重慶市七校2023-2024學(xué)年高二上學(xué)期期末聯(lián)考數(shù)學(xué)試題（解析版）

高級(jí)中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1重慶市七校2023-2024學(xué)年高二上學(xué)期期末聯(lián)考數(shù)學(xué)試題注意事項(xiàng)：1．答題前，務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)等填寫在答題卡規(guī)定的位置上.2．答選擇題時(shí)，必須使用2B鉛筆將答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑.3．答非選擇題時(shí)，必須使用0.5毫米黑色簽字筆，將答案書寫在答題卡規(guī)定的位置上.4．考試結(jié)束后，將答題卷交回.第I卷（選擇題共60分）一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.拋物線的準(zhǔn)線方程為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】因?yàn)閽佄锞€可化為，所以其準(zhǔn)線方程為.故選：C.2.已知向量，若，且，則的值為（）A.0 B.4 C.0或4 D.1或4【答案】C【解析】因?yàn)榍?，所以，解得，又因?yàn)椋?，?dāng)時(shí)解得，此時(shí)，當(dāng)時(shí)解得，此時(shí)，故選：C3.圓與圓公切線的條數(shù)為（）A.1 B.2 C.3 D.4【答案】C【解析】由題意圓，即，所以圓心，，圓，即，所以圓心，，所以兩圓圓心距，所以兩圓外切，公共切線為3條.故選：C4.“中國剩余定理”原文如下：今有物不知其數(shù)，三三數(shù)之剩二（除以3余2），五五數(shù)之剩三（除以5余3），七七數(shù)之剩二（除以7余2），問物幾何？現(xiàn)有這樣一個(gè)相關(guān)的問題：已知正整數(shù)滿足七七數(shù)之剩二，將符合條件的所有正整數(shù)按照從小到大的順序排成一列，構(gòu)成數(shù)列，記數(shù)列的前項(xiàng)和為，則的最小值為（）A.9 B.25 C.30 D.41【答案】B【解析】依題意，，顯然數(shù)列是等差數(shù)列，，因此，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，所以當(dāng)時(shí)，取得最小值25.故選：B.5.若點(diǎn)在橢圓上，，分別是橢圓的兩焦點(diǎn)，且，則面積是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】首先我們需要確定橢圓的基本參數(shù)，對于橢圓故.根據(jù)橢圓的定義，對于橢圓上的任意一點(diǎn)有：……①，……②由題知……③在中使用余弦定理有：……④將①②③代入④式得到：……⑤現(xiàn)在我們可以計(jì)算三角形的面積：因此，的面積是.故選：B.6.在正方體中，是中點(diǎn)，點(diǎn)在線段上（含端點(diǎn)），若直線與平面所成的角為，則的取值范圍是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，所以，設(shè)，所以，所以，，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，所以，令，所以，所以，令，對稱軸，所以，所以，即，故選：A.7.的最小值為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由題意知，，設(shè)，則的幾何意義為的值，如圖，作點(diǎn)關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)，連接，與x軸的交點(diǎn)即為所求點(diǎn)P，此時(shí)取得最小值，為.而，即最小值為，所以的最小值為.故選：D8.已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為、，以為直徑的圓與雙曲線的一條漸近線交于點(diǎn)，若線段交雙曲線于點(diǎn)，且，則雙曲線的離心率為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】因?yàn)橐詾橹睆降膱A與雙曲線的一條漸近線交于點(diǎn)，不妨取點(diǎn)在第二象限，所以，則，因?yàn)殡p曲線的漸近線方程為，則，所以；記，則，由解得，因?yàn)?，由雙曲線的定義可得，所以，，由余弦定理可得：，則，所以，整理得，解得，所以雙曲線的離心率為.故選：C.二、多項(xiàng)選擇題：本題共4小題，每題5分，共20分．在每個(gè)小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)是符合題目要求的，全部選對得5分，部分選對得2分，錯(cuò)選不得分．9.已知函數(shù)，則（）A.為奇函數(shù) B.