2024屆高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)收官卷03（新高考Ⅰ卷）（解析版）

2024屆高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)收官卷03（新高考I卷）

一、單選題（本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一

項(xiàng)是符合題目要求的.）

1.（23?24上滁州?階段練習(xí)）cosx>2x-f_i的否定為（）

（萬(wàn)），2

A.3xe0^Lcosx<2x-x2-1B.3^^0,cosx<2x-x-1

（吟

C.cosx>2x-x2-1D.Vxe，cosx<2.r-x2-1

【答案】A

【詳解】根據(jù)全稱(chēng)命題的否定知，任意變存在，范圍不變，結(jié)論相反,

故Vxw0,|j,cosx>2x-/-l的否定為COSX<2A-X2-1?

2

故選：A.

2.（23?24?南寧?模擬預(yù)測(cè)）已知復(fù)數(shù)z滿(mǎn)足（4+3i）z=-i,則z的虛部為（）

4

A.——

25D-

【答案】A

-i（4-3i）34.

【詳解】因?yàn)椋?+3i）z=-i,所以z

4+3i（4+3i）（4-3i）2525

4

所以z的虛部為-行

故選：A.

3.（1920下?河南?模擬預(yù)測(cè)）被譽(yù)為“中國(guó)現(xiàn)代數(shù)學(xué)之父〃的著名數(shù)學(xué)家華羅庚先生倡導(dǎo)的

,誦8優(yōu)選法〃在生產(chǎn)和科研實(shí)踐中得到了非常廣泛的應(yīng)用.由8就是黃金分割比”與1

的近似值，黃金分割比還可以表示成2sinl8。，則1-2嚴(yán)27。）

川4一產(chǎn)

V5-1

A.4RC.2D

2-I

【答案】D

l-2sin227°cos54°sin36°1

【詳解】解:把i=2sinl8c代入

一/2sinl8°V4-4sin218°4sin18°cosl8°2

故選：D.

2

4.（22?23?商洛,模擬預(yù)測(cè)）已知數(shù)列｛q｝滿(mǎn)足4=-1,〃（為+/%）=1門(mén)，記〈％〉為不小于明

的最小整數(shù)，=<an>,則數(shù)列｛〃｝的前2023項(xiàng)和為（）

A.2020B.2021C.2022D.2023

【答案】A

【詳解】由題意得。川—q=2（，一一

I〃n+lJ

則當(dāng)2時(shí)，4=（4-。1）+（%-q-2）+,+（七—4）+4=

2（_L」］+2工斗1=1二，

“1nJ"2n-\）I2）n

當(dāng)〃=1時(shí)也滿(mǎn)足上式，所以4二1-W（〃€N'），所以

n'/

29

偽=〈一1〉=一1,包=〈0〉=0也=<1—?=/=1,々=%==1,

故也｝的前2023項(xiàng)和為-1+0+1+1+…+1=2020.

故選：A.

5.（22?23?云南?模擬預(yù)測(cè)）有5張獎(jiǎng)券，其中3張可以口獎(jiǎng)，現(xiàn)有5個(gè)人從中不放回地依次

各隨機(jī)抽取一張，設(shè)每張獎(jiǎng)券被抽到的可能性相同，記事件4="第i個(gè)人抽中中獎(jiǎng)券〃，則

下列結(jié)論正確的是（）

A.事件A與4互斥B.P（&）=g

c.^（AA）=-D.P（A|4）=g

【答案】c

【詳解】事件A與4可以同時(shí)發(fā)生，根據(jù)互斥事件的定義,A錯(cuò)誤;

由全概率公式得尸⑷=尸（4）?（42同+尸（Q,尸聞不）=白［+電［=］,故B錯(cuò)誤;

32?

由概率的乘法公式得尸（4&）=24）2414）=^彳=云,故（：正確；

2323213

根據(jù)題意尸（44）=旨白彳+9》9至，

3

所以aA?人）=勺管）=當(dāng)=；,故D錯(cuò)誤.

