2024-2025學(xué)年新教材高中數(shù)學(xué)第6章統(tǒng)計3用樣本估計總體分布3.2頻率分布直方圖學(xué)案含解析北師大版必修第一冊

PAGE3.2頻率分布直方圖學(xué)習(xí)目標(biāo)核心素養(yǎng)1.學(xué)會用頻率分布表，畫頻率分布直方圖表示樣本數(shù)據(jù)．(重點)2．能通過頻率分布表或頻率分布直方圖對數(shù)據(jù)做出總體統(tǒng)計．(難點、易混點)1．通過對頻率分布直方圖畫法的學(xué)習(xí)，培育數(shù)據(jù)分析素養(yǎng)．2．通過與頻率分布直方圖有關(guān)的計算，培育數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)．1．頻率分布直方圖頻率分布直方圖中每個矩形的底邊長是該組的組距，矩形的高是該組的頻率與組距的比，從而矩形的面積等于這個組的頻率，即矩形的面積＝組距×eq\f(頻率,組距)＝頻率．我們把這樣的圖叫作頻率分布直方圖．頻率分布直方圖以面積的形式反映了數(shù)據(jù)落在各個小組的頻率的大?。?．頻率分布直方圖的應(yīng)用當(dāng)考慮數(shù)據(jù)落在若干個組內(nèi)的頻率之和時，可以用相應(yīng)矩形面積之和來表示．3．畫頻率分布直方圖的步驟(1)計算極差：即一組數(shù)據(jù)中最大值和最小值的差；(2)確定組距與組數(shù)：當(dāng)數(shù)據(jù)在120個以內(nèi)時，通常依據(jù)數(shù)據(jù)的多少分成5～12組，在實際操作中，一般要求各組的組距相等．(3)分組：按組距將數(shù)據(jù)分組，分組時，各組均為左閉右開區(qū)間，最終一組是閉區(qū)間．(4)列表：一般分四列：寬度分組、頻數(shù)、頻率、eq\f(頻率,組距)．其中頻數(shù)合計應(yīng)是樣本容量，頻率合計是1．(5)畫頻率分布直方圖：畫圖時，應(yīng)以橫軸表示分組，縱軸表示eq\f(頻率,組距)，其相應(yīng)組距上的頻率等于該組上的小長方形的面積．即每個小長方形的面積＝組距×eq\f(頻率,組距)＝頻率．4．頻率折線圖在頻率分布直方圖中，依據(jù)分組原則，再在左邊和右邊各加一個區(qū)間．從所加的左邊區(qū)間的中點起先，用線段依次連接各個矩形的頂端中點，直至右邊所加區(qū)間的中點，就可以得到一條折線，我們稱之為頻率折線圖．有時也用它來估計總體的分布狀況．隨著樣本容量的增大，所劃分的區(qū)間數(shù)也可以隨之增多，而每個區(qū)間的長度則會相應(yīng)隨之減小，相應(yīng)的頻率折線圖就會越來越接近于一條光滑曲線．思索：1.為什么須要用頻率分布直方圖對原始數(shù)據(jù)進(jìn)行整理？[提示]因為通過抽樣獲得的原始數(shù)據(jù)多而且雜亂，無法干脆從中理解它們的含義，并提取信息，也不便于我們用它來傳遞信息．正因為如此我們才用頻率分布直方圖來整理數(shù)據(jù)．2．為什么要對樣本數(shù)據(jù)進(jìn)行分組？[提示]不分組很難看出樣本中的數(shù)字所包含的信息，分組后，計算出頻率，從而估計總體的分布特征．1．如圖所示是一容量為100的樣本的頻率分布直方圖，則由圖中的數(shù)據(jù)可知，樣本落在[15，20]內(nèi)的頻數(shù)為()A．20B．30C．40D．50B[樣本數(shù)據(jù)落在[15，20]內(nèi)的頻數(shù)為100×[1－5×(0.04＋0.1)]＝30.]2．已知樣本10，8，10，8，6，13，11，10，12，7，9，8，12，9，11，12，9，10，11，10，那么頻率為0.2的范圍是()A．5.5～7.5 B．7.5～9.5C．9.5～11.5 D．11.5～13.5D[由題意知，共20個數(shù)據(jù)，頻率為0.2，在此范圍內(nèi)的數(shù)據(jù)有20×0.2＝4個，只有在11.5～13.5范圍內(nèi)有4個數(shù)據(jù)：13，12，12，12，故選D.]3．