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文檔簡介
吉林省長春六中、八中、十一中等省重點(diǎn)中學(xué)2025屆高三3月份模擬考試數(shù)學(xué)試題注意事項(xiàng):1.答卷前,考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)、考場號(hào)和座位號(hào)填寫在試題卷和答題卡上。用2B鉛筆將試卷類型(B)填涂在答題卡相應(yīng)位置上。將條形碼粘貼在答題卡右上角"條形碼粘貼處"。2.作答選擇題時(shí),選出每小題答案后,用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目選項(xiàng)的答案信息點(diǎn)涂黑;如需改動(dòng),用橡皮擦干凈后,再選涂其他答案。答案不能答在試題卷上。3.非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答,答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)位置上;如需改動(dòng),先劃掉原來的答案,然后再寫上新答案;不準(zhǔn)使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答無效。4.考生必須保證答題卡的整潔??荚嚱Y(jié)束后,請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.己知,,,則()A. B. C. D.2.的展開式中的系數(shù)為()A. B. C. D.3.若復(fù)數(shù)滿足,則(其中為虛數(shù)單位)的最大值為()A.1 B.2 C.3 D.44.已知數(shù)列滿足:,則()A.16 B.25 C.28 D.335.以,為直徑的圓的方程是A. B.C. D.6.已知集合,則()A. B. C. D.7.關(guān)于函數(shù)在區(qū)間的單調(diào)性,下列敘述正確的是()A.單調(diào)遞增 B.單調(diào)遞減 C.先遞減后遞增 D.先遞增后遞減8.若為虛數(shù)單位,網(wǎng)格紙上小正方形的邊長為1,圖中復(fù)平面內(nèi)點(diǎn)表示復(fù)數(shù),則表示復(fù)數(shù)的點(diǎn)是()A.E B.F C.G D.H9.記單調(diào)遞增的等比數(shù)列的前項(xiàng)和為,若,,則()A. B. C. D.10.若函數(shù)有且僅有一個(gè)零點(diǎn),則實(shí)數(shù)的值為()A. B. C. D.11.已知函數(shù),其中,,其圖象關(guān)于直線對稱,對滿足的,,有,將函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位長度得到函數(shù)的圖象,則函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是()A. B.C. D.12.已知定義在上的函數(shù)滿足,且當(dāng)時(shí),,則方程的最小實(shí)根的值為()A. B. C. D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.若的展開式中所有項(xiàng)的系數(shù)之和為,則______,含項(xiàng)的系數(shù)是______(用數(shù)字作答).14.在平行四邊形中,已知,,,若,,則____________.15.已知,,則與的夾角為.16.如圖,已知,,為的中點(diǎn),為以為直徑的圓上一動(dòng)點(diǎn),則的最小值是_____.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)已知a>0,證明:1.18.(12分)已知,且滿足,證明:.19.(12分)在中,內(nèi)角的邊長分別為,且.(1)若,,求的值;(2)若,且的面積,求和的值.20.(12分)已知函數(shù),若的解集為.(1)求的值;(2)若正實(shí)數(shù),,滿足,求證:.21.(12分)如圖,在四棱錐中,底面是菱形,∠,是邊長為2的正三角形,,為線段的中點(diǎn).(1)求證:平面平面;(2)若為線段上一點(diǎn),當(dāng)二面角的余弦值為時(shí),求三棱錐的體積.22.(10分)已知函數(shù).(1)求曲線在點(diǎn)處的切線方程;(2)若對任意的,當(dāng)時(shí),都有恒成立,求最大的整數(shù).(參考數(shù)據(jù):)