P（4）￡2

5

故選:C.

uimUlMJ

6.（2223?滄州?三模）在;/8C中，若卜［O,二|OC|=|OPAB=AC=2,A=I2O0,

則AP?AB的取值范圍為（）

A.[-2,8]B.[-2,6]C.[T6]D.H，8]

【答案】B

【詳解】因?yàn)閲?畫(huà)=|0牛|0年

所以。為乂8c的外心，且尸為A8C外接圓上一動(dòng)點(diǎn),

uunmiu

又A8=AC=2,A=12（r,

所以“3C外接圓的半徑「二孺不、（=2.

如圖，作9_LA4,垂足為Q,則卜。?麗=網(wǎng).網(wǎng)網(wǎng)/。4*網(wǎng)|叫=2,。

所以，當(dāng)P力與I員I相切時(shí)，ARAB取最值，即尸在R處取最大值6,

在八處取最小值-2,

故選：B

7.（23?24上?邢臺(tái)?階段練習(xí)）已知定義域?yàn)镽的函數(shù)/（X）滿(mǎn)足/（2+可=-/（一）,且曲

線），=/（力與曲線＞，=—-、有且只有兩個(gè)交點(diǎn)，則函數(shù)g（x）=/（x）+_1的零點(diǎn)之和是

X—1X-1

（）

A.2B.-2C.4D.-4

【答案】A

【詳解】由題意定義域?yàn)镽的函數(shù)〃力滿(mǎn)足〃2+工）=-/（-工），

則“X）的圖象關(guān)于點(diǎn)（1。成中心對(duì)稱(chēng)，

函數(shù)），=-一、的圖象是由）的圖象向右平移一個(gè)單位得到，

X-1x

故），=-一二的圖象關(guān)于點(diǎn)（1,。）成中心對(duì)稱(chēng)，

x-l

又曲線y=/（x）與曲線y=-一二有且只有兩個(gè)交點(diǎn)，

X—1

則這兩個(gè)交點(diǎn)關(guān)于（1.0）對(duì)稱(chēng)，故這兩個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)之和為2,

而函數(shù)g（x）="x）+S的零點(diǎn)即為曲線y=/（"與曲線）』交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，

故函數(shù)g（x）=/G）+—1的零點(diǎn)之和是2,

故選：A

8.（22?23?重慶?模擬預(yù)測(cè)）已知小鳥(niǎo)分別為雙曲線C：5多=15>0.10）的左、右

焦點(diǎn)，點(diǎn)4（?土,凹）為雙曲線。在第一象限的右支上一點(diǎn)，以A為切點(diǎn)作雙曲線。的切線交x

軸于點(diǎn)B,若cos/￡A外=g,且"3=2嗎,則雙曲線C的離心率為（）

A.2&B.x/5C.2D.百

【答案】D

【詳解】因?yàn)辄c(diǎn)A在第一象限，由三-工=1,可得丁=莊二/，

a~b-Va~

2b2x

點(diǎn)4（4,）[）在雙曲線上，則「一￡=1小>0,）1>0,即乂=不等—/，

可得八”/唇了心，

可得在點(diǎn)A&,y）處的切線方程為y-y=合（工73

令），=0,解得工=咨/足，

又因?yàn)槭帧?1，則〃x：-a

-y[=a-b-t

所以X二一不一二-=7；一=一->o,

b~x[b~xAX）

即點(diǎn)從￡,o],

設(shè)雙曲線C的半焦距為c>0,則片(-co),八(c,O),

2

因?yàn)榧?=2*，則幺+c=2C--,整理得芭=生

kX1；c

可得|4用=+c）2+），：=J^-+c+b2^--1=4a，

且點(diǎn)A為雙曲線。在第-象限的右支上一點(diǎn),^\AF]-\AF2\=2af

可得k國(guó)_|AG卜2〃_%，

在AAK5中，由余弦定理可得：忻用「=|人用？+|4八『一2|八用?|AE|cosN￡AE，

22

即4c2=16a+4/_2x4。x2。xL整理得c=3/,

2

所以雙曲線C的離心率e=）二=G.