為其定義域上的減函數(shù)C.有唯一的零點(diǎn) D.的圖象與直線相切【答案】AC【解析】對于A：的定義域?yàn)榍谊P(guān)于原點(diǎn)對稱，又，所以為奇函數(shù)，故A正確；對于B：，所以在定義域內(nèi)單調(diào)遞增，故B錯(cuò)誤；對于C：因?yàn)榍以诙x域內(nèi)單調(diào)遞增，所以有唯一零點(diǎn)，故C正確；對于D：因?yàn)?，令，所以，所以斜率為的切線方程為：，，即，，顯然，故D錯(cuò)誤；故選：AC.10.設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，，，則下列說法正確的是（）A.B.成等差數(shù)列，公差為C.取得最大值時(shí)D.時(shí)，的最大值為33【答案】ABD【解析】由題意，，則數(shù)列是以為首項(xiàng)，為公差的等差數(shù)列，所以，即，而開口向下的二次函數(shù)的對稱軸為，所以當(dāng)或時(shí)，取得最大值，故C錯(cuò)誤；對于A，由，得，，所以，而，所以，故A正確；對于B，由，得，，，所以，，成等差數(shù)列，公差，故B正確，對于D，由得，故D正確；故選：ABD.11.如圖，正方體的棱長為1，線段上有兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)E，F(xiàn)，且，則下列結(jié)論中正確的有（）A.當(dāng)點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)時(shí)，總成立B.當(dāng)E向運(yùn)動(dòng)時(shí)，二面角逐漸變小C.二面角的最小值為D.三棱錐的體積為定值【答案】ACD【解析】對于A，連接，，，因?yàn)樗倪呅螢檎叫危?，又⊥平面，平面，所以，又，平面，所以平?因?yàn)槠矫?，所以，同理可證.因?yàn)?，平面，所以平面，因?yàn)槠矫妫钥偝闪?，故A正確.對于B，平面EFB即平面，平面EFA即平面，所以當(dāng)E向運(yùn)動(dòng)時(shí)，二面角的大小不變，故B錯(cuò)誤.對于C，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，所以，因?yàn)镋，F(xiàn)在上，且，故可設(shè)，，，則，由題知平面ABC的一個(gè)法向量為，設(shè)平面ABE的一個(gè)法向量為，則，解得，取，則，故，設(shè)二面角的平面角為，則為銳角，所以，又，所以當(dāng)時(shí)，取得最大值，取得最小值，故C正確；對于D，因?yàn)?，點(diǎn)A到平面EFB的距離即到平面的距離，為，所以，為定值，故D正確.故選：ACD12.已知拋物線的焦點(diǎn)為，過點(diǎn)作直線與拋物線交于兩點(diǎn)，則（）A.線段長度的最小值為B.當(dāng)直線斜率為時(shí)，中點(diǎn)坐標(biāo)為C.以線段為直徑的圓與直線相切D.存在點(diǎn)，使得【答案】ACD【解析】對于A：的焦點(diǎn)坐標(biāo)為，直線的斜率不為，設(shè)，，聯(lián)立可得，且，所以，所以，且，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，故A正確；對于B：因?yàn)?，所以，所以，所以，所以，即中點(diǎn)縱坐標(biāo)為，故B錯(cuò)誤；對于C：拋物線的準(zhǔn)線方程，設(shè)中點(diǎn)為，過點(diǎn)向準(zhǔn)線作垂線，垂足分別為，如下圖：由拋物線的定義可知：，即等于以為直徑的圓的半徑長，故C正確；對于D：當(dāng)時(shí)，。所以，由選項(xiàng)A可知：，所以，所以此時(shí)，所以的傾斜角互補(bǔ)，所以，故D正確；故選：ACD.第II卷（非選擇題共90分）三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13.已知，，，成等差數(shù)列，，，成等比數(shù)列，則的值是__________.【答案】【解析】因?yàn)椋?，，成等差?shù)列，所以，因?yàn)椋?，成等比?shù)列，所以，所以，故答案為：.14.若方程表示焦點(diǎn)在軸上的雙曲線，則實(shí)數(shù)的取值范圍為__________.【答案】【解析】因方程表示焦點(diǎn)在x軸上的雙曲線，則有，解得，故答案為：.15.如圖，在一個(gè)高為20，底面半徑為2的圓柱形乒乓球筒的上壁和下壁分別粘有一個(gè)乒乓球，下壁的乒乓球與球筒下底面和側(cè)面相切，上壁的乒乓球與球筒上底面和側(cè)面相切（球筒和乒乓球厚度均忽略不計(jì)）.一個(gè)平面與兩個(gè)乒乓球均相切，已知該平面截球筒邊緣所得的圖形為一個(gè)橢圓，請寫出此橢圓的一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)方程__________.