上海外國(guó)語(yǔ)大學(xué)附屬中學(xué)2025屆高三下學(xué)期聯(lián)考數(shù)學(xué)試題含解析

上海外國(guó)語(yǔ)大學(xué)附屬中學(xué)2025屆高三下學(xué)期聯(lián)考數(shù)學(xué)試題請(qǐng)考生注意：1．請(qǐng)用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應(yīng)位置上，請(qǐng)用0．5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答案寫(xiě)在答題紙相應(yīng)的答題區(qū)內(nèi)。寫(xiě)在試題卷、草稿紙上均無(wú)效。2．答題前，認(rèn)真閱讀答題紙上的《注意事項(xiàng)》，按規(guī)定答題。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．盒子中有編號(hào)為1，2，3，4，5，6，7的7個(gè)相同的球，從中任取3個(gè)編號(hào)不同的球，則取的3個(gè)球的編號(hào)的中位數(shù)恰好為5的概率是（）A． B． C． D．2．已知m為實(shí)數(shù)，直線：，：，則“”是“”的（）A．充要條件 B．充分不必要條件C．必要不充分條件 D．既不充分也不必要條件3．已知，則下列不等式正確的是（）A． B．C． D．4．將函數(shù)的圖象先向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度，在把所得函數(shù)圖象的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的倍，縱坐標(biāo)不變，得到函數(shù)的圖象，若函數(shù)在上沒(méi)有零點(diǎn)，則的取值范圍是（）A． B．C． D．5．設(shè)全集，集合，.則集合等于（）A． B． C． D．6．設(shè)等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，，則（）A．21 B．22 C．11 D．127．歷史上有不少數(shù)學(xué)家都對(duì)圓周率作過(guò)研究，第一個(gè)用科學(xué)方法尋求圓周率數(shù)值的人是阿基米德，他用圓內(nèi)接和外切正多邊形的周長(zhǎng)確定圓周長(zhǎng)的上下界，開(kāi)創(chuàng)了圓周率計(jì)算的幾何方法，而中國(guó)數(shù)學(xué)家劉徽只用圓內(nèi)接正多邊形就求得的近似值，他的方法被后人稱(chēng)為割圓術(shù)．近代無(wú)窮乘積式、無(wú)窮連分?jǐn)?shù)、無(wú)窮級(jí)數(shù)等各種值的表達(dá)式紛紛出現(xiàn)，使得值的計(jì)算精度也迅速增加．華理斯在1655年求出一個(gè)公式：，根據(jù)該公式繪制出了估計(jì)圓周率的近似值的程序框圖，如下圖所示，執(zhí)行該程序框圖，已知輸出的，若判斷框內(nèi)填入的條件為，則正整數(shù)的最小值是A． B． C． D．8．已知，是兩條不重合的直線，是一個(gè)平面，則下列命題中正確的是（）A．若，，則 B．若，，則C．若，，則 D．若，，則9．已知數(shù)列是公差為的等差數(shù)列，且成等比數(shù)列，則（）A．4 B．3 C．2 D．110．已知雙曲線的右焦點(diǎn)為F，過(guò)右頂點(diǎn)A且與x軸垂直的直線交雙曲線的一條漸近線于M點(diǎn)，MF的中點(diǎn)恰好在雙曲線C上，則C的離心率為（）A． B． C． D．11．若，則“”的一個(gè)充分不必要條件是A． B．C．且 D．或12．若函數(shù)的圖象上兩點(diǎn)，關(guān)于直線的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)在的圖象上，則的取值范圍是（）A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．連續(xù)2次拋擲一顆質(zhì)地均勻的骰子（六個(gè)面上分別標(biāo)有數(shù)字1，2，3，4，5，6的正方體），觀察向上的點(diǎn)數(shù)，則事件“點(diǎn)數(shù)之積是3的倍數(shù)”的概率為_(kāi)___．14．函數(shù)在內(nèi)有兩個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是________.15．函數(shù)在的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為_(kāi)________.16．在數(shù)列中，，，曲線在點(diǎn)處的切線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，下列四個(gè)結(jié)論：①；②；③；④數(shù)列是等比數(shù)列；其中所有正確結(jié)論的編號(hào)是______.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（12分）已知函數(shù)（），是的導(dǎo)數(shù).（1）當(dāng)時(shí)，令，為的導(dǎo)數(shù).證明：在區(qū)間存在唯一的極小值點(diǎn)；（2）已知函數(shù)在上單調(diào)遞減，求的取值范圍.18．（12分）已知拋物線的焦點(diǎn)為，點(diǎn)在拋物線上，，直線過(guò)點(diǎn)，且與拋物線交于，兩點(diǎn)．（1）求拋物線的方程及點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）求的最大值．19．（12分）已知函數(shù)，（1）證明：在區(qū)間單調(diào)遞減；（2）證明：對(duì)任意的有．20．（12分）已知在中，a、b、c分別為角A、B、C的對(duì)邊，且．（1）求角A的值；（2）若，設(shè)角，周長(zhǎng)為y，求的最大值．21．（12分）在中,角、、所對(duì)的邊分別為、、，角、、的度數(shù)成等差數(shù)列，.（1）若，求的值；（2）求的最大值.22．（10分）已知函數(shù).（1）若在上為單調(diào)函數(shù)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍：（2）若，記的兩個(gè)極值點(diǎn)為，，記的最大值與最小值分別為M，m，求的值.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、B【解析】

