《直線與平面垂直》第1課時同步學案

高中數(shù)學精選資源3/3《直線與平面垂直》第1課時課時同步學案問題情境導入下圖為北京第一高樓，高528m的北京中信大廈，又名中國尊，被評為“中國當代十大建筑”之一，擁有8項世界之最大樓與地面的位置關(guān)系是什么呢？新課自主學習自學導引1.一般地，如果直線l與平面內(nèi)的_____直線都垂直，那么稱直線l與平面垂直，記作_____.直線l稱為平面的_____，平面稱為直線l的_____，它們唯一的公共點稱為_____.2.直線與平面垂直的性質(zhì)定理：________________.3.如果一條直線與平面平行，那么這條直線上任意一點到平面的距離就是_________________.4.平面的一條斜線與它在平面上的所成的_____叫作這條直線與這個平面所成的角.答案1.任何一條垂線垂面垂足2.垂直于同一個平面的兩條直線平行3.這條直線到這個平面的距離4.投影銳角預習測評直線平面，直線，則l與m不可能（）A.平行B.相交C.異面D.垂直2.已知直線a，b，平面，且，下列條件中能推出的是（）A.B.C.D.b與相交3.兩條平行直線在平面內(nèi)的投影可能是：①兩條平行線；②兩條相交直線；③一條直線；④兩個點.上述四個結(jié)論中，可能成立的個數(shù)為（）A.1B.2C.3D.44.三棱錐PABC中，平面ABC，，則直線PB與平面ABC所成角的大小為_____.答案1.答案：A解析：由直線與平面垂直的定義可知，，l與m可能相交或異面，但不可能平行.2.答案：C解析：由直線與平面垂直的性質(zhì)定理可知，當，時，.3.答案：C解析：只有②不可能成立.4.答案：解析：因為平面ABC，所以斜線PB在平面ABC上的投影為AB，所以即為直線PB與平面ABC所成的角，在中，，所以，即直線PB與平面ABC所成的角為.新知合作探究探究點1直線與平面垂直的定義及性質(zhì)定理知識詳解1.直線與平面垂直的定義.文字語言圖形語言符號語言如果直線l與平面內(nèi)的任何一條直線都垂直，那么稱直線l與平面垂直，記作直線l稱為平面的垂線，平面稱為直線l的垂面，它們唯一的公共點P稱為垂足注意：畫直線與平面垂直時，通常把直線畫成與表示平面的平行四邊形的一邊垂直.2.直線與平面垂直的性質(zhì)定理.文字語言圖形語言符號語言垂直于同一個平面的兩條直線平行[特別提示]直線與平面垂直的定義可以作為性質(zhì)使用，由“線面垂直”推出“線線垂直”，即若一條直線與一個平面垂直，則這條直線與這個平面內(nèi)的任意一條直線都垂直；性質(zhì)定理揭示了“平行”與“垂直”之間的一種聯(lián)系，可以由兩條直線與一個平面垂直判定兩條直線平行.典例探究例1下列命題中正確的個數(shù)是（）A.如果直線l與平面內(nèi)的無數(shù)條直線垂直，則B.如果直線l與平面內(nèi)的一條直線垂直，則C.如果直線l不垂直于，則內(nèi)沒有與l垂直的直線D.如果直線l不垂直于，則內(nèi)也可以有無數(shù)條直線與l垂直解析對于A，無數(shù)條直線平行時，不一定成立；對于B，由直線與平面垂直的定義知垂直于一條直線無法判斷線面垂直”；對于C，如果直線l不垂直于，則內(nèi)存在與l垂直的直線.答案D變式訓練1如果直線l與平面不垂直，那么在平面內(nèi)（）A.不存在與l垂直的直線B.存在一條與l垂直的直線C.存在無數(shù)條與l垂直的直線D.任意一條都與l垂直答案C點撥若，顯然在內(nèi)存在無數(shù)條直線與l垂直；若，過l作平面，則，因為在內(nèi)存在無數(shù)條直線與垂直，從而在內(nèi)存在無數(shù)條直線與l垂直；若l與斜交，設(shè)交點為A，在l上任取一點P，過P作，垂足為Q，在內(nèi)存在無數(shù)條直線與AQ垂直，從而存在無數(shù)條直線與直線PA（即l）垂直.特別提示對于直線與平面垂直的定義，要注意“直線垂直于平面內(nèi)的所有直線”說法與“直線垂直于平面內(nèi)無數(shù)條直線”不是一回事，后者說法是不正確的，它可以使直線與平面斜交、平行或直線在平面內(nèi).