2024-2025學年北京市順義區(qū)第二中學高三上學期12月月考數(shù)學試題（含答案）

第=page11頁，共=sectionpages11頁2024-2025學年北京市順義區(qū)第二中學高三上學期12月月考數(shù)學試題一、單選題：本題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的。1.已知集合A=?1,0,1,2，B=xx≤1，則A∩BA.?1,0,1 B.0,1,2 C.0,1 D.1,22.復數(shù)z=2?i1+2i，則z等于(

)A.0 B.5 C.553.已知2+x5=a0+A.10 B.20 C.40 D.804.下列函數(shù)中，是奇函數(shù)且在定義域內是減函數(shù)的是(

)A.y=1x B.y=?x3 C.5.南京大學開展數(shù)學建模選拔賽，對參賽的100名學生的得分情況進行統(tǒng)計，并繪制了如圖所示的頻率分布直方圖(每組為左閉右開的區(qū)間)，根據(jù)圖中信息，下列說法錯誤的是(

)

A.圖中的x值為0.020

B.得分在70分及以上的人數(shù)為75

C.這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)的估計值為76(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值代表)

D.這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)的估計值為786.已知向量a與向量b的夾角為π3，且a=1，2a?bA.4 B.3 C.2 D.7.設各項均為正數(shù)的等比數(shù)列an的公比為q，且bn=log2an，則“A.充分而不必要條件 B.必要而不充分條件

C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件8.正四棱四P?ABCD中，AB=2，二面角P?CD?A的大小為π4，則該四棱錐的體積為(

)A.4 B.2 C.23 D.9.若角α、β是銳角三角形的兩個內角，則下列各式中一定成立的是(

)A.cosα>cosβ B.sinα<sinβ10.某教學軟件在剛發(fā)布時有100名教師用戶，發(fā)布5天后有1000名教師用戶.如果教師用戶人數(shù)Rt與天數(shù)t之間滿足關系式：Rt=R0ekt，其中k為常數(shù)，R0是剛發(fā)布時的教師用戶人數(shù)，則教師用戶超過20000A.9 B.10 C.11 D.12二、填空題：本題共5小題，共30分。11.若2x?1xn展開式的二項式系數(shù)之和為64，則展開式中的常數(shù)項是12.已知等差數(shù)列an的公差是2，且a1，a3，a4成等比數(shù)列，則當數(shù)列an的前n項和Sn取最小值時，13.在?ABC中，a=2，b=22.若∠A=π4，則c=

；若滿足條件的三角形有兩個，則∠A14.設函數(shù)fx=?x+a,x≤1?ax?22+1,x>1，若a=2，則fx的單調遞增區(qū)間是

，若fx15.棱長為1的正方體ABCD?A1B1C1D1中，點P在棱CD上運動，點Q在側面ADD1A1上運動，滿足三、解答題：本題共6小題，共70分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟。16.已知函數(shù)fx(1)求f0(2)從條件①、條件②、條件③、條件④這四個條件中選擇兩個作為已知，使函數(shù)fx存在且唯一確定，判斷函數(shù)fx在π6,π條件①：函數(shù)的一個對稱中心為π6條件②：函數(shù)圖象過點?π條件③：兩條相鄰對稱軸間的距離為π2條件④：函數(shù)y=fx的的最大值與最小值之和為0(注：若選擇不同的組合分別解答，則按第一個解答計分.)17.如圖，在四棱錐P?ABCD中，底面ABCD為正方形，平面PAD⊥平面ABCD，AB=4，PA=PD=22，E，F(xiàn)分別為BC，PD

