湖北省武漢市新洲區(qū)部分學(xué)校2023-2024學(xué)年度高二上學(xué)期期末質(zhì)量檢測(cè)數(shù)學(xué)試卷 含答案

2023-2024學(xué)年度上學(xué)期期末新洲區(qū)部分學(xué)校高中二年級(jí)質(zhì)量檢測(cè)數(shù)學(xué)試卷考試用時(shí)：120分鐘滿分：150分2024．01第I卷（選擇題共60分）一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1．拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為（）A． B． C． D．2．已知數(shù)列是等差數(shù)列，是其前項(xiàng)和，，，則（）A．160 B．180 C．190 D．2533．如圖，在四面體中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是，的中點(diǎn)，點(diǎn)是線段上靠近點(diǎn)的一個(gè)三等分點(diǎn)，令，，，則（）A． B．C． D．4．設(shè)直線的方程為，則直線的傾斜角的范圍是（）A． B． C． D．5．已知橢圓的右焦點(diǎn)為，過(guò)點(diǎn)的直線交橢圓于A、B兩點(diǎn)，若的中點(diǎn)坐標(biāo)為，則橢圓的方程為（）A． B． C． D．6．已知原點(diǎn)到直線的距離為1，圓與直線相切，則滿足條件的直線有多少條（）A．4條 B．3條 C．2條 D．1條7．手工課可以提高學(xué)生的動(dòng)手能力、反應(yīng)能力、創(chuàng)造力．某小學(xué)生在一次手工課上制作了一座漂亮的房子模型，它可近似地看成是一個(gè)直三棱柱和一個(gè)正方體的組合體，其直觀圖如圖所示，，，P、Q、M、N分別是棱、、、的中點(diǎn)，則異面直線與所成角的余弦值是（）A． B． C． D．8．已知橢圓與雙曲線有共同的焦點(diǎn)，，且在第一象限的交點(diǎn)為，滿足（其中為原點(diǎn)）．設(shè)，的離心率分別為，，當(dāng)取得最小值時(shí)，的值為（）A． B． C． D．二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分．9．下列命題正確的是（）A．方程的兩根可分別作為橢圓和雙曲線的離心率B．過(guò)雙曲線焦點(diǎn)的最短弦長(zhǎng)為C．若直線的方向向量為，平面的一個(gè)法向量為，則D．已知，，則在方向上的投影向量為10．已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，，，則下列結(jié)論正確的有（）A．是遞減數(shù)列 B．C．使時(shí)的最小值是21 D．最小時(shí)，11．?dāng)?shù)學(xué)美的表現(xiàn)形式不同于自然美或藝術(shù)美那樣直觀，“它蘊(yùn)藏于特有的抽象概念、公式符號(hào)、推理論證、思維方法等之中，揭示了規(guī)律性，是一種科學(xué)的真實(shí)美．在平面直角坐標(biāo)系中，曲線就是一條形狀優(yōu)美的曲線，對(duì)于此曲線，下列說(shuō)法正：確的有（）A．曲線圍成的圖形有6條對(duì)稱軸B．曲線圍成的圖形的周長(zhǎng)是C．曲線上的任意兩點(diǎn)間的距離不超過(guò)5D．若是曲線上任意一點(diǎn)，的最小值是12．如圖，在棱長(zhǎng)為6的正方體中，E，F(xiàn)，G分別為，，的中點(diǎn)，點(diǎn)是正方形面內(nèi)（包含邊界）動(dòng)點(diǎn)，則（）A．平面B．平面截正方體所得截面的面積為C．與所成角為D．若，則三棱錐的體積最大值是三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13．參考《九章算術(shù)》中“竹九節(jié)”問(wèn)題，提出：一根9節(jié)的竹子，自上而下各節(jié)的容積成等差數(shù)列，最上面3節(jié)的容積共3升，最下面3節(jié)的容積共6升，則第5節(jié)的容積為_(kāi)_________升．14．已知直線，互相垂直，則的值為_(kāi)________．15．已知點(diǎn)是拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為_(kāi)________．16．如圖，在棱長(zhǎng)為3的正方體中，在線段上，且，N是側(cè)面上點(diǎn)，且平面，則線段的最大值為_(kāi)________．四、解答題：本題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟．17．（本小題滿分10分）解答下列問(wèn)題：（1）求過(guò)點(diǎn)，且與直線平行的直線方程；（2）求過(guò)點(diǎn)，，三點(diǎn)的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．