備考2024年中考數(shù)學(xué)專題突破專題2-1 將軍飲馬等8類常見最值問題（解析版）

專題2-1將軍飲馬等8類常見最值問題

兩定一動(dòng)型（線段和差最值問題）

題型后雙動(dòng)點(diǎn)最值問題（兩次對(duì)稱）

動(dòng)線段問題：造橋選址（構(gòu)造平行四邊形）

酶國垂線段最短

匙蜜五相對(duì)運(yùn)動(dòng)平移型將軍飲馬

通過瓜豆得出軌跡后將軍欽馬

化斜為直，斜大于直

豳四不構(gòu)造二次函數(shù)模型求最值

,一■???一■??-

一、單動(dòng)點(diǎn)問題

【問題1】在直線/上求一點(diǎn)匕使總+PB最小

問題解決：連接4B,與/交點(diǎn)即為P,兩點(diǎn)之間線段最短以+P8最小值為A8

A

B

【問題2］在直線/上求一點(diǎn)P,使PA+PB最小

問題解決：作8關(guān)于/的對(duì)稱點(diǎn)8=P8=P8,則%+PB=?\+PB',當(dāng)A,尸，8共線時(shí)取最小,

原理：兩點(diǎn)之間線段最短，即南+尸8最小值為A8

【問題3】在直線/上求一點(diǎn)P,使|%—P用最大

問題解決：連接A8,當(dāng)A,B,尸共線時(shí)取最大

原理：三角形兩邊之和大于第三邊，在△A8P中,\PA-PB'\^AB'

【問題4】在直線/上求一點(diǎn)P,使|%一。陽最大

問題解決：作B關(guān)于直線/的對(duì)稱點(diǎn)B'=PB=PB',\PA-PB\=\PS-PB'\

原理：三角形兩邊之和大于第三邊，連接人8,在△八B'P中|%一刊?'區(qū)48

二、雙動(dòng)點(diǎn)問題（作兩次對(duì)稱）

【問題5】在直線乙，4上分別求點(diǎn)M,N,使△PMN周長最小

問題解決：分別作點(diǎn)。關(guān)于兩直線的對(duì)稱點(diǎn)P'和戶'，PM=P'M,PN=P"N,

原理：兩點(diǎn)之間線段最短，尸，P',與兩直線交點(diǎn)即為M,N,則AM+歷N+PN的最小值為線段P'P”

的長

【問題6】P,。為定點(diǎn)，在直線4,4上分別求點(diǎn)M,N,使四邊形PQMN周長最小

問題解決：分別作點(diǎn)P,Q關(guān)于直線4,的對(duì)稱點(diǎn)P'和。，PM=FM,QN=Q'N

原理：兩點(diǎn)之間線段最短，連接P'Q',與兩直線交點(diǎn)即為M,N,則PM+MN+QN的最小值為線段

尸Q，的長，周長最小值為產(chǎn)。'+尸。

【問題7】4,B分別為4，4上的定點(diǎn)，M,N分別為4,匕上的動(dòng)點(diǎn)，求AN+MV+BM最小值

問題解決：分別作A,區(qū)關(guān)于4,4的對(duì)稱點(diǎn)4,B',則A/V=4'N,BM=B'M,A'夕即所求

原理：兩點(diǎn)之間距離最短，A,N,M,B'共線時(shí)取最小，則4N+MN+BM=AW+MN+B'MW4b

三、動(dòng)線段問題（造橋選址）

【問題8】直線〃?〃〃，在〃I,/?上分別求點(diǎn)M,N,使且AM+MN+8N的最小值

問題解決：將點(diǎn)3向上平移MN的長度單位得8,連接當(dāng)共線時(shí)有最小值

原理：通過構(gòu)造平行四邊形轉(zhuǎn)換成普通將軍飲馬，AM+MN+BN=AM+MN十B'MWAB'+MN

AA

【問題9】在直線/上求兩點(diǎn)M,N（M在左）且MN=a,求AA/+MN+BN的最小值

問題解決：將8點(diǎn)向左移動(dòng)。個(gè)單位長度，再作8關(guān)于直線/的對(duì)稱點(diǎn)8"，當(dāng)AZTM共線有最小值

原理：通過平移構(gòu)造平行四邊M'MNn8V=廳/=6'"，

4W+M/V+3N=AM+MN+3"M<A3"

B”

四、垂線段最短

【問題10】在直線4，6上分別求點(diǎn)A,B,使P8+A8最小

問題解決：作P關(guān)于〃的對(duì)稱點(diǎn)P',作產(chǎn)AJL《于A,交4于8,P'A即所求

原理：點(diǎn)到直線，垂線段最短，PB+AB=P'B^AB<P'A

五、相對(duì)運(yùn)動(dòng)，平移型將軍飲馬

【問題11］在直線/上求兩點(diǎn)M，N（M在左）且MN=a,求AM+4N的最小值

問題解決：相對(duì)運(yùn)動(dòng)或構(gòu)造平行四邊形

策略一：相對(duì)運(yùn)動(dòng)思想

過點(diǎn)人作MN的平行線，相對(duì)MN,點(diǎn)八在該平行線上運(yùn)動(dòng)，則可轉(zhuǎn)化為普通飲馬問題

策略二：構(gòu)造平行四邊形等量代換，同問題9.