二、多選題（本題共4小即，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合

題目要求.全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得。分.）

9.（22?23?萬(wàn)州?模擬預(yù)測(cè)）2022世界兵乓球團(tuán)體錦標(biāo)賽在成都舉辦，中國(guó)女隊(duì)、男隊(duì)分別

于10月8日和10月9FI奪得團(tuán)體賽冠軍，國(guó)球運(yùn)動(dòng)又一次掀起熱潮.為了解性別與觀眾是

否喜歡觀看乒乓球比賽的關(guān)聯(lián)性，某體育臺(tái)隨機(jī)抽取了200名觀眾進(jìn)行統(tǒng)計(jì).得到如圖所示

的列聯(lián)表.

觀看兵乓球比賽

性別

喜歡不喜歡

男6040

女2080

則下列說(shuō)法正確的是（）

參考公式：*2=（i）（7募二.）（j），其中〃="8+c+d-

附表:

a0.100.050.010.0050.001

兀2.7063.8416.6357.87910.828

A.喜歡觀看乒乓球比賽的觀眾中，女生的頻率為，

B.男生中喜歡觀看乒乓球比賽的頻率為:

C.依據(jù)小概率值a=0.001的獨(dú)立性檢驗(yàn)，認(rèn)為性別與觀眾是否喜歡觀看乒乓球比賽無(wú)

關(guān)

D.在犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)0.001的前提下，認(rèn)為性別與觀眾是否喜歡觀看乒乓球比賽有

關(guān)

【答案】AD

201

【詳解】由表中數(shù)據(jù)可知，喜歡觀看乒乓球比賽的觀眾中，女生的頻率為2=

20+604

所以A正確；

男生中喜歡觀看乒乓球比賽的頻率為尸'=需=：，所以B錯(cuò)誤;

由題意進(jìn)行數(shù)據(jù)分析，得到2x2列聯(lián)表如下:

喜歡不喜歡合計(jì)

男6040100

女2080100

合計(jì)80120200

200x(60x80-20x40)-_10(),

計(jì)算力-------------------------=----?.5.5.33.5>IU.OZO，

100x100x80x1203

所以依據(jù)小概率值a=0.001的獨(dú)立性檢驗(yàn)，認(rèn)為性別與觀眾是否喜歡觀看乒乓球比賽有關(guān),

所以C錯(cuò)誤；

所以在犯錯(cuò)誤率不超過(guò)0.001的前提下認(rèn)為性別與觀眾是否喜歡觀看乒乓球比賽有關(guān)，所以

D正確；

故選：AD

10.（22?23??？?二模）甲、乙兩個(gè)盒子中各裝有4個(gè)相同的小球，甲盒子中小球的編號(hào)依

次為1,2,3,4,乙盒子中小球的編號(hào)依次為5,6,7.8,同時(shí)從兩個(gè)盒子中各取出1個(gè)

小球，記下小球上的數(shù)字.記事件A為“取出的數(shù)字之和為偶數(shù)〃，事件4為"取出的數(shù)字之

和等于9",事件C為“取出的數(shù)字之和大于9〃，則下列結(jié)論正確的是（）

A.A與3是互斥事件B.4與。是對(duì)立事件

C.A與C不是相互獨(dú)立事件D.A與B是相互獨(dú)立事件

【答案】AC

【詳解】從兩個(gè)盒子中取出的兩個(gè)數(shù)字之和只有2種結(jié)果：偶數(shù)和奇數(shù).而“數(shù)字之和為9〃

是結(jié)果為奇數(shù)的其中一種情況，所以事件A與5是互斥事件而不是對(duì)立事件，選項(xiàng)A正確.

