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山東省濱州市北鎮(zhèn)中學(xué)2025屆高考臨考沖刺數(shù)學(xué)試卷注意事項(xiàng):1.答卷前,考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫在答題卡上。2.回答選擇題時(shí),選出每小題答案后,用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑,如需改動(dòng),用橡皮擦干凈后,再選涂其它答案標(biāo)號(hào)?;卮鸱沁x擇題時(shí),將答案寫在答題卡上,寫在本試卷上無效。3.考試結(jié)束后,將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.已知集合A={x|x<1},B={x|},則A. B.C. D.2.已知,,,,.若實(shí)數(shù),滿足不等式組,則目標(biāo)函數(shù)()A.有最大值,無最小值 B.有最大值,有最小值C.無最大值,有最小值 D.無最大值,無最小值3.存在點(diǎn)在橢圓上,且點(diǎn)M在第一象限,使得過點(diǎn)M且與橢圓在此點(diǎn)的切線垂直的直線經(jīng)過點(diǎn),則橢圓離心率的取值范圍是()A. B. C. D.4.已知等比數(shù)列的前項(xiàng)和為,若,且公比為2,則與的關(guān)系正確的是()A. B.C. D.5.函數(shù)的大致圖象為A. B.C. D.6.若函數(shù),在區(qū)間上任取三個(gè)實(shí)數(shù),,均存在以,,為邊長(zhǎng)的三角形,則實(shí)數(shù)的取值范圍是()A. B. C. D.7.在中,為邊上的中線,為的中點(diǎn),且,,則()A. B. C. D.8.在很多地鐵的車廂里,頂部的扶手是一根漂亮的彎管,如下圖所示.將彎管形狀近似地看成是圓弧,已知彎管向外的最大突出(圖中)有,跨接了6個(gè)坐位的寬度(),每個(gè)座位寬度為,估計(jì)彎管的長(zhǎng)度,下面的結(jié)果中最接近真實(shí)值的是()A. B. C. D.9.是的()A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件10.我國(guó)古代數(shù)學(xué)家秦九韶在《數(shù)書九章》中記述了“三斜求積術(shù)”,用現(xiàn)代式子表示即為:在中,角所對(duì)的邊分別為,則的面積.根據(jù)此公式,若,且,則的面積為()A. B. C. D.11.設(shè)雙曲線(a>0,b>0)的一個(gè)焦點(diǎn)為F(c,0)(c>0),且離心率等于,若該雙曲線的一條漸近線被圓x2+y2﹣2cx=0截得的弦長(zhǎng)為2,則該雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為()A. B.C. D.12.已知,如圖是求的近似值的一個(gè)程序框圖,則圖中空白框中應(yīng)填入A. B.C. D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.已知,為雙曲線的左、右焦點(diǎn),雙曲線的漸近線上存在點(diǎn)滿足,則的最大值為________.14.(5分)已知橢圓方程為,過其下焦點(diǎn)作斜率存在的直線與橢圓交于兩點(diǎn),為坐標(biāo)原點(diǎn),則面積的取值范圍是____________.15.若復(fù)數(shù)z滿足,其中i是虛數(shù)單位,則z的模是______.16.拋物線上到其焦點(diǎn)的距離為的點(diǎn)的個(gè)數(shù)為________.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)已知函數(shù),.(1)討論函數(shù)的單調(diào)性;(2)已知在處的切線與軸垂直,若方程有三個(gè)實(shí)數(shù)解、、(),求證:.18.(12分)在中,角A、B、C的對(duì)邊分別為a、b、c,且.(1)求角A的大??;(2)若,的平分線與交于點(diǎn)D,與的外接圓交于點(diǎn)E(異于點(diǎn)A),,求的值.19.(12分)在直角坐標(biāo)系中,直線的參數(shù)方程為為參數(shù)),直線的參數(shù)方程(為參數(shù)),若直線的交點(diǎn)為,當(dāng)變化時(shí),點(diǎn)的軌跡是曲線(1)求曲線的普通方程;(2)以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn),軸非負(fù)半軸為極軸且取相同的單位長(zhǎng)度建立極坐標(biāo)系,設(shè)射線的極坐標(biāo)方程為,,點(diǎn)為射線與曲線的交點(diǎn),求點(diǎn)的極徑.20.