由題意，取的3個(gè)球的編號(hào)的中位數(shù)恰好為5的情況有，所有的情況有種，由古典概型的概率公式即得解.【詳解】由題意，取的3個(gè)球的編號(hào)的中位數(shù)恰好為5的情況有，所有的情況有種由古典概型，取的3個(gè)球的編號(hào)的中位數(shù)恰好為5的概率為：故選：B【點(diǎn)睛】本題考查了排列組合在古典概型中的應(yīng)用，考查了學(xué)生綜合分析，概念理解，數(shù)學(xué)運(yùn)算的能力，屬于中檔題.2、A【解析】

根據(jù)直線平行的等價(jià)條件，求出m的值，結(jié)合充分條件和必要條件的定義進(jìn)行判斷即可．【詳解】當(dāng)m=1時(shí)，兩直線方程分別為直線l1：x+y﹣1=0，l2：x+y﹣2=0滿足l1∥l2，即充分性成立，當(dāng)m=0時(shí)，兩直線方程分別為y﹣1=0，和﹣2x﹣2=0，不滿足條件．當(dāng)m≠0時(shí)，則l1∥l2?，由得m2﹣3m+2=0得m=1或m=2，由得m≠2，則m=1，即“m=1”是“l(fā)1∥l2”的充要條件，故答案為：A【點(diǎn)睛】（1）本題主要考查充要條件的判斷，考查兩直線平行的等價(jià)條件，意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的掌握水平和分析推理能力.(2)本題也可以利用下面的結(jié)論解答，直線和直線平行，則且兩直線不重合,求出參數(shù)的值后要代入檢驗(yàn)看兩直線是否重合.3、D【解析】

利用特殊值代入法，作差法，排除不符合條件的選項(xiàng)，得到符合條件的選項(xiàng)．【詳解】已知，賦值法討論的情況：（1）當(dāng)時(shí)，令，，則，，排除B、C選項(xiàng)；（2）當(dāng)時(shí)，令，，則，排除A選項(xiàng).故選：D.【點(diǎn)睛】比較大小通常采用作差法，本題主要考查不等式與不等關(guān)系，不等式的基本性質(zhì)，利用特殊值代入法，排除不符合條件的選項(xiàng)，得到符合條件的選項(xiàng)，是一種簡(jiǎn)單有效的方法，屬于中等題．4、A【解析】

根據(jù)y=Acos（ωx+φ）的圖象變換規(guī)律，求得g（x）的解析式，根據(jù)定義域求出的范圍，再利用余弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)，求得ω的取值范圍．【詳解】函數(shù)的圖象先向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度，可得的圖象，再將圖象上每個(gè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的倍(縱坐標(biāo)不變)，得到函數(shù)的圖象，∴周期，若函數(shù)在上沒(méi)有零點(diǎn)，∴，∴，，解得，又，解得，當(dāng)k=0時(shí)，解，當(dāng)k=-1時(shí)，，可得，.故答案為：A.【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)y=Acos（ωx+φ）的圖象變換及零點(diǎn)問(wèn)題，此類(lèi)問(wèn)題通常采用數(shù)形結(jié)合思想，構(gòu)建不等關(guān)系式，求解可得，屬于較難題.5、A【解析】

先算出集合，再與集合B求交集即可.【詳解】因?yàn)榛?所以，又因?yàn)?所以.故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查集合間的基本運(yùn)算，涉及到解一元二次不等式、指數(shù)不等式，是一道容易題.6、A【解析】

由題意知成等差數(shù)列，結(jié)合等差中項(xiàng)，列出方程，即可求出的值.【詳解】解：由為等差數(shù)列，可知也成等差數(shù)列，所以，即，解得.故選:A.【點(diǎn)睛】本題考查了等差數(shù)列的性質(zhì)，考查了等差中項(xiàng).對(duì)于等差數(shù)列，一般用首項(xiàng)和公差將已知量表示出來(lái)，繼而求出首項(xiàng)和公差.但是這種基本量法計(jì)算量相對(duì)比較大，如果能結(jié)合等差數(shù)列性質(zhì)，可使得計(jì)算量大大減少.7、B【解析】

