考前終極刷題02（高頻解答專練）（解析版）-25學(xué)年高一數(shù)學(xué)上學(xué)期期末考點(diǎn)大串講（人教A版必修一）

考前終極刷題02（高頻解答專練）1．（20-21高一上·山東濟(jì)寧·期末）在①；②“”是“”的充分不必要條件；③，這三個條件中任選一個，補(bǔ)充到下面的問題中，并解答.問題：已知集合，.(1)當(dāng)時，求；(2)若______，求實(shí)數(shù)的取值范圍.注：如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答計分.【答案】(1)；(2)答案見解析.【知識點(diǎn)】根據(jù)充分不必要條件求參數(shù)、并集的概念及運(yùn)算、根據(jù)集合的包含關(guān)系求參數(shù)【分析】（1）求出后利用并集的定義可求.（2）若選擇①②，則根據(jù)條件得到兩個集合的包含關(guān)系，從而可求參數(shù)的取值范圍；若選擇③，則就是否為空集分類討論后可求參數(shù)的取值范圍.【詳解】（1）當(dāng)時，集合，，所以.（2）若選擇①，則是的子集，因?yàn)?，所以，又，所以解得，所以?shí)數(shù)的取值范圍是.若選擇②“”是“”的充分不必要條件，則是真子集，因?yàn)椋?，又，所以（等號不同時成立），解得，所以實(shí)數(shù)的取值范圍是．若選擇③，，因?yàn)?，，所以或，解得?2．（23-24高一上·天津·期末）已知全集，集合，.(1)當(dāng)時，求，；(2)若，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】(1)；(2)或【知識點(diǎn)】交并補(bǔ)混合運(yùn)算、根據(jù)集合的包含關(guān)系求參數(shù)【分析】（1）利用集合交集，并集，補(bǔ)集定義計算即可求；（2）由，分和兩種情況討論即可.【詳解】（1）當(dāng)時，，又因?yàn)椋?，或，所?（2）若時，成立，即，解得，若時，則或，解得或，綜上，或.3．（23-24高一上·遼寧葫蘆島·期末）已知集合，集合，集合，且．(1)求實(shí)數(shù)a的值組成的集合；(2)若，是的充分不必要條件，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．【答案】(1)(2)【知識點(diǎn)】根據(jù)充分不必要條件求參數(shù)、根據(jù)并集結(jié)果求集合或參數(shù)、根據(jù)集合的包含關(guān)系求參數(shù)【分析】（1）先求出集合，然后根據(jù)得到，由此分析集合并求解出的值，則結(jié)果可知；（2）先求解出，然后將問題轉(zhuǎn)化為“是C的真子集”，由此列出關(guān)于的不等式，則結(jié)果可求.【詳解】（1）因?yàn)?，由，知，則或或，當(dāng)時，所以，當(dāng)時，所以，當(dāng)時，所以，所以的取值集合為．（2）由題意得，，故，又是的充分不必要條件，所以是的真子集，于是，解得：，經(jīng)檢驗(yàn)符合條件，綜上，實(shí)數(shù)m的取值范圍是．4．（23-24高一上·福建福州·期末）在①，②，③這三個條件中任選一個，補(bǔ)充到下面的問題中，并求解下列問題：已知集合，，若________，求實(shí)數(shù)的取值范圍．注：如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答計分．【答案】答案見解析【知識點(diǎn)】交并補(bǔ)混合運(yùn)算、根據(jù)交集結(jié)果求集合或參數(shù)、根據(jù)集合的包含關(guān)系求參數(shù)【分析】若選擇①，，則當(dāng)，構(gòu)造不等式，解得的范圍；若選擇②，，得到是的子集，構(gòu)造不等式，解得的范圍；若選擇③，．可得，構(gòu)造不等式，解得的范圍.【詳解】若選擇①，，則當(dāng)，滿足，即，解得，滿足題意；當(dāng)時，應(yīng)滿足或解得．綜上，實(shí)數(shù)的取值范圍是．若選擇②，，則是的子集，.當(dāng)，即時，，滿足題意；當(dāng)時，滿足或解得.綜上，實(shí)數(shù)的取值范圍是．若選擇③，．則，當(dāng)，即時，，滿足題意；當(dāng)時，應(yīng)滿足解得.綜上，實(shí)數(shù)的取值范圍是．5．（23-24高一上·甘肅金昌·期中）已知集合．(1)若，求實(shí)數(shù)的取值范圍；(2)若，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【答案】(1)；(2)．【知識點(diǎn)】根據(jù)交集結(jié)果求集合或參數(shù)、根據(jù)集合的包含關(guān)系求參數(shù)【分析】（1）利用，找到不等式組，求出實(shí)數(shù)的取值范圍即可；（2）在滿足的前提下，對分空集和不是空集分類討論即可.【詳解】（1）因?yàn)?，所以解得，即?shí)數(shù)的取值范圍是．（2）若，即，此時，滿足；若，即，因?yàn)?，所以，或，解得．綜上，實(shí)數(shù)的取值范圍是．6．（22-23高一上·湖南長沙·期中）設(shè)全集集合，．(1)當(dāng)時，求，；(2)若，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【答案】(1)或x>1，或(2)【知識點(diǎn)】根據(jù)集合的包含關(guān)系求參數(shù)、并集的概念及運(yùn)算、補(bǔ)集的概念及運(yùn)算【分析】（1）先求解出，然后根據(jù)并集和補(bǔ)集運(yùn)算求解出和；（2）分類討論：，由此列出不等式求解出的取值范圍.【詳解】（1）因?yàn)椋?，解得，所以，又因?yàn)椋曰騲>1，或；（2）當(dāng)時，，因?yàn)?，所以，解得；?dāng)時，，此時成立；當(dāng)時，，因?yàn)?，所以，解得，綜上所述，的取值范圍是.7．（23-24高一上·安徽六安·期中）設(shè)集合，，.(1)，求；(2)若“”是“”的充分不必要條件，求的取值范圍.【答案】(1)(2)【知識點(diǎn)】根據(jù)充分不必要條件求參數(shù)、并集的概念及運(yùn)算【分析】（1）根據(jù)集合的并集運(yùn)算求解即可.（2）根據(jù)命題間的充分不必要關(guān)系轉(zhuǎn)化為集合間的包含關(guān)系，進(jìn)而求出參數(shù)取值范圍.【詳解】（1）當(dāng)時，，因?yàn)椋裕?）由題意“”是“”的充分不必要條件得①若，則，解得；②若，則，解得；，或，綜合①②得：的取值范圍是.8．（20-21高一上·山東煙臺·期中）科技創(chuàng)新是企業(yè)發(fā)展的源動力，是一個企業(yè)能夠?qū)崿F(xiàn)健康持續(xù)發(fā)展的重要基礎(chǔ)．某科技企業(yè)最新研發(fā)了一款大型電子設(shè)備，并投入生產(chǎn)應(yīng)用．經(jīng)調(diào)研，該企業(yè)生產(chǎn)此設(shè)備獲得的月利潤（單位：萬元）與投入的月研發(fā)經(jīng)費(fèi)（，單位：萬元）有關(guān)：當(dāng)投入的月研發(fā)經(jīng)費(fèi)不高于36萬元時，；當(dāng)投入月研發(fā)經(jīng)費(fèi)高于36萬元時，．對于企業(yè)而言，研發(fā)利潤率，是優(yōu)化企業(yè)管理的重要依據(jù)之一，越大，研發(fā)利潤率越高，反之越?。?1)求該企業(yè)生產(chǎn)此設(shè)備的研發(fā)利潤率的最大值以及相應(yīng)月研發(fā)經(jīng)費(fèi)的值；(2)若該企業(yè)生產(chǎn)此設(shè)備的研發(fā)利潤率不低于190%，求月研發(fā)經(jīng)費(fèi)的取值范圍．【答案】(1)200%，30(2)【知識點(diǎn)】解不含參數(shù)的一元二次不等式、基本不等式求積的最大值【分析】（1）根據(jù)題意，利用基本不等式和函數(shù)的單調(diào)性，分別求得來年兩段上最大值，比較即可得到結(jié)論；（2）由（1）得到，結(jié)合一元二次不等式的解法，即可求得的范圍，得到答案.【詳解】（1）解：由題意知，當(dāng)時，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時取等號；當(dāng)時，，在上單調(diào)遞減，.又，∴當(dāng)月研發(fā)經(jīng)費(fèi)為30萬元時，研發(fā)利潤率取得最大值200%.（2）由（1）可知，此時月研發(fā)經(jīng)費(fèi)，于是，令，整理得，解得：．因此，當(dāng)研發(fā)利潤率不小于190%時，月研發(fā)經(jīng)費(fèi)的取值范圍是．9．（21-22高一下·遼寧營口·期末）已知關(guān)于x的不等式，(1)若的解集為，求實(shí)數(shù)a，b的值；(2)求關(guān)于x的不等式的解集．【答案】(1)，(2)答案見詳解【知識點(diǎn)】由一元二次不等式的解確定參數(shù)、解含有參數(shù)的一元二次不等式【分析】（1）由不等式的解集可知是方程的一個根，從而可求出.（2）對分情況討論，由方程根的分布情況即可求解集.【詳解】（1）若的解集為，則是方程的一個根，即，解得，所以不等式為，解得：，所以.即，.（2）因?yàn)?，即，①?dāng)時，即，解得：，不等式的解集為：；②當(dāng)時，令，解得，若時，不等式解集為：；若時，不等式解集為：；若時，不等式解集為：；若時，不等式解集為：；綜上所述：當(dāng)時，不等式解集為：；當(dāng)時，不等式的解集為：；當(dāng)時，不等式解集為：；當(dāng)時，不等式解集為：；當(dāng)時，不等式解集為：.10．（23-24高一上·山東濰坊·期末）已知函數(shù).(1)解關(guān)于x的不等式；(2)若關(guān)于x的不等式的解集為.（i）求的值；（ii）求的最小值.【答案】(1)當(dāng)時，不等式的解集為；當(dāng)時，不等式的解集為.(2)（i）；（ii）9【知識點(diǎn)】基本不等式“1”的妙用求最值、由一元二次不等式的解確定參數(shù)、解含有參數(shù)的一元二次不等式【分析】（1）根據(jù)和分類討論解不等式即可.（2）（i）由題意m，n分別是方程的兩根，利用韋達(dá)定理即可得解；（ii）結(jié)合（i）中結(jié)論，利用基本不等式“1”的妙用即可得解.【詳解】（1）不等式，整理得，當(dāng)時，原不等式可化為，此時不等式的解為或；當(dāng)時，原不等式可化為，此時不等式的解為；綜上，當(dāng)時，不等式的解集為；當(dāng)時，不等式的解集為.（2）（i）若的解集為，則m，n分別是方程的兩根，且，由韋達(dá)定理可知，所以.（ii）由（i）知，，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時等號成立，所以的最小值為9.11．（23-24高一上·河南·期末）已知二次函數(shù)滿足.(1)求函數(shù)的解析式；(2)若，求的最小值.【答案】(1)(2)【知識點(diǎn)】求二次函數(shù)的值域或最值、求二次函數(shù)的解析式【分析】（1）設(shè)，根據(jù)條件建立方程組，即可求解；（2）由（1）可得，對分類討論，利用二次函數(shù)的性質(zhì)，即可求解.【詳解】（1）設(shè)，因?yàn)椋?，解得，所?（2），當(dāng)時，在上單調(diào)遞增，，當(dāng)時，，當(dāng)時，在上單調(diào)遞減，.綜上，.12．（23-24高一上·天津·期末）已知，分別為定義在R上的偶函數(shù)和奇函數(shù)，且.