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、B【解析】
先將三個(gè)數(shù)通過指數(shù),對數(shù)運(yùn)算變形,再判斷.【詳解】因?yàn)?,,所以,故選:B.【點(diǎn)睛】本題主要考查指數(shù)、對數(shù)的大小比較,還考查推理論證能力以及化歸與轉(zhuǎn)化思想,屬于中檔題.2、C【解析】由題意,根據(jù)二項(xiàng)式定理展開式的通項(xiàng)公式,得展開式的通項(xiàng)為,則展開式的通項(xiàng)為,由,得,所以所求的系數(shù)為.故選C.點(diǎn)睛:此題主要考查二項(xiàng)式定理的通項(xiàng)公式的應(yīng)用,以及組合數(shù)、整數(shù)冪的運(yùn)算等有關(guān)方面的知識(shí)與技能,屬于中低檔題,也是??贾R(shí)點(diǎn).在二項(xiàng)式定理的應(yīng)用中,注意區(qū)分二項(xiàng)式系數(shù)與系數(shù),先求出通項(xiàng)公式,再根據(jù)所求問題,通過確定未知的次數(shù),求出,將的值代入通項(xiàng)公式進(jìn)行計(jì)算,從而問題可得解.3、B【解析】
根據(jù)復(fù)數(shù)的幾何意義可知復(fù)數(shù)對應(yīng)的點(diǎn)在以原點(diǎn)為圓心,1為半徑的圓上,再根據(jù)復(fù)數(shù)的幾何意義即可確定,即可得的最大值.【詳解】由知,復(fù)數(shù)對應(yīng)的點(diǎn)在以原點(diǎn)為圓心,1為半徑的圓上,表示復(fù)數(shù)對應(yīng)的點(diǎn)與點(diǎn)間的距離,又復(fù)數(shù)對應(yīng)的點(diǎn)所在圓的圓心到的距離為1,所以.故選:B【點(diǎn)睛】本題考查了復(fù)數(shù)模的定義及其幾何意義應(yīng)用,屬于基礎(chǔ)題.4、C【解析】
依次遞推求出得解.【詳解】n=1時(shí),,n=2時(shí),,n=3時(shí),,n=4時(shí),,n=5時(shí),.故選:C【點(diǎn)睛】本題主要考查遞推公式的應(yīng)用,意在考查學(xué)生對這些知識(shí)的理解掌握水平.5、A【解析】
設(shè)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程,利用待定系數(shù)法一一求出,從而求出圓的方程.【詳解】設(shè)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為,由題意得圓心為,的中點(diǎn),根據(jù)中點(diǎn)坐標(biāo)公式可得,,又,所以圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為:,化簡整理得,所以本題答案為A.【點(diǎn)睛】本題考查待定系數(shù)法求圓的方程,解題的關(guān)鍵是假設(shè)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程,建立方程組,屬于基礎(chǔ)題.6、C【解析】
解不等式得出集合A,根據(jù)交集的定義寫出A∩B.【詳解】集合A={x|x2﹣2x﹣30}={x|﹣1x3},,故選C.【點(diǎn)睛】本題考查了解不等式與交集的運(yùn)算問題,是基礎(chǔ)題.7、C【解析】
先用誘導(dǎo)公式得,再根據(jù)函數(shù)圖像平移的方法求解即可.【詳解】函數(shù)的圖象可由向左平移個(gè)單位得到,如圖所示,在上先遞減后遞增.故選:C【點(diǎn)睛】本題考查三角函數(shù)的平移與單調(diào)性的求解.屬于基礎(chǔ)題.8、C【解析】
由于在復(fù)平面內(nèi)點(diǎn)的坐標(biāo)為,所以,然后將代入化簡后可找到其對應(yīng)的點(diǎn).【詳解】由,所以,對應(yīng)點(diǎn).故選:C【點(diǎn)睛】此題考查的是復(fù)數(shù)與復(fù)平面內(nèi)點(diǎn)的對就關(guān)系,復(fù)數(shù)的運(yùn)算,屬于基礎(chǔ)題.9、C【解析】
先利用等比數(shù)列的性質(zhì)得到的值,再根據(jù)的方程組可得的值,從而得到數(shù)列的公比,進(jìn)而得到數(shù)列的通項(xiàng)和前項(xiàng)和,根據(jù)后兩個(gè)公式可得正確的選項(xiàng).【詳解】因?yàn)闉榈缺葦?shù)列,所以,故即,由可得或,因?yàn)闉檫f增數(shù)列,故符合.此時(shí),所以或(舍,因?yàn)闉檫f增數(shù)列).故,.故選C.【點(diǎn)睛】一般地,如果為等比數(shù)列,為其前項(xiàng)和,則有性質(zhì):(1)若,則;(2)公比時(shí),則有,其中為常數(shù)且;(3)為等比數(shù)列()且公比為.10、D【解析】