從兩個(gè)盒子各取1個(gè)小球，共有4x4=16種結(jié)果，其中數(shù)字之和為偶數(shù)的有8種；數(shù)字之和

等于9的有5+4,6+3,7+2,8+1這4種;數(shù)字之和大于9的有6+4,7+3,7+4,8+3,8+4,8+2

這6種.

所以P（A）=2=]P（A）=[=!，P（C）=2=].因?yàn)镻（國(guó)+P（C）=：wl,所以5與C不

162164Iooo

是對(duì)立事件，選項(xiàng)B錯(cuò)誤.

事件AC為“取出的數(shù)字之和為偶數(shù)且大于9”，其結(jié)果有4種：6+47+3,8+2,8+4.所以

P（AC）=怖=：,顯然P（AC）WP（A）P（C）,所以A與C不是相互獨(dú)立事件，選項(xiàng)C正確.

因?yàn)楫?dāng)取出的數(shù)字之和為偶數(shù)時(shí)，不可能出現(xiàn)取出的數(shù)字之和等于9這種情況，所以

P（A8）=0,而P（A）P（B）=：wO,所以A與8不是相互獨(dú)立事件，選項(xiàng)D錯(cuò)誤.

O

故選：AC.

11.（2L22下?宿遷?期末）如圖，在邊長(zhǎng)為3的正方體A8cO-AFCiy中，用為8。邊的

中點(diǎn)，下列結(jié)論正確的有（）

A.4W與。9所成角的余弦值為巫

10

B.過(guò)AM.。三點(diǎn)的正方體ABCD-A'BCD'的截面面積為衛(wèi)也

4

C.P在線段夕〃上運(yùn)動(dòng)，則三棱錐O-A8尸的體積不變

D.Q為正方體表面8CC'"上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，分別為AC的三等分點(diǎn)，則|?！陓十|。尸|

的最小值為VH

【答案】ACD

【詳解】對(duì)于A,取。C的中點(diǎn)N,連接MM4N,如圖，

因?yàn)锽DUBD、MNHBD、所以,即/4MN或其補(bǔ)角是AM與少夕所成角.

3&

在4AMN中，AM=AN=,MN='cos=~~?故A正確.

F

對(duì)于B,過(guò)三點(diǎn)的截面如圖所示，其中七為C。的中點(diǎn),

所以四邊形是等腰梯形，其高為，一哈所以截面面積為

Q1

丁，故B不正確.

O

對(duì)于C,因?yàn)?D〃4'Z>,8Du平面A3Z),所以877〃平面A8。，

因?yàn)镻在線段*〃上運(yùn)動(dòng)，所以高與底面積為定值，三棱錐2-的體積不變，即三棱

錐A3尸的體積不變，故C正確.

對(duì)于D,如圖，補(bǔ)形一個(gè)全等的正方體，

設(shè)G是C”靠近〃的一個(gè)三等分點(diǎn)，根據(jù)題意可得,

C'H=CA=3區(qū)AH=6,CE=瓜C'G=2上，

。卬+仁，2一人，227+27-361

cosNACH

2CACH_2x373x3^-3

所以EG?=CE2+CG2-ICE-CGcosZ4C'H=3+12-2x6x26xg=11,即EG

根據(jù)對(duì)稱(chēng)性可知|QE|=|如，所以IQEI+1。/RQEI+12GIN|印|,

當(dāng)。為EG與平面BCCR的交點(diǎn)時(shí)，取到等號(hào),即1。0+1。尸1的最小值為而.

故選：ACD.