(1)求和的解析式；(2)利用函數(shù)單調(diào)性的定義證明在區(qū)間上是增函數(shù)；(3)已知，其中是大于1的實(shí)數(shù)，當(dāng)時，，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】(1)，(2)證明見解析(3)【知識點(diǎn)】定義法判斷或證明函數(shù)的單調(diào)性、由奇偶性求函數(shù)解析式、函數(shù)不等式恒成立問題【分析】（1）由函數(shù)奇偶性，構(gòu)造方程組即可求解；（2）利用增函數(shù)的定義，結(jié)合指數(shù)函數(shù)單調(diào)性推理即得；（3）換元并求出新元的范圍，轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最小值求解即可.【詳解】（1），分別為定義在R上的偶函數(shù)和奇函數(shù)所以f?x=f①，②，由①②可知，，（2）取，因?yàn)?，所以，，，所以，即，得證；（3）由已知由(2)得在上單調(diào)遞增，，設(shè)，令，，而函數(shù)，在上遞減，在遞增①當(dāng)時，，，顯然成立即②當(dāng)時，，，即綜上所述，實(shí)數(shù)的取值范圍是.13．（23-24高二下·吉林長春·期末）已知函數(shù)．(1)若存在，對任意的都成立；求m的取值范圍；(2)設(shè)，若不等式在上有解，求實(shí)數(shù)k的取值范圍．【答案】(1)(2)【知識點(diǎn)】函數(shù)不等式恒成立問題、函數(shù)不等式能成立（有解）問題【分析】（1）題目可轉(zhuǎn)化為：對任意的都成立，再利用變換主元的方法，把看作自變量，看作參數(shù)，即可求解；（2）由函數(shù)解析式,令，再分離參數(shù)k，即可求解.【詳解】（1），當(dāng)時，又∵存在，對任意的都成立，∴對任意的都成立即對任意的都成立，其中看作自變量，看作參數(shù)，即，解得：（2）令則,因?yàn)椴坏仁皆趨^(qū)間上有解，又而,即實(shí)數(shù)的取值范圍是14．（23-24高一下·廣東湛江·期末）已知函數(shù)是定義在區(qū)間上的函數(shù)(1)判斷函數(shù)的奇偶性；(2)用定義證明函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)；(3)解不等式.【答案】(1)奇函數(shù)(2)證明見詳解(3)【知識點(diǎn)】定義法判斷或證明函數(shù)的單調(diào)性、函數(shù)奇偶性的定義與判斷、根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性解不等式【分析】（1）根據(jù)奇函數(shù)的定義分析證明；（2）根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的定義分析證明；（3）根據(jù)函數(shù)單調(diào)性結(jié)合函數(shù)定義域分析求解.【詳解】（1）因?yàn)楹瘮?shù)的定義域?yàn)?，且，所以函?shù)為奇函數(shù).（2）任取，令，則，因?yàn)?，則，可得，即，所以函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù).（3）因?yàn)?，且函?shù)在區(qū)間上是增函數(shù)，則，解得，所以不等式的解集為.15．（23-24高二下·黑龍江綏化·期末）已知a，b，c為實(shí)數(shù)，函數(shù)（）．(1)若函數(shù)為冪函數(shù)，求a，b，c的值；(2)若，，且函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，求ab的最大值．【答案】(1)，，或，，；(2)．【知識點(diǎn)】根據(jù)函數(shù)是冪函數(shù)求參數(shù)值、基本不等式求積的最大值、已知二次函數(shù)單調(diào)區(qū)間求參數(shù)值或范圍【分析】（1）由冪函數(shù)的定義，即可列式求解；（2）當(dāng)時，函數(shù)是一次函數(shù)，由一次函數(shù)的單調(diào)性確定參數(shù)的取值范圍，當(dāng)時，由二次函數(shù)確定參數(shù)的取值范圍，再結(jié)合基本不等式，即可求解.【詳解】（1）由函數(shù)的定義域?yàn)橹?，?dāng)為冪函數(shù)時，應(yīng)滿足，或，解得，，或，，．（2）當(dāng)時，（），由題意知，，所以；當(dāng)時，函數(shù)圖象的對稱軸為，依題意得，即，所以，得．當(dāng)且僅當(dāng)，時取等號．綜上可得，ab的最大值為．16．（23-24高一上·北京·期末）已知定義域?yàn)榈暮瘮?shù)是奇函數(shù)．(1)求實(shí)數(shù)的值；(2)判斷的單調(diào)性，并用單調(diào)性的定義證明；(3)當(dāng)時，恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【答案】(1)(2)在上單調(diào)遞增，證明見解析(3)【知識點(diǎn)】定義法判斷或證明函數(shù)的單調(diào)性、基本不等式求和的最小值、根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性解不等式、由奇偶性求參數(shù)【分析】（1）根據(jù)奇函數(shù)定義即可求得;（2）利用單調(diào)性定義按步驟進(jìn)行證明即可；（3）利用函數(shù)奇偶性和單調(diào)性將問題轉(zhuǎn)化為不等式在時恒成立問題，再由基本不等式即可得出實(shí)數(shù)的取值范圍．【詳解】（1）因?yàn)槎x域?yàn)榈暮瘮?shù)是奇函數(shù)，所以，即，所以，經(jīng)檢驗(yàn)符合題意，故；（2）在上單調(diào)遞增，證明如下：因?yàn)?，任取，所以，則，所以，所以在上單調(diào)遞增；（3）由（2）得在上單調(diào)遞增，又時，恒成立，所以，所以，則在時恒成立，由基本不等式可知，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，所以，故的范圍為．17．（23-24高二下·重慶·期末）已知函數(shù).(1)若，求不等式的解集；(2)若，對，使得成立，求的取值范圍.【答案】(1)答案見解析(2).【知識點(diǎn)】利用函數(shù)單調(diào)性求最值或值域、求二次函數(shù)的值域或最值、解含有參數(shù)的一元二次不等式【分析】（1）利用分類討論的思想求解含有參數(shù)的不等式的解集.（2）利用函數(shù)的思想構(gòu)造函數(shù)分類討論求函數(shù)的值域，然后根據(jù)根據(jù)條件即得.【詳解】（1）令，解得或，①當(dāng)時，，不等式的解集為，②當(dāng)時，，不等式的解集為，③當(dāng)時，，不等式的解集為.綜上所述：時，不等式的解集為時，不等式的解集為；時，不等式的解集為；（2）由，代入整理得，令，①當(dāng)，即時，對任意.所以此時不等式組無解.②當(dāng)，即時，對任意.所以解得；③當(dāng)，即時，對任意.所以，此時不等式組無解.④當(dāng)，即時，對任意.所以此時不等式組無解.綜上，實(shí)數(shù)的取值范圍是.18．（23-24高一下·西藏拉薩·期末）定義在上的函數(shù)滿足對任意的，都有，且當(dāng)時，．(1)證明：函數(shù)是奇函數(shù)；(2)證明：在上是增函數(shù)；(3)若，對任意，恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【答案】(1)證明見解析(2)證明見解析(3)【知識點(diǎn)】定義法判斷或證明函數(shù)的單調(diào)性、利用函數(shù)單調(diào)性求最值或值域、函數(shù)奇偶性的定義與判斷、函數(shù)不等式恒成立問題【分析】（1）令可得，再令，結(jié)合奇函數(shù)定義，即可證明；（2）設(shè)任意且，作差，結(jié)合條件賦值法可證明，再結(jié)合奇函數(shù)性質(zhì)，即可得證；（3）可轉(zhuǎn)化為即，結(jié)合性質(zhì)所證明性質(zhì)求出，再主元變換解決關(guān)于的函數(shù)恒成立問題，列出不等式組求解即可.【詳解】（1）令，得，，，令，，，所以函數(shù)是奇函數(shù)；（2）設(shè)任意且，由題意，，又由（1）是奇函數(shù)，得，，，已知當(dāng)時，，從而有，故，即，在上單調(diào)遞增，根據(jù)奇函數(shù)的性質(zhì)可知在上也單調(diào)遞增，故在上是增函數(shù)；（3）對任意恒成立，即，由（2）得，在上是增函數(shù)，所以當(dāng)時，，又（1）可知，函數(shù)是奇函數(shù)，則，即.所以對任意恒成立，設(shè)，，要使恒成立，則，即，解得或，所以實(shí)數(shù)的取值范圍是．19．（23-24高二下·遼寧沈陽·期末）定義在上的函數(shù)滿足，，且時，.(1)求；(2)判斷在上的單調(diào)性并證明；(3)若，求的取值范圍.【答案】(1)(2)在0,+∞上單調(diào)遞增，證明見解析(3)【知識點(diǎn)】根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性解不等式、定義法判斷或證明函數(shù)的單調(diào)性、求函數(shù)值【分析】（1）根據(jù)條件，通過賦值，即可求出結(jié)果；（2）根據(jù)條件，利用證明函數(shù)單調(diào)性的定義法，再結(jié)合條件，即可求出結(jié)果；（3）利用（2）中結(jié)果，根據(jù)條件得到，即可求出結(jié)果.【詳解】（1）因?yàn)椋?，得到，所以f1=0.（2）在0,+∞上單調(diào)遞增，證明如下，任取，且，則，又時，，且，所以，得到，所以在0,+∞上單調(diào)遞增.（3）因?yàn)?，由?）知，解得，又由，得到，所以的取值范圍為.20．（23-24高一上·江蘇鹽城·期末）已知函數(shù)(1)若a=2，當(dāng)時，求函數(shù)的值域；(2)若關(guān)于的方程在區(qū)間上有兩個不相等的實(shí)根，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【答案】(1)(2)【知識點(diǎn)】求二次函數(shù)的值域或最值、判斷指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性、根據(jù)二次函數(shù)零點(diǎn)的分布求參數(shù)的范圍【分析】（1）利用換元法，把問題轉(zhuǎn)化成二次函數(shù)在給定區(qū)間上的值域問題求解.（2）換元，轉(zhuǎn)化成二次函數(shù)零點(diǎn)分布問題求解.【詳解】（1）當(dāng)時，.設(shè)，因?yàn)椋?則，.因?yàn)樵摵瘮?shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.且，，所以，所求函數(shù)的值域?yàn)椋海?）設(shè)，因?yàn)?，所?問題轉(zhuǎn)化為：方程在1,4上有兩個不等實(shí)根.所以.所以，實(shí)數(shù)的取值范圍是：21．（23-24高一上·江蘇鹽城·期末）近來，哈爾濱花式寵愛南方游客成為新晉頂流，“南方小土豆”“廣西小砂糖橘”等對游客的愛稱也成為網(wǎng)絡(luò)熱梗.哈爾濱的旅游熱潮在一定程度上提升了該區(qū)域的經(jīng)濟(jì)發(fā)展活力.當(dāng)?shù)啬郴﹫龅囊晃换┳o(hù)具售賣者，通過對每天銷售情況的調(diào)查發(fā)現(xiàn)：某品牌滑雪護(hù)具在過去的一個月內(nèi)(以天計)，每件的銷售價格(單位：元)與時間(單位：天)的函數(shù)關(guān)系近似滿足(為常數(shù)，且)，日銷售量(單位：件)與時間(單位：天)的部分?jǐn)?shù)據(jù)如下表所示10152025305060706050已知第10天的日銷售收入為元.(1)請你根據(jù)上表中的數(shù)據(jù)，求出日銷售量與時間的函數(shù)解析式；(2)設(shè)該工藝品的日銷售收入為(單位：元)，試求當(dāng)為何值時，達(dá)到最小值，并求出最小值.