GeoGebra輔助下螺旋運(yùn)動模型可視化分析

以螺旋運(yùn)動為背景的問題在高中物理中較為典型，在習(xí)題中尤為常見。這類問題常以不等距螺旋線運(yùn)動和等距螺旋線運(yùn)動兩種類型出現(xiàn)。帶電粒子在磁場中的運(yùn)動是高中物理磁場教學(xué)的重點(diǎn)與難點(diǎn)之一。對帶電粒子在有界磁場中運(yùn)動問題的探析可細(xì)分為探討動態(tài)問題、分析臨界問題和求解多解問題。在磁場中，若帶電粒子射入勻強(qiáng)磁場內(nèi)的速度方向與磁場方向平行，則帶電粒子不受洛倫茲力；帶電粒子射入勻強(qiáng)磁場內(nèi)的速度方向與磁場方向垂直，帶電粒子受洛倫茲力，若帶電粒子僅受洛倫茲力，則做勻速圓周運(yùn)動；當(dāng)帶電粒子射入勻強(qiáng)磁場內(nèi)的速度方向與磁場方向存在一定夾角，若僅受洛倫茲力，帶電粒子做等距螺旋運(yùn)動，當(dāng)處于電場與磁場的疊加場中，帶電粒子可做不等距螺旋運(yùn)動。帶電粒子在磁場中的運(yùn)動軌跡復(fù)雜多變，學(xué)生難以理解和掌握，構(gòu)建不同類型的復(fù)雜運(yùn)動也存在困難。教師運(yùn)用GeoGebra軟件，能夠直觀形象地演示帶電粒子的運(yùn)動情況，清晰呈現(xiàn)動態(tài)化的運(yùn)動過程，化抽象為形象，幫助學(xué)生構(gòu)建物理模型，提高想象和思維能力。一、GeoGebra軟件在物理教學(xué)中的應(yīng)用目前，在物理教學(xué)中，GeoGebra軟件主要應(yīng)用于物理概念教學(xué)、習(xí)題教學(xué)、實(shí)驗(yàn)教學(xué)和輔助教學(xué)探究等方面[1]。在物理教學(xué)中會遇到許多抽象的物理模型，如果僅靠教師依據(jù)教材或題目等靜態(tài)資料進(jìn)行講解，學(xué)生難以理解，應(yīng)用GeoGebra等交互軟件能夠?qū)ξ锢磉^程進(jìn)行有效動態(tài)模擬[2]。教師借助GeoGebra將數(shù)字符號轉(zhuǎn)化為圖像表征，有利于學(xué)生構(gòu)建知識體系，提高思維能力[3]。GeoGebra在物理教學(xué)中的深度融合涉及很多物理知識的教學(xué)與研究，包含動態(tài)平衡、磁場、電場、光的干涉、勻速圓周運(yùn)動、波函數(shù)疊加與簡諧振動、追及與相遇等。二、問題情境如圖1所示，真空中的立方體邊長為0.4m，底面中心有一能向水平各個(gè)方向均勻發(fā)射α粒子的點(diǎn)狀放射源（不考慮其他方向產(chǎn)生的α粒子），所有α粒子的速度都是v=3.0×106m/s，已知α粒子電荷量與質(zhì)量之比

