2024年人教版初中數(shù)學(xué)八年級(jí)下冊(cè)初二數(shù)學(xué)(人教版)-變量與函數(shù)-1教案

教案教學(xué)基本信息課題變量與函數(shù)學(xué)科數(shù)學(xué)學(xué)段：初中年級(jí)初二教材書(shū)名：數(shù)學(xué)（八年級(jí)下）出版社：人民教育出版社出版日期：教學(xué)目標(biāo)及教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn)教學(xué)目標(biāo)：1.結(jié)合實(shí)例，理解變量與常量的概念，理解函數(shù)的概念.2.能在具體情境中找出變量，并會(huì)判斷兩個(gè)變量間是否存在函數(shù)關(guān)系.3.探索實(shí)際問(wèn)題中的變化規(guī)律，經(jīng)歷“找出變量，建立函數(shù)模型表示變量之間的單值對(duì)應(yīng)關(guān)系，解決實(shí)際問(wèn)題”的過(guò)程，體會(huì)函數(shù)是刻畫(huà)現(xiàn)實(shí)世界中變化規(guī)律的重要數(shù)學(xué)模型.4.在利用函數(shù)刻畫(huà)實(shí)際問(wèn)題中變化規(guī)律的過(guò)程中，滲透運(yùn)動(dòng)變化與聯(lián)系對(duì)應(yīng)的思想，體會(huì)數(shù)學(xué)建模的思想，領(lǐng)略數(shù)學(xué)知識(shí)背后的人文素養(yǎng).教學(xué)重點(diǎn)：函數(shù)的概念.教學(xué)難點(diǎn)：理解函數(shù)概念的本質(zhì).教學(xué)過(guò)程(表格描述)教學(xué)環(huán)節(jié)主要教學(xué)活動(dòng)設(shè)置意圖引入同學(xué)們好，我是北京師范大學(xué)亞太實(shí)驗(yàn)學(xué)校的白月欣老師.在語(yǔ)文課本中，我們讀過(guò)刻舟求劍的故事，這個(gè)故事啟發(fā)我們要從運(yùn)動(dòng)變化的角度看待世界.那么用數(shù)學(xué)的視角怎么解讀這個(gè)故事呢？帶著這個(gè)問(wèn)題，我將和同學(xué)們一起開(kāi)啟變量數(shù)學(xué)的第一課：變量與函數(shù).通過(guò)寓言故事引入新課，換個(gè)視角研究問(wèn)題知識(shí)概要產(chǎn)生變量數(shù)學(xué)的原因是我們處在一個(gè)萬(wàn)物皆變的世界，行星在宇宙中的位置隨著時(shí)間而變化，氣溫隨著海拔而變化等；在數(shù)學(xué)中，也存在很多變化的過(guò)程，幾何方面比如圓的面積隨著半徑變化等；代數(shù)方面，比如代數(shù)式的值隨著x而變化等.在這些變化過(guò)程中，有些量發(fā)生變化，有些量不發(fā)生變化，為了研究這些變化的量之間的依賴(lài)關(guān)系，數(shù)學(xué)中逐漸形成了函數(shù)概念.在以后的學(xué)習(xí)中我們還會(huì)探究函數(shù)的不同表示方法以及包括一次函數(shù)在內(nèi)的特殊函數(shù)關(guān)系.了解產(chǎn)生函數(shù)的原因，為什么學(xué)習(xí)函數(shù)，本節(jié)課處于一個(gè)什么地位.關(guān)鍵內(nèi)容1.變量與常量概念的理解；2.函數(shù)概念的理解.了解這節(jié)課的重點(diǎn).概念理解我們?nèi)绾卫斫膺@些概念呢？再來(lái)回看一下刻舟求劍的故事回看刻舟求劍的故事：戰(zhàn)國(guó)時(shí)，楚國(guó)有個(gè)人坐船渡江.船到江心，不慎把寶劍落入水中，馬上掏出一把小刀，在船舷上刻上個(gè)記號(hào).船靠岸后，那楚人立即在船上刻有記號(hào)的地方下水，去撈取掉落的寶劍.楚人撈了半天，始終不見(jiàn)寶劍的影子.故事中涉及了哪些量？哪些量是發(fā)生變化的？哪些量是沒(méi)有變的？繼續(xù)分析這個(gè)故事，為了方便計(jì)算，我們假設(shè)船是順流而行，并且勻速運(yùn)動(dòng)，速度為80m/min，水流速度為10m/min，設(shè)船行駛的路程為Sm，行駛時(shí)間為tmin.