【答案】(1)，；(2)當(dāng)時，取得最小值元.【知識點(diǎn)】利用函數(shù)單調(diào)性求最值或值域、分段函數(shù)模型的應(yīng)用、分式型函數(shù)模型的應(yīng)用、基本不等式求和的最小值【分析】（1）利用表格提供數(shù)據(jù)求得，由此求得.（2）先求得的解析式，然后根據(jù)基本不等式和函數(shù)的單調(diào)性求得的最小值.【詳解】（1）由表格數(shù)據(jù)知，，，解得，所以，.（2）由（1）知，，由，解得，因此，，當(dāng)時，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時等號成立，當(dāng)時，函數(shù)在上單調(diào)遞減，，而，所以當(dāng)時，取得最小值元.22．（22-23高一下·甘肅·期末）函數(shù)，其中．(1)若，求的零點(diǎn)；(2)若函數(shù)有兩個零點(diǎn)，求的取值范圍．【答案】(1)16(2)【知識點(diǎn)】求函數(shù)的零點(diǎn)、基本不等式求和的最小值【分析】（1）將代入，令，求得的值即可得出答案；（2）將兩個零點(diǎn)用表示，結(jié)合基本不等式即可得解．【詳解】（1）當(dāng)時，，令，可得，解得，即函數(shù)的零點(diǎn)為16；（2）顯然此時，令，可得或，則或，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即時等號成立，故的取值范圍為．23．（23-24高一上·四川成都·期中）在經(jīng)濟(jì)學(xué)中，函數(shù)的邊際函數(shù)，某公司每月最多生產(chǎn)10臺光刻機(jī)的某種設(shè)備，生產(chǎn)x臺（）這種設(shè)備的收入函數(shù)為（單位千萬元），其成本函數(shù)為（單位千萬元）．（以下問題請注意定義域）(1)求收入函數(shù)的最小值；(2)求成本函數(shù)的邊際函數(shù)的最大值；(3)求生產(chǎn)x臺光刻機(jī)的這種設(shè)備的的利潤的最小值．【答案】(1)48（千萬元）(2)(3)7（千萬元）【知識點(diǎn)】利用函數(shù)單調(diào)性求最值或值域、求二次函數(shù)的值域或最值、利用給定函數(shù)模型解決實(shí)際問題、基本不等式求和的最小值【分析】（1）利用基本不等式求函數(shù)的最小值即得；（2）求出邊際函數(shù)的解析式，然后利用函數(shù)的單調(diào)性求解最值；（3）求出利潤函數(shù)的解析式，換元后運(yùn)用二次函數(shù)的圖象性質(zhì)求解最值．【詳解】（1）∵，．∴，當(dāng)且僅當(dāng)即時等號成立．∴當(dāng)時，（千萬元）；（2），，，由函數(shù)單調(diào)性知，在時單調(diào)遞增，故當(dāng)時，；（3）由，則，．記，則該函數(shù)在上遞減，在上遞增，且，故，于是當(dāng)時，取得最小值.由，解得或，故當(dāng)或時，（千萬元）．24．（23-24高一上·遼寧沈陽·期末）已知函數(shù).若當(dāng)點(diǎn)在函數(shù)圖象上運(yùn)動時，對應(yīng)的點(diǎn)在函數(shù)圖象上運(yùn)動，則稱函數(shù)是函數(shù)的“伴隨”函數(shù).(1)解關(guān)于x的不等式；(2)若對任意的，的圖象總在其“伴隨”函數(shù)圖象的下方，求a的取值范圍；(3)設(shè)函數(shù)，.當(dāng)時，求的最大值.【答案】(1)(2)(3)【知識點(diǎn)】對數(shù)型復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性、由基本不等式證明不等關(guān)系、由對數(shù)（型）的單調(diào)性求參數(shù)、對數(shù)不等式【分析】（1）由求解；（2）由題意得的相關(guān)函數(shù)為，根據(jù)題意得到時，恒成立求解；（3）易得，設(shè)，利用復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性求解.【詳解】（1）依題意得，則，所以，所以原不等式的解集為（2）由題意得，所以，所以的“伴隨”函數(shù)為.依題意，對任意的，的圖象總在其“伴隨”函數(shù)圖象的下方，即當(dāng)時，恒成立①由，對任意的總成立，結(jié)合題設(shè)條件有，在此條件下，①等價于當(dāng)時，恒成立，即，即.設(shè)，要使當(dāng)時，hx<0恒成立只需，即成立，解得，即，且，即a的取值范圍是.（3）由（2）可得當(dāng)時，在區(qū)間0,2上，，即設(shè)，則，令，則所以，因?yàn)椋ó?dāng)且僅當(dāng)時，等號成立），可得，當(dāng)時，等號成立，滿足，則t的最大值為，所以的最大值是25．（23-24高一上·遼寧沈陽·期末）已知函數(shù)為冪函數(shù)，且在上單調(diào)遞增.(1)求m的值，并寫出的解析式；(2)解關(guān)于x的不等式，其中.(3)已知，，且.求.【答案】(1)，(2)答案見解析(3)【知識點(diǎn)】求冪函數(shù)的解析式、解含有參數(shù)的一元二次不等式、根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性解不等式、由對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性解不等式【分析】（1）根據(jù)冪函數(shù)的概念及性質(zhì)即可求解；（2）根據(jù)函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性即可求解；（3）根據(jù)奇函數(shù)的性質(zhì)，結(jié)合指對運(yùn)算可得，構(gòu)造函數(shù)，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性即可求解.【詳解】（1）因?yàn)闉閮绾瘮?shù)，且在0,+∞上單調(diào)遞增，則，解得，所以；（2）函數(shù)為奇函數(shù)且在0,+∞上單調(diào)遞增，則在R上遞增，由，則，故，當(dāng)時，不等式解集為，當(dāng)時，不等式解集為，當(dāng)時，不等式解集為；（3）且，則，即，則考察函數(shù)，由于函數(shù)均在1,+∞單調(diào)遞增，且值為正，故在在1,+∞單調(diào)遞增，故，則，，則.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：根據(jù)指對運(yùn)算由得，利用函數(shù)的單調(diào)性得.26．（23-24高一上·天津·期末）已知函數(shù)是奇函數(shù)，且一個零點(diǎn)為1.(1)求，的值及解析式；(2)已知函數(shù)在單調(diào)遞減，在滿足，當(dāng)時，，若不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍；(3)已知函數(shù)的一個零點(diǎn)為2，求函數(shù)的其余零點(diǎn).【答案】(1)，，(2)(3)0，4.【知識點(diǎn)】根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)值、由奇偶性求函數(shù)解析式、根據(jù)零點(diǎn)求函數(shù)解析式中的參數(shù)、函數(shù)不等式恒成立問題【分析】（1）根據(jù)零點(diǎn)和奇函數(shù)的定義，聯(lián)立方程組，解得的值，得到解析式，驗(yàn)證的奇偶性，即可得解；（2）依題意利用偶函數(shù)和單調(diào)性可得滿足的條件，進(jìn)而可求解的取值范圍；（3）求出的解析式，依題意求出，進(jìn)而可得hx的其他零點(diǎn).【詳解】（1）因?yàn)楹瘮?shù)的一個零點(diǎn)是1，所以，是奇函數(shù)，所以，所以，，解得，，定義域?yàn)?，都有，所以，是奇函數(shù)，滿足題意，故，，（2）函數(shù)滿足，所以是偶函數(shù)且在單調(diào)遞減因?yàn)椴坏仁胶愠闪⑺裕裕?），因?yàn)楹瘮?shù)hx的一個零點(diǎn)為2，所以，解得.所以，令，得或，解得.所以函數(shù)的其余零點(diǎn)為0，4.27．（23-24高二下·山東聊城·期末）已知函數(shù)的定義域?yàn)?(1)求的取值范圍；(2)當(dāng)時，判斷的奇偶性，并解關(guān)于的不等式.【答案】(1)(2)【知識點(diǎn)】函數(shù)不等式恒成立問題、根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性解不等式、函數(shù)奇偶性的定義與判斷【分析】（1）由題意知恒成立，利用換元法將不等式轉(zhuǎn)化為一元二次函數(shù)恒成立問題進(jìn)行求解；（2）求出函數(shù)的定義域，根據(jù)即可判斷函數(shù)的奇偶性，換元法求出函數(shù)在上的單調(diào)性，再根據(jù)函數(shù)的奇偶性可得函數(shù)在定義域上的單調(diào)性，從而根據(jù)單調(diào)性判斷與的關(guān)系.【詳解】（1）因?yàn)楹瘮?shù)的定義域?yàn)?，所以恒成立，令，則，所以在上恒成立，即當(dāng)時，恒成立，函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以，所以.（2）當(dāng)時，，易知的定義域?yàn)椋驗(yàn)?，所以為偶函?shù).當(dāng)時，，令，因?yàn)楹瘮?shù)在上單調(diào)遞增，且在定義域上為增函數(shù)，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，又因?yàn)楹瘮?shù)在定義域上為偶函數(shù)，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，因?yàn)?，所以，即，解?28．（23-24高二下·湖北孝感·期末）已知函數(shù)．(1)若在上的最小值為，求的值；(2)若函數(shù)恰有3個零點(diǎn)，求的取值范圍．【答案】(1)(2)【知識點(diǎn)】根據(jù)函數(shù)零點(diǎn)的個數(shù)求參數(shù)范圍、指數(shù)函數(shù)圖像應(yīng)用【分析】（1）對a分類討論及利用基本不等式求解；（2）令，則方程化為，結(jié)合函數(shù)的圖象進(jìn)行求解．【詳解】（1）當(dāng)時，在上單調(diào)遞增，所以不存在最小值；當(dāng)時，，所以，解得（舍去）或，故；（2）令，即，．令，則方程化為，畫出的圖象如圖所示，因?yàn)榍∮?個零點(diǎn)，所以有兩個根，，且，記，則，解得，綜上，的取值范圍是．29．（23-24高二下·廣西北海·期末）已知函數(shù)(1)證明：的定義域與值域相同；(2)若恒成立，求m的取值范圍.【答案】(1)證明見解析(2)【知識點(diǎn)】求對數(shù)型復(fù)合函數(shù)的定義域、求對數(shù)型復(fù)合函數(shù)的值域、根據(jù)對數(shù)函數(shù)的最值求參數(shù)或范圍、函數(shù)不等式恒成立問題【分析】（1）由，求得的定義域，由在1,+∞上單調(diào)遞增，求得的值域，即可證得；（2）先求得當(dāng)時，再利用二次函數(shù)求得的最小值，則由可得m的取值范圍.【詳解】（1）由，得，所以的定義域?yàn)?,+∞，，因?yàn)樵?,+∞上單調(diào)遞增，所以，所以的值域?yàn)?,+∞，所以的定義域與值域相同.（2）由（1）知，在上單調(diào)遞增，所以當(dāng)時，，設(shè)，當(dāng)，即時，取得最小值，且最小值為，因?yàn)椋?，即m的取值范圍為.30．（23-24高二下·福建福州·期末）已知函數(shù)．(1)我們知道要研究一個函數(shù)的性質(zhì)，通常會從函數(shù)的定義域、值域（最值）、奇偶性（對稱性）、單調(diào)性（極值）、周期性、特殊的點(diǎn)與線（如漸近線）等方面著手．據(jù)此，請回答以下問題：（?。┰囂骄亢瘮?shù)的性質(zhì)并說明理由；（ⅱ）根據(jù)（?。┲薪Y(jié)論作出的草圖；(2)若，都有，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【答案】(1)（?。┐鸢敢娊馕觯唬áⅲ┳鲌D見解析(2)【知識點(diǎn)】畫出具體函數(shù)圖象、函數(shù)奇偶性的定義與判斷、利用函數(shù)單調(diào)性求最值或值域、定義法判斷或證明函數(shù)的單調(diào)性【分析】（1）利用定義法來研究函數(shù)的各個性質(zhì)，最后可作出草圖；（2）利用復(fù)合函數(shù)思想由內(nèi)到外研究函數(shù)值域，最后化歸到含參二次不等式恒成立，即可求解.【詳解】（1）①定義域：的定義域?yàn)镽．②值域：因?yàn)椋?，，所以，故的值域?yàn)椋燮媾夹裕海?，，所以為奇函?shù)．④單調(diào)性：，且，則，所以，即，所以為增函數(shù)．⑤當(dāng)時，，；當(dāng)時，，．所以直線為圖象的漸近線．綜合上述討論，可作出的草圖如下：