六、瓜豆就跡，手拉手藏航跡

【問題12］如圖，點(diǎn)。在直線/3C上運(yùn)動(dòng)，將點(diǎn)P繞定點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°,得到點(diǎn)Q,求Q點(diǎn)

軌跡？

問題解決：當(dāng)AP與AQ夾角固定且人戶:AQ為定值的話，P、Q軌跡是同一種圖形.當(dāng)確定軌跡是線

段的時(shí)候，可以任取兩個(gè)時(shí)刻的。點(diǎn)的位置，連線即可，比如。點(diǎn)的起始位置和終點(diǎn)位置，連接即

得。點(diǎn)軌跡線段.

原理：由手拉手可知△ABC經(jīng)△A。。子故NAQzQ=NACB,故Q點(diǎn)軌跡為直線

七、化斜為直，斜大于直

【問題13］己知：AD是R/A4BC斜邊上的高

AH

(1)求U的最大值；(2)若AO=2,求AC的最大值

BC

問題解決：取8。中點(diǎn)M,(1)則竺＜4"二?。?2)BC=2AM＜2AD=4

BCBC2

八、構(gòu)造二次函數(shù)求最值

這類問題一般無法通過純幾何方法來解決或幾何方法比較復(fù)雜，需要通過面積法或者構(gòu)造全等、相

似建立等量關(guān)系，將待求的線段或圖形的面積用含有自變量的式子來表示，一般是一個(gè)二次函數(shù)或

者換元后是一個(gè)二次函數(shù)，然后通過配方得到最值.當(dāng)然，配方的目的是為了避開基本不等式這個(gè)

超綱的知識(shí)點(diǎn)，如果是選擇題或填空題，你可以直接用基本不等式來秒殺，不需要配方.

【問題14］正方形A8CO的邊長為6,點(diǎn)。在邊CQ上，且CD=3CQ,/＞是邊8c上一動(dòng)點(diǎn)，連接P。,

過點(diǎn)P作EPJ_PQ交八3邊于點(diǎn)E,設(shè)8P的長為x,則線段把長度的最大值為.

問題解決：根據(jù)題意，作出圖形，根據(jù)兩個(gè)三角形相似的判定得到△PCQs△石8。，進(jìn)而根據(jù)相似

I,9

比得到BE=-1(x-3)-+二，利用二次函數(shù)求最值方法求解印可得到答案

2/2

【詳解】易知..△PC。-△EBP,.?.空二上，

RPBE

26-v

；CD=3CQ,CD=6,：,QC=2,=

xBH

???^=1A(6-A)=-1(A2-6A)=-1(A-3)2+1(O<A<6),

乙乙乙L

8E=—g（x—3）2+g在x=3時(shí)有最大值，最大，直為￡

2

任雙峰心?題1

兩定一動(dòng)型（線段和差最值問題）

1.（2023西安模擬預(yù)測）如圖，正方形八8。力的邊長為4,點(diǎn)M在邊8C上，A/C=l,P為正方

形內(nèi)（含邊上）一點(diǎn)，且$外8二;S正方體械dG為邊CD上一動(dòng)點(diǎn),連接MGGP,則MG+GP的

最小值為一.

（分析］先確定組成點(diǎn)P的所有點(diǎn)為過4），BC的中點(diǎn)￡,尸的線段EF，作點(diǎn)M關(guān)于CD的對(duì)稱點(diǎn)M"

連接WG,證明"戶的氏為MG+GP的最小值，因此求出M戶的長即可.

【詳解】解：過點(diǎn)。作所〃AB,分別交AD8C于點(diǎn)￡F,

???四邊形48co是正方形，

???四邊形ABFE和四邊形“CD都是矩形，

,:S；S正方體ABCD,正方形ABCD的邊長為4,

-x4E4=-x42，

24

解得￡4=2,

CF=DE=AD-AE=4-2=2,

AB

作點(diǎn)M關(guān)于C。的對(duì)稱點(diǎn)AT，連接WG,

則〃G=MG,M'C=MC=\,

...MG+GP=M'G+GPNM'F,

：.MG+GP的最小值為M'F的長，

M'F=M'C+CF=1+2=3,

???MG+G0的最小值為3

2.透明圓柱形容器（容器厚度忽略不計(jì)）的高為12cm,底面周長為10cm,在容器內(nèi)壁離底部3cm

的點(diǎn)B處有一飯粒，此時(shí)一只螞蟻正好在容器外壁且離容器上沿3cm的點(diǎn)A處.求螞蟻吃到飯

粒需要爬行的最短路程是多少？

螞蚊力

B

【答案】13

【詳解】???高為12cm,底面周長為10cm,在容器內(nèi)壁離容器底部3cm的點(diǎn)8處有一飯粒,

此時(shí)壁虎正好在容器外壁，離容器上沿3cm與飯粒相對(duì)的點(diǎn)A處，

???A'O=5cm,8Q=12-3+AE=12cm,

工將容器側(cè)面展開，作A關(guān)于石廠的對(duì)稱點(diǎn)A',

連接A'B,則A'8即為最短距離，

A，^=4AD2+BD2=^（叩）.

3.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，R3OA8的頂點(diǎn)A在x軸的正半軸上.頂點(diǎn)4的坐標(biāo)為（3,G）,

點(diǎn)。的坐標(biāo)為（1,0）,且NAO8=30。點(diǎn)尸為斜邊。4上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則以+PC的最小值為（）

A.V2B.73C.x/7D.VTl

【答案】C

【分析】過點(diǎn)C作C關(guān)于OB的對(duì)稱點(diǎn)C，，連接AC與OB相交，根據(jù)軸對(duì)稱確定最短路線得AC

與0B的交點(diǎn)即為所求的點(diǎn)P,PA+PC的最小值=AC',過點(diǎn)C作CD_L0A于D,求出CC\NOCC=60。，

再求出CD、CD,然后求出AD,再根據(jù)勾股定理列式計(jì)算即可得解.

