數(shù)：=cosxlnx3x；④f其中有下確界的函數(shù)是.M≤-1}，所以M中的最大值為－1，有下確界.②因?yàn)楹瘮?shù)f(x)＝lnx的值域?yàn)镽，不存在M，使得對于函數(shù)f(x)定義域內(nèi)的任意x，都有f(x)≥M，所以這個(gè)函數(shù)沒有下確界.③因?yàn)楹瘮?shù)f(x)＝3x的值域?yàn)?0，+∞)，即f(x)＞0，所以下界M的集合為{M｜M≤0}，所以M中的最大值為0，有下確界.④因?yàn)楹瘮?shù)的值域?yàn)閧－1}∪(0，+∞)，所以f(x)≥-1，同①,有下確界.所以，填①③④.【評析】例7、8是最值問題較靈活的應(yīng)用.例7中的“恒成立”問題往往和“最值”問題聯(lián)系在一起，而且常常用到“分離變量”這一變形方法.在此題中，“a2＜1＋x在[1，+∞)上恒成立．”就是最終的“分離變量”的形式．“a2應(yīng)小于1＋x在[1，+∞)上的最小值．”就是在將恒成立的問題轉(zhuǎn)化成了最值的問題.它們與投入的資金M(萬元)的關(guān)系近似滿足下列公式M,q=現(xiàn)有a萬元資金投入經(jīng)營這兩種商品，為獲得最大的利潤，應(yīng)對這兩種商品分別投入資金多少萬元?獲得的最大利潤是多少萬元?解：設(shè)對乙種商品投資x萬元，總利潤為y萬元，則對甲種商品投資(a－x)萬元．依題EQ\*jc3\*hps35\o\al(\s\up12(3),2)EQ\*jc3\*hps35\o\al(\s\up12(9),4)EQ\*jc3\*hps35\o\al(\s\up12(a),5)EQ\*jc3\*hps35\o\al(\s\up12(9),20)EQ\*jc3\*hps35\o\al(\s\up12(3),2)所以當(dāng)a>時(shí)，應(yīng)對乙種商品投資萬元，對甲種商品投資(a?)3資，可獲得最大利潤a萬元.5＝－(1)求f(x)的最大值g(m)；(2)當(dāng)m≥1，求g(m)的最大值.＝－?m2EQ\*jc3\*hps35\o\al(\s\up10(3),2)＝－EQ\*jc3\*hps35\o\al(\s\up11(1),2)EQ\*jc3\*hps35\o\al(\s\up11(3),2)l?m2EQ\*jc3\*hps35\o\al(\s\up14(3),2)EQ\*jc3\*hps35\o\al(\s\up11(3),2)=-m2＋3m＋1的最大值為EQ\*jc3\*hps35\o\al(\s\up11(13),4)，1．下列函數(shù)中值域?yàn)?0，+∞)的是()EQ\*jc3\*hps35\o\al(\s\up12(1),x)EQ\*jc3\*hps23\o\al(\s\up2147483642(1),3)EQ\*jc3\*hps23\o\al(\s\up15(1),3)2．函數(shù)yx2＋2ax＋1的最大值小于2，則a的取值范圍是((A)a＜1(B)a1(C)a＜2(D)－1＜a＜12x4．對于f(x)定義域內(nèi)的任意一個(gè)自變量x1，都存在唯一一個(gè)自變量x2使f(x1)f(x2)=3成立的函數(shù)是()12二、填空題5．已知f(x)是定義在[－2，0)∪(0，2]上的奇函數(shù)，當(dāng)x＞0時(shí)，f(x)的圖象如圖所示，那么f(x)的值域是.12.______Dn正方形區(qū)域，則a的值為.三、解答題9．設(shè)函數(shù)f(x)＝log2x＋log2(1－x)，求f(x)的定義域及f(x)的最大值.10．漁場中魚群的最大養(yǎng)殖量為m，為了保證魚群的生長空間，實(shí)際養(yǎng)殖量x小于m，以便留出適當(dāng)?shù)目臻e量．已知魚群的年增長量y和實(shí)際養(yǎng)殖量與空閑率(空閑率是空閑量與最大養(yǎng)殖量的比例)的乘積成正比，比例系數(shù)為k(k＞0).(1)寫出y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，并指出該函數(shù)的定義域；(3)當(dāng)魚群年增長量達(dá)到最大時(shí)，求k的取值范圍.(1)當(dāng)k＝1時(shí)，求函數(shù)f(x)的定義域；(2)且f(x)在[1，+∞)內(nèi)總有意義，求k的取值范圍.【知識要點(diǎn)】1．如果函數(shù)y＝f(x)在實(shí)數(shù)a處的值等于零，即f(a)＝0，則a叫做這個(gè)函數(shù)的零點(diǎn).函數(shù)零點(diǎn)的幾何意義：如果a是函數(shù)y＝f(x)的零點(diǎn)，則點(diǎn)(a，0)一定在這個(gè)函數(shù)的函數(shù)圖象上，即這個(gè)函數(shù)與x軸的交點(diǎn)為(a，0).b]上至少有一個(gè)零點(diǎn)．