遼寧省八校2024-2025學(xué)年高三上學(xué)期12月聯(lián)合教學(xué)質(zhì)量檢測(cè)數(shù)學(xué)試卷【含答案解析】

2024—2025學(xué)年度上學(xué)期高三12月聯(lián)合教學(xué)質(zhì)量檢測(cè)高三數(shù)學(xué)試卷滿分150分，考試用時(shí)120分鐘注意事項(xiàng)：1.答題前，先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫在試卷和答題卡上，并將準(zhǔn)考證號(hào)條形碼貼在答題卡上的指定位置.2.選擇題的作答：每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑.寫在試卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無效.3.非選擇題的作答：用黑色簽字筆直接答在答題卡上對(duì)應(yīng)的答題區(qū)域內(nèi).寫在試卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無效.4.考試結(jié)束后，請(qǐng)將本試卷和答題卡一并上交.一、單項(xiàng)選擇題（本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題所給的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的）1.設(shè)為虛數(shù)單位，若，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】結(jié)合復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算，以及共軛復(fù)數(shù)的定義，即可求解．【詳解】，故．故選：D．2.已知，則的值為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由即可求解.【詳解】因?yàn)椋?，所?故選：A3.意大利數(shù)學(xué)家斐波那契的《算經(jīng)》中記載了一個(gè)有趣的數(shù)列：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，……這就是著名的斐波那契數(shù)列，該數(shù)列的前2024項(xiàng)中有（）個(gè)奇數(shù)A.1012 B.1348 C.1350 D.1352【答案】C【解析】【分析】對(duì)數(shù)列中的數(shù)進(jìn)行歸納，發(fā)現(xiàn)規(guī)律，結(jié)合題意得到答案.【詳解】對(duì)數(shù)列中的數(shù)歸納發(fā)現(xiàn)，每3個(gè)數(shù)中前2個(gè)都是奇數(shù)，后一個(gè)是偶數(shù)，又，故該數(shù)列前2024項(xiàng)有個(gè)奇數(shù).故選：C4.在中，為的中點(diǎn)，為的中點(diǎn)，若，則等于（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由向量的線性運(yùn)算結(jié)合圖形特征，求出的值即可.【詳解】在中，為的中點(diǎn)，為的中點(diǎn)，則，所以，.故選：B5.已知，，，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】利用對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性以及基本不等式比較大小.【詳解】由已知得，比較和的大小，其中，因?yàn)?，所以，又因?yàn)樵?,+∞單調(diào)遞增，所以，即；比較和的大小，其中，即，因?yàn)樵?,+∞上單調(diào)遞增，所以，即；比較，的大小，因?yàn)?，，所以，即，故選：.6.某人有兩把雨傘用于上下班，如果一天上班時(shí)他也在家而且天下雨，只要有雨傘可取，他將拿一把去辦公室，如果一天下班時(shí)他也在辦公室而且天下雨，只要有雨傘可取，他將拿一把回家.；如果天不下雨，那么他不帶雨傘.假設(shè)每天上班和下班時(shí)下雨的概率均為，不下雨的概率均為，且與過去情況相互獨(dú)立.現(xiàn)在兩把雨傘均在家里，那么連續(xù)上班兩天，他至少有一天淋雨的概率為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】計(jì)算對(duì)立事件的概率，從下雨次數(shù)入手，分類討論計(jì)算兩天都不淋雨的概率，即可得至少有一天淋雨的概率.【詳解】解：“至少有一天淋雨”的對(duì)立事件為“兩天都不淋雨”，連續(xù)上兩天班，上班、下班的次數(shù)共有4次.(1)4次均不下雨，概率為：；(2)有1次下雨但不淋雨，則第一天或第二天上班時(shí)下雨，概率為：；(3)有2次下雨但不淋雨，共3種情況：①同一天上下班均下雨；②兩天上班時(shí)下雨，下班時(shí)不下雨；③第一天上班時(shí)下雨，下班時(shí)不下雨，第二天上班時(shí)不下雨，下班時(shí)下雨；概率為：；(4)有3次下雨但不被淋雨，則第一天或第二天下班時(shí)不下雨，概率為：；(5)4次均下雨，概率為：；兩天都不淋雨的概率為：，所以至少有一天淋雨的概率為：.