【詳解】解：如圖，過點(diǎn)C作C關(guān)于OB的對(duì)稱點(diǎn)C',連接AC'與0B相交，

則AC與0B的交點(diǎn)即所求的點(diǎn)P,PA+PC的最小值=人（7,

過點(diǎn)C作CD_LOA于D,

???點(diǎn)C的坐標(biāo)為（1,0）,且NAOB=30。,

???/0（2090。-30。二60。，

OC=1,CC=2xlxi=i,

ACD=y,CD=0

-2

???頂點(diǎn)B的坐標(biāo)為（3,G）,點(diǎn)C的坐標(biāo)為（I,0）,ZOAB=90°,

AAC=3-1=2,

???AD=2+瀉，

在RSACD中，由勾股定理得，AC7czy+AD2=J（用=/

4.如圖，點(diǎn)A,/?在直線MN的同側(cè)，A到VN的距離AC=8,B到MN的距離4。=5,已知CO=4,

。是直線MN上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，記E4+QA的最小值為|以-必|的最大值為b,則片一〃的值

為（）

A.160B.150C.140D.130

【答案】A

【分析】作點(diǎn)A關(guān)于直線MN的對(duì)稱點(diǎn)4,連接43交直線MN于點(diǎn)P,則點(diǎn)P即為所求點(diǎn)，過點(diǎn)

4作直線AE_L8D,在根據(jù)勾股定理求出線段A'8的長，即為PA+PB的最小值，延長AB交MN于

點(diǎn)P,此時(shí)=由三角形三邊關(guān)系可知因，故當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到P，時(shí)|冏最

大，過點(diǎn)B作跖1AC由勾股定理求出AB的長就是|姑-尸身的最大值，代入計(jì)算即可得.

【詳解】解：如圖所示，作點(diǎn)A關(guān)于直線MN的對(duì)稱點(diǎn)A,連接AA交直線MN于點(diǎn)P,則點(diǎn)P即

為所求點(diǎn)，過點(diǎn)A作直線A￡_L5D,

VAC=8,4。=5,CD=4,

???A'C=8,8E=8+5=13,AfE=CD=4,

在RfA'EB中,根據(jù)勾股定理得，

,A'B^BE+A'E=32+42=V185,

即PA+PB的最小值是a=/在；

如圖所示，延長AB交MN于點(diǎn)〃，

"A-PB=AB,AB>\PA-PB\,

???當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到P，點(diǎn)時(shí)，|H4-尸耳最大,

過點(diǎn)B作BE_LAC,則BE=CQ=4,

，AE=AC-BD=S-5=3t

在用4班中，根據(jù)勾股定理得，

AB=\IAE2+BE2=5/32+42=5t

：.\PA-PB\=5t

即Z?=5,A^2-/?2=(>/i85)2-52=160

5.如圖，在矩形ABCD中，AB=3,BC=5.動(dòng)點(diǎn)P滿足S△雙=^S矩形AMD.則點(diǎn)P到B,C兩點(diǎn)距離

o

之和PB+PC的最小值為o

【答案】向

【解答】解：設(shè)△P8C中邊上的高是九

?仁LB?8C,

23

2

3

，動(dòng)點(diǎn)。在與8c平行且與8c的距離是2的直線/上，如圖，作8關(guān)于直線/的對(duì)稱點(diǎn)瓦連接CE,

則CE的長就是所求的最短距離.

在RiaBCE中，?.?BC=5,BE=2+2=4,

:心={+BE?=752+42=向，

即08+PC的最小值為歷

6.（2023?泰州?三模）如圖，在矩形A8CO中，AB=5cm,BC=6cm,點(diǎn)E在直線4。上，從點(diǎn)A

出發(fā)向右運(yùn)動(dòng)，速度為每秒0.5cm,點(diǎn)F在直線4c上，從點(diǎn)13出發(fā)向右運(yùn)動(dòng)，速度為每秒2cm,

BE、A/，相交于點(diǎn)G,則4G+CG的最小值為cm.

【答案】10

【分析】過點(diǎn)G作直線MN/8c,分別交AD、BC于點(diǎn)、M、N,過點(diǎn)G作直線PQ//CD,分別交AB、

DC于點(diǎn)、P、Q,易知四邊形ABNAf、PBNG、GNCQ為矩影，證明‘GAEs,GFB,由相似三角形

的性質(zhì)可得坐=空：設(shè)區(qū)?兩點(diǎn)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為/，則AE=05f,BF=2/,易得GM=lcm,GN=4cm；

BFCJN

作點(diǎn)C關(guān)于直線尸Q的對(duì)稱點(diǎn)K,由軸對(duì)稱的性質(zhì)可得CG=KG,故當(dāng)8、G、K三點(diǎn)共線時(shí)，

8G+KG的值最小，即8G+CG取最小值，此時(shí)，在RtZXBCK中，由勾股定理求得BK的值，即可

獲得答案.