某地為了了解該地區(qū)10000戶家庭的用電狀況，采納分層隨機(jī)抽樣的方法抽取了500戶家庭的月平均用電量，并依據(jù)這500戶家庭的月平均用電量畫出頻率分布直方圖如圖所示，則該地區(qū)10000戶家庭中月平均用電度數(shù)在[70，80)的家庭有________戶．1200[依據(jù)頻率分布直方圖得該地區(qū)10000戶家庭中月平均用電度數(shù)在[70，80)的家庭有10000×0.012×10＝1200(戶).]頻率分布直方圖的繪制【例1】考察某校初二年級男生的身高，隨機(jī)抽取40名初二男生，實測身高數(shù)據(jù)(單位：cm)如下：171163163166166168168160168165171169167169151168170160168174165168174159167156157164169180176157162161158164163163167161(1)作出頻率分布表；(2)畫出頻率分布直方圖和頻率折線圖．[解](1)最低身高151，最高身高180，它們的極差為180－151＝29.確定組距為3，組數(shù)為10，列表如下：身高分組頻數(shù)頻率eq\f(頻率,組距)[150.5，153.5)10.0250.0083[153.5，156.5)10.0250.0083[156.5，159.5)40.10.0333[159.5，162.5)50.1250.0417[162.5，165.5)80.20.0667[165.5，168.5)110.2750.0917[168.5，171.5)60.150.05[171.5，174.5)20.050.0167[174.5，177.5)10.0250.0083[177.5，180.5]10.0250.0083(2)頻率分布直方圖和頻率折線圖如圖所示．繪制頻率分布直方圖應(yīng)留意的問題(1)在繪制出頻率分布表后，畫頻率分布直方圖的關(guān)鍵就是確定小矩形的高．一般地，頻率分布直方圖中兩坐標(biāo)軸上的單位長度是不一樣的，合理的定高方法是“以一個恰當(dāng)?shù)膯挝婚L度”(沒有統(tǒng)一規(guī)定)，然后以各組的“eq\f(頻率,組距)”所占的比例來定高．如我們預(yù)先設(shè)定以“”為1個單位長度，代表“0.1”，則若一個組的eq\f(頻率,組距)為0.2，則該小矩形的高就是“”(占兩個單位長度)，如此類推．(2)數(shù)據(jù)要合理分組，組距要選取恰當(dāng)，一般盡量取整，數(shù)據(jù)為30～100個左右時，應(yīng)分成5～12組，在頻率分布直方圖中，各個小長方形的面積等于各組的頻率，小長方形的高與頻數(shù)成正比，各組頻數(shù)之和等于樣本容量，頻率之和為1.eq\a\vs4\al([跟進(jìn)訓(xùn)練])1．如表所示給出了在某校500名12歲男孩中，用隨機(jī)抽樣得出的120人的身高(單位：cm).區(qū)間界限[122，126)[126，130)[130，134)[134，138)[138，142)人數(shù)58102233區(qū)間界限[142，146)[146，150)[150，154)[154，158]人數(shù)201165(1)列出樣本頻率分布表；(2)畫出頻率分布直方圖；(3)估計身高小于134cm的人數(shù)占總?cè)藬?shù)的百分比．[解](1)樣本頻率分布表如下：分組頻數(shù)頻率[122，126)50.04[126，130)80.07[130，134)100.08[134，138)220.18[138，142)330.28[142，146)200.17[146，150)110.09[150，154)60.05[154，158]50.04合計1201.00(2)其頻率分布直方圖如下：(3)由樣本頻率分布表可知，身高小于134cm的男孩出現(xiàn)的頻率為0.04＋0.07＋0.08＝0.19，所以我們估計身高小于134cm的人數(shù)占總?cè)藬?shù)的19%.