推導(dǎo)出函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱,由題意得出,進(jìn)而可求得實(shí)數(shù)的值,并對的值進(jìn)行檢驗(yàn),即可得出結(jié)果.【詳解】,則,,,所以,函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱.若函數(shù)的零點(diǎn)不為,則該函數(shù)的零點(diǎn)必成對出現(xiàn),不合題意.所以,,即,解得或.①當(dāng)時(shí),令,得,作出函數(shù)與函數(shù)的圖象如下圖所示:此時(shí),函數(shù)與函數(shù)的圖象有三個(gè)交點(diǎn),不合乎題意;②當(dāng)時(shí),,,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí),等號(hào)成立,則函數(shù)有且只有一個(gè)零點(diǎn).綜上所述,.故選:D.【點(diǎn)睛】本題考查利用函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)求參數(shù),考查函數(shù)圖象對稱性的應(yīng)用,解答的關(guān)鍵就是推導(dǎo)出,在求出參數(shù)后要對參數(shù)的值進(jìn)行檢驗(yàn),考查分析問題和解決問題的能力,屬于中等題.11、B【解析】
根據(jù)已知得到函數(shù)兩個(gè)對稱軸的距離也即是半周期,由此求得的值,結(jié)合其對稱軸,求得的值,進(jìn)而求得解析式.根據(jù)圖像變換的知識(shí)求得的解析式,再利用三角函數(shù)求單調(diào)區(qū)間的方法,求得的單調(diào)遞減區(qū)間.【詳解】解:已知函數(shù),其中,,其圖像關(guān)于直線對稱,對滿足的,,有,∴.再根據(jù)其圖像關(guān)于直線對稱,可得,.∴,∴.將函數(shù)的圖像向左平移個(gè)單位長度得到函數(shù)的圖像.令,求得,則函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是,,故選B.【點(diǎn)睛】本小題主要考查三角函數(shù)圖像與性質(zhì)求函數(shù)解析式,考查三角函數(shù)圖像變換,考查三角函數(shù)單調(diào)區(qū)間的求法,屬于中檔題.12、C【解析】
先確定解析式求出的函數(shù)值,然后判斷出方程的最小實(shí)根的范圍結(jié)合此時(shí)的,通過計(jì)算即可得到答案.【詳解】當(dāng)時(shí),,所以,故當(dāng)時(shí),,所以,而,所以,又當(dāng)時(shí),的極大值為1,所以當(dāng)時(shí),的極大值為,設(shè)方程的最小實(shí)根為,,則,即,此時(shí)令,得,所以最小實(shí)根為411.故選:C.【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)與方程的根的最小值問題,涉及函數(shù)極大值、函數(shù)解析式的求法等知識(shí),本題有一定的難度及高度,是一道有較好區(qū)分度的壓軸選這題.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、【解析】的展開式中所有項(xiàng)的系數(shù)之和為,,,項(xiàng)的系數(shù)是,故答案為(1),(2).14、【解析】
設(shè),則,得到,,利用向量的數(shù)量積的運(yùn)算,即可求解.【詳解】由題意,如圖所示,設(shè),則,又由,,所以為的中點(diǎn),為的三等分點(diǎn),則,,所以.【點(diǎn)睛】本題主要考查了向量的共線定理以及向量的數(shù)量積的運(yùn)算,其中解答中熟記向量的線性運(yùn)算法則,以及向量的共線定理和向量的數(shù)量積的運(yùn)算公式,準(zhǔn)確運(yùn)算是解答的關(guān)鍵,著重考查了推理與運(yùn)算能力,屬于中檔試題.15、【解析】
根據(jù)已知條件,去括號(hào)得:,16、【解析】
