高等數(shù)學(xué)第九章習(xí)題課 歡迎加入湘潭大學(xué)期末考試復(fù)習(xí)資料庫研發(fā)工作室QQ群：928812498

第九章習(xí)題課一、基本概念

二、多元函數(shù)微分法三、多元函數(shù)微分法的應(yīng)用多元函數(shù)微分法歡迎加入湘潭大學(xué)期末考試復(fù)習(xí)資料庫研發(fā)工作室QQ群：928812498班級(jí)集體復(fù)印復(fù)習(xí)資料超級(jí)便宜！！拒絕高價(jià)壟斷?。。≌?qǐng)各班學(xué)委/班長(zhǎng)先聯(lián)系群主哦！一、基本概念連續(xù)性

偏導(dǎo)數(shù)存在

方向?qū)?shù)存在可微性1.多元函數(shù)的定義、極限、連續(xù)

定義域及對(duì)應(yīng)規(guī)律

判斷極限不存在及求極限的方法

函數(shù)的連續(xù)性及其性質(zhì)2.幾個(gè)基本概念的關(guān)系思考與練習(xí)提示:

利用知在點(diǎn)(0,0)處連續(xù)且偏導(dǎo)數(shù)存在,但不可微.1.證明:故f

在(0,0)連續(xù);而所以f

在點(diǎn)(0,0)不可微!例1.已知求出的表達(dá)式.解法1

令即解法2

以下與解法1相同.則且二、多元函數(shù)微分法顯式結(jié)構(gòu)隱式結(jié)構(gòu)1.分析復(fù)合結(jié)構(gòu)(畫變量關(guān)系圖)自變量個(gè)數(shù)=變量總個(gè)數(shù)–方程總個(gè)數(shù)自變量與因變量由所求對(duì)象判定2.正確使用求導(dǎo)法則“分段用乘,分叉用加,單路全導(dǎo),叉路偏導(dǎo)”注意正確使用求導(dǎo)符號(hào)3.利用一階微分形式不變性例2.設(shè)其中f與F分別具解法1

方程兩邊對(duì)x

求導(dǎo),得有一階導(dǎo)數(shù)或偏導(dǎo)數(shù),

求(1999考研)解法2方程兩邊求微分,得化簡(jiǎn)消去即可得例3.設(shè)有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù),且求解:練習(xí)題1.設(shè)函數(shù)f二階連續(xù)可微,求下列函數(shù)的二階偏導(dǎo)數(shù)解答提示:第1題2.設(shè)函數(shù)求由方程所確定,解法1:則故解法2:方程兩邊同時(shí)對(duì)x求導(dǎo),得得方程兩邊同時(shí)對(duì)y求導(dǎo),得三、多元函數(shù)微分法的應(yīng)用1.在幾何中的應(yīng)用求曲線在切線及法平面(關(guān)鍵:抓住切向量)

求曲面的切平面及法線(關(guān)鍵:抓住法向量)

2.極值與最值問題

極值的必要條件與充分條件

求條件極值的方法(消元法,拉格朗日乘數(shù)法)

求解最值問題3.在微分方程變形等中的應(yīng)用

最小二乘法例4.在第一卦限作橢球面的切平面,使其在三坐標(biāo)軸上的截距的平方和最小,并求切點(diǎn).解:

設(shè)切點(diǎn)為則切平面的法向量為即切平面方程問題歸結(jié)為求在條件下的條件極值問題.設(shè)拉格朗日函數(shù)切平面在三坐標(biāo)軸上的截距為令由實(shí)際意義可知為所求切點(diǎn).唯一駐點(diǎn)例5.求旋轉(zhuǎn)拋物面與平面之間的最短距離.解:設(shè)為拋物面上任一點(diǎn)，則P

的距離為問題歸結(jié)為約束條件:目標(biāo)函數(shù):作拉氏函數(shù)到平面令解此方程組得唯一駐點(diǎn)由實(shí)際意義最小值存在,故例6.求函數(shù)在區(qū)域上的最大最小值.解:閉區(qū)域上的最大最小值可能是區(qū)域內(nèi)部的極值點(diǎn),也可能是邊界的最值點(diǎn).由得在駐點(diǎn)(-1,-1)處,在直線x=0上,則在直線y=0上,則在直線x+y=-3上,則綜合可知,在點(diǎn)(0,-3)(-3,0)處取得最大值6,在駐點(diǎn)(-1,-1)處取得最小值-1.上求一點(diǎn),使該點(diǎn)處的法線垂直于練習(xí)題：1.

在曲面并寫出該法線方程.提示:

設(shè)所求點(diǎn)為則法線方程為利用得平面法線垂直于平面點(diǎn)在曲面上2.

在第一卦限內(nèi)作橢球面的切平面使與三坐標(biāo)面圍成的四面體體積最小,并求此體積.提示:

設(shè)切點(diǎn)為用拉格朗日乘數(shù)法可求出則切平面為所指四面體體積V最小等價(jià)于

f(