頻率分布直方圖的應(yīng)用【例2】為了了解高一年級學(xué)生的體能狀況，某校抽取部分學(xué)生進(jìn)行一分鐘跳繩次數(shù)測試，將所得數(shù)據(jù)整理后，畫出頻率分布直方圖(如圖所示)，圖中從左到右各小矩形的面積之比為2∶4∶17∶15∶9∶3，其次小組的頻數(shù)為12.(1)其次小組的頻率是多少？樣本容量是多少？(2)若次數(shù)在110以上(含110次)為達(dá)標(biāo)，則該校全體高一年級學(xué)生的達(dá)標(biāo)率是多少？[解](1)其次小組的頻率為eq\f(4,2＋4＋17＋15＋9＋3)＝0.08.又因為其次小組的頻率＝eq\f(其次小組的頻數(shù),樣本容量)，所以樣本容量＝eq\f(其次小組的頻數(shù),其次小組的頻率)＝eq\f(12,0.08)＝150.(2)由直方圖可估計該校高一年級學(xué)生的達(dá)標(biāo)率為eq\f(17＋15＋9＋3,2＋4＋17＋15＋9＋3)×100%＝88%.頻率分布直方圖的性質(zhì)(1)因為小矩形的面積＝組距×eq\f(頻率,組距)＝頻率，所以各小矩形的面積表示相應(yīng)各組的頻率．這樣，頻率分布直方圖就以面積的形式反映了數(shù)據(jù)落在各個小組內(nèi)的頻率大?。?2)在頻率分布直方圖中，各小矩形的面積之和等于1.(3)樣本容量＝eq\f(頻數(shù),相應(yīng)的頻率).eq\a\vs4\al([跟進(jìn)訓(xùn)練])2．某高校調(diào)查了200名學(xué)生每周的自習(xí)時間(單位：小時)，制成了如圖所示的頻率分布直方圖，其中自習(xí)時間的范圍是[17.5，30]，樣本數(shù)據(jù)分組為[17.5，20)，[20，22.5)，[22.5，25)，[25，27.5)，[27.5，30].依據(jù)直方圖，這200名學(xué)生中每周的自習(xí)時間不少于22.5小時的人數(shù)是()A.56B．60C．120D．140D[由頻率分布直方圖可知每周自習(xí)時間不少于22.5小時的頻率為(0.16＋0.08＋0.04)×2.5＝0.7，故每周自習(xí)時間不少于22.5小時的人數(shù)為0.7×200＝140.故選D.]頻率分布與數(shù)字特征的綜合應(yīng)用[探究問題]1．什么是一組數(shù)據(jù)的眾數(shù)，中位數(shù)，平均數(shù)？提示：設(shè)一組數(shù)據(jù)為x1，x2，…，xn，則其中出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)是眾數(shù)，把這n個數(shù)據(jù)依據(jù)從小到大的依次排列，最“中間”的數(shù)就是中位數(shù)，即當(dāng)n為奇數(shù)時，中間的一個數(shù)就是本組數(shù)據(jù)的中位數(shù)；當(dāng)n為偶數(shù)時，中間的兩個數(shù)的平均數(shù)就是本組數(shù)據(jù)的中位數(shù)．本組數(shù)據(jù)的平均數(shù)eq\x\to(x)＝eq\f(x1＋x2＋…＋xn,n).2．如何利用頻率分布直方圖估計數(shù)據(jù)的眾數(shù)、中位數(shù)和平均數(shù)？提示：(1)眾數(shù)是最高的矩形的底邊的中點；(2)中位數(shù)左右兩側(cè)小矩形的面積相等；(3)平均數(shù)等于每個小矩形的面積乘以小矩形底邊中點的橫坐標(biāo)之和．【例3】某中學(xué)實行電腦學(xué)問競賽，現(xiàn)將高一參賽學(xué)生的成果進(jìn)行整理后分成五組，繪制成如圖所示的頻率分布直方圖，已知圖中從左到右的第一、二、三、四、五小組的頻率分別是0.30，0.40，0.15，0.10，0.05.求：(1)高一參賽學(xué)生成果的眾數(shù)、中位數(shù)；(2)高一參賽學(xué)生的平均成果．