二次函數教案

2.4二次函數的應用（1）教學目標：1、經歷數學建模的基本過程。2、會運用二次函數求實際問題中的最大值或最小值。3、體會二次函數是一類最優(yōu)化問題的重要數學模型，感受數學的應用價值。教學重點和難點：重點：二次函數在最優(yōu)化問題中的應用。難點：例1是從現實問題中建立二次函數模型，學生較難理解。教學方法：啟發(fā)教學輔助：投影片教學過程：一、創(chuàng)設情境、提出問題出示引例（將作業(yè)題第3題作為引例）給你長8m的鋁合金條，設問：①你能用它制成一矩形窗框嗎？②怎樣設計，窗框的透光面積最大？③如何驗證？二、觀察分析，研究問題演示動畫，引導學生觀察、思考、發(fā)現：當矩形的一邊變化時，另一邊和面積也隨之改變。深入探究如設矩形的一邊長為x米，則另一邊長為(4-x)米，再設面積為ym2,則它們的函數關系式為并當x=2時（屬于范圍）即當設計為正方形時，面積最大=4(m2)引導學生總結，確定問題的解決方法：在一些涉及到變量的最大值或最小值的應用問題中，可以考慮利用二次函數最值方面的性質去解決。步驟：第一步設自變量；第二步建立函數的解析式；第三步確定自變量的取值范圍；第四步根據頂點坐標公式或配方法求出最大值或最小值（在自變量的取值范圍內）。三、例練應用，解決問題在上面的矩形中加上一條與寬平行的線段，出示圖形設問：用長為8m的鋁合金條制成如圖形狀的矩形窗框，問窗框的寬和高各是多少米時，窗戶的透光面積最大？最大面積是多少？引導學生分析，板書解題過程。變式（即課本例1）：現在用長為8米的鋁合金條制成如圖所示的窗框（把矩形的窗框改為上部分是由4個全等扇形組成的半圓，下部分是矩形），那么如何設計使窗框的透光面積最大？（結果精確到0.01米）練習：課本作業(yè)題第4題四、知識整理，形成系統(tǒng)這節(jié)課學習了用什么知識解決哪類問題？解決問題的一般步驟是什么？應注意哪些問題？學到了哪些思考問題的方法？五、布置作業(yè)：作業(yè)本板書設計：例1解：練習教學反思：本節(jié)課學生對對函數值的最值求法掌握很好。學生對表達格式表述不規(guī)范，有待于今后教學多強調。2.4二次函數的應用(2)教學目標：1、繼續(xù)經歷利用二次函數解決實際最值問題的過程。2、會綜合運用二次函數和其他數學知識解決如有關距離等函數最值問題。3、發(fā)展應用數學解決問題的能力，體會數學與生活的密切聯系和數學的應用價值。教學重點和難點：重點：利用二次函數的知識對現實問題進行數學地分析，即用數學的方式表示問題以及用數學的方法解決問題。難點：例2將現實問題數學化，情景比較復雜。教學方法：啟發(fā)教學輔助：多媒體教學過程：一、復習：1、利用二次函數的性質解決許多生活和生產實際中的最大和最小值的問題，它的一般方法是：(1)列出二次函數的解析式，列解析式時，要根據自變量的實際意義，確定自變量的取值范圍。(2)在自變量取值范圍內，運用公式或配方法求出二次函數的最大值和最小值。2、上節(jié)課我們討論了用二次函數的性質求面積的最值問題。出示上節(jié)課的引例的動態(tài)圖形（在周長為8米的矩形中）（多媒體動態(tài)顯示）設問：（1）對角線（L）與邊長（x）有什何關系？（2）對角線（L）是否也有最值？如果有怎樣求？L與x并不是二次函數關系，而被開方數卻可看成是關于x的二次函數，并且有最小值。引導學生回憶算術平方根的性質：被開方數越大（?。﹦t它的算術平方根也越大（?。?。指出：當被開方數取最小值時，對角線也為最小值。二、例題講解例題2：B船位于A船正東26km處，現在A、B兩船同時出發(fā)，A船發(fā)每小時12km的速度朝正北方向行駛，B船發(fā)每小時多媒體動態(tài)演示，提出思考問題：（1）兩船的距離隨著什么的變化而變化？(2)經過t小時后，兩船的行程是多少？兩船的距離如何用t來表示？