（2）當(dāng)時，，

由（1）知，為增函數(shù)，所以，

由（1）知的值域?yàn)椋实娜≈捣秶鸀?/p>

所以，都有，等價于對于都成立，

記，則或

解得，綜上，的取值范圍是．31．（23-24高二下·重慶·期末）已知函數(shù)(1)當(dāng)時，證明:為奇函數(shù);(2)當(dāng)時，函數(shù)在上的值域?yàn)榍骯的取值范圍：(3)當(dāng)時，證明:為中心對稱函數(shù).【答案】(1)證明見解析(2)(3)證明見解析【知識點(diǎn)】指數(shù)冪的化簡、求值、判斷或證明函數(shù)的對稱性、函數(shù)奇偶性的定義與判斷、根據(jù)函數(shù)的最值求參數(shù)【分析】（1）利用函數(shù)奇偶性的定義證明；（2）先應(yīng)用單調(diào)性得出相等關(guān)系，在結(jié)合值域的求法得出參數(shù)范圍；（3）應(yīng)用函數(shù)對稱中心定義證明函數(shù)中心對稱.【詳解】（1）因?yàn)椋?，由，得函?shù)的定義域?yàn)?，又，所以函?shù)為定義域上的奇函數(shù).（2）當(dāng)時，，是單調(diào)增函數(shù)，在上的值域?yàn)椋詣t是的兩個解，可得，設(shè)，在和單調(diào)遞減，單調(diào)遞增，其中，在上值域，在上值域且取該區(qū)間最大值，綜上，數(shù)形結(jié)合易得.（3）當(dāng)時，，.所以fx關(guān)于中心對稱.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：應(yīng)用函數(shù)對稱中心定義證明函數(shù)中心對稱，根據(jù)奇函數(shù)定義證明函數(shù)是奇函數(shù).32．（23-24高一下·河南·期末）已知函數(shù)，（，，）的部分圖象如圖所示：(1)求的解析式；(2)求的單調(diào)遞增區(qū)間；(3)若函數(shù)在上至少有2個零點(diǎn)，求的最小值.【答案】(1)(2)，.(3)【知識點(diǎn)】根據(jù)函數(shù)零點(diǎn)的個數(shù)求參數(shù)范圍、由圖象確定正（余）弦型函數(shù)解析式、求sinx型三角函數(shù)的單調(diào)性【分析】（1）根據(jù)正弦型函數(shù)的特點(diǎn)，結(jié)合正弦型函數(shù)中各參數(shù)的意義進(jìn)行求解即可；（2）根據(jù)正弦型函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行求解即可；（3）由題意可知，函數(shù)在上至少有兩個零點(diǎn)，由，可得，只需要滿足，計算求解即可.【詳解】（1）由圖象可知，解得，又由于，所以，由，得，又，所以，所以.（2）由（1）知，，令，，得，，所以的單調(diào)遞增區(qū)間為，.（3）函數(shù)在上至少有2個零點(diǎn)，即函數(shù)在上至少有兩個零點(diǎn)，因?yàn)闀r，，所以，解得，所以的最小值為.33．（23-24高一下·河北張家口·期末）已知函數(shù)的最小正周期．(1)求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間；(2)當(dāng)時，討論方程根的個數(shù)．【答案】(1)；(2)答案見解析.【知識點(diǎn)】求含cosx的函數(shù)的單調(diào)性、求cosx(型)函數(shù)的值域、三角恒等變換的化簡問題、求函數(shù)零點(diǎn)或方程根的個數(shù)【分析】（1）利用二倍角公式及輔助角公式化簡函數(shù)，求出，進(jìn)而求出單調(diào)遞增區(qū)間.（2）探討函數(shù)在上的性質(zhì)，分離參數(shù)，利用數(shù)形結(jié)合法求出直線與函數(shù)在上的圖象交點(diǎn)情況即可.【詳解】（1）依題意，，由，，得，，由，解得，所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為.（2）當(dāng)時，，余弦函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，則函數(shù)在上單調(diào)遞減，函數(shù)值從1減小到；在上單調(diào)遞增，函數(shù)值從增大到0，方程，因此方程的根即直線與函數(shù)在上的圖象交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，在同一坐標(biāo)系內(nèi)作出直線與函數(shù)在上的圖象，觀察圖象知，當(dāng)或，即或時，直線與函數(shù)在上的圖象無交點(diǎn)；當(dāng)或，即或時，直線與函數(shù)在上的圖象有1個交點(diǎn)；當(dāng)，即時，直線與函數(shù)在上的圖象有2個交點(diǎn)，所以當(dāng)或時，方程根的個數(shù)為0；當(dāng)或時，方程根的個數(shù)為1；當(dāng)時，方程根的個數(shù)為2.34．（23-24高一上·天津·期末）已知函數(shù).(1)求函數(shù)的最小正周期及單調(diào)遞減區(qū)間；(2)求函數(shù)在上的最值；(3)若，求的值.【答案】(1)，單調(diào)減區(qū)間為.(2)，(3)【知識點(diǎn)】求含sinx(型)函數(shù)的值域和最值、輔助角公式、三角恒等變換的化簡問題、求sinx型三角函數(shù)的單調(diào)性【分析】（1）化簡函數(shù)為，結(jié)合三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)，即可求解；（2）由(1)得出函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間，結(jié)合，和的值，即可求解；（3）根據(jù)題意，求得，結(jié)合，即可求解.【詳解】（1）解：由函數(shù)，所以的最小正周期為，令，可得，所以的單調(diào)減區(qū)間為.（2）解：由(1)知，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，因?yàn)?，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，且，，，所以，.（3）解：由函數(shù)，可得，因?yàn)?，所?35．（23-24高一上·安徽·期末）已知，角的頂點(diǎn)與坐標(biāo)原點(diǎn)重合，始邊與x軸的非負(fù)半軸重合，終邊經(jīng)過點(diǎn)．(1)求(2)設(shè)函數(shù)，求的最小正周期．【答案】(1)(2)π【知識點(diǎn)】已知正（余）弦求余（正）弦、求正弦（型）函數(shù)的最小正周期、用和、差角的余弦公式化簡、求值、用和、差角的正弦公式化簡、求值【分析】（1）根據(jù)題意求出和的值，再根據(jù)兩角和與差的正弦公式計算即可；（2）化簡，然后根據(jù)周期公式求出的最小正周期.【詳解】（1）,,的終邊經(jīng)過點(diǎn),由三角函數(shù)的定義可知，.（2），又由(1)可知,所以，.所以的最小正周期為π.36．（24-25高一下·全國·期末）設(shè)．(1)當(dāng)時，求的最大值和最小值；(2)已知，且當(dāng)時，求的值．【答案】(1)最大值為，最小值為(2)【知識點(diǎn)】求含sinx(型)函數(shù)的值域和最值、二倍角的正弦公式、二倍角的余弦公式、三角恒等變換的化簡問題【分析】（1）利用二倍角公式結(jié)合輔助角公式化簡三角函數(shù)，再利用性質(zhì)求解最值即可.（2）利用二倍角公式結(jié)合三角恒等變換求解即可.【詳解】（1）．當(dāng)時，，所以當(dāng)，即時，取得最大值，為，當(dāng)，即時，取得最小值，為．（2）因?yàn)?，所以，化簡可得，兩邊平方得，所以．又，所以，，．又，所以，，所以?7．（23-24高一下·廣東湛江·期末）已知函數(shù)fx=Asinωx+φ（，，

(1)求函數(shù)的解析式；(2)寫出函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間；(3)將函數(shù)圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來的（縱坐標(biāo)不變），再將所得的函數(shù)圖象上所有點(diǎn)向左平移個單位，得到函數(shù)的圖象，求在區(qū)間上的值域．【答案】(1)(2)(3)【知識點(diǎn)】求含sinx(型)函數(shù)的值域和最值、由圖象確定正（余）弦型函數(shù)解析式、求圖象變化前（后）的解析式、求sinx型三角函數(shù)的單調(diào)性【分析】（1）由三角函數(shù)的圖象，利用五點(diǎn)法求得函數(shù)的解析式；（2）由（1）可得：，結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)，即可求解.（3）由三角函數(shù)的圖象變換，可得，結(jié)合正弦函數(shù)的有界性即可求解.【詳解】（1）由圖象可知：，最小正周期，且，可得，所以，由圖可求出最低點(diǎn)的坐標(biāo)為，可得，則，解得，且，可得，所以.（2）由（1）可得：，令，解得，所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為.（3）將函數(shù)圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來的（縱坐標(biāo)不變），得到；再將所得的函數(shù)圖象上所有點(diǎn)向左平移個單位，得到，因?yàn)椋瑒t，可得，即，所以在區(qū)間上的值域?yàn)?38．（23-24高一下·遼寧沈陽·期末）已知fx=2sinx+φφ∈(1)求的值：(2)若當(dāng)時方程fx+m=0有唯一實(shí)根，求的范圍.(3)已知gx=2sinx+φ2，若對任意【答案】(1)(2)m∈(3)a<43【知識點(diǎn)】根據(jù)函數(shù)零點(diǎn)的個數(shù)求參數(shù)范圍、由正弦（型）函數(shù)的值域（最值）求參數(shù)、利用正弦函數(shù)的對稱性求參數(shù)、求sinx型三角函數(shù)的單調(diào)性【分析】（1）由已知條件可得的圖象關(guān)于直線對稱，則π6+φ=π2+k（2）令，則t∈π3,4π3，由的單調(diào)性，將問題轉(zhuǎn)化為與的圖象有一個交點(diǎn)，結(jié)合圖象從而可求出的范圍；（3）由g(?x)=?2sin(x?π6)，[f(x)]2=4?4sin2(x?π【詳解】（1）對任意x∈R都有f(π3?x)=f(x)，則函數(shù)的圖象關(guān)于直線所以π6+φ=π2+kπ,k∈（2）f(x)=2sin(x+π3)在t∈π3,π所以方程fx等價于與的圖象有一個交點(diǎn)，由圖象可知?3<?m≤3所以?3≤m<3所以的范圍是m∈?3