故選：D.7.已知直線與圓，點(diǎn)在直線上，過點(diǎn)作圓的切線，切點(diǎn)分別為，當(dāng)取最小值時(shí)，則的最小值為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由切線長(zhǎng)公式知當(dāng)時(shí)，最小，結(jié)合點(diǎn)到直線距離公式求得的最小值，然后作關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)，可知當(dāng)點(diǎn)為與直線的交點(diǎn)時(shí)，最小，由對(duì)稱知，此時(shí)與重合，從而易得最小值．【詳解】由可知圓心為，半徑，由題意，所以當(dāng)時(shí)，取最小值，由點(diǎn)到直線的距離公式可得，此時(shí)，過作直線的對(duì)稱點(diǎn)，連接，，與直線的交點(diǎn)即為所求的點(diǎn)，由于與關(guān)于直線對(duì)稱，，與關(guān)于直線對(duì)稱，因此與就是同一條直線，即點(diǎn)即為所求的點(diǎn)，所以的最小值為.故選：C8.在平行四邊形中，，是平行四邊形內(nèi)（包括邊界）一點(diǎn)，，若，則的取值范圍為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】先根據(jù)題意，得到點(diǎn)的軌跡，然后利用向量計(jì)算即可.【詳解】因?yàn)榈?，即所以點(diǎn)在的角平分線上，設(shè)的中點(diǎn)為因?yàn)椋渣c(diǎn)在線段上，不妨設(shè)，所以易知所以因?yàn)樗砸驗(yàn)樗怨蔬x：B【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：表示了兩個(gè)向量的角平分線.二、多項(xiàng)選擇題（本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分）9.對(duì)任意，記，并稱為集合的對(duì)稱差．例如：若，則．下列命題中，為真命題的是（

）A.若且，則B.若且，則C.若且，則D.存在，使得【答案】AB【解析】【分析】根據(jù)集合的新定義，結(jié)合選項(xiàng)以及交并補(bǔ)的性質(zhì)逐一判斷即可．【詳解】解：對(duì)于A，因?yàn)?，所以，所以，且中的元素不能出現(xiàn)在中，因此，即A正確；對(duì)于B，因?yàn)?，所以，即與是相同的，所以，即B正確；對(duì)于C，因?yàn)?，所以，所以，即C錯(cuò)誤；對(duì)于D，由于，而，故，即D錯(cuò)誤．故選：AB．10.在菱形中，，，E為AB的中點(diǎn)，將沿直線DE翻折至的位置，使得二面角為直二面角，若為線段的中點(diǎn)，則（）A.平面B.C.異面直線，所成的角為D.與平面所成角的余弦值為【答案】AC【解析】【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，用向量法證明線面關(guān)系即可判斷選項(xiàng)；用向量法分別表示向量，以及求出平面的法向量，代入異面直線所成的角的向量公式可判斷選項(xiàng)，代入直線與平面所成角的余弦公式即可判定選項(xiàng).【詳解】如圖，建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，.對(duì)于A，因?yàn)?，平面的一個(gè)法向量為，所以，所以平面，故A正確.對(duì)于B，因?yàn)?，，所以，所以DP，EC不垂直，故B錯(cuò)誤.對(duì)于C，因?yàn)?，，所以，所以異面直線，所成的角為，故C正確.對(duì)于D，設(shè)平面的法向量為，因?yàn)椋?，所以令，?設(shè)與平面所成的角為，因?yàn)?，所以，，故D錯(cuò)誤.故選：AC.11.隨機(jī)事件，滿足，，，則下列說法正確的是（）A. B.C. D.【答案】CD【解析】【分析】根據(jù)題意由相互獨(dú)立事件的概率性質(zhì)分析可判斷，；由概率加法公式可分析；計(jì)算，驗(yàn)證是否正確即可判斷.【詳解】由已知，，因?yàn)?，所以，所以，所以，故錯(cuò)誤；因?yàn)?，故錯(cuò)誤；，故正確；，又，，，所以，故正確.故選：.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：解決本題的關(guān)鍵是概率的性質(zhì)和應(yīng)用，以及條件概率的計(jì)算.三、填空題（本大題共3小題，每小題5分，共15分）12.已知數(shù)列的通項(xiàng)公式為，若數(shù)列是單調(diào)遞增數(shù)列，則實(shí)數(shù)的取值范圍是__________.【答案】【解析】【分析】根據(jù)是遞增數(shù)列以及解析式，可得的范圍，又，代入求解，即可求得答案.