12.（22?23?廣州?模擬預(yù)測(cè)）在銳角.工6c中，角4氏。所對(duì)的邊為4〃,c,若

sinBsinC=cosA+cosC且$走（/+從一/）,則，，的可能取值為（）

A.73B.2C.巫D.麗

25

【答案】ACD

【詳解】在銳角中，由余弦定理及三角形面積定理得：

22

SABC=弓(。2+b-c)=^-abcosC=；absinC,

即有l(wèi)anC=V5,而Ce(Og),則C=1,

_sinBsinCcosAcosC

又c一=----+----，

3sinAac

&b2+c2-a2a2+b2-c2

由正弦定理、余弦定理得，—一赤一,一病—，化簡(jiǎn)得：。=

-------------------------+---------------26,

3aac

a_b_c_25/5_

由正弦定理有：sinA-sin?-sinC~~，即。=4sinA,Z?=4sinB,

2

又,/WC是銳角三角形且C=5,有4w(0*)，B=：-Ae(0,[),解得

323262

因此a+Z?=4(sinA+sinB)=4[sinA+sin(--A)]

3

=4(sin>4+—cosA+—sinA)=4x/3sin(y4+—),

226

由從嗚與得:…嗎爭(zhēng)，〃（A+凱仔1],

斫以二二——-~-e〔G，2）

所以"b4Gsin（A+*'

結(jié)合選項(xiàng)，上-的可能取值為白，叵，巫.

a+b25

故選：ACD

三、填空題：（本題共4小題，每小題5分，共20分，其中第16題第一空2分，第二空3

分.）

13.（22?23上?上海?模擬預(yù)測(cè)）已知集合4=卜,2+62=0},4=卜版+1=0},若

則實(shí)數(shù)。的取值組成的集合是.

【答案】|-to1.

【詳解】集合八=1產(chǎn)+1_2=0}={—2,1},3=k卬+1=0},

當(dāng)5=0,即〃=0時(shí)，顯然滿(mǎn)足條件8uA；

當(dāng)BN0時(shí)，即。工0,則笈={一卜，

因?yàn)樗?={-2}或8={1},即-1>=-2或-4=1,解得〃=:或〃=_1,

aa2

綜上，實(shí)數(shù)〃的取值組成的集合是

故答案為：{T，°$卜

2222

14.（23?24上?郴州?一模）已知雙曲線上—21=1（〃?>0,”0）和橢圓土+21=1有相同的焦

mn43

點(diǎn)，則士+工的最小值為.

mn

【答案】9

【詳解】]+?=1的焦點(diǎn)坐標(biāo)為（±1,。），故，〃+〃=『=],

,r41（41V\,4/7m._l4nm_

故一+—=—+—（〃?+〃）=4+—+—+125+2J---------=9,

mnImn）mn\inn

當(dāng)且僅當(dāng)例=%,即m時(shí)，等號(hào)成立，

mn33

41

故2+士的最小值為9.

mn

故答案為：9

15.（22.23?河北?模擬預(yù)測(cè)）在概率論中，全概率公式指的是：設(shè)C為樣本空間，若A，4

是一組兩兩互斥的事件，AU4U?-4=。，則對(duì)任意的事件B=。，有

%8)二打4)2(8|4)+2(4"(8|4)+i+「(4〃(8|4).若甲盒中有5個(gè)紅球、3個(gè)白球、

2個(gè)黑球，乙盒中有二個(gè)紇球、2個(gè)白球、3個(gè)黑球，現(xiàn)從甲盒中隨機(jī)取出一個(gè)球放入乙盒,

再?gòu)囊液兄须S機(jī)取出一個(gè)球，B="從乙盒中取出的球是紅球〃，若則X的最大值

為.

【答案】7

【詳解】設(shè)A="從甲盒里取出的是紅球"，A2=”從甲盒里取出的是白球〃，4="從甲盒里

取出的是黑球”，故

131r4-1xX

P(A)=-,P(A)=—,P(A.)=-,P(B\A)=—P(B\A^=—,P(B\AO=—

.210y5x+6iix+6x+6

根據(jù)全概率公式可得P(8)=P(A)P(8|A)+P(4)P(8IA)+P(&)P(8|4)

1x+13x2x331

=：X一++解得所以X的最大值為7.