（3）由（1）知，g(x)=2sin(x+πf(x)=2sin(x+π當(dāng)x∈[π6,π]時，x?π顯然g(?x)=?2t,[f(x)]不等式ag(?x)?f依題意，?t∈[0,1]，不等式a<顯然t+1∈[1,2]，2≥22(t+1)?6t+1?4=43則a<43?4，所以實(shí)數(shù)的取值范圍是a<439．（23-24高一下·貴州安順·期末）如圖，圓的圓心在坐標(biāo)原點(diǎn)，半徑為，動點(diǎn)從處開始在圓上按逆時針方向以的角速度作勻速圓周運(yùn)動，則秒之后，點(diǎn)的縱坐標(biāo)可以表示為．

(1)寫出和的值；(2)若函數(shù)在上恰有兩個零點(diǎn)，求的取值范圍；(3)若函數(shù)的最小正周期為，求在上的值域．【答案】(1)，；(2)；(3).【知識點(diǎn)】根據(jù)函數(shù)零點(diǎn)的個數(shù)求參數(shù)范圍、已知三角函數(shù)值求角、求含sinx(型)函數(shù)的值域和最值、輔助角公式【分析】（1）根據(jù)給定條件，求出A，進(jìn)而求出值.（2）利用正弦函數(shù)的性質(zhì)，結(jié)合零點(diǎn)個數(shù)列出不等式求解即得.（3）求出函數(shù)，利用三角恒等變換，結(jié)合正弦函數(shù)性質(zhì)求出值域.【詳解】（1）依題意，，由，得，即，而，所以.（2）由（1）知，，當(dāng)時，，由函數(shù)在上恰有兩個零點(diǎn)，得，解得，所以的取值范圍是.（3）由（1）知，，即，，當(dāng)時，，則，所以的取值范圍是.40．（23-24高一下·內(nèi)蒙古赤峰·期末）如圖，已知是半徑為2，圓心角為的扇形，是扇形弧上的動點(diǎn)，是扇形的內(nèi)接矩形.記.(1)用分別表示的長度：(2)當(dāng)為何值時，矩形的面積最大？并求出這個最大面積.【答案】(1)，；(2)時，.【知識點(diǎn)】三角函數(shù)定義的其他應(yīng)用、求含sinx(型)函數(shù)的值域和最值、幾何中的三角函數(shù)模型、三角恒等變換的化簡問題【分析】（1）分別在中，根據(jù)三角函數(shù)定義可得；（2）根據(jù)（1）中結(jié)論表示出面積，利用三角恒等變換公式化簡，然后由正弦函數(shù)性質(zhì)可得.【詳解】（1）在直角三角形中，，，在直角三角形中，，所以，所以（2）設(shè)矩形的面積為，所以，因?yàn)?，所以所以?dāng)，即時，41．（23-24高一下·安徽蚌埠·期末）已知函數(shù)．(1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；(2)關(guān)于x的方程在區(qū)間有兩個不相等的實(shí)數(shù)根，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；(3)不等式對恒成立，求實(shí)數(shù)x的取值范圍．【答案】(1)的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為，．(2)(3)【知識點(diǎn)】求含sinx(型)函數(shù)的值域和最值、三角恒等變換的化簡問題、一元二次不等式在實(shí)數(shù)集上恒成立問題、求sinx型三角函數(shù)的單調(diào)性【分析】（1）先化簡，再根據(jù)正弦函數(shù)的單調(diào)性求解；（2）根據(jù)函數(shù)兩個不相等的實(shí)數(shù)根，結(jié)合正弦單調(diào)性及值域求參；（3）把恒成立問題轉(zhuǎn)化為解三角不等式即可.【詳解】（1）令，解得，令，解得，故函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為，．（2）由（1）知函數(shù)在區(qū)間單調(diào)遞增，在區(qū)間單調(diào)遞減，又，，，結(jié)合圖象可知a的取值范圍是．（3）即不等式對恒成立，有，所以或解得，或故x的取值范圍是．42．（23-24高一下·遼寧錦州·期末）已知函數(shù)，且.(1)求函數(shù)的解析式；(2)求函數(shù)的最小正周期和單調(diào)遞增區(qū)間；(3)若函數(shù)在區(qū)間上恰有3個零點(diǎn)，求a的取值范圍和的值.【答案】(1)(2)，(3)【知識點(diǎn)】求sinx型三角函數(shù)的單調(diào)性、三角恒等變換的化簡問題、由正（余）弦函數(shù)的性質(zhì)確定圖象（解析式）、根據(jù)函數(shù)零點(diǎn)的個數(shù)求參數(shù)范圍【分析】（1）利用三角恒等變換化簡求得，由已知可得的圖像關(guān)于點(diǎn)對稱得出，即得函數(shù)解析式；（2）由公式可求得的最小正周期，利用正弦函數(shù)的單調(diào)性，列出不等式求解，即可得出單調(diào)遞增區(qū)間；（3）在區(qū)間上恰有3個零點(diǎn)轉(zhuǎn)化為與在的圖像上恰有3個交點(diǎn)求參數(shù)即可，再數(shù)形結(jié)合根據(jù)函數(shù)的對稱軸即可計算求值.【詳解】（1）由知，的圖像關(guān)于點(diǎn)對稱，所以，，得，.因?yàn)?，所以，即函?shù).（2）因?yàn)?，所以由，得，所以函?shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是，.（3），當(dāng)時，.函數(shù)在區(qū)間上恰有3個零點(diǎn)，令，則在上有3個不相等的根.即與在的圖像上恰有3個交點(diǎn)，作出與的圖像，如圖所示，由圖可知，，且，所以.故a的取值范圍為，的值為.43．（24-25高一上·浙江溫州·期中）對于給定的非空集合M，定義集合，，當(dāng)時，則稱具有“對稱性”，而，稱為的對稱集合．(1)試判斷集合，是否具有“對稱性”，如果有，求出其對稱集合；如果沒有，請說明理由(2)若集合，且集合具有"對稱性"，求的最小值．(3)已知，且，記，若集合B具有“對稱性”，求m的最小值．【答案】(1)有，，；(2)；(3)．【知識點(diǎn)】根據(jù)集合的包含關(guān)系求參數(shù)、交集的概念及運(yùn)算、根據(jù)交集結(jié)果求集合或參數(shù)、集合新定義【分析】（1）利用集合的“對稱性”定義判斷集合的對稱性，有對稱性的，可求得對稱集合；（2）先根據(jù)集合的“對稱性”定義求出中的元素，比較元素大小，即得的范圍，繼而求得的最小值；（3）先根據(jù)集合的“對稱性”定義求出中的元素，比較元素大小，即得的范圍，繼而求得的最小值.【詳解】（1）對于集合，，，，所以具有“對稱”性質(zhì)，且對稱集合為，；對于集合，，，，所以不具有對稱性．（2）因，故或，于是2、3、4、、、，0、1、、，因?yàn)?，所以，，又，．?），因?yàn)椋?，解得，又，故．【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：本題考查學(xué)生的創(chuàng)新能力，理解新定義并運(yùn)用是解題關(guān)鍵，本題實(shí)質(zhì)就是根據(jù)新定義求出兩個集合和，然后由它們的交集是否為空集確定結(jié)論．44．（24-25高一上·安徽·期中）對于非空的有限整數(shù)集，定義，．(1)若集合，求和．(2)已知，為非空的有限整數(shù)集，且．（ⅰ）若，求集合；（ⅱ）證明：．【答案】(1)；.(2)（ⅰ）或；（ⅱ）證明見解析.【知識點(diǎn)】集合新定義【分析】（1）根據(jù)題意，由集合新定義代入計算，即可得到結(jié)果；（2）（?。└鶕?jù)題意，由集合新定義可得，從而可得，即可得到結(jié)果；（ⅱ）結(jié)合新定義可得，則，然后分別考慮屬于時的情況，再考慮，時，由是有限集即可舍去，從而證明.【詳解】（1）由題意可得，.（2）（ⅰ）設(shè)，則，因?yàn)椋?，所以，即，因此，因?yàn)?，所以，所以，由此可知中至少有和兩個元素，所以，故或.（ⅱ）設(shè)，因?yàn)?，所以，又因?yàn)?，所以，即，若，則，故可以是；若，則，故可以是，；若，則，故可以是，；若，則，像這樣可以得到無限個中的元素，不符合是有限集；若，則，同樣不符合是有限集；同理可得，當(dāng)或時，也不符合是有限集；綜上，可以是，，，，，均滿足.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題主要考查了集合新定義問題，難度較大，解答本題的關(guān)鍵在于從新情境中獲取信息，搭建相關(guān)的集合知識網(wǎng)絡(luò)，將其運(yùn)用到新情境中，從而求解.45．（24-25高一上·河北石家莊·階段練習(xí)）設(shè)數(shù)集A由實(shí)數(shù)構(gòu)成，且滿足：若且，則.(1)若，試證明A中還有另外兩個元素；(2)集合A是否為只含有兩個元素的集合，并說明理由；(3)若A中元素個數(shù)不超過8個，所有元素的和為，且A中有一個元素的平方等于所有元素的積，求集合A.（提示：）【答案】(1)證明見解析；(2)不是，理由見解析；(3)【知識點(diǎn)】判斷元素與集合的關(guān)系、根據(jù)集合中元素的個數(shù)求參數(shù)、利用集合中元素的性質(zhì)求集合元素個數(shù)、集合新定義【分析】（1）根據(jù)集合的性質(zhì)代入3計算可得集合中還含有兩個元素；（2）根據(jù)集合中元素的互異性，易證明集合中至少含有三個元素；（3）利用（2）中的結(jié)論可知集合中的元素個數(shù)需為3的倍數(shù)，再由元素個數(shù)不超過8個以及所有元素的積可確定A中的元素個數(shù)必為6個，再由所有元素的和為即可得出結(jié)論.【詳解】（1）證明：根據(jù)題意若，則，若，則，若，則，因此可得集合，即可知集合中除了含有3之外，還含有兩個元素.（2）由且，可得，由可得，由可得，且，易知方程均無解；所以；即可得集合中至少含有3個元素，所以集合A不可能為只含有兩個元素的集合.（3）由（2）可知，若，則，易知集合中的元素個數(shù)需為3的倍數(shù)，若A中元素個數(shù)不超過8個，且A中有一個元素的平方等于所有元素的積，由可知集合A中不可能只有3個元素，則集合A中的元素個數(shù)必為6個；因此6個元素的積必為1，不妨取，解得或(舍)；可知，又所有元素的和為，不妨設(shè)，根據(jù)提供解析式可解得或或,所以.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題關(guān)鍵在于根據(jù)集合A中的元素性質(zhì)，證明得出集合A中的元素個數(shù)必是3的倍數(shù)，再由元素個數(shù)以及所有元素的和及其積的性質(zhì)計算即可得出集合A.46．（24-25高一上·江蘇南通·期中）已知二次函數(shù)滿足：有兩個實(shí)數(shù)根.(1)若，求實(shí)數(shù)的取值范圍;(2)若，記在時的最小值為，求的表達(dá)式;(3)若與都是整數(shù)且，求的值.【答案】(1)或；(2)；(3)時，，，時，，．【知識點(diǎn)】利用函數(shù)單調(diào)性求最值或值域、求二次函數(shù)的值域或最值、一元二次不等式與二次函數(shù)、一元二次方程的關(guān)系【分析】（1）由判別式大于0可得；（2）由已知求得，先分，然后考察對稱軸與區(qū)間端點(diǎn)的遠(yuǎn)近，從而得最小值；（3）求出方程的解，然后根據(jù)解是整數(shù)，得出或，代入求得．【詳解】（1）由已知有兩個不等實(shí)根，所以，解得或；（2）由，可知，又，故，顯然，所以，當(dāng)時，的圖象是開口向上的拋物線，當(dāng)時，，，當(dāng)時，，當(dāng)時，的圖象是開口向下的拋物線，時，，，時，，，所以；（3）由題意，，由得，又方程的解都是整數(shù)，則或2，，即時，，，，即時，，．