(12分)某校共有學(xué)生2000人,其中男生900人,女生1100人,為了調(diào)查該校學(xué)生每周平均體育鍛煉時(shí)間,采用分層抽樣的方法收集該校100名學(xué)生每周平均體育鍛煉時(shí)間(單位:小時(shí)).(1)應(yīng)抽查男生與女生各多少人?(2)根據(jù)收集100人的樣本數(shù)據(jù),得到學(xué)生每周平均體育鍛煉時(shí)間的頻率分布表:時(shí)間(小時(shí))[0,1](1,2](2,3](3,4](4,5](5,6]頻率0.050.200.300.250.150.05若在樣本數(shù)據(jù)中有38名男學(xué)生平均每周課外體育鍛煉時(shí)間超過2小時(shí),請(qǐng)完成每周平均體育鍛煉時(shí)間與性別的列聯(lián)表,并判斷是否有95%的把握認(rèn)為“該校學(xué)生的每周平均體育鍛煉時(shí)間與性別有關(guān)”?男生女生總計(jì)每周平均體育鍛煉時(shí)間不超過2小時(shí)每周平均體育鍛煉時(shí)間超過2小時(shí)總計(jì)附:K2.P(K2≥k0)0.1000.0500.0100.0052.7063.8416.6357.87921.(12分)如圖,在四棱錐中,底面,,,,,點(diǎn)為棱的中點(diǎn).(1)證明::(2)求直線與平面所成角的正弦值;(3)若為棱上一點(diǎn),滿足,求二面角的余弦值.22.(10分)已知的三個(gè)內(nèi)角所對(duì)的邊分別為,向量,,且.(1)求角的大小;(2)若,求的值
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、A【解析】∵集合∴∵集合∴,故選A2、B【解析】
判斷直線與縱軸交點(diǎn)的位置,畫出可行解域,即可判斷出目標(biāo)函數(shù)的最值情況.【詳解】由,,所以可得.,所以由,因此該直線在縱軸的截距為正,但是斜率有兩種可能,因此可行解域如下圖所示:由此可以判斷該目標(biāo)函數(shù)一定有最大值和最小值.故選:B【點(diǎn)睛】本題考查了目標(biāo)函數(shù)最值是否存在問題,考查了數(shù)形結(jié)合思想,考查了不等式的性質(zhì)應(yīng)用.3、D【解析】
根據(jù)題意利用垂直直線斜率間的關(guān)系建立不等式再求解即可.【詳解】因?yàn)檫^點(diǎn)M橢圓的切線方程為,所以切線的斜率為,由,解得,即,所以,所以.故選:D【點(diǎn)睛】本題主要考查了建立不等式求解橢圓離心率的問題,屬于基礎(chǔ)題.4、C【解析】
在等比數(shù)列中,由即可表示之間的關(guān)系.【詳解】由題可知,等比數(shù)列中,且公比為2,故故選:C【點(diǎn)睛】本題考查等比數(shù)列求和公式的應(yīng)用,屬于基礎(chǔ)題.5、A【解析】
因?yàn)椋院瘮?shù)是偶函數(shù),排除B、D,又,排除C,故選A.6、D【解析】
利用導(dǎo)數(shù)求得在區(qū)間上的最大值和最小,根據(jù)三角形兩邊的和大于第三邊列不等式,由此求得的取值范圍.【詳解】的定義域?yàn)?,,所以在上遞減,在上遞增,在處取得極小值也即是最小值,,,,,所以在區(qū)間上的最大值為.要使在區(qū)間上任取三個(gè)實(shí)數(shù),,均存在以,,為邊長(zhǎng)的三角形,則需恒成立,且,也即,也即當(dāng)、時(shí),成立,即,且,解得.所以的取值范圍是.故選:D【點(diǎn)睛】本小題主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的最值,考查恒成立問題的求解,屬于中檔題.7、A【解析】
根據(jù)向量的線性運(yùn)算可得,利用及,計(jì)算即可.【詳解】因?yàn)?所以,所以,故選:A【點(diǎn)睛】本題主要考查了向量的線性運(yùn)算,向量數(shù)量積的運(yùn)算,向量數(shù)量積的性質(zhì),屬于中檔題.8、B【解析】
為彎管,為6個(gè)座位的寬度,利用勾股定理求出弧所在圓的半徑為,從而可得弧所對(duì)的圓心角,再利用弧長(zhǎng)公式即可求解.【詳解】如圖所示,為彎管,為6個(gè)座位的寬度,則設(shè)弧所在圓的半徑為,則解得可以近似地認(rèn)為,即于是,長(zhǎng)所以是最接近的,其中選項(xiàng)A的長(zhǎng)度比還小,不可能,因此只能選B,260或者由,所以弧長(zhǎng).故選:B【點(diǎn)睛】本題考查了弧長(zhǎng)公式,需熟記公式,考查了學(xué)生的分析問題的能力,屬于基礎(chǔ)題.9、B【解析】