【詳解】解：如下圖，過點(diǎn)G作直線分別交A。、4c于點(diǎn)M、N,過點(diǎn)G作直線尸。〃C。,

分別交A8、OC于點(diǎn)尸、Q,

易知四邊形八8VN、PBNG、GNCQ為矩形，MN=AB=5cm,

???四邊形48CD為矩形，

AAD//BC,AB//DC

:.NGAE=/GFB,NGEA=/GBF,

:...GAEs,.GFB.

.AE_GM

'?BFiGN'

設(shè)E、廠兩點(diǎn)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為/,則A￡=0.5，，BF=2l,

“GM0.5/1,八八

則有——=—=-,即GN=4GN,

GN2t4

;MN=5cm,

/.GM=1cm,GN=4cm,

?.?四邊形GNC0為矩形，

?.QC=GN=4cm,

作點(diǎn)C關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)K,如圖，

則QK=QC=4cm,KC=QK+QC=8cm,

由軸對(duì)稱的性質(zhì)可得CG=KG,

當(dāng)B、G、K三點(diǎn)共線時(shí)，BG+KG的值最小，即BG+CG取最小值,

此時(shí)，在Rtz\3CK中，BK7BC?+KC?=招+6=10cm.

工4G+CG的最小值為10cm

7.已知x,義S滿足§=J(x+2/+(),一3尸+J(+一2)2+(),一6/,則S的最小值為.

【答案】5

【分析】根據(jù)J(x+2)2+(y_3『表示平面內(nèi)點(diǎn)(X)，)與(一2,3)之間的距離，&］一2)2+()，-6)2表示平

面內(nèi)點(diǎn)(蒼y)與(2,6)之間的距離,得出當(dāng)點(diǎn)(x,y)在(-2,3)與(2,6)之間的線段上時(shí),這兩個(gè)距離之

和最小，求出這個(gè)最小距離即可.

【詳解】解：???+2產(chǎn)+()，-3產(chǎn)表示平面內(nèi)點(diǎn)(X,)，)與(—2,3)之間的距離,J(x_2)2+(y—6尸表示

平面內(nèi)點(diǎn)(x,y)與(2,6)之間的距離，

As=7(x+2)2+(y-3)2+7(x-2)2+(y-6)2表示這兩個(gè)距離之和，

???兩點(diǎn)之間線段最短，

???當(dāng)點(diǎn)(%,y)在(-2,3)與(2,6)之間的線段上時(shí)，這兩個(gè)距離之和最小，

???S的最小值為J(-2-2『+(3-6『=5.

8.探究式子GTT+戈二不3(x20)的最小值.小胖同學(xué)運(yùn)用“數(shù)形結(jié)合”的思想：如圖,取

八3=4,作AC_LA8于A.八3于3,且4C=1,BD=1,點(diǎn)E在AB上,設(shè)=則

3E=4-x,于是,y/7+i=CE，+1=。七，因此,可求得CE+DE的最小值為,

已知y=J(x+5)2+52-Jf+32(x20),則>的最大值是.

【分析】作C關(guān)于A4的對(duì)稱點(diǎn)尸，連接切交4?于連接CO,利用勾股定理求CE+OE的最

小值即可；構(gòu)造圖形如圖，過點(diǎn)。作力M/AC交AC于M,求y的最大值結(jié)合三角形的三邊關(guān)系，

根據(jù)矩形的性質(zhì)，利用勾股定理進(jìn)行計(jì)算即可得到答案.

【詳解】解：如圖，作。關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)尸，連接尸。交45于￡,連接CO,

Cr^-...................刁。

A\"E'EB'

F

則》=AC=1,CE=FE,

此時(shí)CE+OE的值最小為：CE+DE=FE+DE=DF,

ACLAB,BD±AB,

:.AC//BD,

VAC=BD=\,

四邊形A8OC是平行四邊形，

./GW=90。，

???西邊形A8DC是矩形，

/./FCD=90°,CD=AR=^,

-CF=CA+AF=2,

DF=VCF2+CD2=V22+42=26

如圖，ZA=90°MC=5,AB=5,BD=3,BE=x,

M')CE=752+(5+X)2,DE="+32,

:CE-DE<CD,

:.CE-OE的最大值為。。的長度，

過點(diǎn)。作。M/AC交AC于揚(yáng)，

則四邊形AWM/為矩形，

：.DM=AB=5,AM=BD=3f

:.CM=2,

:.CD=y/CM~+DM2=,2?+52=V29，

??.)’的最大值為J西

9.如圖,4、B兩點(diǎn)在直線MN外的同側(cè),A到MN的距離AC=16,8至IJMN的距離3。=10,C￡>=8,

點(diǎn)P在直線MN上運(yùn)動(dòng)，貝ij|以-叫的最大值等于.

A

【分析】延長AB交MN于點(diǎn)產(chǎn)，過點(diǎn)8作陽1AC,由題意可知R4—產(chǎn)B=習(xí)24—陽，即說

明當(dāng)點(diǎn)尸運(yùn)動(dòng)到尸點(diǎn)時(shí)，|PA-尸邳最大，即為4B的長.最后根據(jù)勾股定理求出A8的長即可.

【詳解】解：如圖，延長4?交MN于點(diǎn)〃，過點(diǎn)B作BE14C,

???當(dāng)點(diǎn)尸運(yùn)動(dòng)到尸點(diǎn)時(shí)，|PA-P8|最大，即為的長.

???80=10,CO=8,AC=16,

???BE=CD=8,AE=AC-CE=AC-I3D=]6-10=6,

?**AB=JAEMBE?=V62+82=10,

???歸4-所|的最大值等于10

10.已知：如圖，在矩形ABC。中，48=3,AO=4.動(dòng)點(diǎn)尸為矩形ABC。內(nèi)一點(diǎn)，且滿足

SAPBC=TS炸形ABCO?則AADP周氏的最小值為--------?

