2025屆西藏拉薩中學(xué)高三第三次測(cè)評(píng)數(shù)學(xué)試卷含解析_第1頁(yè)
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2025屆西藏拉薩中學(xué)高三第三次測(cè)評(píng)數(shù)學(xué)試卷注意事項(xiàng):1.答題前,考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)碼填寫清楚,將條形碼準(zhǔn)確粘貼在條形碼區(qū)域內(nèi)。2.答題時(shí)請(qǐng)按要求用筆。3.請(qǐng)按照題號(hào)順序在答題卡各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答,超出答題區(qū)域書寫的答案無(wú)效;在草稿紙、試卷上答題無(wú)效。4.作圖可先使用鉛筆畫出,確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。5.保持卡面清潔,不要折暴、不要弄破、弄皺,不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.設(shè),滿足約束條件,若的最大值為,則的展開式中項(xiàng)的系數(shù)為()A.60 B.80 C.90 D.1202.已知定義在上的奇函數(shù),其導(dǎo)函數(shù)為,當(dāng)時(shí),恒有.則不等式的解集為().A. B.C.或 D.或3.已知橢圓的短軸長(zhǎng)為2,焦距為分別是橢圓的左、右焦點(diǎn),若點(diǎn)為上的任意一點(diǎn),則的取值范圍為()A. B. C. D.4.將一塊邊長(zhǎng)為的正方形薄鐵皮按如圖(1)所示的陰影部分裁下,然后用余下的四個(gè)全等的等腰三角形加工成一個(gè)正四棱錐形容器,將該容器按如圖(2)放置,若其正視圖為等腰直角三角形,且該容器的容積為,則的值為()A.6 B.8 C.10 D.125.已知雙曲線:,,為其左、右焦點(diǎn),直線過(guò)右焦點(diǎn),與雙曲線的右支交于,兩點(diǎn),且點(diǎn)在軸上方,若,則直線的斜率為()A. B. C. D.6.已知七人排成一排拍照,其中甲、乙、丙三人兩兩不相鄰,甲、丁兩人必須相鄰,則滿足要求的排隊(duì)方法數(shù)為().A.432 B.576 C.696 D.9607.已知復(fù)數(shù),其中為虛數(shù)單位,則()A. B. C.2 D.8.趙爽是我國(guó)古代數(shù)學(xué)家、天文學(xué)家,大約在公元222年,趙爽為《周髀算經(jīng)》一書作序時(shí),介紹了“勾股圓方圖”,亦稱“趙爽弦圖”(以弦為邊長(zhǎng)得到的正方形是由4個(gè)全等的直角三角形再加上中間的一個(gè)小正方形組成的).類比“趙爽弦圖”.可類似地構(gòu)造如下圖所示的圖形,它是由3個(gè)全等的三角形與中間的一個(gè)小等邊三角形拼成一個(gè)大等邊三角形.設(shè),若在大等邊三角形中隨機(jī)取一點(diǎn),則此點(diǎn)取自小等邊三角形(陰影部分)的概率是()A. B. C. D.9.設(shè)集合則()A. B. C. D.10.某幾何體的三視圖如圖所示,其中正視圖是邊長(zhǎng)為4的正三角形,俯視圖是由邊長(zhǎng)為4的正三角形和一個(gè)半圓構(gòu)成,則該幾何體的體積為()A. B. C. D.11.設(shè),則()A. B. C. D.12.設(shè)平面與平面相交于直線,直線在平面內(nèi),直線在平面內(nèi),且則“”是“”的()A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.