分別判斷充分性和必要性得到答案.【詳解】所以(逆否命題)必要性成立當(dāng),不充分故是必要不充分條件,答案選B【點(diǎn)睛】本題考查了充分必要條件,屬于簡(jiǎn)單題.10、A【解析】
根據(jù),利用正弦定理邊化為角得,整理為,根據(jù),得,再由余弦定理得,又,代入公式求解.【詳解】由得,即,即,因?yàn)?,所以,由余弦定理,所以,由的面積公式得故選:A【點(diǎn)睛】本題主要考查正弦定理和余弦定理以及類比推理,還考查了運(yùn)算求解的能力,屬于中檔題.11、C【解析】
由題得,,又,聯(lián)立解方程組即可得,,進(jìn)而得出雙曲線方程.【詳解】由題得①又該雙曲線的一條漸近線方程為,且被圓x2+y2﹣2cx=0截得的弦長(zhǎng)為2,所以②又③由①②③可得:,,所以雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為.故選:C【點(diǎn)睛】本題主要考查了雙曲線的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì),圓的方程的有關(guān)計(jì)算,考查了學(xué)生的計(jì)算能力.12、C【解析】
由于中正項(xiàng)與負(fù)項(xiàng)交替出現(xiàn),根據(jù)可排除選項(xiàng)A、B;執(zhí)行第一次循環(huán):,①若圖中空白框中填入,則,②若圖中空白框中填入,則,此時(shí)不成立,;執(zhí)行第二次循環(huán):由①②均可得,③若圖中空白框中填入,則,④若圖中空白框中填入,則,此時(shí)不成立,;執(zhí)行第三次循環(huán):由③可得,符合題意,由④可得,不符合題意,所以圖中空白框中應(yīng)填入,故選C.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、【解析】
設(shè),由可得,整理得,即點(diǎn)在以為圓心,為半徑的圓上.又點(diǎn)到雙曲線的漸近線的距離為,所以當(dāng)雙曲線的漸近線與圓相切時(shí),取得最大值,此時(shí),解得.14、【解析】
由題意,,則,得.由題意可設(shè)的方程為,,聯(lián)立方程組,消去得,恒成立,,,則,點(diǎn)到直線的距離為,則,又,則,當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)取等號(hào).故面積的取值范圍是.15、【解析】
先求得復(fù)數(shù),再由復(fù)數(shù)模的計(jì)算公式即得.【詳解】,,則.故答案為:【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算和求復(fù)數(shù)的模,是基礎(chǔ)題.16、【解析】
設(shè)拋物線上任意一點(diǎn)的坐標(biāo)為,根據(jù)拋物線的定義求得,并求出對(duì)應(yīng)的,即可得出結(jié)果.【詳解】設(shè)拋物線上任意一點(diǎn)的坐標(biāo)為,拋物線的準(zhǔn)線方程為,由拋物線的定義得,解得,此時(shí).因此,拋物線上到其焦點(diǎn)的距離為的點(diǎn)的個(gè)數(shù)為.故答案為:.【點(diǎn)睛】本題考查利用拋物線的定義求點(diǎn)的坐標(biāo),考查計(jì)算能力,屬于基礎(chǔ)題.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1)①當(dāng)時(shí),在單調(diào)遞增,②當(dāng)時(shí),單調(diào)遞增區(qū)間為,,單調(diào)遞減區(qū)間為(2)證明見解析【解析】
(1)先求解導(dǎo)函數(shù),然后對(duì)參數(shù)分類討論,分析出每種情況下函數(shù)的單調(diào)性即可;(2)根據(jù)條件先求解出的值,然后構(gòu)造函數(shù)分析出之間的關(guān)系,再構(gòu)造函數(shù)分析出之間的關(guān)系,由此證明出.【詳解】(1),①當(dāng)時(shí),恒成立,則在單調(diào)遞增②當(dāng)時(shí),令得,解得,又,∴∴當(dāng)時(shí),,單調(diào)遞增;當(dāng)時(shí),,單調(diào)遞減;當(dāng)時(shí),,單調(diào)遞增.(2)依題意得,,則由(1)得,在單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增∴若方程有三個(gè)實(shí)數(shù)解,則法一:雙偏移法設(shè),則∴在上單調(diào)遞增,∴,∴,即∵,∴,其中,∵在上單調(diào)遞減,∴,即設(shè),∴在上單調(diào)遞增,∴,∴,即∵,∴,其中,∵在上單調(diào)遞增,∴,即∴.