=5.0×107C/kg，立方體內(nèi)有豎直向上的勻強(qiáng)電場和勻強(qiáng)磁場。abfe面放有一個(gè)屏，該屏可以沿z軸左右平移。（1）要使所有粒子均能從上表面離開，勻強(qiáng)磁場最小值B1為多少？（2）調(diào)整勻強(qiáng)磁場的大小，當(dāng)勻強(qiáng)磁場B2=1T時(shí)，要使所有粒子剛好都能從上表面中心P離開，所加勻強(qiáng)電場的最大值和離開P點(diǎn)時(shí)速度方向與defg水平面的夾角分別是多少？（3）保持勻強(qiáng)磁場B2=1T，勻強(qiáng)電場為第（2）問中的最大值，現(xiàn)讓abfe屏沿z軸負(fù)方向移動0.11m，求abfe屏上射出粒子x坐標(biāo)取得最大值和最小值時(shí)對應(yīng)點(diǎn)的y軸坐標(biāo)。三、GeoGebra建模助力學(xué)生想象與思考此題考查的知識點(diǎn)是帶電粒子在磁場中做不等距螺旋運(yùn)動。帶電粒子在磁場中做不等距螺旋運(yùn)動，一般可分解為垂直于磁場方向平面內(nèi)的勻速圓周運(yùn)動和沿磁場方向的勻加速直線運(yùn)動[4]。（一）借助軟件求解磁場臨界問題要使所有粒子均從上表面離開是一個(gè)研究磁感應(yīng)強(qiáng)度取值的問題。由于帶電粒子速度不同，磁感應(yīng)強(qiáng)度不定，帶電粒子在有界磁場中的運(yùn)動軌跡發(fā)生變化。這類問題的特點(diǎn)在于，帶電粒子受磁場邊界的約束會出現(xiàn)“恰好”不穿出磁場區(qū)域的臨界情形。學(xué)生解答這類問題，需要探究帶電粒子恰好不穿出磁場區(qū)域的臨界條件，畫出帶電粒子軌跡圖。為了了解條件改變對粒子軌跡的影響，教師應(yīng)用GeoGebra軟件進(jìn)行直觀演示，讓學(xué)生學(xué)習(xí)基本操作。軟件作圖標(biāo)準(zhǔn)且美觀，更利于學(xué)生展開探究活動。粒子在電磁場中的運(yùn)動是水平面的勻速圓周運(yùn)動與豎直方向（y方向）的勻加速直線運(yùn)動的合成。學(xué)生經(jīng)過問題（1）“要使所有粒子均從上表面離開”的分析可知，粒子在磁場力作用下圓周運(yùn)動半徑最大值為Rm=

。qvB1=m，代入數(shù)據(jù)可得B1=0.6T，即要使所有粒子均從上表面離開，勻強(qiáng)磁場最小值為0.6T。下面，借助GeoGebra軟件精確繪制帶電粒子的運(yùn)動軌跡。第一步：構(gòu)建題干情境。設(shè)置m、q、B滑動條，在3D視圖工具欄中選擇正六面體工具繪制磁場所在區(qū)域：邊長0.4m的正六面體a1，在工具欄中選用平面工具繪制與abfe面相交的屏。分別作出Oabc、defg兩個(gè)平面的對角線，將Oabc、defg平面對角線的交點(diǎn)分別設(shè)置為S、P。設(shè)置磁場空間序列B=序列（序列（向量（（i，0，z），（i，0.4，z）），i，0，0.4，（（0.2）/（B））），z，0，0.4，（（0.2）/（B））），如圖2所示。第二步：繪制帶電粒子在磁場中的運(yùn)動軌跡。設(shè)置t、vox滑動條，voz=

（9-vox2），帶電粒子入射磁場的初速度v0=向量（S，（x（S）+vox，y（S），z（S）+voz））。設(shè)置α=angle（v0）為初速度v0與x軸夾角，半徑r=

。描點(diǎn)C（{x（S）-rsin（α+90°），y（S），z（S）-rcos（α+90°）}）。作出帶電粒子在磁場Oabc平面以C為圓心，r為半徑的軌跡（如圖3）。如何利用繪制的粒子軌跡尋找所有粒子均能從上表面離開時(shí)磁感應(yīng)強(qiáng)度的最小值？學(xué)生拖動滑動條B改變磁感應(yīng)強(qiáng)度，觀察可知，當(dāng)勻強(qiáng)磁場小于0.6T時(shí)，部分粒子未到達(dá)上表面已射出磁場；當(dāng)勻強(qiáng)磁場大于0.6T時(shí)，粒子均從上表面離開。對于帶電粒子均能從上表面離開的運(yùn)動分析，涉及的知識包含洛倫茲力、勻速圓周運(yùn)動。學(xué)生抓住臨界條件并尋找?guī)缀侮P(guān)系，進(jìn)行定性分析與定量計(jì)算可求出勻強(qiáng)磁場最小值。該問題難度不大，用于測評學(xué)生獲取信息能力、推理能力和運(yùn)算能力。為有效探究磁感應(yīng)強(qiáng)度對粒子運(yùn)動軌跡的影響，并可視化分析其他因素對粒子運(yùn)動軌跡的影響，教師讓學(xué)生對影響粒子運(yùn)動軌跡的條件進(jìn)行理論推導(dǎo)后再應(yīng)用軟件操作，使其感受動態(tài)軟件模擬的直觀便捷，體會條件改變對帶電粒子運(yùn)動軌跡的影響。（二）