這也是二分法的依據(jù).注意：上述判定零點(diǎn)的方法只是判斷零點(diǎn)存在的充分條件．這種判定零點(diǎn)方法主要適用于在無法對函數(shù)進(jìn)行作圖而且也不易對函數(shù)所對應(yīng)的方程求根的情況下.如果可以畫出函數(shù)的圖象(這時(shí)判斷函數(shù)零點(diǎn)的方法將是非常直觀的)，如果函數(shù)所對應(yīng)的方程可以求根，那么就可以用“作圖”和“求根”的方法判斷零點(diǎn).3．用二分法求函數(shù)y＝f(x)，x∈D零點(diǎn)的一第一步、確定初始區(qū)間，即在D內(nèi)取一個(gè)閉區(qū)間[a，b]，使得f(a)f(b)＜0；2則計(jì)算終止，否則進(jìn)一步確定零點(diǎn)所在的區(qū)間；相等，則計(jì)算終止，否則重復(fù)第二步.【復(fù)習(xí)要求】1、結(jié)合二次函數(shù)的圖象，了解函數(shù)的零點(diǎn)與方程根的聯(lián)系，判斷一元二次方程根的存在性及根的個(gè)數(shù).2、能夠用二分法求相應(yīng)方程的近似解.【例題分析】例1求函數(shù)f(x)＝x(x－2)(x－3)的零點(diǎn)，作出其圖象的草圖，并解不等式f(x)＞0.【分析】求函數(shù)零點(diǎn)只需求解方程f(x)＝0即可．知道函數(shù)的零點(diǎn)之后，就知道了這個(gè)函數(shù)的圖象與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)，再通過簡單的描點(diǎn)作出圖象的草圖．然后由草圖可以得出不等式f(x)＞0的解集.解：令f(x)＝0，即x(x－2)(x－3)＝0，可得x＝0，或x＝2，或x＝3．因此，所求函數(shù)的-0.625-1-12x由此可知，f(x)＞0的解集為(0，2)∪(3，+∞).【評析】如果已經(jīng)知道一個(gè)函數(shù)y＝f(x)的所有的零點(diǎn)，我們就能夠畫出這個(gè)函數(shù)的圖象與x軸的交點(diǎn)．然后再通過描點(diǎn)作圖，可作出這個(gè)函數(shù)的大致圖象，從而可以求出f(x)＞0以及f(x)＜0等不等式的解.因此，我們可以借助一個(gè)函數(shù)的零點(diǎn)去研究這個(gè)函數(shù)的一些性質(zhì)．例如，我們就曾通過研究一個(gè)函數(shù)導(dǎo)函數(shù)的零點(diǎn)及導(dǎo)函數(shù)值的正負(fù)進(jìn)而研究這個(gè)函數(shù)的單調(diào)性，最值等等.解：因?yàn)閒例3若函數(shù)f(x)的圖象在[a，b]上是不間斷的，且有f(a)f(b)＞0，則函數(shù)f(x)在[a，b]上A．一定沒有零點(diǎn)B．至少有一個(gè)零點(diǎn)C．只有一個(gè)零點(diǎn)D．零點(diǎn)情況不確定【分析】如圖所示，滿足題目條件的函數(shù)圖象與x軸的交點(diǎn)情況是不確定的，因此選擇【評析】由二分法的依據(jù)可知函數(shù)在一定區(qū)間內(nèi)零點(diǎn)存在性的一種判斷方法，即如果函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間[a，b]上滿足以下兩個(gè)條件：①函數(shù)圖象是連續(xù)不斷的一條曲線；方程f(x)＝0的根.在判斷函數(shù)零點(diǎn)存在與否或判斷函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)的問題中應(yīng)注意以下幾點(diǎn)：(1)函數(shù)圖象必須是一條不間斷的曲線，圖象有間斷則結(jié)論不一定成立；(3)滿足條件①②時(shí)，只能得出y＝f(x)的零點(diǎn)存在，但并不能得出零點(diǎn)個(gè)數(shù)的多少；(4)當(dāng)f(a)f(b)＞0時(shí)，并不能說明函數(shù)f(x)在(a，b)內(nèi)無零點(diǎn)；(5)若函數(shù)f(x)在[a，b]上是單調(diào)函數(shù)，同時(shí)滿足條件①②,則零點(diǎn)存在且唯一.上述五點(diǎn)注意事項(xiàng)同學(xué)們可以結(jié)合函數(shù)圖象的簡圖來理解．?dāng)?shù)形結(jié)合的思路在本節(jié)內(nèi)容的學(xué)習(xí)過程中經(jīng)常運(yùn)用.