建立合適的直角坐標(biāo)系,求出相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo),進(jìn)而可得的坐標(biāo)表示,利用平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示求出的表達(dá)式,求出其最小值即可.【詳解】建立直角坐標(biāo)系如圖所示:則點(diǎn),,,設(shè)點(diǎn),所以,由平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示可得,,其中,因?yàn)?所以的最小值為.故答案為:【點(diǎn)睛】本題考查平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示和利用輔助角公式求最值;考查數(shù)形結(jié)合思想和轉(zhuǎn)化與化歸能力、運(yùn)算求解能力;建立直角坐標(biāo)系,把表示為關(guān)于角的三角函數(shù),利用輔助角公式求最值是求解本題的關(guān)鍵;屬于中檔題.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、證明見解析【解析】
利用分析法,證明a即可.【詳解】證明:∵a>0,∴a1,∴a1≥0,∴要證明1,只要證明a1(a)1﹣4(a)+4,只要證明:a,∵a1,∴原不等式成立.【點(diǎn)睛】本題考查不等式的證明,著重考查分析法的運(yùn)用,考查推理論證能力,屬于中檔題.18、證明見解析【解析】
將化簡可得,由柯西不等式可得證明.【詳解】解:因?yàn)?,,所以,又,所以,?dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào).【點(diǎn)睛】本題主要考查柯西不等式的應(yīng)用,相對不難,注意已知條件的化簡及柯西不等式的靈活運(yùn)用.19、(1);(2).【解析】
(1)先由余弦定理求得,再由正弦定理計(jì)算即可得到所求值;
(2)運(yùn)用二倍角的余弦公式和兩角和的正弦公式,化簡可得sinA+sinB=5sinC,運(yùn)用正弦定理和三角形的面積公式可得a,b的方程組,解方程即可得到所求值.【詳解】解:(1)由余弦定理由正弦定理得(2)由已知得:所以------①又所以------②由①②解得【點(diǎn)睛】本題考查正弦定理、余弦定理和面積公式的運(yùn)用,以及三角函數(shù)的恒等變換,考查化簡整理的運(yùn)算能力,屬于中檔題.20、(1);(2)證明見詳解.【解析】
(1)將不等式的解集用表示出來,結(jié)合題中的解集,求出的值;(2)利用柯西不等式證明.【詳解】解:(1),,,因?yàn)榈慕饧癁?,所以,;?)由(1)由柯西不等式,當(dāng)且僅當(dāng),,,等號(hào)成立.【點(diǎn)睛】本題考查了絕對值不等式的解法,利用柯西不等式證明不等式的問題,屬于中檔題.21、(1)見解析;(2).【解析】
(1)先證明,可證平面,再由可證平面,即得證;(2)以為坐標(biāo)原點(diǎn),建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系,設(shè),求解面的法向量,面的法向量,利用二面角的余弦值為,可求解,轉(zhuǎn)化即得解.【詳解】(1)證明:因?yàn)槭钦切危瑸榫€段的中點(diǎn),所以.因?yàn)槭橇庑?,所以.因?yàn)?,所以是正三角形,所以,所以平面.又,所以平面.因?yàn)槠矫?,所以平面平面.?)由(1)知平面,所以,.而,所以,.又,所以平面.以為坐標(biāo)原點(diǎn),建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系.則.于是,,.設(shè)面的一個(gè)法向量,由得令,則,即.設(shè),易得,.設(shè)面的一個(gè)法向量,由得令,則,,即.依題意,即,令,則,即,即.所以.【點(diǎn)睛】本題考查了空間向量和立體幾何綜合,考查了面面垂直的判斷,二面角的向量求解,三棱錐的體積等知識(shí)點(diǎn),考查了學(xué)生空間想象,邏輯推理,數(shù)學(xué)運(yùn)算的能力,屬于中檔題.22、(1)(2)2【解析】
(1)先求得切點(diǎn)坐標(biāo),利用導(dǎo)數(shù)求得切線的斜率,由此求得切線方程.(2)對分成,兩種情況進(jìn)行分類討論.當(dāng)時(shí),將不等式轉(zhuǎn)化為,構(gòu)造函數(shù),利用導(dǎo)數(shù)求得的最小值(設(shè)為)的取值范圍,由的得在上恒成立,結(jié)合一
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