2x+610x+61()x+654

故答案為：7

16.(22?23下?煙臺(tái)?期末)若是區(qū)間句上的單調(diào)函數(shù)，滿(mǎn)足/(〃)>0,

且/”(力>。(/"(x)為函數(shù)/'(X)的導(dǎo)數(shù))，則可用牛頓切線法求〃刈=0在區(qū)間［4以上的

根4的近似值：取初始值.%="依次求出)，=/(切圖象在點(diǎn)鼠1，/(與7))處的切線與x軸

交點(diǎn)的橫坐標(biāo)王伙=1,2,3,…)，當(dāng)5與J的誤差估計(jì)值也1(m為|/'(力|(工€［。^)的最

m

小值)在要求范圍內(nèi)時(shí)，可將相應(yīng)的Z作為4的近似值.用上述方法求方程f+2x-1=0在

-3"

區(qū)間上的根的近似值時(shí),若誤差估計(jì)值不超過(guò)0.01，則滿(mǎn)足條件的女的最小值為_(kāi)___,

_4_

相應(yīng)的々值為.

【答案】2卷

【詳解】設(shè)/(X)=V+2K-1,則/'(力=3/+2,/〃(x)=6x,當(dāng)xe(01］j"(x)=6x>0,

故可用牛頓切線法求/(H=o在區(qū)間句上的根4的近似值.

由于|/'(x)|=3W+2在0,-單調(diào)遞增，所以|r(x)上2,所以/(X)的最小值為2,即

m=2,

)，=/(x)圖象在點(diǎn)(％,/(%))處的切線方程為y=(3￡+2)(x-k)+匯+2%-1,化簡(jiǎn)

得)，=(3叱+2*(2注+1),

2d+1

令丁=o,則

34+2

2日

+1+1

32x3+l124_2

由于/=〃=7，所以N=；：=

J人?4—=2'X?'M咱2"H

+2+2

『⑸唳卜出+234第十卷,

c5_5_5Y1221

加*=+2x1---±

17111JHII32訐＜荷＜麗'

故々作為J的近似值,

故答案為：2,

四、解答題（本題共6小題，共70分，其中第16題10分，其它每題12分，解答應(yīng)寫(xiě)出

文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.）

17.（23?24上?黃岡?模擬預(yù)測(cè)）已知向量。=（23G+5—，）—2）,

71設(shè)/*）=〃力+2,且/㈤的圖象關(guān)于點(diǎn)情,0卜j?稱(chēng).

⑴若tanx呼，求?。┑闹?

⑵若函數(shù)Q）的圖象與函數(shù)個(gè)）的圖象關(guān)于直線上=?對(duì)稱(chēng)，且小）在區(qū)間考/上的

O"

值域?yàn)閇-1,2],求實(shí)數(shù)/的取值范圍.

【答案】⑴3

7171

⑵

11254

【詳解】（1）

f(x)=ab+2=-4cosx+2一。cosx---0-2+2=-4cosx+--0sinIx+--0

3/\66/\3\3

=-2sin|2x+—-2^j=2sin|2x--71-20

33

若?。┑膱D象關(guān)于點(diǎn)悟。）

對(duì)稱(chēng),則二/_26=E(6wZ),

63

.?.-20=E+?丘Z),0=ku9丘Z).

2

6=一^1,/./(A)=2sin^2x-^.

若tanx=且，則癡2A2：inxcos；r=取二=迪,同理可得cos2x=；

2sin'x+cos~x1+tan-x77

2,巫墾A11

/(x)=2sin2x~~2|sin2xcos——cos2^sin—=1

\6)I66)~7

（2）若函數(shù)g（x）的圖象與/（"的圖象關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)，則

O

Tt

-x=2sin2(~~x—兀=-2Osi-n(O2x——兀.

6J3

因?yàn)椤￤E,所以一二口一睦2”，

12633

而g（x）在一荒，上的值域?yàn)椴稬2],

則TW-2sin(2x-gJv2,-2<2sin(2x-^nI<1,

3

c*57ri.JT-冗/冗

因?yàn)?sin=2sin——=1,所以—K2f—W—,

6236

弋“w，故，的取值范圍為酷?