【答案】或【解析】對圓柱沿底面直徑進(jìn)行縱切，如圖所示:切點(diǎn)為，與圓柱面相交于，此時(shí)可知即為橢圓的長軸，在直角三角形中，，又，所以，由平面與圓柱所截可知橢圓短軸即為圓柱底面直徑的長，即，所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為或，故答案為：或.16.在棱長為1的正方體中，點(diǎn)分別是棱的中點(diǎn)，是側(cè)面上的動(dòng)點(diǎn).且平面，則點(diǎn)的軌跡長為__________.點(diǎn)到直線的距離的最小值為__________.【答案】①②【解析】在正方體中，連接，如圖，對角面為矩形，因?yàn)辄c(diǎn)分別是棱的中點(diǎn)，則，而，即平面截正方體所得截面為梯形，顯然過點(diǎn)與平面平行的平面交平面、平面分別于，因此，連，平面、平面與平面分別交于，，因此，而，即四邊形為平行四邊形，于是，即點(diǎn)M為的中點(diǎn)，同理為中點(diǎn)，，因?yàn)閯?dòng)點(diǎn)始終滿足平面，于是平面，又在側(cè)面上，所以點(diǎn)的軌跡是線段，軌跡長為；以點(diǎn)D為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，則，則，令，則有，，于是點(diǎn)到直線的距離，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，所以點(diǎn)到直線的距離的最小值為.故答案為：；四、解答題：共70分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．17.已知圓的圓心在直線上且與y軸相切于點(diǎn).（1）求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）若直線l過點(diǎn)且被圓截得的弦長為，求直線l的方程.解：（1）圓的圓心在直線上且與軸切于點(diǎn)，可設(shè)圓心坐標(biāo)，則，解得，.所以圓心，半徑，故圓的方程為.（2）由直線l過點(diǎn)且被圓C截得的弦長為，根據(jù)圓的弦長公式，可得，即，解得，當(dāng)?shù)男甭什淮嬖跁r(shí)，的方程為，此時(shí)不滿足條件；當(dāng)?shù)男甭蚀嬖跁r(shí)，設(shè)直線的斜率為，則方程為，即，可得，解得或，所以直線方程為或.18.已知函數(shù).（1）若曲線在點(diǎn)處的切線與直線平行,求出這條切線的方程；（2）討論函數(shù)的單調(diào)性.解：（1）由題得,則在點(diǎn)處的切線與直線平行,即又曲線在點(diǎn)處的切線為即.（2）令得或（i）當(dāng)即時(shí),單調(diào)遞增極大值單調(diào)遞減極小值單調(diào)遞增（ii）當(dāng)即時(shí),恒成立,在上單調(diào)遞增,無單調(diào)遞減區(qū)間.（iii）當(dāng)即時(shí),單調(diào)遞增極大值單調(diào)遞減極小值單調(diào)遞增綜上所述,當(dāng)時(shí),的單調(diào)遞增區(qū)間為,,單調(diào)遞減區(qū)間為；當(dāng)時(shí),在上單調(diào)遞增,無單調(diào)遞減區(qū)間；當(dāng)時(shí),的單調(diào)遞增區(qū)間為,,單調(diào)遞減區(qū)間為.19.如圖，在平行六面體中，，，，，，，與相交于點(diǎn)．

（1）求；（2）求的長．解：（1）.（2）因?yàn)?，所以，所以的長為.20.數(shù)列為等差數(shù)列，數(shù)列為等比數(shù)列，且，，，公比．（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）若，證明：恒成立.解：（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為，，則，解得或（舍去），，.（2）由（1）得，，①，②①②得，，，，21.如圖，在斜三棱柱中，是邊長為的正三角形，且四棱錐的體積為.（1）求三棱柱的高；（2）若，平面平面，為銳角，求平面與平面的夾角的余弦值.解：（1）設(shè)三棱柱的高為，因?yàn)樗倪呅问瞧叫兴倪呅?，所以，所以，所以，所以，且，所以，即三棱柱的高?（2）過作，因?yàn)闉殇J角，所以垂足在線段上，記為，連接，因?yàn)槠矫嫫矫?，平面平面，平面，所以平面，又平面，所以，又因?yàn)椋?，又因?yàn)椋詾橹悬c(diǎn)，又因?yàn)闉榈冗吶切?，所以，由上可知：兩兩垂直，以為坐?biāo)原點(diǎn)，以方向?yàn)檩S的正方向，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，又因?yàn)?，所以，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，，所以，令，所以，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，，所以，令，所以，所以，所以平面與平面的夾角的余弦值為.22.已知橢圓的長軸長為4，離心率為，定點(diǎn)．（1）