【答案】4+2石

【分析】過點(diǎn)P作MN_LA。，交A。于點(diǎn)M,交8C于點(diǎn)N,由S^BC=；S矩形獨(dú)四，可得PN=；MN=2,

過P點(diǎn)作G////AD,交于點(diǎn)G,交CD于點(diǎn)、H,作A點(diǎn)關(guān)于G"的對(duì)稱點(diǎn)A,連接AO與G”交

點(diǎn)即為所求點(diǎn)P,在心△A4D中，AD=4,AA=2,即可求AO=26.

【詳解】解：過點(diǎn)、P作MNJ.AD,交八。于點(diǎn)M,交8。于點(diǎn)N,

SwBC=§S趴彩ABCD，

.??LXBCXPN=LXBCXMN,

23

:.PN=^MN,

3，

???AB=3,

:.MP=1,

過尸點(diǎn)作G，//AD,交A8于點(diǎn)G,交。。于點(diǎn)”，作A點(diǎn)關(guān)于GH的對(duì)稱點(diǎn)A,連接AO與GH交

點(diǎn)即為所求點(diǎn)

???AP=A'P,

:.AP+PD=AD,

???AG=L

：.AA'=2,

在心△A4'Z）中，4）=4,AA'=2,

AfD=2石，

二A4￡）P周長的最小值2石+4,

故答案為4+2行.

2022?綏化?中考真題

II.在平面直角坐標(biāo)系中，已知一次函數(shù)y=攵/+〃與坐標(biāo)軸分別交于A（5,o）,兩點(diǎn)，且與

k5

反比例函數(shù)必=乜的圖象在第一象限內(nèi)交于P，K兩點(diǎn)，連接。P,△OAP的面積為

x4

⑴求一次函數(shù)與反比例函數(shù)的解析式；

（2）若C為線段。4上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)PC+KC最小時(shí)，求.PKC的面積.

【答案】⑴,=一;X+￡,%=2.；*

22x5

【詳解】（1）解：???一次函數(shù)y=Kx+8與坐標(biāo)軸分別交于A（5,o）,B'o1）兩點(diǎn),

乙）

???把A(5,0),代入y=&/+/?得,

5。+。=0k.=--

2

八5,解得，,

5'

'=5bR=—

2

一次函數(shù)解析式為y=一］“+g5

：.OA=5,

又SAP&O=~'

\-x5xPH=-

t24

PH==,

2

151

——x+-=—,

222

x=4.

P(4.5)

???P(4,5)在雙曲線上，

k-,=4x—=2,

2

.2

??y2=—.

x

(2)解：作點(diǎn)K關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)K',連接KK'交工軸于點(diǎn)則K',-2),OM=T,

連接尸K'交x軸于點(diǎn)C,連接KC,則PC+KC的值最小，

設(shè)直線PK'的解析式為y=^vc+n,

m+n=-2

把P(4,；),K'(l,-2)代入得，?

.1

4m+n=—

2

5

m=—

6

解得，

17

n=------

6

517

直線PK'的解析式為y――x-----,

66

當(dāng)),=0時(shí)，fx-^=0,解得，x=—,AC(—,0)AOC=—

66555

171717Q

：.MC=OC-OM=--\=—,AC=OA-OC=5--=-fAM=OA-OM=5-\=4t

=1X4X2-1X^X2-1X^X16

2252525

S雙動(dòng)點(diǎn)最值問題（兩次對(duì)稱）

12.如圖所示，E為邊長是2的正方形ABCD的中點(diǎn)，M為BC上一點(diǎn)，N為CD上一點(diǎn)，連EM、

MN、NA,則四邊形AEMN周長的最小值為。

,延長AB至&,使BE=BE',連接A'E,,

交BC于M,交。。于M此時(shí)AN=AfN,EM=E,M,四邊形AEMN周長=AN+MN+ME+AE=A'

Ef+AE,根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短，A'￡'+4上就是四邊形AEMN周長的最小值；

\*AD=2,AE=BE=I,

???A'D=AD=2,BE=BE,=1,

：.AEf=3,AA,=4,

E，+=5,

???四邊形AEMN周長的最小值為5+1=6.

13.（2023?淄博?一模）如圖，在四邊形A8CD中，"=N0=9O。，ND4B=140。，M,N分別是

邊DC,BC上的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)6AMN的周長最小時(shí)，NMAN=

D

M

BNC

【答案】100

【分析】作點(diǎn)人關(guān)于8、CB的對(duì)稱點(diǎn)從F,連接EF分別交C。、CB于點(diǎn)、H、G,連接A”、AG.

EM、FN,則當(dāng)點(diǎn)股與點(diǎn)〃重合，點(diǎn)N與點(diǎn)G重合時(shí)，jAMN的周長最小，則易得N'A"W的大

小.