(1)求證：EF//平面PAB；(2)求平面BEF與平面ABE夾角的余弦值；(3)求點P到平面BEF的距離．18.某高校“植物營養(yǎng)學專業(yè)”學生將雞冠花的株高增量作為研究對象，觀察長效肥和緩釋肥對農作物影響情況.其中長效肥、緩釋肥、未施肥三種處理下的雞冠花分別對應1，2，3三組.觀察一段時間后，分別從1，2，3三組隨機抽取40株雞冠花作為樣本，得到相應的株高增量數(shù)據(jù)整理如下表．株高增量(單位：厘米)4,77,1010,1313,16第1組雞冠花株數(shù)92092第2組雞冠花株數(shù)416164第3組雞冠花株數(shù)1312132假設用頻率估計概率，且所有雞冠花生長情況相互獨立．(1)從第1組所有雞冠花中隨機選取1株，估計株高增量為7,10厘米的概率；(2)分別從第1組，第2組，第3組的所有雞冠花中各隨機選取1株，記這3株雞冠花中恰有X株的株高增量為7,10厘米，求X的分布列和數(shù)學期望EX；(3)用“ξk=1”表示第k組雞冠花的株高增量為4,10，“ξk=0”表示第k組雞冠花的株高增量為10,16厘米，k=1,2,3，直接寫出方差Dξ1，Dξ19.在?ABC中，2ccosA=2b?a(1)求∠C的大??；(2)若c=3，再從條件①、條件②、條件③這三個條件中選擇一個作為已知，使?ABC存在，求條件①：?ABC的面積為23；條件②：sinB?sinA=注：如果選擇的條件不符合要求，得0分；如果選擇多個符合要求的條件分別解答，按第一個解答計分．20.已知函數(shù)fx=aex(1)若a=1，求曲線y=f(x)在點0,f0(2)求gx(3)若fx和gx有相同的最小值，求a21.給定正整數(shù)k，m，其中2≤m≤k，如果有限數(shù)列an同時滿足下列兩個條件，則稱an為(k,m)?數(shù)列.記(k,m)?數(shù)列的項數(shù)的最小值為G條件①：an的每一項都屬于集合{1,2,3,…,k}條件②：從集合{1,2,3,…,k}中任取m個不同的數(shù)排成一列，得到的數(shù)列都是an注：從an中選取第i1項、第i2項、...、第is項(其中i1<i(1)分別判斷下面兩個數(shù)列是否為3,3?數(shù)列，并說明理由：數(shù)列A1:1,2,3,1,2,3,1,2,3(2)求證：Gk,2(3)求G4,4的值．

參考答案1.A

2.D

3.C

4.B

5.D

6.B

7.C

8.D

9.D

10.D

11.60

12.4或5

13.2；π3(14.(1,2]；(0，2]

15.616.(1)f=2f(2)由①：2?π6ω?π3由②：2sin由③：T2=π2，故由④：f(x)=2sin2ωx?π3+m若選①②，由2sin?π若選①③，ω=1滿足ω=1+3kk∈Z，所以存在唯一f(x)=2當x∈π6,π2時，0<2x?π3若選①④，顯然m=1與m=0不能同時成立，故不存在滿足條件的f(x)；若選②③，由ω=1代入得，2sin?π所以存在唯一f(x)=2sin2x?π3，當所以當2x?π3=π2若選②④，由m=0，可得2sin?π6ω?解得ω=?12k+1,k∈Z，故f(x)不唯一；若選③④，fx存在且唯一f(x)=2當x∈π6,π2即x=5π12時，

17.(1)證明：取PA中點G，連接FG，EG，如圖所示：

∵F為PD的中點，∴FG//AD，F(xiàn)G=12∵E是BC的中點，∴BE=1在正方形ABCD中，AD//BC，AD=BC，∴FG//BE且FG=BE，∴四邊形BEFG為平行四邊形，∴EF//BG，又平面PAB，BG?平面PAB，∴EF//平面PAB；(2)取AD中點O，連接OP，OE，∵PA=PD=22，∴PO⊥AD，且∵平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，PO?平面PAD∴PO⊥平面ABCD，又OE?平面ABCD，∴OP⊥OE，在正方形ABCD中，OE⊥OA，則建立以O為原點，以OA、OE、OP所在直線為x軸、y軸、z軸的空間直角坐標系O?xyz，如圖所示：

則O(0,0,0),A(2,0,0),B(2,4,0),C(?2,4,0),D(?2,0,0),E(0,4,0),P(0,0,2),F(?1,0,1)，∴EB=(2,0,0)，設平面BEF的一個法向量為n=(x,y,z)則n?EB=2x=0n?EF=?x?4y+z=0∴平面BEF的一個法向量為n=(0,1,4)又OP⊥平面BAE，則平面ABE的一個法向量為m=(0,0,2)∴cos∴平面BEF與平面ABE夾角的余弦值4(3)由(2)知平面BEF的一個法向量為n=(0,1,4)又BP=(?2,?4,2)所以點P到平面BEF的距離為BP?