求解勻強(qiáng)電場最大值和有關(guān)夾角當(dāng)帶電粒子在磁場條件的限制下均能從立方體上表面離開，又如何利用電場限制帶電粒子從立方體上表面的中心離開磁場？這是一個(gè)復(fù)合場的問題。學(xué)生面對帶電粒子在復(fù)合場中的運(yùn)動問題，往往有畏難情緒。對于帶電粒子在復(fù)合場中的運(yùn)動，學(xué)生需要作圖輔助探究，其中對作圖要求較高。在例題中，由前述可知，所有粒子均能從上表面離開，若粒子需從P點(diǎn)離開，則粒子的運(yùn)動時(shí)間恰好為運(yùn)動周期T的整數(shù)倍。此時(shí)，勻強(qiáng)電場的取值并不唯一，如何讓所加勻強(qiáng)電場為最大值？結(jié)合牛頓運(yùn)動定律作受力分析是常用的分析方法。分析可知，當(dāng)粒子只運(yùn)動一個(gè)周期離開P點(diǎn)時(shí)，所加勻強(qiáng)電場為最大。由題（1）可知，當(dāng)勻強(qiáng)磁場B2=1T時(shí)，所有粒子均只能從上表面離開，運(yùn)動周期為T=

。當(dāng)粒子只運(yùn)動一個(gè)周期離開P點(diǎn)時(shí)，所加勻強(qiáng)電場為最大，即L=T2，代入數(shù)據(jù)得E=

×107

N/C。離開P點(diǎn)時(shí)y方向速度大小為vy=

T，設(shè)離開P點(diǎn)時(shí)方向與defg水平面的夾角為θ，則有tanθ=

，代入數(shù)據(jù)得tanθ=

。在第一問的基礎(chǔ)上，繼續(xù)繪制帶電粒子在磁場中的運(yùn)動軌跡。第一步：繪制帶電粒子在三維空間的運(yùn)動軌跡。設(shè)置E滑動條，ay=為帶電粒子在y方向上的加速度。帶電粒子在三維空間的軌跡S1為（x（C）+rcos（ωt+α），y（C）+1/2ayt2，z（C）-rsin（ωt+α）），如圖4所示。第二步：模擬帶電粒子從上表面P點(diǎn)離開。學(xué)生改變E滑動條，可以清楚地觀察帶電粒子從上表面離開的位置變化。學(xué)生發(fā)現(xiàn)要使粒子剛好都從上表面中心P離開，則帶電粒子的軌跡恰好為運(yùn)動一周期的整數(shù)倍。第三步：繪制任意位置速度與xOz平面夾角。設(shè)置任意位置速度v、沿xOz平面速度及沿y方向速度vy。任意位置速度與xOz平面夾角θ=angle（v，vx）。觀察θ變化則能夠直觀地感受帶電粒子任意位置的速度與xOz平面夾角的變化。由題意可知，當(dāng)調(diào)整勻強(qiáng)磁場至B2=1T，帶電粒子運(yùn)動軌跡的半徑和周期不變。學(xué)生借助GeoGebra軟件建模發(fā)現(xiàn)，當(dāng)電場強(qiáng)度E逐漸增大時(shí)，到達(dá)defg表面所需時(shí)間逐漸變短，即粒子從defg表面離開所需的時(shí)間變短。問題（2）中任務(wù)的要求不僅要使粒子從defg表面離開，而且是從P點(diǎn)離開。學(xué)生借助GeoGebra軟件建模發(fā)現(xiàn)，只有當(dāng)帶電粒子的運(yùn)動時(shí)間恰好為帶電粒子做圓周運(yùn)動周期的整數(shù)倍時(shí)才能滿足從P點(diǎn)離開的條件。對比發(fā)現(xiàn)，理論推理過程較為復(fù)雜，如參數(shù)變化，學(xué)生用作圖的方式探究更為復(fù)雜的粒子運(yùn)動，難度很大。學(xué)生應(yīng)用GeoGebra軟件，拖動滑動條即可進(jìn)行探究，不僅作圖效率高，而且更加精確。教師引導(dǎo)學(xué)生改變勻強(qiáng)電場進(jìn)而改變粒子運(yùn)動軌跡，直觀展示螺旋運(yùn)動模型。學(xué)生很快掌握螺旋運(yùn)動特征，深入思考螺旋運(yùn)動模型的應(yīng)用，有利于提高發(fā)散性思維能力。探討帶電粒子如何從defg表面P點(diǎn)離開，意在測評學(xué)生對與帶電粒子在磁場與電場復(fù)合場中運(yùn)動情況的分析，以及涉及帶電粒子在三維空間的曲線運(yùn)動。學(xué)生需要具備較強(qiáng)的空間想象能力。在解決該問題的過程中，學(xué)生需要運(yùn)用電場力、洛倫茲力、勻速圓周運(yùn)動、運(yùn)動的合成與分解等物理概念和物理規(guī)律進(jìn)行思考，建立與發(fā)展物理觀念。教師引導(dǎo)學(xué)生控制變量及根據(jù)題干信息推理求解勻強(qiáng)電場的電場強(qiáng)度的最大值，旨在培養(yǎng)學(xué)生獲取信息能力、推理能力、模型構(gòu)建能力、證據(jù)意識，在解決問題的過程中提升學(xué)生的科學(xué)思維能力，提高學(xué)生物理學(xué)科核心素養(yǎng)。（三）求解極值對應(yīng)坐標(biāo)在勻強(qiáng)磁場與勻強(qiáng)電場取值均已確定，帶電粒子在復(fù)合場中的運(yùn)動軌跡的半徑及周期不變的情況下，帶電粒子可從不同角度入射至復(fù)合場，當(dāng)abfe屏左移0.11m后，是否所有粒子依然能從上表面離開？由于磁場邊界發(fā)生變化，學(xué)生需要結(jié)合幾何關(guān)系對從abfe屏上射出粒子x坐標(biāo)的最大值和最小值求解。相關(guān)計(jì)算和繪圖可借助GeoGebra軟件完成。由qvB2=m，R=0.06m。P1為abfe屏上射出粒子x坐標(biāo)最大值位置，M為過S點(diǎn)垂直于abfe屏的垂線與abfe屏的交點(diǎn)，由幾何關(guān)系可得xmax=