【詳解】解：如圖，作點(diǎn)A關(guān)于CD、CB的對(duì)稱點(diǎn)、E、F,連接E/分別交C。、CB于點(diǎn)、H、G,連

接47、AG、EM、FN,

由對(duì)稱性知：EM=AM,EH=AH,NF=NA,GF=GA,

:.AM+MN+NA=EM+MN+NFNEF,

???當(dāng)點(diǎn)M與點(diǎn)”重合，點(diǎn)N與點(diǎn)G重合時(shí)，,AMN的周長最??；

VGA=GF,EH=AH、

：.ZGAF=ZGrA,〃IEA=〃IAE,

：.ZAGH=2ZGFA,ZAHG=2/HEA

???ND48=140。，

???ZGFA+ZHEA=180O-ZDAB=40°,

ZAGH+ZA/7G=2ZG4F+2ZHE4=2x40o=80°,

...NGAH=180°-(ZAGH+ZAHG)=180°-80°=100°,

即NM4N=1(X)°,

故答案為：100.

14.四邊形ABCD中，ZBAD=125°,ZB=ZD=90°,在BC、CD上分別找一點(diǎn)M、N,當(dāng)三角形AMN

周長最小時(shí)，/MAN的度數(shù)為。

D

【答案】70

使得D4〃=AD,

VZABC=ZADC=90°,

???A、A'關(guān)于6c對(duì)稱，A、A〃關(guān)于CD對(duì)稱，

此時(shí)的周長最小，

*：BA=BA,,MB上AB,

：.MA=MA/,同理：NA=NN',

???"=NMA/3,NA〃=/NAD,

VZAMN=ZAz+NM48=2NA',N4NM=NA〃+NNAD=2NA",

：.4AMN+4ANM=2(N/V+N4〃),

VZBAD=\25°,

???NA'+N4〃=180°-ZBAD=55°,

???NAMN+NANM=2X55°=110°.

???NM4N=180°-110°=70°,故答案為：70°

15.(2023?西安?二模)如圖，在四邊形A8CO中，ZB=ZD=90°,N8A￡>=120°,AB=2,AD=4,

尸、Q分別是邊8C、C。上的動(dòng)點(diǎn)，連接”，A。，PQ,則周長的最小值為.

【答案】477

【分析】如困，由ZB="=90>,作A關(guān)于BC對(duì)稱的點(diǎn)/，作A關(guān)于C。對(duì)稱的點(diǎn)4,連接AA",

與交點(diǎn)為與U力交點(diǎn)為0,連接AP',40',由對(duì)稱的性質(zhì)可得人戶=4"〃，八。=AC,

A，D=AD=-AA,=4,A"B=AB=-AA,,=2,則A/+PQ+AQ'=/T產(chǎn)+P'Q'+4Q',可知當(dāng)

22

A”、P、2、4四點(diǎn)共線時(shí)，△A〃Q的周長最小為AA",如圖，過川作A〃￡_L4）的延長線于E,

由N3Ao=120°,可得ZA"AE=60。，則A"E=A4，sinNA"AE=，A￡=A4"-cosZ/TA￡=2,

AE=10,根據(jù)AA"=JA'爐+A"￡2,計(jì)笄求解即可.

【詳解】解：如圖，由ZB=ZD=90°.作A關(guān)于3c對(duì)稱的點(diǎn)父，作A關(guān)于C。對(duì)稱的點(diǎn)4,連接4A",

與8c交點(diǎn)為尸，與C。交點(diǎn)為0,連接人尸，AQ',

,,f,

由對(duì)稱的性質(zhì)可得曾二人產(chǎn)，人。=40,AD=AD=-AA=4,A"B=AB=-AA=2f

22

...AP'+P'Q'+A。=AnP'+P'。'+4。，

.?.當(dāng)/V、P、Q\4四點(diǎn)共線時(shí)，△APQ的周長最小為

如圖，過A"作A"E"LAO的延長線于E,

\*ZBAD=\20°,

???Z/TAE=60。，

/.ATE=M"-binzlA"AE=2>/3,AE-AA^cos^AE-2t

AAZE=1O,由勾股定理得44〃=JA'爐+A"￡=4分

16.如圖，在平行四邊形A8CD中，對(duì)角線AC、/比>相交于點(diǎn)。，點(diǎn)七、尸分別是邊AD、AA上的點(diǎn),

連接。區(qū)OF、EF,若AB=6，BC=2,NDAB=30。，則《0E/周長的最小值是.

【答案】叵

2

【分析】作點(diǎn)。關(guān)于A4的對(duì)稱點(diǎn)M,點(diǎn)。關(guān)于AE）的對(duì)稱點(diǎn)N,連接MMMF,NE,AN,AM,

則OEF的周長=OE+OF+EF=ME+EF+MF,故當(dāng)A/、E、F、N四點(diǎn)共線時(shí)ME+EF+M”,

即此時(shí)，OEF的周長最小，最小值為MN的長，證明△MAN是等邊三角形，得到何N=AM=AO；

過D作OP_LA3交直線A3于P,由平行四邊形的性質(zhì)得到AO=8C=2,OD=OB=；BD,由含

30度角的直角三角形的性質(zhì)得到。P=1A￡>=1,則A尸二#，OD=OB=~,即可得到點(diǎn)P與點(diǎn)

22

B重合,則OA=〃8'+OB2=巫,由此即可得到答案.