此時(shí)變化的量和沒(méi)有發(fā)生變化的量有哪些？他們之間有什么關(guān)聯(lián)？變化的量：船行駛的路程和時(shí)間；沒(méi)有變化的量：水流速度和船的速度經(jīng)過(guò)分析，可以得出：，即當(dāng)行駛時(shí)間分別為1min，2min，3min，4min，5min時(shí)，楚國(guó)人掉落的寶劍距離他有多遠(yuǎn)？為了更好的表示，我們用一個(gè)表格求值.在以上計(jì)算中，我們感受到S和t之間的一種數(shù)值對(duì)應(yīng)關(guān)系.為了更深的體會(huì)這一點(diǎn)，我們?cè)賮?lái)看幾個(gè)例子.同學(xué)們?cè)诜治鲆韵聨讉€(gè)題目時(shí)可以按暫停，自己做完再看看跟老師的答案一樣嗎？并且在填寫(xiě)的過(guò)程中，思考三個(gè)問(wèn)題：這個(gè)變化過(guò)程中，有哪些量？這些量有什么特征？它們之間有什么關(guān)系？例1電影《攀登者》，我們假設(shè)票價(jià)為40元/張.第一場(chǎng)售出150張，第二場(chǎng)售出205張票，第三場(chǎng)售出310張票，三場(chǎng)電影的票房收入各多少元？設(shè)一場(chǎng)電影售出x張票，票房收入為y元.x/張150205310y/元來(lái)看看你求對(duì)了嗎？電影《攀登者》的票房可觀，是因?yàn)榕实侵榉宓漠?huà)面感動(dòng)著我們。那么為什么攀登珠峰會(huì)這么困難？我們來(lái)看下面這個(gè)例子.例2珠穆朗瑪峰北部在我國(guó)西藏定日縣境內(nèi)，適宜在5月份攀登.為了便于計(jì)算，我們假設(shè)當(dāng)?shù)仄骄０?km，5月份平均最低溫度為℃，下表表示了溫度隨海拔而變化的情況.補(bǔ)充完整。海拔h/km45678…溫度t/℃1…根據(jù)表格中的數(shù)據(jù)我們可以得出結(jié)論：海拔每上升1千米，溫度就下降6℃，因此計(jì)算出海拔8千米時(shí)的溫度是-23℃.可以看出攀登珠峰時(shí)會(huì)遇到的困難之一是溫度比較低.我們繼續(xù)往下看.例3一定質(zhì)量的氣體在體積不變時(shí)，假若溫度降低到，作為熱力學(xué)溫度的零度，熱力學(xué)溫度T(K)與攝氏溫度t(℃)之間有如下數(shù)量關(guān)系：T=t+273，.t取定一些值時(shí)，T為多少？填寫(xiě)下表：t/℃0317T/K我們要關(guān)注到這個(gè)例子中有一個(gè)表達(dá)式，表格中的數(shù)值都可以根據(jù)這個(gè)表達(dá)式求出.例4摩天輪轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，坐在座位上的人離開(kāi)的高度是怎么變化的？下圖反映了摩天輪上一點(diǎn)的高度h/m與旋轉(zhuǎn)時(shí)間t/min之間的關(guān)系.根據(jù)圖形，填寫(xiě)下表：t/min012345…h(huán)/m…這個(gè)例子中我們要關(guān)注到圖象的特征，根據(jù)圖象給出的信息填表時(shí)可以用在圖象上畫(huà)豎線的方法準(zhǔn)確地找到h的值.【歸納1】這些問(wèn)題反映了不同事物的變化過(guò)程.其中有些量的數(shù)值是變化的，例如時(shí)間t，路程s；售出票數(shù)x，票房收入y……有些量的數(shù)值是始終不變的，例如速度80m/min，票價(jià)40元/張……在一個(gè)變化過(guò)程中：數(shù)值發(fā)生變化的量為變量，數(shù)值始終不變的量為常量.【歸納2】思考：（1）在上述每個(gè)變化過(guò)程中，變量是什么？（2）在每個(gè)變化過(guò)程中，是哪一個(gè)量隨另一個(gè)量的變化而變化的？（3）當(dāng)一個(gè)變量取某個(gè)確定值時(shí)，另一個(gè)變量的值如何？如果當(dāng)x=a時(shí)y=b，那么b叫做當(dāng)自變量的值為a時(shí)的函數(shù)值.在刻舟求劍這個(gè)故事中，路程和時(shí)間是變量，速度是常量，路程隨著時(shí)間的變化而變化；當(dāng)時(shí)間t取某個(gè)確定的值時(shí)，路程的值能算出來(lái)，并且只能算出來(lái)一個(gè)值.