即不充分不必要條件二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.已知三棱錐,,是邊長(zhǎng)為4的正三角形,,分別是、的中點(diǎn),為棱上一動(dòng)點(diǎn)(點(diǎn)除外),,若異面直線與所成的角為,且,則______.14.設(shè)、分別為橢圓:的左、右兩個(gè)焦點(diǎn),過(guò)作斜率為1的直線,交于、兩點(diǎn),則________15.直線(,)過(guò)圓:的圓心,則的最小值是______.16.設(shè)滿足約束條件,則的取值范圍為__________.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17.(12分)在中,角的對(duì)邊分別為.已知,且.(1)求的值;(2)若的面積是,求的周長(zhǎng).18.(12分)已知.(1)若的解集為,求的值;(2)若對(duì)任意,不等式恒成立,求實(shí)數(shù)的取值范圍.19.(12分)已知各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列的前項(xiàng)和為,滿足,,,,恰為等比數(shù)列的前3項(xiàng).(1)求數(shù)列,的通項(xiàng)公式;(2)求數(shù)列的前項(xiàng)和為;若對(duì)均滿足,求整數(shù)的最大值;(3)是否存在數(shù)列滿足等式成立,若存在,求出數(shù)列的通項(xiàng)公式;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.20.(12分)已知函數(shù).(1)若對(duì)任意x0,f(x)0恒成立,求實(shí)數(shù)a的取值范圍;(2)若函數(shù)f(x)有兩個(gè)不同的零點(diǎn)x1,x2(x1x2),證明:.21.(12分)底面為菱形的直四棱柱,被一平面截取后得到如圖所示的幾何體.若,.(1)求證:;(2)求二面角的正弦值.22.(10分)唐詩(shī)是中國(guó)文學(xué)的瑰寶.為了研究計(jì)算機(jī)上唐詩(shī)分類工作中檢索關(guān)鍵字的選取,某研究人員將唐詩(shī)分成7大類別,并從《全唐詩(shī)》48900多篇唐詩(shī)中隨機(jī)抽取了500篇,統(tǒng)計(jì)了每個(gè)類別及各類別包含“花”、“山”、“簾”字的篇數(shù),得到下表:愛情婚姻詠史懷古邊塞戰(zhàn)爭(zhēng)山水田園交游送別羈旅思鄉(xiāng)其他總計(jì)篇數(shù)100645599917318500含“山”字的篇數(shù)5148216948304271含“簾”字的篇數(shù)2120073538含“花”字的篇數(shù)606141732283160(1)根據(jù)上表判斷,若從《全唐詩(shī)》含“山”字的唐詩(shī)中隨機(jī)抽取一篇,則它屬于哪個(gè)類別的可能性最大,屬于哪個(gè)類別的可能性最小,并分別估計(jì)該唐詩(shī)屬于這兩個(gè)類別的概率;(2)已知檢索關(guān)鍵字的選取規(guī)則為:①若有超過(guò)95%的把握判斷“某字”與“某類別”有關(guān)系,則“某字”為“某類別”的關(guān)鍵字;②若“某字”被選為“某類別”關(guān)鍵字,則由其對(duì)應(yīng)列聯(lián)表得到的的觀測(cè)值越大,排名就越靠前;設(shè)“山”“簾”“花”和“愛情婚姻”對(duì)應(yīng)的觀測(cè)值分別為,,.已知,,請(qǐng)完成下面列聯(lián)表,并從上述三個(gè)字中選出“愛情婚姻”類別的關(guān)鍵字并排名.屬于“愛情婚姻”類不屬于“愛情婚姻”類總計(jì)含“花”字的篇數(shù)不含“花”的篇數(shù)總計(jì)附:,其中.0.050.0250.0103.8415.0246.635