設經過t小時后AB兩船分別到達A’，B’，兩船之間距離為A’B’=EQ\R(,AB'2+AA'2)=EQ\R(,(26-5t)2+(12t)2)=EQ\R(,169t2-260t+676)。（這里估計學生會聯想剛才解決類似的問題）因此只要求出被開方式169t2-260t+676的最小值，就可以求出兩船之間的距離s的最小值。解:設經過t時后，A，BAB兩船分別到達A’，B’，兩船之間距離為S=A’B’=EQ\R(,AB'2+AA'2)=EQ\R(,(26-5t)2+(12t)2)=EQ\R(,169t2-260t+676)=EQ\R(,169（t-EQ\F(10,13)）2+576)（t>0）當t=EQ\F(10,13)時，被開方式169（t-EQ\F(10,13)）2+576有最小值576。所以當t=EQ\F(10,13)時，S最小值=EQ\R(,576)=24（km）答：經過EQ\F(10,13)時，兩船之間的距離最近，最近距離為24km練習：直角三角形的兩條直角邊的和為2，求斜邊的最小值。三、課堂小結應用二次函數解決實際問題的一般步驟布置作業(yè)見作業(yè)本板書設計：解：練習練習教學反思：本節(jié)課學生對函數值的最值求法掌握很好。2.4二次函數的應用(3)教學目標：1、繼續(xù)經歷利用二次函數解決實際最值問題的過程。2、會綜合運用二次函數和其他數學知識解決如有關距離等函數最值問題。3、發(fā)展應用數學解決問題的能力，體會數學與生活的密切聯系和數學的應用價值。教學重點和難點：重點：利用二次函數的知識對現實問題進行數學地分析，即用數學的方式表示問題以及用數學的方法解決問題。難點：例3將現實問題數學化，情景比較復雜。教學方法：類比啟發(fā)教學輔助：多媒體投影片教學過程：1、例3某飲料經營部每天的固定成本為200元,某銷售的飲料每瓶進價為5元。銷售單價(元)6789101112日均銷售量(瓶)480440400360320280240(1)若記銷售單價比每瓶進價多x元時，日均毛利潤(毛利潤＝售價－進價－固定成本)為y元，求y關于x的函數解析式和自變量的取值范圍；(2)若要使日均毛利潤達到最大，銷售單價應定為多少元(精確到0.1元)？最大日均毛利潤為多少？2、練習：P47課內練習3、課本55頁T164、小結5、作業(yè)：課本48頁T1-T5板書設計：解：練習練習教學反思：本節(jié)課學生對表格的分析理解不了，致使無法求解。有待于今后教學多給予滲透。2.4二次函數的應用(4)教學目標：(1)會運用一元二次方程求二次函數的圖象與x軸或平行于x軸的直線的交點坐標，并用來解決相關的實際問題。(2)會用二次函數的圖象求一元二次方程的解或近似解。(3)進一步體驗在問題解決的過程中函數與方程兩種數學模式經常需要相互轉換。教學重點和難點：重點：問題解決過程中二次函數與一元二次方程兩種數學模型的轉換。難點：例4涉及較多的“科學”知識，解題思路不易形成，是本節(jié)教學的難點。教學方法：啟發(fā)法演示法教學輔助：多媒體教學過程：一、復習引入：1.利用函數解決實際問題的基本思想方法？解題步驟？“二次函數應用”的思路(1)理解問題;(2)分析問題中的變量和常量,以及它們之間的關系;(3)用數學的方式表示出它們之間的關系;(4)做數學求解;(5)檢驗結果的合理性,拓展等.二、例題講評例4:一個球從地面上豎直向上彈起時的速度為10m/s，經過t(s)時求的高度為h(m)。已知物體豎直上拋運動中，h＝v0t－eq\f(1,2)gt2(v0表示物體運動上彈開始時的速度，g表示重力系數，取g＝10m/s2)。問球從彈起至回到地面需多少時間？經多少時間球的高度達到3.75m?分析：根據已知條件，易求出函數解析式和畫出函數圖象。從圖象可以看到圖象與x軸交點橫坐標0和2分別就是球從地面彈起后回到地面的時間，此時h＝0,所以也是一元二次方程10t－5t2＝0的兩個根。這兩個時間差即為所求。