2

【詳解】解：作點(diǎn)。關(guān)于A〃的對(duì)稱點(diǎn)M,點(diǎn)。關(guān)于AZ）的對(duì)稱點(diǎn)N,連接MMMF,NE,AN,AMf

由作圖得：AN=AO=AM,乙NAD=4DAO,ZMAB=^BAO,NE=OE,MF=OF、

???OEF的局長=OE+OF+EF=ME+EF+MF,

???當(dāng)M、區(qū)RN四點(diǎn)共線時(shí)ME+EF+M~，即此時(shí)&OE尸的周長最小，最小值為MN的長，

ZZM^=30°,

二?ZAWV=60°,

???AM47V是等邊三角形，

??.MN=AM=AO\

過。作。交直線A8于P,

???四邊形ABC/）是平行四邊形，

/.AD=BC=2,OD=OB=gBD,

2

ARt.ADP中，ZDAP=30°,ZDPA=90°,

???DP=-AD=\,

2

?**AP=y/AD2-BD2=73，OD=OB=gBD=g,

，AB=AP=43t

???點(diǎn)P與點(diǎn)B重合，

：.OA=^AB-+OB~=—,

M

且動(dòng)線段問題：造橋選址(構(gòu)造平行四邊形)

鞍山?中考真題

17.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知43,6),3(-2,2),在工軸上取兩點(diǎn)C,。(點(diǎn)。在點(diǎn)。左側(cè)),

且始終保持8=1，線段C。在x軸上平移，當(dāng)4)+8。的值最小時(shí)，點(diǎn)。的坐標(biāo)為

【分析】作點(diǎn)B關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)B，，將B，向右平移1個(gè)單位得到B”，連接AB”,與x軸交于點(diǎn)D,

過點(diǎn)作AB"的平行線，與x軸交于點(diǎn)C,得到此時(shí)AD+BC的值最小，求出直線AB”,得到點(diǎn)D

坐標(biāo)，從而可得點(diǎn)C坐標(biāo).

【詳解】解：如圖，作點(diǎn)B關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)B，，求FB，向右平移1個(gè)單位得到B”，連接AB”,與x

軸交于點(diǎn)D,過點(diǎn)作AB”的平行線，與x軸交于點(diǎn)C,

可知四邊形B'B"DC為平行四邊形，

則BC=B"D,

由對(duì)稱性質(zhì)可得：BC=BC,

???AD+BC=AD+B，C=AD+B"D=AB",

則此時(shí)AB”最小,即AD+BC最小，

VA(3,6),B(-2,2),

???B'(-2,-2),

???B”(-1,-2),

設(shè)直線AB”的表達(dá)式為：y=kx+b,

6=3k+b2=2

則《-2…b,解得：

b=0'

?,?直線AB”的表達(dá)式為:y=2x,

令y=0,解得：x=0,即點(diǎn)D坐標(biāo)為(0,0),

???點(diǎn)C坐標(biāo)為(-1,0),

故答案為：(-1,0).

聊城?中考真題

18.如圖，在直角坐標(biāo)系中，矩形。48c的頂點(diǎn)。在坐標(biāo)原點(diǎn)，頂點(diǎn)A,C分別在x軸，y軸上，B,

。兩點(diǎn)坐標(biāo)分別為8(-4,6),D(0,4),線段石尸在邊OA上移動(dòng)，保持E/=3,當(dāng)四邊形

【答案】(-040)

【詳解】解：如圖所示，(0,4),

工。點(diǎn)關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)坐標(biāo)為H(0,-4),

：.ED=EH,

將點(diǎn)，向左平移3個(gè)單位，得到點(diǎn)G(-3,-4),

:,EF=HG,EF//HG,

???四邊形EFG”是平行四邊形，

:.EH=FG,

:?FG二ED,

,:B(-4,6),

???BD=J(-4—0)2+(6-4)2=2右,

義?：EF=3,

???四邊形BDEF的周長:BD+DE+EF+BF=2K+FG+3+BF,

要使四邊形尸的周長最小，則應(yīng)使的值最小,

而當(dāng)月G、8三點(diǎn)共線時(shí)尸G+B尸的值最小，

設(shè)直線的解析式為：y=kx+b(k^0)

,:B(-4,6),G(-3,-4),

-4k+b=6

??[_3八沙=-4，

.>=-10

*,[b=-34，

y=-10x-34,

當(dāng).y=0B寸，x=-3.4,

.??F（-3.4,0）,

.??石（-0.4,0）

故答案為：（-0.4,0）.

19.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中有A（0,3）,。（5,0）兩點(diǎn).將直線（：向上平移2個(gè)單位長度得

到直線4,點(diǎn)笈在直線6上，過點(diǎn)8作直線4的垂線，垂足為點(diǎn)C,連接AB,BC,CD,則折

線ABCD的氏AB+BC+CD的最小值為.

【答案】2君+庭

【分析】先證四邊形A8C77是平行四邊形，可得AAnC/7,則48+8C+CQ=b+&+CD,即當(dāng)

點(diǎn)C,點(diǎn)。，點(diǎn)尸三點(diǎn)共線時(shí)，C/+CD有最小值為。尸的長，即AB+8C+CO有最小值，即可求

解.

【詳解】解：如圖，將點(diǎn)A沿y軸向下平移2個(gè)單位得到￡（。，1）,以AE為斜邊，作等腰直角三角形

AEF,則點(diǎn)尸(1,2),連接CR

「二A是等腰直角三角形，

AF=EF=V2,ZAEF=45°,

「將直線4:)'=x向上平移2個(gè)單位長度得到直線。，

：.ZAOC=45°,BC=\H，

:.BC=AF=?,ZAEF=ZAOC=45°,

:.EF//OC,

AFLEF,BC10C,

AFIIBC,

???西邊形ABC/7是平行四邊形，

:.AB=CF,

AB+RC+CD=CF+g+CD,

...當(dāng)點(diǎn)C,點(diǎn)O,點(diǎn)尸三點(diǎn)共線時(shí)，CV+CO有最小值為。尸的長，即A3+BC+CZ)有最小值，

???點(diǎn)。(5,0),點(diǎn)尸(1,2),

DF=7(5-1)2+(2-0)2=2芯,

二折線ABCQ的長M+8C+C。的最小值為2百+&

廣西來賓中考其題

20.如圖，已知點(diǎn)43,0),8(1,0),兩點(diǎn)C(-3,9),。(2,4)在拋物線y=/上，向左或向右平移拋物

線后，C,。的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為C',加，當(dāng)四邊形A8C。的周長最小時(shí)，拋物線的解析式

為.

y.

c

【答案】)，=(%—得).