參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、B【解析】

畫出可行域和目標(biāo)函數(shù),根據(jù)平移得到,再利用二項(xiàng)式定理計(jì)算得到答案.【詳解】如圖所示:畫出可行域和目標(biāo)函數(shù),,即,故表示直線與截距的倍,根據(jù)圖像知:當(dāng)時(shí),的最大值為,故.展開式的通項(xiàng)為:,取得到項(xiàng)的系數(shù)為:.故選:.【點(diǎn)睛】本題考查了線性規(guī)劃求最值,二項(xiàng)式定理,意在考查學(xué)生的計(jì)算能力和綜合應(yīng)用能力.2、D【解析】

先通過(guò)得到原函數(shù)為增函數(shù)且為偶函數(shù),再利用到軸距離求解不等式即可.【詳解】構(gòu)造函數(shù),則由題可知,所以在時(shí)為增函數(shù);由為奇函數(shù),為奇函數(shù),所以為偶函數(shù);又,即即又為開口向上的偶函數(shù)所以,解得或故選:D【點(diǎn)睛】此題考查根據(jù)導(dǎo)函數(shù)構(gòu)造原函數(shù),偶函數(shù)解不等式等知識(shí)點(diǎn),屬于較難題目.3、D【解析】

先求出橢圓方程,再利用橢圓的定義得到,利用二次函數(shù)的性質(zhì)可求,從而可得的取值范圍.【詳解】由題設(shè)有,故,故橢圓,因?yàn)辄c(diǎn)為上的任意一點(diǎn),故.又,因?yàn)?,故,所?故選:D.【點(diǎn)睛】本題考查橢圓的幾何性質(zhì),一般地,如果橢圓的左、右焦點(diǎn)分別是,點(diǎn)為上的任意一點(diǎn),則有,我們常用這個(gè)性質(zhì)來(lái)考慮與焦點(diǎn)三角形有關(guān)的問(wèn)題,本題屬于基礎(chǔ)題.4、D【解析】

推導(dǎo)出,且,,,設(shè)中點(diǎn)為,則平面,由此能表示出該容器的體積,從而求出參數(shù)的值.【詳解】解:如圖(4),為該四棱錐的正視圖,由圖(3)可知,,且,由為等腰直角三角形可知,,設(shè)中點(diǎn)為,則平面,∴,∴,解得.故選:D【點(diǎn)睛】本題考查三視圖和錐體的體積計(jì)算公式的應(yīng)用,屬于中檔題.5、D【解析】

由|AF2|=3|BF2|,可得.設(shè)直線l的方程x=my+,m>0,設(shè),,即y1=﹣3y2①,聯(lián)立直線l與曲線C,得y1+y2=-②,y1y2=③,求出m的值即可求出直線的斜率.【詳解】雙曲線C:,F(xiàn)1,F(xiàn)2為左、右焦點(diǎn),則F2(,0),設(shè)直線l的方程x=my+,m>0,∵雙曲線的漸近線方程為x=±2y,∴m≠±2,設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),且y1>0,由|AF2|=3|BF2|,∴,∴y1=﹣3y2①由,得∴△=(2m)2﹣4(m2﹣4)>0,即m2+4>0恒成立,∴y1+y2=②,y1y2=③,聯(lián)立①②得,聯(lián)立①③得,,即:,,解得:,直線的斜率為,故選D.【點(diǎn)睛】本題考查直線與雙曲線的位置關(guān)系,考查韋達(dá)定理的運(yùn)用,考查向量知識(shí),屬于中檔題.6、B【解析】

先把沒有要求的3人排好,再分如下兩種情況討論:1.甲、丁兩者一起,與乙、丙都不相鄰,2.甲、丁一起與乙、丙二者之一相鄰.【詳解】首先將除甲、乙、丙、丁外的其余3人排好,共有種不同排列方式,甲、丁排在一起共有種不同方式;若甲、丁一起與乙、丙都不相鄰,插入余下三人產(chǎn)生的空檔中,共有種不同方式;若甲、丁一起與乙、丙二者之一相鄰,插入余下三人產(chǎn)生的空檔中,共有種不同方式;根據(jù)分類加法、分步乘法原理,得滿足要求的排隊(duì)方法數(shù)為種.故選:B.【點(diǎn)睛】本題考查排列組合的綜合應(yīng)用,在分類時(shí),要注意不重不漏的原則,本題是一道中檔題.7、D【解析】

把已知等式變形,然后利用數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算化簡(jiǎn),再由復(fù)數(shù)模的公式計(jì)算得答案.【詳解】解:,則.故選:D.【點(diǎn)睛】本題考查了復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算,考查了復(fù)數(shù)模的求法,是基礎(chǔ)題.8、A【解析】

根據(jù)幾何概率計(jì)算公式,求出中間小三角形區(qū)域的面積與大三角形面積的比值即可.【詳解】在中,,,,由余弦定理,得,所以.所以所求概率為.故選A.【點(diǎn)睛】本題考查了幾何概型的概率計(jì)算問(wèn)題,是基礎(chǔ)題.9、C【解析】