例3以下區(qū)間中，一定存在函數(shù)f(x)＝x3＋3x－3的零點(diǎn)的是()的零點(diǎn)，只需保證f(a)f(b)＜0即可．從而，我們只需算出各個(gè)區(qū)間端點(diǎn)的函數(shù)值，看它們是否異號即可選出正確答案.因?yàn)閒(－1)＝－7，f(0)＝－3，f(1)＝1，所以f(0)f(1)＜0．因此函數(shù)f(x)在區(qū)間[0，1]上一定存在零點(diǎn)．選B.例4以區(qū)間[1，2]為計(jì)算的初始區(qū)間，求函數(shù)f(x)＝x3＋x2－2x－2的一個(gè)零點(diǎn)(精確到解：用二分法逐步計(jì)算，列表如下：端點(diǎn)或中點(diǎn)橫坐標(biāo)計(jì)算端點(diǎn)或中點(diǎn)的函數(shù)值＝－＝－＝－定區(qū)間就是所求函數(shù)在給定精確度情況下的一個(gè)零點(diǎn).(1)若a＞b＞c，且f(1)＝0，試證明f(x)必有兩個(gè)零點(diǎn)；若對x1，x2∈R且x1＜x2，f，方程f有兩個(gè)不等實(shí)所以△=b2－4ac≥-4ac＞0，所以方程ax2＋bx＋c＝0有兩個(gè)不等實(shí)根，所以函數(shù)f(x)必有兩個(gè)零點(diǎn).所以2，因?yàn)閒，所以g所以g(x)在區(qū)間(x1，x2)上必有一個(gè)零點(diǎn)，即方程g(x)＝0有一實(shí)根屬于(x1，x2)，所以方程必有一實(shí)根屬于(x1，x2).1．已知3是函數(shù)f(x)＝x3－3x2－x＋3的零點(diǎn)，則以下各點(diǎn)中一定在這個(gè)函數(shù)圖象上的是2．下列函數(shù)圖象與x軸均有交點(diǎn)，但不易用二分法求交點(diǎn)橫坐標(biāo)的是()3．已知－3，0，2都是函數(shù)f(x)的零點(diǎn)，則不可能是不等式f(x)＞0的解集的是()(A)僅有一根(B)有兩個(gè)正根(C)有一個(gè)正根和一個(gè)負(fù)根(D)有兩個(gè)負(fù)根二、填空題5．若函數(shù)f(x)是偶函數(shù)，且函數(shù)f(x)有三個(gè)零點(diǎn)，則這三個(gè)零點(diǎn)之和等于.6．函數(shù)f的零點(diǎn)是.8．若方程2ax2－x－1＝0在(0，1)內(nèi)恰有一解，則a的取值范圍是.三、解答題9．求函數(shù)f(x)＝x(x2＋6x＋8)的零點(diǎn)，作出它的圖象的草圖，并解不等式f(x)≤0.10．設(shè)函數(shù)求函數(shù)的零點(diǎn).1．若函數(shù)f(x)在區(qū)間[a，b]上為減函數(shù)，則f(x)在[a，b]上()(A)至少有一個(gè)零點(diǎn)(B)有一個(gè)零點(diǎn)(C)沒有零點(diǎn)(D)至多有一個(gè)零點(diǎn)3．設(shè)a＜b，函數(shù)的圖象可能是(4．函數(shù)f(x)＝x｜x＋ab是奇函數(shù)的充要條件是()5．設(shè)a＜c＜b，如果把函數(shù)y＝f(x)的圖象被兩平行線x＝a及x＝b所截的一段近似地看作一條線段，則以下關(guān)系式中，f(c)的最佳近似表示式是()A．B．f(c)=f(a)f(b)二、填空題38．已知f(x)＝x3－6x2＋11x－6，而且f(0)＜0，f(4)＞0，則用二分法可求得這個(gè)函數(shù)在區(qū)間[0，4]內(nèi)的零點(diǎn)(精確到0.1)為.9．奇函數(shù)f(x)在[3，7]上是增函數(shù)，在[3，6]上的最大值是8，最小值是－1，則2f(－6)＋f(-3)等于______命題乙：f(x)在(-∞,2)上是減函數(shù)，在(2，+∞)上是增函數(shù)；能使命題甲、乙均為真的所有函數(shù)的序號是.三、解答題11．計(jì)算：log220－log25＋2log32log43的值.(1)若f(x)在[0，1]上的最大值與最小值互為相反數(shù)，求a的值；(2)若f(x)的圖象不經(jīng)過第二象限，求a的取值范圍.13．已知f(x)＝ax2＋5ax＋6a，其中a為非零的常數(shù)．14．已知集合M是滿足下列性質(zhì)的函數(shù)f(x)的全體：“在定義域內(nèi)存在x0，使得f(x0＋1)=f(x0)＋f(1)成立”.函數(shù)f是否屬于集合M?說明理由；(2)設(shè)函數(shù)∈M，求a的取值范圍.二、填空題三、解答題＝－＋9.①當(dāng)0≤t≤1時(shí)，重合部分為邊長為2tcm的直角三角形，2②當(dāng)0＜t≤2時(shí)，重合部分為邊長為2cm的③當(dāng)2＜t時(shí)，重合部分為直角梯形(如下圖)，根據(jù)實(shí)際情況，當(dāng)0＜