勾股定理(強化卷)解析版2021-2022學年八年級數(shù)學上冊(蘇科版)教材同步課時精練

試卷第=page22頁，總=sectionpages33頁試卷第=page11頁，總=sectionpages11頁3.1勾股定理強化卷一、單選題1．如圖是一株美麗的勾股樹，其中所有的四邊形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形．若正方形A、B、C、D的邊長分別是3、5、2、3，則最大正方形E的面積是（）A．13 B．26 C．34 D．47【答案】D【解析】由勾股定理得：正方形F的面積=正方形A的面積+正方形B的面積=32+52=34，同理，正方形G的面積=正方形C的面積+正方形D的面積=22+32=13，∴正方形E的面積=正方形F的面積+正方形G的面積=47．故選D．2．如圖，三級臺階，每一級的長、寬、高分別為8dm、3dm、2dm．A和B是這個臺階上兩個相對的端點，點A處有一只螞蟻，想到點B處去吃可口的食物，則螞蟻沿著臺階面爬行到點B的最短路程為（）A．15dm B．17dm C．20dm D．25dm【答案】B【解析】最短路徑故答案為：B．3．如圖，正方形是由9個邊長為1的小正方形組成，每個小正方形的頂點都叫格點，連接，，則（）A． B． C． D．【答案】B【解析】如圖，連接.根據(jù)勾股定理，得，.因為，所以，所以是等腰直角三角形，所以.故選B.4．如圖，在水池的正中央有一根蘆葦，池底長10尺，它高出水面1尺，如果把這根蘆葦拉向水池一邊，它的頂端恰好到達池邊的水面，則這根蘆葦?shù)母叨仁牵ǎ〢．10尺 B．11尺 C．12尺 D．13尺【答案】D【解析】解：設水深為x尺，則蘆葦長為（x+1）尺，根據(jù)勾股定理得：，解得：x=12，所以蘆葦?shù)拈L度=x+1=12+1=13（尺），故選：D．5．如圖，正方形ABCD中，DE⊥CE，垂足為E，且DE=3，CE=4，則陰影部分的面積是（）A．16 B．18 C．19 D．21【答案】C【解析】解：∵DE⊥CE，垂足為E，且DE=3，CE=4，∴由勾股定理可得：CD=，∴陰影部分的面積=，故選：C．6．等腰三角形的腰長為10，底邊長為12，則這個等腰三角形的面積是（）A．24 B．48 C．96 D．36【答案】B【解析】如圖，過頂點A作AD⊥BC于D，則由勾股定理得，這個等腰三角形的面積故選B.7．在中，，，高，則三角形的周長是（）A．42 B．32 C．42或32 D．37或33【答案】C【解析】在Rt△ABD中，，在Rt△ACD中，，∴BC=BD+CD=14或BC=BD-CD=4，

∴C△ABC=AB+BC+AC=15+14+13=42或C△ABC=AB+BC+AC=15+4+13=32．

故選：C．8．如圖，在中，AB=AC,∠B=30°，AD⊥AB，AD=4，則下列各式中正確的是（）A．AB=8 B．BC=16 C．DC=4 D．BD=10【答案】C【解析】∵AB=AC，

∴∠B=∠C=30°，

∵AB⊥AD，

∴BD=2AD=2×4=8，故D選項錯誤；

∠B+∠ADB=90°，

∴∠ADB=60°，

∵∠ADB=∠DAC+∠C=60°，

∴∠DAC=30°，

∴∠DAC=∠C，

∴DC=AD=4，故C選項正確；∴AB=，故A選項錯誤；

∴BC=BD+DC=8+4=12，故B選項錯誤；

故選：C．9．下列選項中（圖中三角形都是直角三角形），不能用來驗證勾股定理的是（）A． B． C． D．【答案】D【解析】A，B，C都可以利用圖形面積得出a，b，c的關(guān)系，即可證明勾股定理；故A，B，C選項不符合題意；D、不能利用圖形面積證明勾股定理，故此選項正確．故選D．10．△ABC中，AB=15，AC=13，高AD=12，則△ABC的周長為（）A．42 B．32 C．42或32 D．37或33【答案】C【解析】情況一：如下圖，△ABC是銳角三角形∵AD是高，∴AD⊥BC∵AB=15，AD=12∴在Rt△ABD中，BD=9∵AC=13，AD=12∴在Rt△ACD中，DC=5∴△ABC的周長為：15+12+9+5=42情況二：如下圖，△ABC是鈍角三角形在Rt△ADC中，AD=12，AC=13，∴DC=5在Rt△ABD中，AD=12，AB=15，∴DB=9∴BC=4∴△ABC的周長為：15+13+4=32故選：C二、填空題11．如圖，Rt△ABC中，∠C=90°，在△ABC外取點D，E，使AD=AB，AE=AC，且α+β＝∠B，連結(jié)DE．若AB＝4，AC＝3，則DE＝__．【答案】5【解析】∵∠B+∠C+∠BAC=180°，∠C=90°，∴∠B+∠BAC=90°.∵α+β＝∠B，∴∠DAE=α+β+∠BAC==∠B+∠BAC=90°.∴△ADE是直角三角形.∴DE===5.12．在中，，，，______.【答案】12【解析】在中，∠C=90°，，，，則BC=，