例2直線a和b在正方體的兩個不同平面內(nèi)，使成立的條件是_____.（只填序號）①a和b垂直于正方體的同一個面；②a和b在正方體兩個相對的面內(nèi)，且共面；③a和b平行于同一條棱；④a和b在正方體的兩個面內(nèi)，且與正方體的同一條棱垂直.解析①為直線與平面垂直的性質(zhì)定理的應(yīng)用，②為面面平行的性質(zhì)，③為基本事實4的應(yīng)用.答案①②③變式訓練2在正方體中,直線(與直線不重合)平面,則有（）A.B.C.與異面D.與相交答案B點撥因為平面平面, 所以.探究點2直線與平面所成的角知識詳解斜線：一條直線和一個平面相交，但不與這個平面垂直，這條直線稱為這個平面的斜線.斜足：斜線與平面的交點.斜線在平面內(nèi)的投影：過斜線上斜足以外的一點向平面作垂線，過垂足和斜足的直線稱為斜線在這個平面上的投影.平面的一條斜線與它在平面上的投影所成的銳角，叫作這條直線與這個平面所成的角.直線與平面所成的角的取值范圍是.求直線與平面所成的角關(guān)鍵是作出斜線上一點到平面的垂線，找到這點的投影—垂足的位置.典例探究例3在正方體中,分別是的中點,則直線與平面所成的角的正切值為_____.解析如圖,平面,平面,則即為與平面所成的角,同時.又分別為的中點,為等腰直角三角形，.所以,直線與平面所成的角的正切值為1.答案1方法歸納求直線與平面所成的角一般有三個步驟：（1）作圖：作出所求的角及題中涉及的有關(guān)圖形等；（2）證明：證明所給圖形是符合題設(shè)要求的；（3）計算：在證明的基礎(chǔ)上計算得出結(jié)果.變式訓練3如圖,在四棱錐中,底面,且底面是平行四邊形,若,,求與底面所成的角的余弦值.答案由底面可知,即為與底面所成的角.又,所以是等邊三角形,所以.在中,,所以,即與底面所成的角的余弦值為.易錯易混解讀例已知平面外兩點A，B到平面的距離分別為1和2，A，B兩點在平面內(nèi)的投影之間的距離為，求直線AB和平面a所成的角錯解如圖所示：過點分別向平面作垂線,垂足分別為,設(shè)與平面相交于點為在平面上的投影,則點共線,∴或為與平面所成的角.則,由題意可知,.所以直線.所以直線與平面所成的角為.錯因分析解答本題時只考慮了A，B在平面同一側(cè)的情況，沒有考慮A，B在平面兩側(cè)的情況，導致出現(xiàn)漏解.正解(1)當點在平面的同側(cè)時,由錯解知直線與平面所成的角為;(2)當點位于平面的兩側(cè)時,如圖,過點分別向平面作垂線,垂足分別為,設(shè)與平面相交于點,則三點共線,為在平面上的投影,或為與平面所成的角.在,在中,.由題意可知,..,與平面所成的角為.綜合=1\*GB3①=2\*GB3②可知,直線與平面所成的角為或.糾錯心得已知平面外兩點到平面的距離分別為1和2，首先想到A,B兩點與平面的位置關(guān)系，可分點位于平中的同倒和點位于平面的兩倒兩種情況分別求解.課堂快速檢測1.已知直線平面,直線,則（）A.B.C.l,異面D.相交而不垂直 2.已知平面和直線,則內(nèi)至少有一條直線與（）A.異面B.相交C.平行D.垂直3.若斜線段是它在平面內(nèi)的投影長的2倍,則所在直線與所成的角為（）A.B.C.或D.或4.如圖,棱長為的正方體中,為中點,直線與平面所成的角的正切值為（）A.B.C.D.5.線段在平面的一側(cè),到平面的距離分別為3利5,則的中點到的距離為_____.6.點為所在平面外一點,平面,垂足為,若,則點是的_____.答案1.答案：A解析：根據(jù)直線與平面垂直的定義，若直線與平面垂直，則直線垂直于該平面內(nèi)的任意一條直線，因此.2.答案：D解析：若直線，內(nèi)至少有一條直線與l垂直；若l與相交，內(nèi)至少有一條直線與l垂直；若，內(nèi)至少有一條直桟與垂直.3答案：A解析：如圖，，垂足為C，，則BC是AB在平面內(nèi)的投影，所以是直線與平面所成的角.因為線段AB的長等于它在平面內(nèi)的投影