+P1M，由于SM=0.9m，可得xmax=（20+）×10-2m，對應(yīng)的y方向坐標(biāo)值為y1==0.1m。abfe屏上射出粒子x坐標(biāo)最小值位置，由幾何關(guān)系可得xmin=

-R=（0.2-0.03

）m，對應(yīng)的y方向坐標(biāo)值為y2==

m。在問題（2）的基礎(chǔ)上，教師借助軟件模擬當(dāng)abfe屏左移0.11m后，在abfe屏射出粒子x坐標(biāo)取得最大值和最小值時(shí)對應(yīng)點(diǎn)的y軸坐標(biāo)。學(xué)生在工具欄中選用平面工具，繪制左移0.11m后的abfe屏，查看俯視圖，找到帶電粒子的運(yùn)動軌跡與abfe屏的交點(diǎn)位置。改變vox滑動條可改變帶電粒子的運(yùn)動軌跡，觀察找到在abfe屏上射出粒子x坐標(biāo)取得最大值和最小值所在位置。勻強(qiáng)磁場、勻強(qiáng)電場均保持不變，教師將abfe屏左移0.11m，讓學(xué)生分析x值最大和最小時(shí)的情況。學(xué)生要完成這一任務(wù)需要具備較強(qiáng)的想象能力，能夠建立物理模型與幾何圖形的聯(lián)系，數(shù)形結(jié)合解決物理問題。借助數(shù)形結(jié)合分析解決物理問題，有利于培養(yǎng)學(xué)生的模型建構(gòu)能力并增強(qiáng)空間想象能力。教師借助GeoGebra軟件繪制帶電粒子在磁場中做螺旋運(yùn)動的軌跡，將抽象問題形象化，增強(qiáng)了學(xué)生利用信息技術(shù)分析物理問題的主動性，激發(fā)學(xué)生以多種形式探索物理的勇氣，拓展物理學(xué)習(xí)的寬度。教師利用可視化動態(tài)圖引導(dǎo)學(xué)生動眼觀察、動手體驗(yàn)、