故答案為：12．13．如圖，四邊形ABCD是正方形，AE⊥BE于點E，且AE＝3，BE＝4，則陰影部分的面積是_____．【答案】19【解析】∵AE⊥BE，∴△ABE是直角三角形，∵AE＝3，BE＝4，∴AB＝＝＝5，∴陰影部分的面積＝S正方形ABCD﹣S△ABE＝52﹣×3×4＝25﹣6＝19．故答案為：19．14．如圖，在中，，，，將折疊，使點與點重合，得折痕，則的周長等于____cm．【答案】7【解析】在中，，，，由勾股定理，得，由翻折的性質(zhì)，得，的周長為7（cm）．15．如圖，學校有一塊長方形草坪，有極少數(shù)人為了避開拐角走“捷徑”，在草坪內(nèi)走出了一條“路”，他們僅僅少走了________步路（假設步為米），卻踩傷了花草．【答案】【解析】解：如圖，∵在中，，∴，則少走的距離為：，∵步為米，∴少走了步．故答案為：．16．邊長為6的等邊三角形的面積是__________．【答案】【解析】如圖，在中，作，故答案為：．17．如圖，長為10cm的彈性皮筋放置在直線上，固定兩端和，然后把中點垂直向上拉升12cm至點，則彈性皮筋被拉長了_____cm．【答案】16【解析】解：根據(jù)題意，得，，；∴在中，，．∵．∴，即彈性皮筋被拉長了16cm．故答案為：16.18．如圖，中，，是等腰三角形，，交于，，則_________．【答案】【解析】∵AB=BD=4，

∴∠BAE=∠BDE，

∵CB⊥BD，

∴∠DBE=∠CAB=90°，

∴∠DEB=90°-∠D，∠CAE=90°-∠BAD，

∴∠CAE=∠DEB，

∵∠AEA=∠DEB，

∴∠CAE=∠CEA，

∴AC=EC，

∵BE=1，

∴BC=AC+1，

∵AC2+AB2=BC2，

∴AC2+42=（AC+1）2，

∴AC=，

故答案為：．19．已知，在中，，且邊上的高為12，邊BC的長為__________．【答案】4或14【解析】①如圖，當△ABC是銳角三角形，銳角△ABC中，AB=15，AC=13，BC邊上高AD=12，在Rt△ABD中AB=15，AD=12，由勾股定理得：BD2=AB2-AD2=152-122=81，則BD=9，在Rt△ACD中AC=13，AD=12，由勾股定理得：CD2=AC2-AD2=132-122=25，則CD=5，故BC的長為BD+DC=9+5=14；②如圖，當△ABC是鈍角三角形時，鈍角△ABC中，AB=15，AC=13，BC邊上高AD=12，在Rt△ABD中AB=15，AD=12，由勾股定理得：BD2=AB2-AD2=152-122=81，則BD=9，在Rt△ACD中AC=13，AD=12，由勾股定理得：CD2=AC2-AD2=132-122=25，則CD=5，故BC的長為BD-CD=9-5=4．綜上可得BC的長為14或4．故答案為：4或14．20．在△ABC中，AB=15，AC=13，高AD=12，則的周長為_______________．【答案】32或42【解析】當△ABC是鈍角三角形時，∵∠D=90°，AC=13，AD=12，∴,∵∠D=90°，AB=15，AD=12，∴,∴BC=BD-CD=9-5=4，∴△ABC的周長=4+15+13=32；當△ABC是銳角三角形時，∵∠ADC=90°，AC=13，AD=12，∴，∵∠ADB=90°，AB=15，AD=12，∴，∴BC=BD-CD=9+5=14，∴△ABC的周長=14+15+13=42；綜上，△ABC的周長是32或42，故答案為：32或42.三、解答題21．如圖，在四邊形中，，，于，（1）求證：；（2）若，，求四邊形的面積．【答案】(1)詳見解析;(2)S四邊形ABCD=56【解析】(1)∵BE⊥AC,∴∠ABE+∠BAE=90°,∵BAD=90°,∴∠BAE+∠DAC=90°,∴∠DAC=∠ABE,又∵AB=AD,∠BEA=∠ACD,∴Rt△BAE≌Rt△ADC(AAS),∴BE=AC．(2)∵AB=10,CD=6,∠ACD=90°,∴,∵Rt△BAE≌Rt△ADC,∴BE=AC=8,∴．22．如圖，△ABC中，∠BAC＝90°，AC＝8cm，DE是BC邊上的垂直平分線，△ABD的周長為14cm，求BC的長．【答案】10cm【解析】解：∵DE是BC邊上的垂直平分線，∴DB＝DC，∵△ABD的周長為14，∴AB+AD+BD＝14，∴AB+AD+DC＝AB+AC＝14，∴AB＝14﹣8＝6，由勾股定理得，BC10（cm）．23．如圖，你能計算出各直角三角形中未知邊的長嗎？【答案】（1）5；（2）24.【解析】解：（1）根據(jù)勾股定理得：x2＝32＋42＝9＋16＝25，解得：x＝5或x＝－5（舍去），則x＝5；（2）根據(jù)勾股定理得：252＝72＋x2，即x2＝576，解得：x＝24或x＝－24（舍去），則x＝24．24．如圖，一個寬，高的大門，需在相對角的頂點間加一塊加固木板．求木板長．【答案】2.6m【解析】根據(jù)已知，大門是一個矩形，故四個角為直角.