初始：，，第一次循環(huán)：，，繼續(xù)循環(huán)；第二次循環(huán)：，，此時(shí)，滿足條件，結(jié)束循環(huán)，所以判斷框內(nèi)填入的條件可以是，所以正整數(shù)的最小值是3，故選B．8、D【解析】

利用空間位置關(guān)系的判斷及性質(zhì)定理進(jìn)行判斷.【詳解】解：選項(xiàng)A中直線，還可能相交或異面，選項(xiàng)B中，還可能異面，選項(xiàng)C，由條件可得或．故選：D.【點(diǎn)睛】本題主要考查直線與平面平行、垂直的性質(zhì)與判定等基礎(chǔ)知識(shí)；考查空間想象能力、推理論證能力，屬于基礎(chǔ)題.9、A【解析】

根據(jù)等差數(shù)列和等比數(shù)列公式直接計(jì)算得到答案.【詳解】由成等比數(shù)列得，即，已知，解得.故選：.【點(diǎn)睛】本題考查了等差數(shù)列，等比數(shù)列的基本量的計(jì)算，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力.10、A【解析】

設(shè)，則MF的中點(diǎn)坐標(biāo)為，代入雙曲線的方程可得的關(guān)系，再轉(zhuǎn)化成關(guān)于的齊次方程，求出的值，即可得答案.【詳解】雙曲線的右頂點(diǎn)為，右焦點(diǎn)為，M所在直線為，不妨設(shè)，∴MF的中點(diǎn)坐標(biāo)為.代入方程可得，∴，∴，∴（負(fù)值舍去）.故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查雙曲線的離心率，考查函數(shù)與方程思想、轉(zhuǎn)化與化歸思想，考查邏輯推理能力和運(yùn)算求解能力，求解時(shí)注意構(gòu)造的齊次方程.11、C【解析】，∴，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào).故“且”是“”的充分不必要條件.選C．12、D【解析】

由題可知，可轉(zhuǎn)化為曲線與有兩個(gè)公共點(diǎn)，可轉(zhuǎn)化為方程有兩解，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性，分析即得解【詳解】函數(shù)的圖象上兩點(diǎn)，關(guān)于直線的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)在上，即曲線與有兩個(gè)公共點(diǎn)，即方程有兩解，即有兩解，令，則，則當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，故時(shí)取得極大值，也即為最大值，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，所以滿足條件．故選：D【點(diǎn)睛】本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的零點(diǎn)，考查了學(xué)生綜合分析，轉(zhuǎn)化劃歸，數(shù)形結(jié)合，數(shù)學(xué)運(yùn)算的能力，屬于較難題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】總事件數(shù)為，目標(biāo)事件：當(dāng)?shù)谝活w骰子為1,2,4,6，具體事件有，共8種；當(dāng)?shù)谝活w骰子為3,6，則第二顆骰子隨便都可以，則有種；所以目標(biāo)事件共20中，所以。14、【解析】

設(shè)，，設(shè)，函數(shù)為奇函數(shù)，，函數(shù)單調(diào)遞增，，畫(huà)出簡(jiǎn)圖，如圖所示，根據(jù)，解得答案.【詳解】，設(shè)，，則.原函數(shù)等價(jià)于函數(shù)，即有兩個(gè)解.設(shè)，則，函數(shù)為奇函數(shù).，函數(shù)單調(diào)遞增，，，.當(dāng)時(shí)，易知不成立；當(dāng)時(shí)，根據(jù)對(duì)稱(chēng)性，考慮時(shí)的情況，，畫(huà)出簡(jiǎn)圖，如圖所示，根據(jù)圖像知：故，即，根據(jù)對(duì)稱(chēng)性知：.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查了函數(shù)零點(diǎn)問(wèn)題，意在考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力和計(jì)算能力，畫(huà)出圖像是解題的關(guān)鍵.15、1【解析】

本問(wèn)題轉(zhuǎn)化為曲線交點(diǎn)個(gè)數(shù)問(wèn)題，在同一直角坐標(biāo)系內(nèi)，畫(huà)出函數(shù)的圖象，利用數(shù)形結(jié)合思想進(jìn)行求解即可.【詳解】問(wèn)題函數(shù)在的零點(diǎn)個(gè)數(shù)，可以轉(zhuǎn)化為曲線交點(diǎn)個(gè)數(shù)問(wèn)題.在同一直角坐標(biāo)系內(nèi)，畫(huà)出函數(shù)的圖象，如下圖所示：由圖象可知：當(dāng)時(shí)，兩個(gè)函數(shù)只有一個(gè)交點(diǎn).故答案為：1【點(diǎn)睛】本題考查了求函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)問(wèn)題，考查了轉(zhuǎn)化思想和數(shù)形結(jié)合思想.16、①③④【解析】