【詳解】因?yàn)閿?shù)列是遞增數(shù)列，當(dāng)時(shí)，，可得，當(dāng)時(shí)，，即，解得，又，所以，解得或.綜上，實(shí)數(shù)的取值范圍是.故答案為：.13.已知函數(shù)在區(qū)間上的值域?yàn)?，且，則的值為______.【答案】【解析】【分析】利用整體代入法，結(jié)合正弦函數(shù)的圖像求解即可.【詳解】，故，因?yàn)樵趨^(qū)間上的值域?yàn)?，且，故必有，如圖所示，則故故答案為：14.歐拉，他是數(shù)學(xué)史上最多產(chǎn)的數(shù)學(xué)家之一，他發(fā)現(xiàn)并證明了歐拉公式，從而建立了三角函數(shù)和指數(shù)函數(shù)的關(guān)系，若將其中的取作就得到了歐拉恒等式，它是令人著迷的一個(gè)公式，它將數(shù)學(xué)里最重要的幾個(gè)量聯(lián)系起來，兩個(gè)超越數(shù)——自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，圓周率，兩個(gè)單位——虛數(shù)單位和自然數(shù)單位1，以及被稱為人類偉大發(fā)現(xiàn)之一的0，數(shù)學(xué)家評(píng)價(jià)它是“上帝創(chuàng)造的公式”，請(qǐng)你根據(jù)歐拉公式：，將復(fù)數(shù)表示成（為虛數(shù)單位）的形式___________；若，則，這里，稱為1的一個(gè)n次單位根，簡(jiǎn)稱單位根．類比立方差公式，我們可以獲得，復(fù)數(shù)，則的值是___________．【答案】①.②.【解析】【分析】根據(jù)歐拉公式直接可得求出第一空；根據(jù)單位根的概念，代入化簡(jiǎn)即可求出第二空.【詳解】，，所以，由題意可得，所以，又因?yàn)?，所以，則.故答案為：；.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題的關(guān)鍵在于對(duì)歐拉公式的使用和復(fù)數(shù)四則運(yùn)算法則的熟練運(yùn)用.四、解答題（本大題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟）15.已知數(shù)列的前項(xiàng)和，，且．（1）求；（2）求數(shù)列的前項(xiàng)和；（3）設(shè)數(shù)列前項(xiàng)和，且滿足，求證：．【答案】（1）（2）（3）證明見解析【解析】【分析】（1）令，解方程即可求解，（2）利用，的關(guān)系，作差可得等差數(shù)列，即可求解，（3）利用放縮法可得，即可利用累加法求解【小問1詳解】在，中，，令，可得，∴．【小問2詳解】，①當(dāng)時(shí)，，②可得，∴，∴是公差為的等差數(shù)列，∴，∴．【小問3詳解】證明：由（2）可得，∴，∴．16.在中，角所對(duì)的邊分別為，且.（1）求角的大?。唬?）若，如圖，是上的動(dòng)點(diǎn)，且始終等于，記.當(dāng)為何值時(shí)，的面積取到最小值，并求出最小值.【答案】（1）（2），最小值為【解析】【分析】（1）根據(jù)正弦定理將分式化簡(jiǎn)，結(jié)合兩角和的正弦公式可求得結(jié)果；（2）在中，根據(jù)正弦定理表示出，在中，根據(jù)正弦定理表示出，根據(jù)三角形面積公式得到的面積，即可求出結(jié)果.【小問1詳解】在中，由正弦定理可得，所以，所以，即得，因?yàn)?，所以，所以，因?yàn)?，所以；【小?詳解】因?yàn)?，由?）知，所以，在中，由正弦定理可得，所以，在中，由正弦定理可得，所以，所以，因?yàn)?，所以，?dāng)時(shí)，取得最小值，此時(shí)，即，所以當(dāng)時(shí)，面積取到最小值，最小值為.17.如圖，在以為頂點(diǎn)的五面體中，四邊形與四邊形均為等腰梯形，，對(duì)的中點(diǎn).（1）證明：平面平面；（2）求平面與平面所成角的正弦值；（3）設(shè)點(diǎn)是內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)，，當(dāng)線段的長(zhǎng)最小時(shí)，求直線與直線所成角的余弦值.【答案】（1）證明見解析（2）（3）.【解析】【分析】（1）取的中點(diǎn)，證明，然后得線面垂直，再得面面垂直；（2）以為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以為軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，用空間向量法求二面角；（3）由向量的數(shù)量積為0，確定的軌跡，再由最小值確定其位置，得其坐標(biāo)，然后由空間向量法求線面角．