第2個(gè)變化過(guò)程：售票多少?gòu)埮c票房收入是變量，每張票的單價(jià)是常量，票房收入隨著票房售賣(mài)的票數(shù)而變化，當(dāng)x取某個(gè)確定的值時(shí)，y的值能算出來(lái)，并且只能算出一個(gè).第3個(gè)變化過(guò)程，海拔和溫度是變量，海拔隨著溫度的變化而變化，當(dāng)x取某個(gè)確定的值時(shí)，y的值能算出來(lái)，并且只能算出一個(gè).第4個(gè)變化過(guò)程：t和T是變量，27是常量，當(dāng)t取某個(gè)確定的值時(shí)，T的值能算出來(lái)，并且只能算出一個(gè).第5個(gè)變化過(guò)程：高度h和時(shí)間t是變量，當(dāng)t取某個(gè)確定的值時(shí)，h的值能算出來(lái)，并且只能算出一個(gè).一般地，在一個(gè)變化過(guò)程中如果有兩個(gè)變量x和y，并且對(duì)于x的每一個(gè)確定的值，y都有唯一確定的值與其對(duì)應(yīng)，那么我們就說(shuō)x是自變量，y是x的函數(shù).在填表格的過(guò)程中，我們發(fā)現(xiàn)自變量取定一個(gè)值時(shí)，函數(shù)對(duì)應(yīng)也能取到一個(gè)值，那么可以得出：如果當(dāng)x=a時(shí)y=b，那么b叫做當(dāng)自變量的值為a時(shí)的函數(shù)值.比如在電影票售票這個(gè)例子中，x=150時(shí)，y=6000，則6000叫做自變量x的值為150時(shí)的函數(shù)值.情境兩個(gè)變量自變量誰(shuí)是誰(shuí)的函數(shù)刻舟求劍船行駛時(shí)間和路程時(shí)間路程是時(shí)間的函數(shù)票房問(wèn)題票的數(shù)量和票房收入票的數(shù)量票房收入是票的數(shù)量的函數(shù)海拔與溫度變化海拔和溫度海拔溫度是海拔的函數(shù)熱力學(xué)溫度T與攝氏溫度t關(guān)系T與ttT是t的函數(shù)摩天輪問(wèn)題高度和時(shí)間時(shí)間高度是時(shí)間的函數(shù)通過(guò)大量實(shí)例讓學(xué)生經(jīng)歷計(jì)算與分析過(guò)程，通過(guò)分析不同形式下的關(guān)系，自然生成函數(shù)的概念.感受表格中的數(shù)學(xué)規(guī)律，體會(huì)背后堅(jiān)毅的品格的人文價(jià)值解析式中體會(huì)函數(shù)概念圖象中體會(huì)函數(shù)的概念經(jīng)過(guò)實(shí)例的分析對(duì)比，生成函數(shù)的概念鞏固應(yīng)用同學(xué)們，從你身邊熟悉的實(shí)例中，尋找一個(gè)變化過(guò)程，分析一下存在的函數(shù)關(guān)系，加深你對(duì)函數(shù)的理解.可以按下暫停想一想。老師這里也準(zhǔn)備了幾個(gè)實(shí)例，我們一起來(lái)看一下.1.你見(jiàn)過(guò)水中漣漪嗎？如右圖，圓形水波慢慢地?cái)U(kuò)大.在這一過(guò)程中，當(dāng)圓的半徑r分別為10cm，20cm，30cm時(shí),圓的面積S分別為多少？這個(gè)變化過(guò)程中存在函數(shù)關(guān)系嗎？為什么？（1）這個(gè)變化過(guò)程中，變量是圓的面積S和半徑r，（2）在這個(gè)變化過(guò)程中，圓的面積S隨著圓的半徑r的變化而變化（3）通過(guò)填表，可以得出當(dāng)r取某個(gè)確定的值時(shí)，S都有唯一確定的值與其對(duì)應(yīng).所以可稱(chēng)r是自變量，S是r的函數(shù).2.在計(jì)算器上按下面的程序操作：這個(gè)變化過(guò)程中存在函數(shù)關(guān)系嗎？x130101y（1）這個(gè)變化過(guò)程中，變量是輸入的數(shù)x和顯示的計(jì)算結(jié)果y，（2）在這個(gè)變化過(guò)程中，y隨著x的變化而變化（3）通過(guò)填表，可以得出當(dāng)x取某個(gè)確定的值時(shí)，y都有唯一確定的值與其對(duì)應(yīng).