法二:直接證明法∵,,在上單調(diào)遞增,∴要證,即證設(shè),則∴在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增∴,∴,即(注意:若沒有證明,扣3分)關(guān)于的證明:(1)且時(shí),(需要證明),其中∴∴∴(2)∵,∴∴,即∵,,∴,則∴【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)與倒導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用,難度較難.(1)對(duì)于含參函數(shù)單調(diào)性的分析,可通過分析參數(shù)的臨界值,由此分類討論函數(shù)單調(diào)性;(2)利用導(dǎo)數(shù)證明不等式常用方法:構(gòu)造函數(shù),利用新函數(shù)的單調(diào)性確定函數(shù)的最值,從而達(dá)到證明不等式的目的.18、(1);(2)【解析】
(1)由,利用正弦定理轉(zhuǎn)化整理為,再利用余弦定理求解.(2)根據(jù),利用兩角和的余弦得到,利用數(shù)形結(jié)合,設(shè),在中,由正弦定理求得,在中,求得再求解.【詳解】(1)因?yàn)椋?,即,即,所?(2)∵,.所以,從而.所以,.不妨設(shè),O為外接圓圓心則AO=1,,.在中,由正弦定理知,有.即;在中,由,,從而.所以.【點(diǎn)睛】本題主要考查平面向量的模的幾何意義,還考查了數(shù)形結(jié)合的方法,屬于中檔題.19、(1);(2)【解析】
(1)將兩直線化為普通方程,消去參數(shù),即可求出曲線的普通方程;(2)設(shè)Q點(diǎn)的直角坐標(biāo)系坐標(biāo)為,求出,代入曲線C可求解.【詳解】(1)直線的普通方程為,直線的普通方程為聯(lián)立直線,方程消去參數(shù)k,得曲線C的普通方程為整理得.(2)設(shè)Q點(diǎn)的直角坐標(biāo)系坐標(biāo)為,由可得代入曲線C的方程可得,解得(舍),所以點(diǎn)的極徑為.【點(diǎn)睛】本題主要考查了直線的參數(shù)方程化為普通方程,普通方程化為極坐標(biāo)方程,極徑的求法,屬于中檔題.20、(1)男生人數(shù)為人,女生人數(shù)55人.(2)列聯(lián)表答案見解析,有95%的把握認(rèn)為“該校學(xué)生的每周平均體育鍛煉時(shí)間與性別有關(guān).【解析】
(1)求出男女比例,按比例分配即可;(2)根據(jù)題意結(jié)合頻率分布表,先求出二聯(lián)表中數(shù)值,再結(jié)合公式計(jì)算,利用表格數(shù)據(jù)對(duì)比判斷即可【詳解】(1)因?yàn)槟猩藬?shù):女生人數(shù)=900:1100=9:11,所以男生人數(shù)為,女生人數(shù)100﹣45=55人,(2)由頻率頻率直方圖可知學(xué)生每周平均體育鍛煉時(shí)間超過2小時(shí)的人數(shù)為:(1×0.3+1×0.25+1×0.15+1×0.05)×100=75人,每周平均體育鍛煉時(shí)間超過2小時(shí)的女生人數(shù)為37人,聯(lián)表如下:男生女生總計(jì)每周平均體育鍛煉時(shí)間不超過2小時(shí)71825每周平均體育鍛煉時(shí)間超過2小時(shí)383775總計(jì)4555100因?yàn)?.892>3.841,所以有95%的把握認(rèn)為“該校學(xué)生的每周平均體育鍛煉時(shí)間與性別有關(guān).【點(diǎn)睛】本題考查分層抽樣,獨(dú)立性檢驗(yàn),熟記公式,正確計(jì)算是關(guān)鍵,屬于中檔題.21、(1)證明見解析(2)(3)【解析】
(1)根據(jù)題意以為坐標(biāo)原點(diǎn),建立空間直角坐標(biāo)系,寫出各個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo),并表示出,由空間向量數(shù)量積運(yùn)算即可證明.(2)先求得平面的法向量,即可求得直線與平面法向量夾角的余弦值,即為直線與平面所成角的正弦值;(3)由點(diǎn)在棱上,設(shè),再由,結(jié)合,由空間向量垂直的坐標(biāo)關(guān)系求得的值.即可表示出.求得平面和平面的法向量,由空間向量數(shù)量積的運(yùn)算求得兩個(gè)平面夾角的余弦值,再根據(jù)二面角的
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