18．（本小題滿分12分）記為數(shù)列的前n項(xiàng)和，且，（1）證明：數(shù)列是等差數(shù)列；（2）求數(shù)列的通項(xiàng)公式．19．（本小題滿分12分）已知橢圓的離心率為，點(diǎn)在橢圓上．（1）求橢圓的方程；（2）已知橢圓的右頂點(diǎn)為，過(guò)作直線與橢圓交于另一點(diǎn)，且，求直線的方程．20．（本小題滿分12分）已知圓．（1）若直線過(guò)點(diǎn)且被圓截得的弦長(zhǎng)為，求直線的方程；（2）若直線過(guò)點(diǎn)與圓相交于P，Q兩點(diǎn)，求的面積的最大值，并求此時(shí)直線的方程．21．（本小題滿分12分）如圖，等腰梯形中，，，，E為中點(diǎn)，以為折痕把折起，使點(diǎn)到達(dá)點(diǎn)的位置（不在平面內(nèi)）．（1）證明：；（2）若直線與平而所成的們?yōu)?，求二面角的余弦值?2．（本小題滿分12分）已知雙曲線方程為，，為雙曲線的左、有焦點(diǎn)，離心率為2，點(diǎn)為雙曲線在第一象限上的一點(diǎn)，且滿足，．（1）求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）過(guò)點(diǎn)作斜率不為0的直線交雙曲線于A，B兩點(diǎn)；則在軸上是否存在定點(diǎn)使得為定值，若存在，請(qǐng)求出的值及此時(shí)面積的最小值，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．2023-2024學(xué)年度上學(xué)期期末新洲區(qū)部分學(xué)校高中二年級(jí)質(zhì)量檢測(cè)數(shù)學(xué)試卷（答案）一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1．B2．D3．A4．D5．A6．B7．C8．B二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分．9．AD 10．BCD 11．BD 12．ABD三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13． 14．0或2 15．7 16．四、解答題：本題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或步驟．17．（本小題滿分10分）【詳解】（1）設(shè)與直線平行的直線為，將代入得，故所求直線方程為（2）設(shè)圓的方程為，，由題意可得，即解得，，，則圓的方程為，即．18．（本小題滿分12分）【詳解】（1），，又，數(shù)列是首項(xiàng)為2，公差為1的等差數(shù)列．（2）由（1）得，即，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，．又不適合上式，故數(shù)列的通項(xiàng)公式為19．（本小題滿分12分）【詳解】（1）由題可知，其中，所以，又點(diǎn)在橢圓上，所以，即，解得，．所以橢圓E的方程為．（2）由橢圓的方程，得，所以，設(shè)，其中，，因?yàn)椋裕贮c(diǎn)在橢圓上，所以，聯(lián)立得，解得或（舍），當(dāng)時(shí)，，即或．所以當(dāng)C的坐標(biāo)為時(shí)，直線的方程為；當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)為時(shí)，直線的方程為．方法2：，，設(shè)的方程為代入，得．，，得．直線的方程為或20．（本小題滿分12分）【詳解】（1）圓，圓心，半徑，當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，的方程為：，此時(shí)圓心到直線的距離，則相交弦長(zhǎng)為，符合題意；當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)的方程為：，即，此時(shí)圓心到直線的距離，則相交弦長(zhǎng)為，解得：．所以此時(shí)直線的方程為：，即．（2）在圓外，顯然直線的斜率存在，設(shè)直線的方程為：，則圓心到直線的距離，所以弦長(zhǎng)，所以，當(dāng)時(shí)最大，，即，即，解得或，的最大值為1，此時(shí)直線的方程為：或．21．（本小題滿分12分）【詳解】（1）連接，交于點(diǎn)，，，四邊形為平行四邊形，，四邊形為菱形，，即，，折疊后，，又，平面，又平面，．．（2）在平面內(nèi)作平面，垂足為，則在直線上，直線與平面夾角為，又，，、Q兩點(diǎn)重合，即平面，以O(shè)為原點(diǎn)，為軸，為軸，為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，即，令得，又平面，為平面的一個(gè)法向量，設(shè)二面角為，則，由圖可知二面角為鈍角，所以．22．（本小題滿分12分）【詳解】（1）由題意可得，可得，，所