所以可稱(chēng)x是自變量，y是x的函數(shù).3.下面的我國(guó)人口數(shù)統(tǒng)計(jì)表中，年份與人口數(shù)的對(duì)應(yīng)關(guān)系，分析這個(gè)變化過(guò)程中,存在函數(shù)關(guān)系嗎？為什么？年份人口數(shù)/億198410.34198911.06199411.76199912.52201013.71這個(gè)變化過(guò)程中，變量是年份和人口數(shù)；人口數(shù)隨著年份的變化而變化；觀察表格可得出：當(dāng)年份取某個(gè)確定的值時(shí)，人口數(shù)都有唯一確定的值與其對(duì)應(yīng)，所以可稱(chēng)年份是自變量，人口數(shù)是年份的函數(shù)。下圖是體檢時(shí)的心電圖，其中圖上點(diǎn)的橫坐標(biāo)表示時(shí)間t，縱坐標(biāo)表示心臟部位的生物電流y，在這個(gè)變化過(guò)程中存在函數(shù)關(guān)系嗎？這個(gè)變化過(guò)程中，變量是時(shí)間t和生物電流y；生物電流y隨著時(shí)間t的變化而變化；觀察圖象可得出：當(dāng)t取某個(gè)確定的值時(shí)，y都有唯一確定的值與其對(duì)應(yīng)，所以可稱(chēng)t是自變量，y是t的函數(shù).通過(guò)以上分析，我們發(fā)現(xiàn)現(xiàn)實(shí)世界中存在很多函數(shù)關(guān)系，我們判斷的方法是通過(guò)分析兩個(gè)變量間的數(shù)值對(duì)應(yīng)關(guān)系來(lái)確定，那么在數(shù)學(xué)數(shù)式中又是怎樣的呢？5.下列式子中的y是x的函數(shù)嗎？為什么？（1）（2）（3）（4）同樣，我們可以用x與y之間的數(shù)值對(duì)應(yīng)關(guān)系來(lái)分析.通過(guò)計(jì)算可得出：四個(gè)式子中當(dāng)x取某個(gè)確定的值時(shí)，y都有唯一確定的值與其對(duì)應(yīng)，所以上述式子中y是x的函數(shù).我們重點(diǎn)看一下第4個(gè)，從表格中觀察到，x=時(shí)，y=4，x=2時(shí)，y=4；圈畫(huà)的數(shù)據(jù)中還有這種特征的：x取不同的值，y值可求出相同的值.值得注意的是，y值雖然相同，但是也是與x的值唯一對(duì)應(yīng)的，所以x是自變量時(shí)，y仍然是x的函數(shù).從圖象角度再加深一下理解.6.下列各圖象中哪些表示y是x的函數(shù)？為什么？（2）(3)（4）通過(guò)畫(huà)豎線的方法，我們發(fā)現(xiàn)前三個(gè)圖中，每個(gè)確定的x的值，y都有唯一確定的值與其對(duì)應(yīng)。因此這些圖象中y是x的函數(shù).在第4副圖中，黃豎線左邊以及白豎線右邊是符合這種對(duì)應(yīng)關(guān)系的，但是，黃豎線和白豎線之間以及邊界部分，每個(gè)確定的x的值，y有兩個(gè)或者三個(gè)值與之對(duì)應(yīng)，不符合函數(shù)的概念.那我們來(lái)思考：第（4）副圖如果我們把y當(dāng)做自變量，你能得出什么結(jié)論？可以得出，如果把y看成自變量，每個(gè)確定的y的值，x都有唯一確定的值與其對(duì)應(yīng)，所以我們可以稱(chēng)x是y的函數(shù).這個(gè)題目給我們的啟發(fā)是在確定變量間是否存在函數(shù)關(guān)系時(shí)需要先確定哪個(gè)變量是自變量.通過(guò)幾個(gè)實(shí)例鞏固對(duì)函數(shù)的概念的理解表格中不規(guī)律的函數(shù)關(guān)系，加深對(duì)函數(shù)概念的理解圖象中不規(guī)律的函數(shù)關(guān)系，加深對(duì)函數(shù)概念的理解對(duì)比鞏固加深對(duì)函數(shù)概念的理解總結(jié)在這節(jié)課中，我們看到函數(shù)是研究變化過(guò)程中變量間的某種對(duì)應(yīng)關(guān)系.我們需要通過(guò)大量具體實(shí)例來(lái)理解函數(shù)的概念這個(gè)比較抽