18.(1)設事件A為“從第1組所有雞冠花中隨機選取1株，株高增量為7,10厘米”，根據(jù)題中數(shù)據(jù)，第1組所有雞冠花中，有20株雞冠花增量為7,10厘米，所以PA估計為20(2)設事件B為“從第2組所有雞冠花中隨機選取1株，株高增量為7,10厘米”，設事件C為“從第3組所有雞冠花中隨機選取1株，株高增量為7,10厘米”，根據(jù)題中數(shù)據(jù)，PB估計為1640=25根據(jù)題意，隨機變量X的所有可能取值為0，1，2.3，且PX=0PX=1PX=2PX=3則X的分布列為：X0123P2111293所以EX=0×21(3)D理由如下：Pξ1=1Pξ2=1Pξ3=1所以Dξ

19.解：(1)由正弦定理

及2ccos得2因為A+B+C=π，所以sin由①②得2sin因為A∈0,π，所以sin所以cosC=因為C∈0,π所以C=π(2)選①，?ABC的面積為2即12absinC=2因為c=3，由余弦定理得即a2+b由基本不等式得a2+b故此時三角形不存在，不能選①，選條件②：sinB?由(1)知，∠B=π?π所以sin=所以sinπ因為A∈0,2π3所以π3?A=π所以?ABC是以AC為斜邊的直角三角形．因為c=所以AC=AB所以AC邊上的中線的長為12選條件③：b2由余弦定理得a2+b設AC邊上的中線長為d，由余弦定理得d2所以AC邊上的中線的長為1．

20.(1)因為a=1，f(x)=ae所以f′(x)=e所以f′(0)=e0?1=0所以，曲線y=f(x)在點(0,f(0))處的切線方程y?1=0x?0，即y=1(2)函數(shù)g(x)=x?alnx(a∈R)的定義域為所以，g′(x)=1?a所以，當a≤0時，g′(x)>0在0,+∞上恒成立，函數(shù)g(x)在0,+∞上單調遞增，當a>0時，x∈0,a時，g′(x)<0，g(x)單調遞減；x∈a,+∞時，g′(x)>0，綜上，當a≤0時，增區(qū)間為0,+∞，無減區(qū)間；當a>0時，減區(qū)間為0,a，增區(qū)間為a,+∞．(3)由(2)知，當a>0時，g(x)在0,a上單調遞減，g(x)在a,+∞單調遞增．所以，g(x因為f′(x)=aex?1，f′(x)=a所以，當x∈?∞,ln1a時，f′(x)<0，f(x)單調遞減，當x∈ln所以，f(x)因為f(x)和g(x)有相同的最小值，所以1+lna=a?aln令?x=1+x令tx=ln所以，當x∈0,1時，t′x<0，tx單調遞減，當x∈所以tx≥t1所以，?x在0,+∞因為?1所以，1+alna?a+1=0即a的值為1．

21.(1)m=3,k=3，數(shù)列A1和A2中每一項都屬于集合{1,2,3}，符合條件從集合{1,2,3}中取出3個不同的元素，排成一列得到1,2,3；1,3,2；2,1,3；2,3,1；3,1,2；3,2,1．根據(jù)子數(shù)列的定義可知，以上6個數(shù)列都是數(shù)列A1的子數(shù)列，故數(shù)列A1是而數(shù)列3,1,2不是數(shù)列A2的子數(shù)列，故數(shù)列A2不是(2)m=2，若從集合{1,2,3,?,k}中任取2個不同的數(shù)排成一列，得到的數(shù)列都是數(shù)列{a則為了滿足1,2；1,3；?，1,k；2,3；2,4；?；2,k；?等數(shù)列都是{a則數(shù)列{an}又為了滿足k,1；k?1,1；k,2；k?1,2；?等數(shù)列都為{a則數(shù)列{an}則當數(shù)列{an}為1,2,3,?k,k?1,?,2,1故G(k,2)=2k?1．(3)m=k=4，從集合{1,2,3,4}中取出4個不同的數(shù)排成一列，可得1,2,3,4；1,2,4,3；1,3,2,4；1,3,4,2；1,4,2,3；1,4,3,2；2,1,3,4；