綜上，時，，，時，，．【點(diǎn)睛】結(jié)論點(diǎn)睛：二次函數(shù)在區(qū)間的最值，（1）時，，；（2），時，，；（3），時，，；（4）時，，，類似討論可得．47．（24-25高一上·陜西咸陽·期中）設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)?，如果，都有，滿足，那么函數(shù)的圖象稱為關(guān)于點(diǎn)的中心對稱圖形，點(diǎn)就是其對稱中心．如果，且，使得，滿足，那么函數(shù)的圖象稱為關(guān)于點(diǎn)的弱中心對稱圖形，點(diǎn)就是其弱對稱中心．(1)若函數(shù)的圖象是關(guān)于點(diǎn)的中心對稱圖形，求實(shí)數(shù)的值；(2)判斷函數(shù)的圖象是否為關(guān)于原點(diǎn)的弱中心對稱圖形，并說明理由；(3)若函數(shù)的圖象是弱中心對稱圖形，且弱對稱中心為，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【答案】(1)(2)函數(shù)的圖象不是關(guān)于原點(diǎn)的弱中心對稱圖形，理由見解析(3)【知識點(diǎn)】判斷或證明函數(shù)的對稱性、函數(shù)對稱性的應(yīng)用、函數(shù)新定義【分析】（1）根據(jù)題意“中心對稱圖形”的定義分析判斷即可；（2）根據(jù)反證法，以及“弱對稱中心圖形”定義即可證明；（3）根據(jù)“弱對稱中心圖形”定義，代入解出表達(dá)式，討論取值范圍，再利用換元法即可求解.【詳解】（1）由，解得．當(dāng)時，，對于任意的，都有，所以函數(shù)的圖象是關(guān)于點(diǎn)的中心對稱圖形，故．（2）函數(shù)的圖象不是關(guān)于原點(diǎn)的弱中心對稱圖形．理由如下：假設(shè)，使得，解得，與矛盾，所以函數(shù)的圖象不是關(guān)于原點(diǎn)的弱中心對稱圖形；（3）由題意可知，存在，且，使得，當(dāng)時，，則，所以，又知對勾函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以，所以；當(dāng)時，，則不成立；當(dāng)時，，則，，令，則在上單調(diào)遞增，所以，所以．綜上可知，實(shí)數(shù)的取值范圍為．48．（24-25高一上·山東泰安·期中）定義在上的函數(shù)，如果滿足：存在常數(shù)，對任意，都有成立，則稱是上的有界函數(shù)，其中稱為函數(shù)的上界．(1)已知函數(shù)．①若函數(shù)為奇函數(shù)，求實(shí)數(shù)的值；②若，函數(shù)在區(qū)間上是否存在上界，若存在，求出的取值范圍，若不存在請說明理由．(2)已知函數(shù)，若函數(shù)在上是以4為上界的有界函數(shù)，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【答案】(1)①；②存在，(2)【知識點(diǎn)】定義法判斷或證明函數(shù)的單調(diào)性、利用函數(shù)單調(diào)性求最值或值域、由奇偶性求參數(shù)、函數(shù)新定義【分析】（1）①由為奇函數(shù)，得f?x=?fx，化簡變形后可求出的值；②先對變形，然后根據(jù)其單調(diào)性結(jié)合有界函數(shù)的定義分析判斷；（2）由在上恒成立，可得在上恒成立，則，然后構(gòu)造函數(shù)利用函數(shù)的單調(diào)性可求得結(jié)果.【詳解】（1）①由f?x=?f所以，化簡得，所以，即．②，∵，∴在上遞增，∴，∴，∴，∵，∴，所以，∴存在上界，的范圍是．（2）由題意可知在上恒成立，，即，∴在上恒成立，∴．設(shè)，由，得．∵和在上遞減，∴在上單調(diào)遞減，任取，且，則，∵，且，∴，∴，∴在上是單調(diào)遞增，∴在上，．所以實(shí)數(shù)的取值范圍是．【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：關(guān)于新定義題的思路有：（1）找出新定義有幾個要素，找出要素分別代表什么意思；（2）由已知條件，看所求的是什么問題，進(jìn)行分析，轉(zhuǎn)換成數(shù)學(xué)語言；（3）將已知條件代入新定義的要素中；（4）結(jié)合數(shù)學(xué)知識進(jìn)行解答.49．（24-25高一上·福建漳州·期中）我們知道，函數(shù)的圖象關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)成中心對稱圖形的充要條件是函數(shù)為奇函數(shù)，有同學(xué)發(fā)現(xiàn)可以將其推廣為：函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)成中心對稱圖形的充要條件是函數(shù)為奇函數(shù).給定函數(shù).(1)寫出函數(shù)圖象的對稱中心（只寫出結(jié)論即可，不需證明）;(2)當(dāng)時，①判斷函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)性，并用定義證明;②已知函數(shù)是奇函數(shù)，且當(dāng)時，，若對任意，總存在，使得，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】(1)(2)①函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，證明見解析；②[0，1].【知識點(diǎn)】定義法判斷或證明函數(shù)的單調(diào)性、利用函數(shù)單調(diào)性求最值或值域、函數(shù)對稱性的應(yīng)用、函數(shù)不等式能成立（有解）問題【分析】（1）由函數(shù)成中心對稱的充要條件可得為奇函數(shù)，可得對稱中心；（2）①根據(jù)單調(diào)性定義按照步驟即可證明函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增；②依題意并根據(jù)二次函數(shù)性質(zhì)得出兩函數(shù)的值域之間的包含關(guān)系，限定出最值之間的不等關(guān)系，解不等式即可求得結(jié)果.【詳解】（1）根據(jù)題意可知，函數(shù)是由函數(shù)向左平移個單位，向上平移1個單位得到的；所以為奇函數(shù)，可得函數(shù)圖象的對稱中心是.（2）當(dāng)時，.①函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增；證明如下:，且，，因?yàn)?，所以，所以，所以，?所以在單調(diào)遞增，②因?yàn)槭瞧婧瘮?shù)，所以關(guān)于點(diǎn)對稱，設(shè)在上的值域?yàn)樵谏系闹涤驗(yàn)锽.因?yàn)閷θ我?，總存在，使得，所以，由①可知在上單調(diào)遞增，又，所以，又，當(dāng)時，在上單調(diào)遞增，又關(guān)于點(diǎn)對稱，所以函數(shù)在也單調(diào)遞增，故在上單調(diào)遞增，又因?yàn)椋?，因?yàn)椋?，得，又，所以此時不存在.當(dāng)時，在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，又的對稱中心為，所以在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，所以，要使，只需，且，解得，又所以，當(dāng)時，在單調(diào)遞減，所以在單調(diào)遞減，所以在單調(diào)遞減，所以，所以，所以，又，所以此時不存在，綜上：，即的范圍是.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題關(guān)鍵在于根據(jù)二次函數(shù)性質(zhì)得出兩函數(shù)的值域之間的包含關(guān)系，限定出最值之間的不等關(guān)系，解不等式即可求得結(jié)果.50．（24-25高一上·上海·期中）設(shè)是定義在上的函數(shù)，若存在，使得在區(qū)間上是嚴(yán)格增函數(shù)，且在區(qū)間上是嚴(yán)格減函數(shù)，則稱為“含峰函數(shù)”，稱為峰點(diǎn)，稱為含峰區(qū)間．(1)試判斷是否為上的“含峰函數(shù)”？若是，指出峰點(diǎn)；若不是，請說明理由；(2)若（，、、）是定義在上峰點(diǎn)為的“含峰函數(shù)”，且值域?yàn)?，求的取值范圍?3)若是上的“含峰函數(shù)”，求的取值范圍．【答案】(1)是，峰點(diǎn)為(2)(3)【知識點(diǎn)】根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)值、利用函數(shù)單調(diào)性求最值或值域、函數(shù)新定義【分析】（1）以一元二次函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行判斷即可解決；（2）先滿足單調(diào)性要求，再滿足值域的要求，逐步遞進(jìn)即可解決；（3）在按參數(shù)t分類討論時要注意不重不漏的原則，逐步求得t的取值范圍.【詳解】（1）函數(shù)的圖像是開口向下，對稱軸為的拋物線，則在區(qū)間0,2上是嚴(yán)格增函數(shù)，在區(qū)間2,4上是嚴(yán)格減函數(shù)，故y=fx是0,4上的“含峰函數(shù)”，峰點(diǎn)為.（2）記函數(shù)，，，則在區(qū)間[m，2]上是嚴(yán)格增函數(shù)，在區(qū)間上是嚴(yán)格減函數(shù)，則，且有，得到，則，當(dāng)時，y=fx的最小值為，則，又，故，當(dāng)時，y=fx的最小值為，解得，綜上，實(shí)數(shù)的取值范圍是.（3）記，設(shè)任意，且，則當(dāng)時，由，且，可知，，則，即，則為上嚴(yán)格減函數(shù)，不符合題目要求；當(dāng)時，由，且，可知，，則，即則為上嚴(yán)格增函數(shù)，不符合題目要求；當(dāng)時，設(shè)任意，且，此時，，則，即，為上嚴(yán)格增函數(shù)；設(shè)任意，且，此時，則，即，為上嚴(yán)格減函數(shù)；故是上峰點(diǎn)為的“含峰函數(shù)”.綜上，t的取值范圍為.【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：“新定義”主要是指即時定義新概念、新公式、新定理、新法則、新運(yùn)算五種，然后根據(jù)此新定義去解決問題，有時還需要用類比的方法去理解新的定義，這樣有助于對新定義的透徹理解.但是，透過現(xiàn)象看本質(zhì)，它們考查的還是基礎(chǔ)數(shù)學(xué)知識，所以說“新題”不一定是“難題”，掌握好三基，以不變應(yīng)萬變才是制勝法寶.51．（24-25高二上·浙江溫州·期中）定義：對函數(shù)和，，若對任意，且，均有，則稱“函數(shù)與具有類性質(zhì)”.(1)判斷與是否具有類性質(zhì)，并說明理由；(2)已知，①若與具有類性質(zhì)，求的取值范圍；②若與具有類性質(zhì)，且，證明：對任意，.【答案】(1)與具有2類性質(zhì)，理由見解析(2)①；②證明見解析【知識點(diǎn)】函數(shù)新定義【分析】（1）利用定義證明函數(shù)具有2類性質(zhì)；（2）①根據(jù)1類性質(zhì)定義，將問題轉(zhuǎn)化成證明，，化簡為，由函數(shù)單調(diào)性及基本不等式可求出的范圍；②由題意，在上恒成立，結(jié)合單調(diào)性及即可證明.【詳解】（1）與具有2類性質(zhì)，理由如下：要證明與具有2類性質(zhì)，即驗(yàn)證不等式：，化簡，得：，兩側(cè)同時除以，得：，由于，所以，故不等式成立，所以函數(shù)與具有2類性質(zhì).