18.（2223?河南?模擬預(yù)測(cè)）己知數(shù)列｛q｝的前〃項(xiàng)和為S”，且滿(mǎn)足

S〃=4T也=30-log2(SM+l).

⑴求數(shù)列｛q｝,｛2｝的通項(xiàng)公式;

a,a>h.,、

⑵定義。*力=<bawb'記％=%*"，求數(shù)列｛%｝的前20項(xiàng)和q.

【答案】⑴凡=2口bn=30-n

（2）1048679

【詳解】⑴因?yàn)楣?為“-1,當(dāng)〃=1時(shí)，5.=2^-1,解得4=1；

當(dāng)心2時(shí)，S.T=24T—1,所以s”-S“一1一2/一1一（％_]-1）,即?！?24“一2%，

所以%=2《一，即｛qj是以1為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，

所以4=2j

S“=2a“-1=2"-1,則bn=30-log2（S.+1）=30-/7.

（2）因?yàn)椋?2"T,即數(shù)列｛%｝為遞增數(shù)列，

2=30-〃,即數(shù)列也｝單調(diào)遞減.

b、=29,4=28也=27,4=26也=25,4=24,…,

%=I,%=2,%=4,%=8,%=16,a&=32,,

所以當(dāng)〃之6時(shí)，an>bnt當(dāng)〃45時(shí)，an<bni

2，〃45,

所以％

之6.

所以G=。+H+4+仇+H+6++%0

53+4)32(1-2)

1-2

=135+220-32=1048679.

19.(23?24上?河南?階段練習(xí))如圖1,在矩形A8CO中，AD=1,CD=2AD(2>0),延長(zhǎng)

/M到點(diǎn)M,且M4=l.現(xiàn)將△M4。沿著AD折起，到達(dá)⑥%。的位置，使得P4_L/W,

如圖2所示.過(guò)棱尸。的中點(diǎn)E作￡E_LPC于點(diǎn)尸.

圖I圖2

⑴若AB=AO,求線段AF的長(zhǎng)；

(2)若平面AEF與平面45CD夾角的余弦值為灰，求2的值.

6

【答案】⑴弓

(2)2

【詳解】(1)因?yàn)樗倪呅蜛8c。為矩形，所以尸A_LADCO_LA。,

因?yàn)镼4_LA3,ABr^AD=A,AB,AOu平面ABC。,

所以24_1_平面/\867),CDACu平面ABC。，

所以PA_LCDPA_LAC,

又尸AcA。=A,PA,4。u平面PAD,所以CQ_L平面PAD,

又AEu平面尸A。，所以C￡>_LAE.

因?yàn)?=AO,點(diǎn)E'是PQ的中點(diǎn)，所以AE_LPD,

又PDcCD=D,PDCDu平面PC。，所以AE_L平面PC。,

PCu平面PC。，所以PC_LAE.

又EFtPC,AEcEF=E,AE,E/u平面AEF,

所以尸CL平面A/u平面AE/L所以夕CJ.A尸.

因?yàn)锳A=/V）=1,所以4c=0,

R4ACIx&瓜

所以4尸二

PCa+(局3，

即線段4；的長(zhǎng)為逅

3

（2）rll（1）可知A及4D/AP兩兩垂直,

所以以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AA4XA尸所在直線分別為x,y,z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,

則A(O,O,O),P(O,O,1),C(41,O),

所以PC=(41,—1),AP=(O,O/).

由（1）可知，AP=（O,O,l）是平面A8CO的一個(gè)法向量,

PC=（4L-1）是平面4所的一個(gè)法向量.

設(shè)平面AEF與平面A8CQ的夾角為

|AP.PC|1

貝|Jcose=cos(AP,PC)=一n一=~T~?解得義=2,

APPC&+2O

所以當(dāng)平面AEF與平面A8C。夾角的余弦值為%的值為2.