因此這條木板的長為：=2.6，

答：木板長為2.6米.25．已知：整式，整式．嘗試:化簡整式．發(fā)現(xiàn):，求整式．聯(lián)想:由上可知，，當n＞1時為直角三角形的三邊長，如圖．填寫下表中的值：直角三角形三邊勾股數(shù)組Ⅰ/8勾股數(shù)組Ⅱ/【答案】嘗試：；發(fā)現(xiàn)：；聯(lián)想：17，37.【解析】A=（n2﹣1）2+（2n）2=n4﹣2n2+1+4n2=n4+2n2+1=（n2+1）2．∵A=B2，B＞0，∴B=n2+1，當2n=8時，n=4，∴n2+1=42+1=17；當n2﹣1=35時，n2+1=37．故答案為17；37．26．（1）按規(guī)律填表：468……3815……51017……（2）上表中，每列三個數(shù)為一組，這組數(shù)有什么特點？（3）如果一個直角三角形的兩條直角邊長分別為20和99，你能很快得到斜邊的長嗎？【答案】（1），；（2）都是勾股數(shù)；（3）．【解析】（1）由圖表可以得出：

4=2×2，3=22-1，5=22+1，

6=2×3，8=32-1，10=32+1，

8=2×4，15=42-1，17=42+1，

…

∴2n，n2-1，n2+1．（2）由表可得：每一列的三個數(shù)組成了勾股數(shù)．（3）∵一個直角三角形的兩條直角邊長分別為20和99，∴斜邊長為：．27．在中，，，面積，求腰長．【答案】5【解析】根據(jù)題意畫出圖形，過點A作AD垂直于BC，垂足為D，∵AB=AC，∴△ABC是等腰三角形，∵AD⊥BC，∴BD=CD，∵BC=6∴BD=CD=3，∴AD=4cm，.28．如圖，點在線段上，，，點在線段上，且滿足，連接并延長交于點，連接，．（1）求證：；（2）若已知，，，設，則的面積用代數(shù)式可表示為．你能借助本題提供的圖形，證明勾股定理嗎？試一試吧！【答案】（1）見解析；（2）見解析.【解析】（1）因為在和中，所以，所以．因為，，所以，所以，所以．（2）由題意，得．因為，所以，所以．29．已知：如圖，在中，，，，動點從點出發(fā)沿射線以的速度移動，設運動的時間為秒．（1）求邊的長；（2）當為直角三角形時，求的值；（3）當為軸對稱圖形時，求的值．【答案】（1）4cm；（2）當為直角三角形時，t=4或；（3）當為軸對稱圖形時，t=8或5或【解析】解：（1）∵在中，，，，∴BC=（2）由題意可得：BC=tcm，∠B≠90°當∠APB=90°時，易知點P與點C重合∴BP=BC即t=4；當∠PAB=90°時，如下圖所示∴CP=BP－BC=（t－4）cm∵AC2＋CP2=AP2=BP2－AB2∴32＋（t－4）2=t2－52解得：t=綜上：當為直角三角形時，t=4或；（3）當為軸對稱圖形時，△ABP必是等腰三角形當AB=AP時，如下圖所示∵AC⊥BC∴BP=2BC即t=2×4=8當AB=BP時，如下圖所示∴t=5；當AP=BP時，如下圖所示則CP=BC－BP=（4－t）cm，AP=BP=t在Rt△APC中，即解得：t=綜上：當為軸對稱圖形時，t=8或5或．30．到三角形三條邊距離相等的點，叫做此三角形的內(nèi)心，由此我們引入如下定義：到三角形的兩條邊距離相等的點，叫做此三角形的準內(nèi)心．舉例：如圖，若AD平分∠CA