直接求交集得到答案.【詳解】集合,則.故選:.【點(diǎn)睛】本題考查了交集運(yùn)算,屬于簡(jiǎn)單題.10、A【解析】由題意得到該幾何體是一個(gè)組合體,前半部分是一個(gè)高為底面是邊長(zhǎng)為4的等邊三角形的三棱錐,后半部分是一個(gè)底面半徑為2的半個(gè)圓錐,體積為故答案為A.點(diǎn)睛:思考三視圖還原空間幾何體首先應(yīng)深刻理解三視圖之間的關(guān)系,遵循“長(zhǎng)對(duì)正,高平齊,寬相等”的基本原則,其內(nèi)涵為正視圖的高是幾何體的高,長(zhǎng)是幾何體的長(zhǎng);俯視圖的長(zhǎng)是幾何體的長(zhǎng),寬是幾何體的寬;側(cè)視圖的高是幾何體的高,寬是幾何體的寬.由三視圖畫出直觀圖的步驟和思考方法:1、首先看俯視圖,根據(jù)俯視圖畫出幾何體地面的直觀圖;2、觀察正視圖和側(cè)視圖找到幾何體前、后、左、右的高度;3、畫出整體,然后再根據(jù)三視圖進(jìn)行調(diào)整.11、D【解析】

結(jié)合指數(shù)函數(shù)及對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性,可判斷出,,,即可選出答案.【詳解】由,即,又,即,,即,所以.故選:D.【點(diǎn)睛】本題考查了幾個(gè)數(shù)的大小比較,考查了指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性的應(yīng)用,屬于基礎(chǔ)題.12、A【解析】

試題分析:α⊥β,b⊥m又直線a在平面α內(nèi),所以a⊥b,但直線不一定相交,所以“α⊥β”是“a⊥b”的充分不必要條件,故選A.考點(diǎn):充分條件、必要條件.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、【解析】

取的中點(diǎn),連接,,取的中點(diǎn),連接,,,直線與所成的角為,計(jì)算,,根據(jù)余弦定理計(jì)算得到答案?!驹斀狻咳〉闹悬c(diǎn),連接,,依題意可得,,所以平面,所以,因?yàn)?,分別、的中點(diǎn),所以,因?yàn)?,所以,所以平面,故,故,故兩兩垂直。取的中點(diǎn),連接,,,因?yàn)?,所以直線與所成的角為,設(shè),則,,所以,化簡(jiǎn)得,解得,即.故答案為:.【點(diǎn)睛】本題考查了根據(jù)異面直線夾角求長(zhǎng)度,意在考查學(xué)生的計(jì)算能力和空間想象能力.14、【解析】

由橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程,求出焦點(diǎn)的坐標(biāo),寫出直線方程,與橢圓方程聯(lián)立,求出弦長(zhǎng),利用定義可得,進(jìn)而求出。【詳解】由知,焦點(diǎn),所以直線:,代入得,即,設(shè),,故由定義有,,所以。【點(diǎn)睛】本題主要考查橢圓的定義、橢圓的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)、以及直線與橢圓位置關(guān)系中弦長(zhǎng)的求法,注意直線過(guò)焦點(diǎn),位置特殊,采取合適的弦長(zhǎng)公式,簡(jiǎn)化運(yùn)算。15、;【解析】

求出圓心坐標(biāo),代入直線方程得的關(guān)系,再由基本不等式求得題中最小值.【詳解】圓:的標(biāo)準(zhǔn)方程為,圓心為,由題意,即,∴,當(dāng)且僅當(dāng),即時(shí)等號(hào)成立,故答案為:.【點(diǎn)睛】本題考查用基本不等式求最值,考查圓的標(biāo)準(zhǔn)方程,解題方法是配方法求圓心坐標(biāo),“1”的代換法求最小值,目的是湊配出基本不等式中所需的“定值”.16、【解析】

由題意畫出可行域,轉(zhuǎn)化目標(biāo)函數(shù)為,數(shù)形結(jié)合即可得到的最值,即可得解.【詳解】由題意畫出可行域,如圖:轉(zhuǎn)化目標(biāo)函數(shù)為,通過(guò)平移直線,數(shù)形結(jié)合可知:當(dāng)直線過(guò)點(diǎn)A時(shí),直線截距最大,z最小;當(dāng)直線過(guò)點(diǎn)C時(shí),直線截距最小,z最大.由可得,由可得,當(dāng)直線過(guò)點(diǎn)時(shí),;當(dāng)直線過(guò)點(diǎn)時(shí),,所以.故答案為:.【點(diǎn)睛】本題考查了簡(jiǎn)單的線性規(guī)劃,考查了數(shù)形結(jié)合思想,屬于基礎(chǔ)題.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、(1);(2)【解析】