[思路點撥](1)依據(jù)頻率分布直方圖的數(shù)據(jù)，最高小矩形的底邊中點就是數(shù)據(jù)的眾數(shù)，數(shù)據(jù)的中位數(shù)左右兩邊的面積和相等，都等于0.5；(2)平均數(shù)等于每個小矩形的面積乘以小矩形底邊中點的橫坐標(biāo)之和．[解](1)由題圖可知眾數(shù)為65，又∵第一個小矩形的面積為0.3，∴設(shè)中位數(shù)為60＋x，則0.3＋x×0.04＝0.5，得x＝5，∴中位數(shù)為60＋5＝65.(2)依題意，eq\x\to(x)＝55×0.3＋65×0.4＋75×0.15＋85×0.1＋95×0.05＝67，∴平均成果約為67分．1．在本例中若高一參賽學(xué)生的人數(shù)為1000，若規(guī)定成果不低于80分者為優(yōu)秀選手，那么高一年級參賽學(xué)生中共有多少名優(yōu)秀選手？[解]由頻率分布直方圖可知，高一年級參賽學(xué)生中的優(yōu)秀選手共有1000×10(0.005＋0.01)＝150(名).2．若本例中的頻率分布直方圖換為下圖．(1)求圖中的數(shù)字；(2)依據(jù)頻率分布直方圖估計該組數(shù)據(jù)的中位數(shù)．[解](1)由10(0.005＋a＋0.025＋0.035＋0.01＋0.01)＝1，解得a＝0.015.(2)由頻率分布直方圖可知第1組的頻率為0.05，第2組的頻率為0.15，第3組的頻率為0.25，第4組的頻率為0.35，所以設(shè)該組數(shù)據(jù)的中位數(shù)為70＋x，則0.45＋x×0.035＝0.5，得x≈1.43，∴中位數(shù)為70＋1.43＝71.43.1．利用頻率分布直方圖估計數(shù)字特征(1)眾數(shù)是最高的矩形的底邊的中點；(2)中位數(shù)左右兩側(cè)小矩形的面積相等；(3)平均數(shù)等于每個小矩形的面積乘以小矩形底邊中點的橫坐標(biāo)之和．2．利用直方圖求眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)均為估計值，與實際數(shù)據(jù)可能不一樣．1．總體分布指的是總體取值的頻率分布規(guī)律，由于總體分布不易知道，因此我們往往用樣本的頻率分布去估計總體的分布．2．當(dāng)總體中的個體取值較多時，將樣本數(shù)據(jù)恰當(dāng)分組，用各組的頻率分布描述總體的分布，方法是用頻率分布表或頻率分布直方圖．3．繪制頻率分布直方圖的步驟：(1)計算極差，(2)確定組距與組數(shù)，(3)分組，(4)列頻率分布表，(5)繪制頻率分布直方圖．1．思索辨析(正確的畫“√”，錯誤的畫“×”)(1)頻率分布直方圖中小長方形的高表示該組上的個體在樣本中出現(xiàn)的頻率與組距的比值． ()(2)頻率分布直方圖中小矩形的面積表示該組的個體數(shù)． ()(3)頻率分布直方圖中全部小長方形面積之和為1. ()[提示](1)正確．(2)錯誤．頻率分布直方圖中小矩形的面積表示該組的頻率．(3)正確．[答案](1)√(2)×(3)√2．為了探討某藥品的療效，選取若干名志愿者進(jìn)行臨床試驗，全部志愿者的舒張壓數(shù)據(jù)(單位：kPa)的分組區(qū)間為[12，13)，[13，14)，[14，15)，[15，16)，[16，17]，將其按從左到右的依次分別編號為第一組，其次組，…，第五組，如圖是依據(jù)試驗數(shù)據(jù)制成的頻率分布直方圖．已知第一組與其次組共有20人，第三組中沒有療效的有6人，則第三組中有療效的人數(shù)為()A.6B．8C．12D．18C[志愿者的總?cè)藬?shù)為eq\f(20,（0.24＋0.16）×1)＝50，所以第三組人數(shù)為50×0.36×1＝18，所以有療效的人數(shù)為18－6＝12.]3．某中學(xué)舉辦電腦學(xué)問競賽，滿分為100分，80分以上為優(yōu)秀(含80分).現(xiàn)將高一兩個班參賽學(xué)生的成果進(jìn)行整理后分成5組，繪制成頻率分布直方圖如圖所示．已知圖中從左到右的第一、三、四、五小組的頻率分別為0.30、0.1