【小問1詳解】取的中點(diǎn)，連結(jié)，由已知得，是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，是以為腰的等腰三角形，則，故,故平面平面，所以平面，又平面，所以平面平面；【小問2詳解】以為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以為軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，，設(shè)平面的法向量為n=x,y,z則，即，取，則，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，由，取，得，所以，因?yàn)?，故平面與平面所成角的正弦值為.【小問3詳解】點(diǎn)是內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)且，則點(diǎn)在以為直徑的圓上，當(dāng)線段的長(zhǎng)最小時(shí)，點(diǎn)在與圓的交點(diǎn)處，此時(shí)，，設(shè)直線與直線所成角為，所以，所以直線與直線所成角得余弦值為.18.已知A，B分別是雙曲線的左、右頂點(diǎn)，點(diǎn)是雙曲線C上的一點(diǎn)，直線PA，PB的斜率分別為，，且.（1）求雙曲線C的方程；（2）已知過點(diǎn)直線，交C的左，右兩支于D，E兩點(diǎn)（異于A，B）.（i）求m的取值范圍；（ii）設(shè)直線與直線交于點(diǎn)Q，求證：點(diǎn)Q在定直線上.【答案】（1）（2）（i）或；（ii）證明見解析【解析】【分析】（1）根據(jù)求出，，從而得到，求出，得到雙曲線方程；（2）（i）由題意知直線l的方程為，，，聯(lián)立雙曲線方程，結(jié)合根的判別式和得到不等式，求出m的取值范圍；（ii）在（i）的基礎(chǔ)上，得到兩根之和，兩根之積，得到，表達(dá)出直線和直線的方程，聯(lián)立得到，將代入，化簡(jiǎn)得到，得到答案.【小問1詳解】由題意可知，，因?yàn)?，所?因，，得，又因?yàn)樵陔p曲線上，則，所以.所以雙曲線C的方程為.【小問2詳解】（i）由題意知直線l的方程為，，.聯(lián)立，化簡(jiǎn)得，因?yàn)橹本€l與雙曲線左右兩支相交，所以，即滿足：，所以或.（ii），，則，直線的方程為，直線的方程為.聯(lián)立直線與的方程，得，所以，所以，所以，所以點(diǎn)Q的橫坐標(biāo)始終為1，故點(diǎn)Q在定直線上【點(diǎn)睛】圓錐曲線中，針對(duì)非對(duì)稱韋達(dá)，一般思路為設(shè)出直線方程，與圓錐曲線聯(lián)立，得到兩根之和，兩根之積，并兩者相除，得到兩者的關(guān)系，再代入后續(xù)的計(jì)算中，達(dá)到化簡(jiǎn)的目的.19.已知函數(shù).（1）求函數(shù)y=f(x)的單調(diào)區(qū)間；（2）若曲線與存在兩條公切線，求整數(shù)的最小值；（3）已知，函數(shù)有3個(gè)零點(diǎn)為：，且，證明：.【答案】（1）單調(diào)遞增區(qū)間是和，單調(diào)遞減區(qū)間是（2）（3）證明見解析【解析】【分析】（1）先求導(dǎo)，然后根據(jù)導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)判斷的單調(diào)性，由此可確定出單調(diào)區(qū)間；（2）根據(jù)條件寫出切線方程，通過聯(lián)立思想求解出關(guān)于切點(diǎn)坐標(biāo)的表示，由此構(gòu)造函數(shù)分析單調(diào)性和最小值，即可確定出整數(shù)的最小值；（3）將問題轉(zhuǎn)化為方程有三個(gè)根，借助圖象分析出的范圍，然后通過轉(zhuǎn)化將待證明的問題變?yōu)樽C明，再通過構(gòu)造函數(shù)分析單調(diào)性和最值完成證明.【小問1詳解】，令，解得或，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，所以的單調(diào)遞增區(qū)間是和，單調(diào)遞減區(qū)間是.【小問2詳解】設(shè)切線分別與和交于，的導(dǎo)數(shù)為，的導(dǎo)數(shù)為，所以處切線方程為，處切線方程為，由公切線可知，，所以，化簡(jiǎn)可得，因?yàn)楣芯€有兩條，所以有兩個(gè)根；設(shè)，所以，因?yàn)榫谏蠁握{(diào)遞增，所以在上單調(diào)遞增，且，所以存在唯一使得，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，所以且，所以，由對(duì)勾函數(shù)性質(zhì)可知在時(shí)單調(diào)遞增，所以，所以，且時(shí)，，時(shí)，，所以若有兩個(gè)根，則，故整數(shù)的最小值為.【小問3詳解】的定義域?yàn)椋深}意可知，是方程的三個(gè)根；當(dāng)時(shí)，令，所以，令，所以，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，所以，所以，所以在上單調(diào)遞增，且；當(dāng)時(shí)，令，所以，由解得，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，且，，作出的簡(jiǎn)圖如下圖所示，由圖象可知