高等數(shù)學(xué)第十章習(xí)題課歡迎加入湘潭大學(xué)期末考試復(fù)習(xí)資料庫研發(fā)工作室QQ群：928812498

習(xí)題課一、重積分計(jì)算的基本方法二、重積分計(jì)算的基本技巧三、重積分的應(yīng)用

第十章重積分的計(jì)算及應(yīng)用歡迎加入湘潭大學(xué)期末考試復(fù)習(xí)資料庫研發(fā)工作室QQ群：928812498班級集體復(fù)印復(fù)習(xí)資料超級便宜！！拒絕高價壟斷?。?！請各班學(xué)委/班長先聯(lián)系群主哦！一、重積分計(jì)算的基本方法1.選擇合適的坐標(biāo)系使積分域多為坐標(biāo)面(線)圍成;被積函數(shù)用此坐標(biāo)表示簡潔或變量分離.2.選擇易計(jì)算的積分序積分域分塊要少,累次積分易算為妙.圖示法列不等式法(從內(nèi)到外:

面、線、點(diǎn))3.掌握確定積分限的方法—累次積分法練習(xí)P1822(3)2(3).計(jì)算二重積分其中D為圓周所圍成的閉區(qū)域.提示:

利用極坐標(biāo)原式P182解答提示:二、重積分計(jì)算的基本技巧分塊積分法利用對稱性1.交換積分順序的方法2.利用對稱性簡化計(jì)算3.消去被積函數(shù)絕對值符號練習(xí)題P1821(2),4答案提示:(見下頁)

4.利用擴(kuò)展積分域進(jìn)行計(jì)算1(2).則提示:如圖,由對稱性知在上是關(guān)于y的奇函數(shù)在上是關(guān)于

x

的偶函數(shù)A證明:提示:

左端積分區(qū)域如圖,交換積分順序即可證得.P1814.例1.計(jì)算二重積分其中:(1)D為圓域(2)D由直線解:(1)

利用對稱性.圍成.(2)

積分域如圖:將D分為添加輔助線利用對稱性,得例2.計(jì)算二重積分在第一象限部分.解:(1)兩部分,則其中D為圓域把D分成作輔助線(2)提示:兩部分說明:若不用對稱性,需分塊積分以去掉絕對值符號.作輔助線將D分成例3.求拋物線所圍區(qū)域

D的面積A.解:如圖所示注:則也可利用上述方法簡化計(jì)算.上可積,例4.交換積分順序計(jì)算解.

積分域如圖.三、重積分的應(yīng)用1.幾何方面面積(平面域或曲面域),立體體積第四節(jié)一、立體體積二、曲面的面積重積分的應(yīng)用

第十章歡迎加入湘潭大學(xué)考試資料群：579654451一、立體體積

曲頂柱體的頂為連續(xù)曲面則其體積為例1.求兩個底圓半徑為R的直角圓柱面所圍的體積.解:

設(shè)兩個直圓柱方程為利用對稱性,考慮第一卦限部分,其曲頂柱體的頂為則所求體積為機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束任一點(diǎn)的切平面與曲面所圍立體的體積V.例2.求曲面分析:

第一步:求切平面

方程;第二步:求

與S2的交線在xOy面上的投影,寫出所圍區(qū)域D;第三步:求體積V.(示意圖)任一點(diǎn)的切平面與曲面所圍立體的體積V.解:

曲面的切平面方程為在點(diǎn)例2.求曲面故它與曲面的交線在

xoy

面上的投影為(記所圍域?yàn)镈)有例3.求球體被圓柱面所截得的(含在柱面內(nèi)的)立體的體積.解:

設(shè)由對稱性可知機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束二、曲面的面積設(shè)光滑曲面則面積A可看成曲面上各點(diǎn)處小切平面的面積dA無限積累而成.設(shè)它在D

上的投影為d

,(稱為面積元素)則故有曲面面積公式若光滑曲面方程為則有即若光滑曲面方程為若光滑曲面方程為隱式則則有且例3.計(jì)算雙曲拋物面被柱面所截解:

曲面在

xOy

面上投影為則出的面積A.例4.計(jì)算半徑為a