20.（23.24上?湖南?模擬預(yù)測(cè)）某商場(chǎng)在6月20日開(kāi)展開(kāi)業(yè)酬賓活動(dòng).顧客憑購(gòu)物小票從

6~20這15個(gè)號(hào)碼中依次不放回地抽取2個(gè)號(hào)碼，第1個(gè)號(hào)碼為小第2個(gè)號(hào)碼為從設(shè)X

是不超過(guò)2的最大整數(shù),顧客將獲得購(gòu)物金額x倍的商場(chǎng)代金券（若x=。，則沒(méi)有代金券）,

a

代金券可以在活動(dòng)結(jié)束后使用.

⑴已知某顧客抽到的。是偶數(shù)，求該顧客能獲得代金券的概率;

⑵求X的數(shù)學(xué)期望.

【答案】（1）方

噓

【詳解】（1）當(dāng)時(shí),該顧客能獲得代金券.設(shè)“。是偶數(shù)"為事件4為事件幾

則/>（鉆）=（2°一6）+（20一8）++（2。78）=至=色

,7A：21015

4

8xl4_8P（A5）二后J

P（A）=所以P（B|4）=

P（A）12

15

所以當(dāng)顧客抽到的〃是偶數(shù)時(shí)，該顧客能獲得代金券的概率為千.

（2）X可能的取值為0,1,2,3.

當(dāng)X=0時(shí)，h<a,則P（X=0）=；.

當(dāng)X=1時(shí)，a+\<b<2a-\,若aNll,則a+lW〃工20.

對(duì)每一個(gè)0,力有20-。種不同的取值，則（。力）共有9+8++1=45種可能的取值.

若6WaW10,對(duì)每一個(gè)。沙有種不同的取值，則（四）共有5+6+7+8+9=35種可能

的取值，

所以P（X=I）=K=IT

當(dāng)X=2時(shí)，2a<b<3a-\.

若則2n?0K20.對(duì)每一個(gè)小小有21-2〃種不同的取值，則（。力）共有7+5+3+1=16

種情況.

若〃=6,則①⑦）共有6種可能的取值.所以〃（X=2）==-=裊.

當(dāng)X=3時(shí)，3a<b<4a-\,（〃力）只有（6,18）,（6,19）,（6,20）這3種情況，所以

31

P（X=3）=----=—.

'721070

所以E（X）=0x2+1x色+2x-L!-+3x-!-=@=”.

\，2211057021030

21.（22?23?寶雞?模擬預(yù)測(cè)）已知點(diǎn)P是平面直角坐標(biāo)系xO.v異于。的任意一點(diǎn)過(guò)點(diǎn)P作

直線4：y=巫工及:y=—正工的平行線，分別交x軸于M,N兩點(diǎn)，且|OMf+1ON|2=8.

⑴求點(diǎn)P的軌跡。的方程；

⑵在x軸正半軸上取兩點(diǎn)4肛0）,以小0）,且吠=4,過(guò)點(diǎn)4作直線/與軌跡C交于E,F

兩點(diǎn)，證明：sinZE5A=sinZFBA.

【答案】⑴》今舊土揚(yáng)

⑵證明見(jiàn)解析

【詳解】（1）由題意,

2會(huì)，。）

設(shè)點(diǎn)。坐標(biāo)為（不，%），則根據(jù)題意，得知卜）一耳)'o，°，N%+

2

rh|OM『+|QN|2=8得:

化簡(jiǎn)得：山小"所以軌跡。的方程為：不/K』揚(yáng)

當(dāng)在線/的斜率不存在時(shí).，根據(jù)橢圓的對(duì)稱(chēng)性，sin/￡S4=sin/FR4成立.

當(dāng)直線/的斜率存在，由題意，設(shè)直線/的方程為：y=Mx-〃）、石（凡,凹）、尸（%,先），

30

-r-21-1

+=1

由,TT得：(3+4后2)/-8抬"LV+4A2〃『一］2—0.

y=k(x-m)

Sk2ma