同樣，我們只要取h＝3.75m，的一元二次方程10t－5t2＝3.75，求出它的根，就得到球達到3.75m高度時所經過的時間。結論：從上例我們看到，可以利用解一元二次方程求二次函數的圖象與橫軸(或平行于橫軸的直線)的交點坐標。反過來，也可以利用二次函數的圖象求一元二次方程的解。例5利用二次函數的圖象求方程x2＋x－1＝0的近似解。分析：設y＝x2＋x－1，則方程的解就是該函數圖象與x軸交點的橫坐標?？梢援嫵霾輬D，求出近似解。結論：我們知道，二次函數y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的圖象與x軸的交點的橫坐標x1，x2就是一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的兩個根。因此我們可以通過解方程ax2＋bx＋c＝0來求拋物線y＝ax2＋bx＋c與x軸交點的坐標；反過來，也可以由y＝ax2＋bx＋c的圖象來求一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的解。兩種方法：上述是一種方法；也可以求拋物線y＝ax2與直線y＝－bx－c的交點橫坐標.練習：P50課內練習、探究活動補充練習：1．某跳水運動員進行10米跳臺跳水訓練時，身體（看成一點）在空中的運動路線是如圖所示坐標系下經過原點O的一條拋物線（圖中標出的數據為已知條件）。在跳某個規(guī)定動作時，正常情況下，該運動員在空中的最高處距水面10eq\f(2,3)米，入水處距池邊的距離為4米，同時，運動員在距水面高度為5米以前，必須完成規(guī)定的翻騰動作，并調整好入水姿勢，否則就會出現失誤。（1）求這條拋物線的解析式；（2）在某次試跳中，測得運動員在空中的運動路線是（1）中的拋物線，且運動員在空中調整好人水姿勢時，距池邊的水平距離為3eq\f(3,5)分析：挖掘已知條件，由已知條件和圖形可以知道拋物線過（0，0）（2，-10），頂點的縱坐標為eq\f(2,3)。解：（1）如圖，在給定的直角坐標系下，設最高點為A，入水點為B，拋物線的解析式為y=ax2+bx+c，由題意知，O、B兩點的坐標依次為（0，0）（2，-10），且頂點A的縱坐標為eq\f(2,3)?！唷唷邟佄锞€對稱軸在y軸右側，∴eq\f(-b,2a)>0，又∵拋物線開口向下，∴a<0,b>0，∴a=－eq\f(25,6)，b=eq\f(10,3)，c=0∴拋物線的解析式為：y=－eq\f(25,6)x2+eq\f(10,3)x（2）當運動員在空中距池邊的水平距離為3eq\f(3,5)時，即x=3eq\f(3,5)-2=eq\f(8,5)時，y=(－eq\f(25,6))×(eq\f(8,5))2+eq\f(10,3)×eq\f(8,5)=－eq\f(16,3)，∴此時運動員距水面高為：10－eq\f(16,3)=eq\f(14,3)<5，因此，此次試跳會出現失誤。2(2006年寧波課改區(qū)).利用圖象解一元二次方程x2－2x－1＝0時，我們采用的一種方法是：在直角坐標系中畫出拋物線y＝x2和直線y＝2x＋1，兩圖象交點的橫坐標就是該方程的解。(1)請再給出一種利用圖象求方程x2－2x－1＝0的解的方法。(2)已知函數y＝x3的圖象，求方程x3－x－2＝0的解。(結果保留2個有效數字)三、小結1.利用函數解決實際問題的基本思想：“二次函數應用”的思路(1)理解問題;(2)分析問題中的變量和常量,以及它們之間的關系;(3)用數學的方式表示出它們之間的關系;(4)做數學求解;(5)檢驗結果的合理性,拓展等.2.利用解一元二次方程求二次函數的圖象與橫軸(或平行于橫軸的直線)的交點坐標。反過來，也可以利用二次函數的圖象求一元二次方程的解。3.二次函數y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的圖象與x軸的交點的橫坐標x1，x2就是一元二次方程ax2＋b