（2）①與具有1類性質(zhì)，故，化簡，得：，兩側(cè)同時除以，得：，解得：，因?yàn)榕c在上單調(diào)遞減，所以（時取等號，故無法取等）又，等號成立條件無法取得，故（時取等號，故無法取等）故.②因?yàn)榕c具有2類性質(zhì)，所以對，，當(dāng)時，則，當(dāng)時，由于在單調(diào)遞增，不妨設(shè)，因?yàn)椋?，綜上所述，，.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題關(guān)鍵是理解函數(shù)的類性質(zhì)，將問題轉(zhuǎn)化成不等式證明.52．（24-25高一上·四川瀘州·期中）函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)成中心對稱圖形的充要條件是函數(shù)為奇函數(shù).已知函數(shù).(1)用定義證明函數(shù)在上是增函數(shù)；(2)證明函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對稱；(3)已知函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對稱，且當(dāng)時，.若對任意，總存在，使得成立，求負(fù)數(shù)的取值范圍.【答案】(1)證明見解析(2)證明見解析(3)【知識點(diǎn)】定義法判斷或證明函數(shù)的單調(diào)性、判斷或證明函數(shù)的對稱性、根據(jù)指數(shù)函數(shù)的最值求參數(shù)【分析】（1）任取、且，作差，變形后判斷的符號，結(jié)合函數(shù)單調(diào)性的定義可證得結(jié)論成立；（2）令，利用函數(shù)奇偶性的定義證明出函數(shù)hx為奇函數(shù)即可；（3）由題意可知函數(shù)的值域是值域的子集，由（2）易得的值域，分析函數(shù)在0,1上的單調(diào)性，并其值域，根據(jù)集合的包含關(guān)系可得出關(guān)于的不等式組，解之即可.【詳解】（1）因?yàn)?，任取、且，則，所以，，即，故函數(shù)在R上是增函數(shù).（2）令，該函數(shù)的定義域?yàn)镽，，故函數(shù)為奇函數(shù)，所以，函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)12,1對稱.（3）由題意可知，函數(shù)在上的值域?yàn)楹瘮?shù)在上的值域的子集，因?yàn)楹瘮?shù)在上單調(diào)遞增，則，，所以，函數(shù)在上的值域?yàn)?，于是原問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)在上的值域包含，因?yàn)?，則，函數(shù)在0,1上單調(diào)遞增，則當(dāng)時，，，則，因?yàn)楹瘮?shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)0,2對稱，所以，，由題意可得，解得.所以，負(fù)實(shí)數(shù)的取值范圍是.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：利用定義證明函數(shù)單調(diào)性的方法：（1）取值：設(shè)、是所給區(qū)間上的任意兩個值，且；（2）作差變形：即作差，并通過因式分解、配方、有理化等方法，向有利于判斷符號的方向變形；（3）定號：確定差的符號；（4）下結(jié)論：判斷，根據(jù)定義得出結(jié)論.即取值作差變形定號下結(jié)論.53．（24-25高一上·河南南陽·期中）已知函數(shù).(1)若，求在區(qū)間上的值域；(2)若方程有實(shí)根，求實(shí)數(shù)m的取值范圍；(3)設(shè)函數(shù)，若對任意的，總存在，使得，求實(shí)數(shù)m的取值范圍.【答案】(1)(2)(3)【知識點(diǎn)】求二次函數(shù)的值域或最值、判斷指數(shù)型復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性、一元二次方程根的分布問題、根據(jù)二次函數(shù)的最值或值域求參數(shù)【分析】（1）利用換元法令，，再結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)即可求解；（2）由（1）知利用換元法可得，，方程有實(shí)根即等價于即有實(shí)數(shù)根且大于零，從而可得，即可求解；（3）若對任意的，總存在，使得，可得,由復(fù)合函數(shù)知識可得函數(shù)在時單調(diào)遞減，時單調(diào)遞增，從而求出，則只需令在上恒成立即可，分離參數(shù)可求解.【詳解】（1）當(dāng)時，，令，因?yàn)?，所以，所以可得一個二次函數(shù)，所以當(dāng)，函數(shù)單調(diào)遞增，當(dāng)時，有最小值，當(dāng)時，有最大值，所以.所以時，在區(qū)間上的值域?yàn)?（2）由（1）知當(dāng)令，，，則，即有實(shí)數(shù)根，此時實(shí)數(shù)根大于零，所以可得，解得：.所以方程有實(shí)根，實(shí)數(shù)m的取值范圍為.（3）由題意得，若對任意的，總存在，使得，可得,由函數(shù)可得當(dāng)時單調(diào)遞減，當(dāng)時單調(diào)遞增，函數(shù)為增函數(shù)，所以由復(fù)合函數(shù)定義可得函數(shù)在時單調(diào)遞減，時單調(diào)遞增，所以當(dāng)時，有最小值，由（2）知當(dāng)令，，，所以在上恒成立，即在上恒成立，因?yàn)楹瘮?shù)在時均單調(diào)遞增，所以函數(shù)在時單調(diào)遞增，所以，所以，.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：（1）主要利用換元后轉(zhuǎn)化為一般的二次函數(shù)在具體區(qū)間求最值問題；（2）中轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)根的分布問題來求出相應(yīng)的不等式組，即可求解；（3）中由題可得,再結(jié)合指數(shù)型復(fù)合函數(shù)求出，從而可轉(zhuǎn)化為含參二次函數(shù)在定區(qū)間求解最值問題.54．（24-25高一上·河南·期中）已知函數(shù).(1)當(dāng)時，求的值域.(2)若在上單調(diào)遞增，求實(shí)數(shù)的取值范圍.(3)若在函數(shù)的定義域內(nèi)存在，使得成立，則稱為局部對稱函數(shù)，其中為的圖象的局部對稱點(diǎn).若是的圖象的局部對稱點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】(1)(2)(3)【知識點(diǎn)】利用函數(shù)單調(diào)性求最值或值域、求指數(shù)型復(fù)合函數(shù)的值域、由指數(shù)（型）的單調(diào)性求參數(shù)、函數(shù)新定義【分析】（1）根據(jù)題意，由換元法結(jié)合二次函數(shù)值域，即可得到結(jié)果；（2）根據(jù)題意，分，，討論，結(jié)合條件，代入計算，即可得到結(jié)果；（3）根據(jù)題意，由局部對稱點(diǎn)的定義，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性，代入計算，即可得到結(jié)果.【詳解】（1）當(dāng)時，，令，則，，所以的值域?yàn)椋唬?）令，，則，，因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，所以要使在上單調(diào)遞增，只需在上單調(diào)遞增，①當(dāng)時，在上單調(diào)遞減，不符合題意；②當(dāng)時，的圖象開口向下，不符合題意；③當(dāng)時，則需，解得，所以實(shí)數(shù)的取值范圍是；（3）由是的圖象的局部對稱點(diǎn)，可得，，代入整理得，①令，則，，代入①式得，，當(dāng)時，函數(shù)和均單調(diào)遞增，所以在上單調(diào)遞增，所以，所以，所以實(shí)數(shù)的取值范圍為.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：形如二次函數(shù)、指數(shù)函數(shù)結(jié)合的問題，無論是單調(diào)性還是值域（最值），都可以考慮利用換元法，再結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)來進(jìn)行求解；研究含參數(shù)的二次函數(shù)的性質(zhì)，關(guān)鍵點(diǎn)是對參數(shù)進(jìn)行分類討論，結(jié)合二次函數(shù)的開口方向、單調(diào)性、值域等知識可將問題解決.55．（24-25高一上·浙江溫州·期中）設(shè)，對一般的函數(shù)，定義集合所含元素個數(shù)為的“等值點(diǎn)數(shù)”，記為.現(xiàn)已知函數(shù)，，常數(shù).(1)求的最大值；(2)對函數(shù)，當(dāng)時，，求的取值范圍；(3)設(shè)函數(shù)，若的最大值為3，求的取值范圍.【答案】(1)3(2)(3)【知識點(diǎn)】根據(jù)函數(shù)零點(diǎn)的個數(shù)求參數(shù)范圍、求函數(shù)零點(diǎn)或方程根的個數(shù)【分析】（1）通過和兩類情況討論，借助一元二次方程根的分布即可求解；（2）參變分離結(jié)合對勾函數(shù)圖像即可求解；（3）通過，，，，五種情況討論即可.【詳解】（1）當(dāng)時，單調(diào)遞增，此時；當(dāng)時，，設(shè)，則，在時，單調(diào)遞減，在時，單調(diào)遞增，故當(dāng)時，單調(diào)遞增，，當(dāng)時，單調(diào)遞減，，因此關(guān)于的根的分布如下：①當(dāng)時，恰有一個根；②當(dāng)，恰有兩根，，；③當(dāng)，恰有3個根，，，④當(dāng)時，恰有2個根；⑤當(dāng)時，恰有1個根.故當(dāng)時，取到最大值3.（2）即當(dāng)時，有1個解，參變分離得：，由函數(shù)的圖像，