【詳解】解：???43,0),3(1,。)，C(-3,9),0(2,4),

AAB=3-\=2,CD=>/(-3-2)2+(9-4)2=5x/2,

由平移的性質(zhì)可知：C,D，=CD=5\H，

:.四邊形ABCiy的周長為A3+3C'+C'￡>'+A'A=2+BC+5應(yīng)+￡>'A:

要使其周長最小，則應(yīng)使8C'+O'A的值最?。?/p>

設(shè)拋物線平移了〃個(gè)單位，當(dāng)〃>0時(shí)，拋物線向右平移，當(dāng)a<0B寸，拋物線向左平移;

.,.C(-3+49),少(2+&4),

將。向左平移2個(gè)單位得到。"("4),則由平移的性質(zhì)可知：BD'=AD',

將。"(a,4)關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)汜為點(diǎn)旦則E(a,T),由軸野稱性質(zhì)可知，BD"=BE,

???BC'+D，A=BC'+BE,

當(dāng)以E、。三點(diǎn)共線時(shí)，8C+8E的值最小，

設(shè)直線BC的解析式為：y=h+力(攵#0),

9

a)k+b=9(1-4

=0,當(dāng)"4時(shí)一*

..y=------x+-----,

??-44-?

99

將E點(diǎn)坐標(biāo)代入解析式可得：-4=--?+--,

a-44-a

25/

解得：a=7i，此時(shí)8C'+8E=C'E=J(-3+4-?！?(9+4丫

此時(shí)四邊形ABC。'的周長為AB+BC'+C'O'+O'4=2+5及+JI7i:

當(dāng)。=4時(shí),C*(l,9),D,(6.41,43,0),8(1,0),

此時(shí)四邊形ABCD'的周長為：

A8+8C+C￡r+ZTA=2+(9-0)+5Vi+J(6-3『+(4-0y=16+5夜;

V2+5x/2+Vi78<16+5V2,

2525(25

???當(dāng)。二"時(shí)，其周長最小，所以拋物線向右平移了■^個(gè)單位，所以其解析式為：y=\x-—

1313113,

國垂線段最短

21.（2023下?湛江?二模）如圖，在中，ZACB=90°,AC=6,8c=8,A8=10,AO平

分NCAB交.BC于點(diǎn)、D,HE、尸分別是A。、AC邊上的動(dòng)點(diǎn)，則CE+）的最小值為.

【答案】y

【詳解】解：如圖，在上取一點(diǎn)9，使AF=A/，連接斯'，作C〃_L48,

?.AO平分NB4C,

\?mc?DAB,

AE=AE,

：..AEF^AAEF\SAS),

：.EF=EF>,

:.CE+EF=CE+EF,,

???當(dāng)點(diǎn)C,E,F'在同一條線上，且CE/A6時(shí)，CE+EF最小,即CE+E尸最小，其值為C”,

v5

./.tBotC=-2ACI3C2=-ABCH,

wACBC6x824

C/7=-----=---=一,

AB105

94

即CE+律的最小值為二

5

22.如圖，/MON=45。，O尸平分NM0M點(diǎn)A為射線OM上一點(diǎn)，OA=4,點(diǎn)E,尸分別為射線

OP,OM卜的動(dòng)點(diǎn),連接人凡E凡則4E+E/的最小值為.

N

P

M

【答案】2&

【解析】在ON上截取OG=OF,連接EG,過點(diǎn)A作AH_LON于點(diǎn)H.

VOG=OF,ZEOG=ZEOF,OE=OE,

/.△OEG^AOEF,AEG=EF,

???AE+EF=AE+EG2AH.

VZMON=45°,OA=4,AH=—OA=272.

2

2022?貴州畢節(jié)?中考真題

23.如圖，在Rt.A8c中，N3AC=90°J5=3IC=5,點(diǎn)P為8c邊上任意一點(diǎn)，連接24,以孫,

PC為鄰邊作平行四邊形小。C,連接PQ,則PQ長度的最小值為.

【答案】y

【分析】利用勾股定理得到8c邊的長度，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)，得知。?最短即為PQ最短，利

用垂線段最短得到點(diǎn)P的位琵,再證明△。"-△。產(chǎn)。利用對(duì)應(yīng)線段的比得到。產(chǎn)的長度，繼而得

到。。的長度.

【詳解】解：：N6AC=90C,A6=3,6C=5,

JAC=ylBC?-AB，=4,

?.?四邊形APCQ是平行四邊形，

：,PO=QO,CO=AO,

???PQ最短也就是「。最短，

，過。作BC的垂線OP,

)

BPp

ZACB=/PCONCPO=ZC4B=90。,

「?△CABs/xCPO,

.CO_OF

??正一前’

2OP'612

~=---,/.OP，=—,則PQ的最小值為2OP'=g

2022銅仁

24