(1)由正弦定理可得,,化簡(jiǎn)并結(jié)合,可求得三者間的關(guān)系,代入余弦定理可求得;(2)由(1)可求得,再結(jié)合三角形的面積公式,可求出,從而可求出答案.【詳解】(1)因?yàn)?所以,整理得:.因?yàn)?所以,所以.由余弦定理可得.(2)由(1)知,則,因?yàn)榈拿娣e是,所以,即,解得,則.故的周長(zhǎng)為:.【點(diǎn)睛】本題考查了正弦定理、余弦定理在解三角形中的應(yīng)用,考查了三角形面積公式的應(yīng)用,屬于基礎(chǔ)題.18、(1);(2)【解析】

(1)利用兩邊平方法解含有絕對(duì)值的不等式,再根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系求出的值;(2)利用絕對(duì)值不等式求出的最小值,把不等式化為只含有的不等式,求出不等式解集即可.【詳解】(1)不等式,即兩邊平方整理得由題意知和是方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根即,解得(2)因?yàn)樗砸共坏仁胶愠闪?,只需?dāng)時(shí),,解得,即;當(dāng)時(shí),,解得,即;綜上所述,的取值范圍是【點(diǎn)睛】本題考查了含有絕對(duì)值的不等式解法與應(yīng)用問(wèn)題,也考查了分類討論思想,是中檔題.19、(2),(2),的最大整數(shù)是2.(3)存在,【解析】

(2)由可得(),然后把這兩個(gè)等式相減,化簡(jiǎn)得,公差為2,因?yàn)?,,為等比?shù)列,所以,化簡(jiǎn)計(jì)算得,,從而得到數(shù)列的通項(xiàng)公式,再計(jì)算出,,,從而可求出數(shù)列的通項(xiàng)公式;(2)令,化簡(jiǎn)計(jì)算得,從而可得數(shù)列是遞增的,所以只要的最小值大于即可,而的最小值為,所以可得答案;(3)由題意可知,,即,這個(gè)可看成一個(gè)數(shù)列的前項(xiàng)和,再寫出其前()項(xiàng)和,兩式相減得,,利用同樣的方法可得.【詳解】解:(2)由題,當(dāng)時(shí),,即當(dāng)時(shí),①②①-②得,整理得,又因?yàn)楦黜?xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列.故是從第二項(xiàng)的等差數(shù)列,公差為2.又恰為等比數(shù)列的前3項(xiàng),故,解得.又,故,因?yàn)橐渤闪ⅲ适且詾槭醉?xiàng),2為公差的等差數(shù)列.故.即2,4,8恰為等比數(shù)列的前3項(xiàng),故是以為首項(xiàng),公比為的等比數(shù)列,故.綜上,(2)令,則所以數(shù)列是遞增的,若對(duì)均滿足,只要的最小值大于即可因?yàn)榈淖钚≈禐?,所以,所以的最大整?shù)是2.(3)由,得,③④③-④得,⑤,⑥⑤-⑥得,,所以存在這樣的數(shù)列,【點(diǎn)睛】此題考查了等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項(xiàng)公式與求和公式,最值,恒成立問(wèn)題,考查了推理能力與計(jì)算能力,屬于中檔題.20、(1);(2)證明見解析.【解析】

(1)求出,判斷函數(shù)的單調(diào)性,求出函數(shù)的最大值,即求的范圍;(2)由(1)可知,.對(duì)分和兩種情況討論,構(gòu)造函數(shù),利用放縮法和基本不等式證明結(jié)論.【詳解】(1)由,得.令.當(dāng)時(shí),;當(dāng)時(shí),;在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減,.對(duì)任意恒成立,.(2)證明:由(1)可知,在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減,.若,則,令在上單調(diào)遞增,,.又,在上單調(diào)遞減,.若,則顯然成立.綜上,.又以上兩式左右兩端分別相加,得,即,所以.【點(diǎn)睛】本題考查利用導(dǎo)數(shù)解決不等式恒成立問(wèn)題,利用導(dǎo)數(shù)證明不等式,屬于難題.21、(1)見解析;(2)【解析】

(1)先由線面垂直的判定定理證明平面,再證明線線垂直即可;(2)建立空間直角坐標(biāo)系,求平面的一個(gè)法向量與平面的一個(gè)法向量,再利用向量數(shù)量積運(yùn)算即可.【詳解】(1)證明:連接,由平行且相等,可知四邊形為平行四邊形,所以.由題意易知,,所以,,因?yàn)?,所以平面,又平面,所?(2)

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