可得：（3）設(shè)，則，其中的根的分布同（1），接下來解方程注意，①當(dāng)時，在上單調(diào)遞增，且，故，不符合題意；②當(dāng)時，在上單調(diào)遞減，且，故，不符合題意；③當(dāng)時，，在上單調(diào)遞減，上單調(diào)遞增，，故，不符合題意；④當(dāng)時，在時單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，且，，此時取，則的三個根恰一一對應(yīng)的三個根，且沒有其他根，故此時，而對的其它取值，，故的最大值為3；⑤當(dāng)時，在上單調(diào)遞增，，，故只需保證當(dāng)時，的三個根落在的值域中，即，解得：，符合題意；綜上所述，當(dāng)且僅當(dāng)時，的最大值為3.【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：涉及函數(shù)新定義問題，理解新定義，找出數(shù)量關(guān)系，聯(lián)想與題意有關(guān)的數(shù)學(xué)知識和方法，再轉(zhuǎn)化、抽象為相應(yīng)的數(shù)學(xué)問題求解.56．（24-25高一上·重慶·期中）固定項(xiàng)鏈的兩端，在重力的作用下項(xiàng)鏈所形成的曲線是懸鏈線.年，萊布尼茲等得出了“懸鏈線”的一般方程，最特別的懸鏈線是雙曲余弦函數(shù).類似的有雙曲正弦函數(shù)，也可以定義雙曲正切函數(shù).已知函數(shù)和具有如下性質(zhì)：①定義域?yàn)椋以谏鲜窃龊瘮?shù)；②是奇函數(shù)，是偶函數(shù)；③.（常數(shù)是自然對數(shù)的底數(shù)，）(1)求雙曲正弦函數(shù)和雙曲余弦函數(shù)的解析式；(2)試判斷在上的單調(diào)性，并用單調(diào)性的定義證明；(3)關(guān)于的不等式對任意恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】(1)，(2)增函數(shù)，證明見解析(3)【知識點(diǎn)】定義法判斷或證明函數(shù)的單調(diào)性、由奇偶性求函數(shù)解析式、指數(shù)函數(shù)最值與不等式的綜合問題、根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性解不等式【分析】（1）由函數(shù)奇偶性的定義可得出，與聯(lián)立方程組，即可解出、的解析式；（2）判斷出函數(shù)在上為增函數(shù)，然后任取、且，作差，因式分解后判斷的符號，結(jié)合函數(shù)單調(diào)性的定義可證得結(jié)論成立；（3）分析函數(shù)的單調(diào)性與奇偶性，可將所求不等式變形為，令，可得出對任意的恒成立，令，其中，對實(shí)數(shù)的取值進(jìn)行分類討論，根據(jù)可求得實(shí)數(shù)的取值范圍.【詳解】（1）因?yàn)楹瘮?shù)為上的奇函數(shù)，為上的偶函數(shù)，且，所以，即，解得，，因?yàn)楹瘮?shù)，均為上的增函數(shù)，故函數(shù)為上的增函數(shù)，合乎題意.（2）函數(shù)在上為增函數(shù)，證明如下：任取、且，則，，所以，，即，所以，函數(shù)在上為增函數(shù).（3）因?yàn)?，該函?shù)的定義域?yàn)椋?，故函?shù)為奇函數(shù)，又因?yàn)椋驗(yàn)閮?nèi)層函數(shù)在上為增函數(shù)，且，外層函數(shù)在上為增函數(shù)，所以函數(shù)在上為增函數(shù)，由，所以，即，即，因?yàn)楹瘮?shù)在上是增函數(shù)，令，則函數(shù)在上是增函數(shù)，當(dāng)時，，且，則，于是有，即對任意的恒成立，令，其中，當(dāng)時，即當(dāng)時，函數(shù)在上單調(diào)遞增，則，解得，此時，；當(dāng)時，即當(dāng)時，只需，解得，此時，；當(dāng)時，即當(dāng)時，函數(shù)在上單調(diào)遞減，則，解得，此時，.綜上所述，實(shí)數(shù)的取值范圍是.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：利用定義證明函數(shù)單調(diào)性的方法：（1）取值：設(shè)、是所給區(qū)間上的任意兩個值，且；（2）作差變形：即作差，并通過因式分解、配方、有理化等方法，向有利于判斷符號的方向變形；（3）定號：確定差的符號；（4）下結(jié)論：判斷，根據(jù)定義得出結(jié)論.即取值作差變形定號下結(jié)論.57．（24-25高一上·上海松江·期中）已知函數(shù)(1)當(dāng)時，解不等式：；(2)當(dāng)時，不等式在上恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍；(3)是否存在實(shí)數(shù)，使得函數(shù)在上的最大值為，若存在，請求出的值；若不存在，請說明理由．【答案】(1)(2)(3)不存在，使得結(jié)論成立，理由見解析【知識點(diǎn)】根據(jù)對數(shù)函數(shù)的最值求參數(shù)或范圍、基本不等式求和的最小值、由對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性解不等式、函數(shù)不等式恒成立問題【分析】（1）變形得到，利用對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性、定義域求解出不等式解集；（2）利用換元法，可化為在0,+∞上恒成立，參變分離，結(jié)合基本不等式求解；（3）先由定義域得到，研究在上的單調(diào)性，得到在上的最大值必在端點(diǎn)處產(chǎn)生，從而得到不等式組，無解，故不存在，使得結(jié)論成立．【詳解】（1）由已知得，即，因?yàn)槭窃龊瘮?shù)，所以，解得，所以原不等式的解集為；（2）由題意令，因?yàn)?，所以，所以不等式在上恒成立，可化為?,+∞上恒成立，分離參數(shù)得，因?yàn)?，?dāng)且僅當(dāng)時取等號，則要使原式恒成立，只需即可，即實(shí)數(shù)的取值范圍為；（3）首先要使函數(shù)在上有意義，需，所以，易知函數(shù)在上的最大值必在端點(diǎn)處產(chǎn)生，故只需，或，由①得或4，由②得，故無解，舍去；由④得或，由③得，故無解，舍去；綜上可知，不存在a使結(jié)論成立．【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：分離參數(shù)法基本步驟為：第一步：首先對待含參的不等式問題在能夠判斷出參數(shù)的系數(shù)正負(fù)的情況下，可以根據(jù)不等式的性質(zhì)將參數(shù)分離出來，得到一個一端是參數(shù)，另一端是變量表達(dá)式的不等式，第二步：先求出含變量一邊的式子的最值，通常使用函數(shù)單調(diào)性或基本不等式進(jìn)行求解.第三步：由此推出參數(shù)的取值范圍即可得到結(jié)論.58．（24-25高一上·上海·期中）設(shè)常數(shù)，，.(1)已知y=fx的圖象過點(diǎn)求實(shí)數(shù)的值；(2)當(dāng)時，對任意，都有恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍；(3)若方程有兩個實(shí)數(shù)根，，且，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】(1)(2)(3)【知識點(diǎn)】求對數(shù)函數(shù)的解析式、利用不等式求值或取值范圍、一元二次不等式在某區(qū)間上的恒成立問題【分析】（1）把點(diǎn)的坐標(biāo)代入解析式，求出值即可；（2）將，代入解析式，得，利用換元法結(jié)合二次函數(shù)的單調(diào)性求出函數(shù)的最小值，根據(jù)已知條件有，即可求解；（3）利用換底公式化方程為，利用換元法及韋達(dá)定理得，根據(jù)解出的范圍即可.【詳解】（1）因?yàn)閳D象過點(diǎn)，所以，所以，解得.（2）當(dāng)時，，因?yàn)?，所以，令，則有，，函數(shù)的對稱軸為，所以，，所以，因?yàn)閷θ我猓加泻愠闪?，所以，所以，即?shí)數(shù)的取值范圍為：.（3）因?yàn)椋瑒t，化為，整理有：，因?yàn)椋?，所以原式可化為：，令，則有，，所以方程有兩個根，設(shè)為、，且，，所以，，，又因?yàn)?，所以，因?yàn)?，所以，所以，即，，，，，，又因?yàn)椋?【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題關(guān)鍵在于利用換底公式以及換元法得到：，然后利用解出的范圍.59．（24-25高一上·浙江·期中）當(dāng)一個函數(shù)有如下性質(zhì)：若在區(qū)間上有意義且該區(qū)間為的單調(diào)區(qū)間，并且此時的值域?yàn)椋?dāng)時，我們就稱函數(shù)為區(qū)間上的“神奇函數(shù)”．請回答下列問題：(1)當(dāng)時，是否是區(qū)間上的“神奇函數(shù)”？若是，請證明；若不是，請說明原因；(2)當(dāng)函數(shù)為區(qū)間上的“神奇函數(shù)”，求的最小值和的最大值；(3)當(dāng)時，存在區(qū)間，使得函數(shù)為區(qū)間上的“神奇函數(shù)”，求的取值范圍．【答案】(1)是，理由見解析(2)的最小值為，的最大值為(3)【知識點(diǎn)】求已知指數(shù)型函數(shù)的最值、函數(shù)新定義【分析】（1）分析函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)性，并求出該函數(shù)的值域，結(jié)合“神奇函數(shù)”的定義判斷即可；（2）分、兩種情況討論，分析函數(shù)在區(qū)間的單調(diào)性，并求出其值域，根據(jù)“神奇函數(shù)”的定義可得出關(guān)于、所滿足的等式，進(jìn)而可求得結(jié)果；（3）分兩種情況討論，函數(shù)在區(qū)間上為增函數(shù)、減函數(shù)，求出函數(shù)在區(qū)間上的最大值和最小值，結(jié)合“神奇函數(shù)”的定義可得出關(guān)于、的等式，即可求得實(shí)數(shù)的取值范圍.【詳解】（1）因?yàn)楹瘮?shù)在區(qū)間上為增函數(shù)，則，，所以，函數(shù)在區(qū)間上的值域?yàn)?，因?yàn)椋?，函?shù)是區(qū)間上的“神奇函數(shù)”.（2）因?yàn)楹瘮?shù)的增區(qū)間為，減區(qū)間為，因?yàn)楹瘮?shù)為區(qū)間上的“神奇函數(shù)”，則或，先考慮的最大值，則，當(dāng)時，函數(shù)在上為增函數(shù)，則，，所以，函數(shù)在上的值域?yàn)?，根?jù)“神奇函數(shù)”的定義可得，即，因?yàn)?，所以，，因?yàn)椋瑒t，所以，的最大值為；接下來考慮的最小值，則，當(dāng)時，，則函數(shù)在上為減函數(shù)，則，，所以，函數(shù)在上的值域?yàn)?，根?jù)“神奇函數(shù)”的定義可得，即，因?yàn)?，則，可得，所以，的最小值為.綜上所述，當(dāng)函數(shù)為區(qū)間上的“神奇函數(shù)”，的最小值為，的最大值為.（3）因?yàn)槎魏瘮?shù)的圖象開口向上，對稱軸為直線，因?yàn)榇嬖趨^(qū)間，使得函數(shù)為區(qū)間上的“神奇函數(shù)”，分以下兩種情況討論：當(dāng)時，即當(dāng)時，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，則，，根據(jù)“神奇函數(shù)”的定義可得，即，因?yàn)?，則，則，因?yàn)?，則；當(dāng)時，即當(dāng)時，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，則，，根據(jù)“神奇函數(shù)”的定義可得，即，則，可得，因?yàn)?，則，此時，.綜上所述，實(shí)數(shù)的取值范圍是.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：解本題第（3）問的關(guān)鍵就是對函數(shù)在區(qū)間的單調(diào)性進(jìn)行分類討論，結(jié)合“神奇函數(shù)”的定義構(gòu)建等式求解.60．（24-25高一上·湖南·期中）給定區(qū)間，若對任意的，恒有函數(shù)或恒有函數(shù)，則稱為上的“函數(shù)”．(1)判斷是否為區(qū)間上的“函數(shù)”；(2)若是區(qū)間上的“函數(shù)”，求的取值范圍；(3)若的定義域?yàn)椋以谏蠁握{(diào)遞減，且圖象是連續(xù)不斷的曲線，求證：存在區(qū)間，使得是區(qū)間上的“函數(shù)”．【答案】(1)不是(2)(3)證明見解析【知識點(diǎn)】根據(jù)集合的包含關(guān)系求參數(shù)、根據(jù)交集結(jié)果求集合或參數(shù)、利用函數(shù)單調(diào)性求最值或值域、函數(shù)新定義【分析】（1）求函數(shù)在區(qū)間的值域，根據(jù)區(qū)間與值域的關(guān)系判斷可得；（2）利用換元法將復(fù)合函數(shù)的值域轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)的值域，再根據(jù)定義得到包含關(guān)系或交集為空集，由此建立不等式求