先利用導(dǎo)數(shù)求得曲線在點(diǎn)處的切線方程，由此求得與的遞推關(guān)系式，進(jìn)而證得數(shù)列是等比數(shù)列，由此判斷出四個(gè)結(jié)論中正確的結(jié)論編號(hào).【詳解】∵，∴曲線在點(diǎn)處的切線方程為，則.∵，∴，則是首項(xiàng)為1，公比為的等比數(shù)列，從而，，.故所有正確結(jié)論的編號(hào)是①③④.故答案為：①③④【點(diǎn)睛】本小題主要考查曲線的切線方程的求法，考查根據(jù)遞推關(guān)系式證明等比數(shù)列，考查等比數(shù)列通項(xiàng)公式和前項(xiàng)和公式，屬于基礎(chǔ)題.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（1）見(jiàn)解析；（2）【解析】

（1）設(shè)，，注意到在上單增，再利用零點(diǎn)存在性定理即可解決；（2）函數(shù)在上單調(diào)遞減，則在恒成立，即在上恒成立，構(gòu)造函數(shù)，求導(dǎo)討論的最值即可.【詳解】（1）由已知，，所以，設(shè)，，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，而，，且在上圖象連續(xù)不斷.所以在上有唯一零點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；∴在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，故在區(qū)間上存在唯一的極小值點(diǎn)，即在區(qū)間上存在唯一的極小值點(diǎn)；（2）設(shè)，，，∴在單調(diào)遞增，，即，從而，因?yàn)楹瘮?shù)在上單調(diào)遞減，∴在上恒成立，令，∵，∴，在上單調(diào)遞減，，當(dāng)時(shí)，，則在上單調(diào)遞減，，符合題意.當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，所以一定存在，當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞增，與題意不符，舍去.綜上，的取值范圍是【點(diǎn)睛】本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值點(diǎn)、不等式恒成立問(wèn)題，在處理恒成立問(wèn)題時(shí)，通常是構(gòu)造函數(shù)，轉(zhuǎn)化成函數(shù)的最值來(lái)處理，本題是一道較難的題.18、（1），；（2）1．【解析】

（1）根據(jù)拋物線上的點(diǎn)到焦點(diǎn)和準(zhǔn)線的距離相等，可得p值，即可求拋物線C的方程從而可得解；（2）設(shè)直線l的方程為：x+my﹣1＝0，代入y2＝4x，得，y2+4my﹣4＝0，設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），則y1+y2＝﹣4m，y1y2＝﹣4，x1+x2＝2+4m2，x1x2＝1，（），（x2﹣2，），由此能求出的最大值．【詳解】（1）∵點(diǎn)F是拋物線y2＝2px（p＞0）的焦點(diǎn)，P（2，y0）是拋物線上一點(diǎn)，|PF|＝3，∴23，解得：p＝2，∴拋物線C的方程為y2＝4x，∵點(diǎn)P（2，n）（n＞0）在拋物線C上，∴n2＝4×2＝8，由n＞0，得n＝2，∴P（2，2）．（2）∵F（1，0），∴設(shè)直線l的方程為：x+my﹣1＝0，代入y2＝4x，整理得，y2+4my﹣4＝0設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），則y1，y2是y2+4my﹣4＝0的兩個(gè)不同實(shí)根，∴y1+y2＝﹣4m，y1y2＝﹣4，x1+x2＝（1﹣my1）+（1﹣my2）＝2﹣m（y1+y2）＝2+4m2，x1x2＝（1﹣my1）（1﹣my2）＝1﹣m（y1+y2）+m2y1y2＝1+4m2﹣4m2＝1，（），（x2﹣2，），（x1﹣2）（x2﹣2）+（）（）＝x1x2﹣2（x1+x2）+4＝1﹣4﹣8m2+4﹣4+8m+8＝﹣8m2+8m+5＝﹣8（m）2+1．∴當(dāng)m時(shí)，取最大值1．【點(diǎn)睛】本題考查拋物線方程的求法，考查向量的數(shù)量積的最大值的求法，考查拋物線、直線方程、韋達(dá)定理等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，考查函數(shù)與方程思想，是中檔題．19、（1）答案見(jiàn)解析．（2）答案見(jiàn)解析【解析】

（1）利用復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)求出，利用導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性之間的關(guān)系即可求解.（2）首先證，令，求導(dǎo)可得單調(diào)遞增，由即可證出；再令，再利用導(dǎo)數(shù)可得單調(diào)遞增，由即可證出.【詳解】（1）顯然時(shí)，，故在單調(diào)遞減．（2）首先證，令，則單調(diào)遞增，且，所以再令，所以單調(diào)遞增，即，∴【點(diǎn)睛】本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、利用導(dǎo)數(shù)證明不等式，解題的關(guān)鍵掌握復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)，屬于難題.20、（1）；（2）．【解析】

（1）利用正弦定理，結(jié)合題中條件，